Zajecia

Egzamin z Podstaw Matematyki lipiec 2013 seria 3

...

Imi¦ Nazwisko Grupa Nr. indeksu

Zad 1. (10 p.)

Napisz zaprzeczenie zdania: (p ∨ ¬ q)∧(p ⇒ r) w taki sposób by znak negacji nie staª przed »adnym nawiasem. Dla jakich warto±ci zda« p, q i r zaprzeczenie to jest prawdziwe?

Zad 2. (10 p.)

Znajd¹ takie podzbiory liczb naturalnych A, B i C by: B \ (A ∩ C) 6= (B \ C) ∪ (A \ C).

Zad 3. (16 p.)

Niech An b¦dzie odcinkiem −3 −_n6, 2 + 4_n

 . Opisz zbiory: a) T6 n=2An, b) S 9 n=2An c) T∞ n=3An, d) S ∞ n=4An. Zad 4. (16 p.)

Udowodnij lub znajd¹ kontrprzykªad na nast¦puj¡ce twierdzenia: a) ∀n∈N n < n2+ 1 b) ∃t∈R t + 2 = t2+ t

c) ∀t∈R ∃n∈N n − 5 ≥ t d) ∃n∈N ∀t∈R n − 5 ≥ t

gdzie N oznacza zbiór liczb naturalnych, za± R zbiór liczb rzeczywistych. Zad 5. (16 p.)

Niech ϕ : R → R b¦dzie okre±lona wzorem: ϕ(x) = −3x − 8, x ≤ −2

−x − 4, x > −2 a) Naszkicuj wykres funkcji ϕ(x). b) Napisz wzór na ϕ−1

c) Napisz wzór na ϕ ◦ ϕ. Zad 6. (16 p.)

Niech τ ∈ R × R b¦dzie relacj¡ okre±lon¡ wzorem: τ = {(x, y) ∈ R × R ; |y| = |x| }

a) Narysuj wykres τ.

b) Zbadaj czy τ jest: i) relacj¡ symetryczn¡, ii) relacj¡ zwrotn¡, iii) funkcj¡. c) Opisz τ−1 _{i narysuj jej wykres.}

Zad 7. (16 p.)

Badamy nast¦puj¡ce elementy grupy S10

g = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 5 9 2 7 1 3 6 4 10



i h =  1 2 3 4 5_{1 2 3 5 4 10 6 7 8}6 7 8 9 10₉ 

a) Przedstaw g i h−1 _{w postaci iloczynów cykli rozª¡cznych,}

b) Oblicz rz¦dy elementów: g, h−1 _{i gh,}

c) Sprawd¹ które z elementów: g, h i gh s¡ permutacjami parzystymi, d) Sprawd¹ czy gh = hg.

e) Przedstaw w postaci iloczynów cykli rozª¡cznych permutacje g2 _{i g}3_.

Odpowiedzi

Zad 1. (¬p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬r) prawdziwe gdy: p=0,q=1 lub p=1,r=0. Zad 2. Np. A = {1} i B = C = ∅

Zad 3. a) T6 n=2An= (−4, 22₃i, b) S 9 n=2An = (−6, 4i c) T∞ n=3An= h−3, 2i, d) S∞ n=4An= (−4 1 2, 3i. Zad 4. a) ∀n∈N n < n2+ 1 Prawda bo ∆ < 0 b) ∃t∈R t + 2 = t2+ tPrawda np. t = √ 2 c) ∀t∈R ∃n∈N n − 5 ≥ t Prawda np. n = max{1, bt + 6cd) ∃n∈N ∀t∈R n − 5 ≥ t Faªsz np. t=n+1. Zad 5. b) ϕ−1 ₌ −x − 4, x ≤ −2 −x+8 3 , x > −2 c) ϕ ◦ ϕ = 3x + 4. Zad 6. τ = τ−1_{{(x, y) ∈ R × R ; y = xluby = −x }} wykresem s¡ dwie proste prostopadªe.

b) τ jest: relacj¡ symetryczn¡, relacj¡ zwrotn¡, nie jest funkcj¡. Zad 7. (16 p.)

Badamy nast¦puj¡ce elementy grupy S10

a) g = (1, 8, 6)(2, 5, 7, 3, 9, 4) i h−1 _{= (4, 5)(6, 7, 8, 9, 10)}

b) rz g = 6, rz h−1 _{= 10 i rz gh = 8,}

c) g i h s¡ permutacjami nieparzystymi, gh jest parzysta. d) gh 6= hg.