Praktyczna postać ogólnego rozwiązania tarczy jednospójnej

M E C H AN I K A TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 10 (1972)

PRAKTYCZN A P OSTAĆ OG ÓLN E G O ROZWIĄ ZAN IA TARCZY JEJD N OSPÓJN EJ

KAZIMIERZ  R Y K A L U K (WROCŁAW)

1. Wprowadzenie

U G OD CZIKOW [1] podał  ogólne (zespolone) rozwią zanie sprę ż ystej i jednorodnej tar-czy jednospójnej obcią ż onej dowolnym ukł adem sił . U kł ad ten stanowią : sił y skupione

Qj (j — 1, 2, ..., q) przył oż one w pun ktach tj kon turu tarczy L (rys. 1), obcią ż eni

e roz-Pft)

Rys. 1

ł oż one na konturze L—p{t) — px(t) + ipy(t), sił y skupione Pj (j =  1, 2, ...,p) przył oż one

w wewnę trznych pun ktach tarczy zj oraz momenty skupione Mj (j = 1, 2, ..., m) przy-ł oż one w wewnę trznych pun ktach lj.

Rozwią zanie t o , dokon an e metodą  MUSCHELISZWILIEG O [2], dotyczy przypadku, gdy obszar tarczy S leż ą cy n a pł aszczyź nie zmiennej z = x+iy moż na odwzorować konfo-remnie n a koł o jednostkowe |f| < 1 (f =  C + irj) za pomocą  wielomianu

(1.1)

Wtedy kon tur tarczy L zostaje odwzorowany w okrą g y (rys. 2), punkty tj — w punkty =  exp(i<pj), a pun kty Zjilj — w pun kty Cj i %j odpowiednio.

Rys. 2

D wie funkcje analityczne G oursata <p(0 i f(0, bę dą ce rozwią zaniem problem u, zos-tał y podane w nastę pują cych postaciach:

0.2)

j - l U)rk.

f£ W {Xj) 1- XjC

gdzie (1.4) (1.5) (1.6) (1.7) n- k

* — » . » —1 . . . . . I .

PRAKTYCZNA POSTAĆ OGÓLNEGO ROZWIĄ ZANIA TARCZY JEDNOSPÓJNEJ 547

(1.8) 6*; =  - =—|cfc— 2J rc

T

bk+r- i), k = n,n- l,.... 1,0,

r= 2

(1.9) K

k

 = A

k

- a

k

,

« =  (3— v)l(\ +v) w pł askim stanie naprę ż eni

a i n — 3—4J» W pł askim stanie odkształ

-cenia, v — współ czynnik Poissona.

Współ czynniki a* są zespolone,

(1.11) a* =  «* +   # *

i należy je obliczyć z nastę pują ceg

o ukł adu równań liniowych:

H- ft+ l

(1.12) a

k

+ ^ b

k

+^

1

ra

r

 =  A

k

, k=l,2,...,n.

Warunkiem jednoznacznoś ci rozwią zania ukł adu (1.12) jest [1]

(1.13) ft =  0.

Skł adowe tensora naprę ż eni

a oraz wektora przemieszczenia w dowolnym punkcie z

obliczymy ze wzorów Koł osowa- Muscheliszwiliego [2]

33

1 f!k(o^(O^|F

K l ImlL a>(0

gdzie C? jest moduł em Kirchhoffa.

Potrzebny we wzorach (1.14) punkt f odpowiadają

cy punktowi z wyznaczymy z funk-cji odwrotnej £ =  a ) "

1

 (z). F unkcja taka istnieje, gdyż odwzorowanie jest konforemne

i jednoznaczne [3]. Sposoby wyznaczania funkcji odwrotnej podaje

 FILCZAKOW

 [6].

Przytoczone powyż ej rozwią zanie U godczikowa posiada dwie niedogodnoś ci:

1) Przy dział aniu jednej z sił  Pj w punkcie Zj = 0 (czyli również w Cj — °) nie moż na

obliczyć dla tej sił y współ czynników D

k

J)

 wedł ug wzoru (1.7).

2) F unkcja  y ( 0 okreś lona wzorem (1.3) posiada w punkcie C =  0 osobliwoś ć, co

uniemoż liwia analizę stanu naprę ż eni

a i odkształ

cenia w tym punkcie oraz w jego oto-czeniu. Obszar wpł ywu osobliwoś ci jest tym wię ksz

y im wyż sz

y jest stopień wielomianu

(1.1).

Celem niniejszej pracy jest doprowadzenie funkcji y>(£) (1.3) oraz współ czynników

D[J)

 (1.7) do takich postaci, aby moż na je był o obliczyć w każ dym punkcie £ z wyją t -kiem punktów Cj i %j, które są pun ktam i istotnie osobliwymi.

2. Rozwią zanie problemu

Rozpatrzmy najpierw dział anie sił y Pt w począ tku ukł adu współ rzę dnych ( £x =  0).

Obliczmy cał kę typu Cauchy'ego oznaczoną w pracy [1] jako J{ s j) . ĄJ)  = 5

1 r

 <O(Q)

 1 dg

 ₌

 1 r gj(g) 1 dq ._^ ^

liti J Co'® Q- T Q~C 2ni ) - ,ll\  1 r  e - £ ' ' '• • • '

/

'"

V y ft) I I (,! \ Qj Q

Korzystając z wł asnoś ci cał ki sumy, m oż emy n apisać

i^ TU) _ ^ f  ^ ( P ) 1 <s?? 1 T ^ ( p ) 1 dq

j m  2 , 3 , . . . , / 7.

Wyraż enie «fe)/ ft>'(^~ł

) Je s

t wartoś cią brzegową funkcji co^/ w'C f"1

) regularnej w ob-szarze |C| > 1 i cią gł ej w obszarze |C| > 1 z wyją tkiem pun ktu £ =  oo, w którym posiada biegun rzę du n. F unkcję tę moż na zatem zapisać w postaci [2]

(2- 2) JV l

' ^ A:= 0 fc- 1

V

Wyraż enie Q<O(Q)IO)'(Q~1

) jest wartoś cią brzegową funkcji ^coiO/ co'iC'1

) regularnej

w obszarze |f| > 1 z wyją tkiem pun ktu £ =  oo, w którym posiada biegun rzę du  n + 1 . Korzystając z (2.2), otrzymamy

(2.3)  £

-W myśl twierdzenia Cauchy'ego jest [4]

D la drugiej cał ki po prawej stronie wyraż enia (2.1) zastosujemy wzory podan e w [1]. Stąd

P R AK T YC Z N A P OSTAĆ OG ÓLN EG O R OZ WI Ą Z AN IA TAR C Z Y JED N OSPÓJN EJ 549 F unkcja y>(£) wyrazi się ostatecznie nastę pują cym wzorem:

(2.6) k=0

~

_{- U) +}

1

J—l ?Ą h- x 1 k=\

i V

 M

J

 f

przy czym zmieni się także wzór n a współ czynniki y4&

1

(2.7)  Ą - ^f + ^f

-  > e,-

^-I

III

J.71 J—J m'

Rozpatrzmy teraz drugie interesują ce nas zagadnienie. Otóż każ dą funkcję regularną / (£ ) moż na w otoczeniu pun ktu f =  0 zapisać w postaci sumy jej czę ś ci regularnej i?(Q =

i czę ś ci osobliwej  O ^ =  J^ r- - kC k

 [3], a więc \  4 /

(2.8)

Przy rozwią zywaniu zagadnienia pł askiego metodą Muscheliszwiliego zachodzi po-trzeba obliczania cał ek typu C auchy'ego z wartoś ci brzegowych pewnych funkcji. Cał ki te równają się czę ś ciom regularnym tych funkcji [2], czyli

(2.9)

(2.10)

N a podstawie (2.8) cał kę tę m oż na zapisać także w postaci 1

1(0 = / ( £ )- O

P ostać (2.10) był a stosowana w pracy [1] przy obliczaniu funkcji f(C) co spowodował o, że niektóre jej wyrazy stał y się osobliwe w punkcie f =  0. Z powyż szych rozważ ań wy-n ika jedań wy-nak, że osobliwość t a jest pozorań wy-n a i m oż ań wy-na się jej pozbyć poprzez wyodrę bań wy-nieań wy-nie czę ś ci regularnej funkcji i/>(f) w obszarze |f| < 1.

N a podstawie (1.5) moż na napisać

k= \

Stą d

(2.11) F

Pochodna funkcji (2.6) wynosi

(2.12) <p'(C) - •

k= \ 7 = 2

Po wstawieniu (1.4), (2.6), (2.11) i (2.12) do wzoru (1.3) otrzymamy:

(2.13)

- 2*>

4-

|-in

2n Z- l

7 = 1

W obszarze |C| < 1 funkcję  <p(C) moż na przedstawić w postaci [1]

P R AK T YC Z N A P OSTAĆ OG ÓLN EG O R OZ WI Ą Z AN I A TAR C Z Y JED N OSPÓJN EJ 551

Wtedy:

N a podstawie (2.2) obliczymy

/  1  \

1 5 )

gdzie współ czynniki ifc wyraż ają  się  wzorem (1.8) jako wartoś ci sprzę ż one, natomiast

współ czynniki gk obliczymy z nastę pują cego wzoru rekurencyjnego:

(2.16) gk =  (k+2)ck+2b, + (k+3)ck+3b2+ ... +ncnb„_k_t. Iloczyn funkcji (2.14) i (2.15) wynosi P

i+ «) Z/  f- f,

Ze wzorów (1.9) i (1.12) wynika, że n- k+l r = l Stą d ii n n 11—2

2 2  2  2

ft- l c—1 fc- l fc= o

gdzie współ czynniki hk wyraż ają  się  nastę pują cym wzorem rekurehcyjnym:

(2.19) hk =  nanb,,_k„1 + (n- - l)an„l'bn_k_2+ ... +(k + 2)ak+2b1.

Rozwiń my funkcję   - s —y w szereg M aclaurin a:

1 1

Jeż eli wykorzystamy (1.7), t o otrzymamy

Wstawiając (2.17) do (2.13), z uwzglę dnieniem (2.18) i (2.20), otrzymamy (2.21) QJHC- QJ) + j= \

/ I

2n

M,

 1

- . _ /  CO (As) C— Ai J= l "•JJ  • > n- 2

F unkcja (2.21) posiada w punkcie £ =  0 osobliwoś ć, ale jest t o zwią zane tylko z dzia-aniem sił y  P1 w tymże punkcie.

Współ czynnik Zr^ obliczymy z rozwinię cia funkcji CO(Q)/ W'(Q) W szereg Lauran ta, a więc wedł ug wzoru [4]

(2.22) 6.1 -  TJ-  f  ^ r r % .

Stał ą zespoloną C_x należy wyznaczyć z warunków brzegowych. Obliczmy jeszcze potrzebne we wzorach (1.14) pochodn e:

(2.23)

ft- 2

2*>

PRAKTYCZNA POSTAĆ OGÓLNEGO ROZWIĄ ZANIA TARCZY JEDNOSPÓJNEJ ₅₅₃ H.- V1 j=2. ft I 2n ZJ TO7 ? •  + n- 2 fl- 2

( 0 ^ K(Q]

 ^ Z ;

N ależy zaznaczyć, że wzory, (2.21), i (2.24) obowią zują  tylko w obszarze |f| < 1, natom iast n a kon turze y funkcja ip(t) wyraża się  wzorem (1.3).

3. Przykł ady liczbowe

1. Wyznaczyć rozkł ad naprę ż eń obwodowych aę na konturze tarczy koł

owej o promie-niu R obcią ż onej, ja k n a rys. 3.

F unkcja odwzorowują ca jest w tym przypadku jednomianem i wynosi z =  RCt

Ze wzoru (1.8) obliczymy bx =  1.

P un kt zaczepienia sił y Qx — tx =  R zostaje odwzorowany w pun kt gi =  1. y

Rys. 3

N a podstawie wzorów (2.7), (1.12) i (1.9) obliczamy  k o l e j n o ^ —X\ 2n, ax =XjA%,

Ze wzglę du n a t o , że n a kon turze a, =  0, wystarczy obliczyć tylko funkcję  q>'(0, gdyż a9 -  4R e Ze wzoru (2.12) otrzymamy , m 1 X 1 -  - - . XX X 2+(K- 1)C+(X+1)C2 2n  l - < An

_{f (i -  0}

N a konturze y — C =  Q =  e'9

 = cos<p+z sin ę . Wtedy X

ę

 2nR(l+x) 1 - c o s^ '

Przebieg naprę ż eń obwodowych dla poł owy kon turu pokazan o n a rys. 4.

D la róż nych materiał ów otrzymujemy róż ne wartoś ci naprę ż enia er,,. I t ak w pł askim stanie naprę ż enia te bę dą  wię ksze o 50% dla materiał u posiadają cego v =  0,5 w stosunku

do materiał u posiadają cego v = 0.

o —

_*,   _ — ( ^

Rys. 5

2. Wyznaczyć rozkł ad naprę ż eń normalnych wzdł uż przeką tnych tarczy kwadratowej o boku a obcią ż onej, jak n a rys. 5.

F unkcja odwzorowują ca ( ł . l) oraz funkcja odwrotna mają  nastę pują ce postacie [5]:

z =  co(C) =

f =  m-l(z) = miz+m5z 5 +m9z 9  -  l,85408z/ a +  2, 19138(z/ a)5+ 2, ł 6062(z/ a)9. Przyjmijmy jednostkowe moduł y sił , tzn. P2 — —P3 = (l + i)l]/ 2 oraz nastę pują ce

punkty zaczepienia tych sił : f2 =  — f3 =  ( 1+ 0/ 2, co odpowiada n a pł aszczyź nie z =

=  x+ i> punktom z2 =   - z3 =  0, 27712(1+ 0.

Współ czynniki bk, obliczone wedł ug wzoru (1.8), wynoszą

-

- if)

I r \2  r

+   2 5 ( ^ -  - i i - =  0,94484,

Cl /  Ct =  - 0, 07917, Cl =  0,04166,

b

2

 = b

4

 =  b

6

 = b

B

 =  0 .

RAKTYCZNA POSTAĆ OGÓLNEGO ROZWIĄ ZANIA TARCZY JEDNOSPÓJNEJ 555 Obliczamy teraz współ czynniki D[J)  wedł ug wzoru (1.7). = *  ( j1 + *5_ +  A A = _D[3) =  _1 > 9 2 8 0 8 ( 1 + 0 tz \  « t2  / =

 _  J _ /  **_

 +

 **_]

 =

  Ą .

)

 =

 _

0

,98324,

C2 \  £2 fz / tf = - 0, 49162(1- 0, £ 2 \  ba Z><?> =  -  - i-   ( A -  +  4Ł - 1 =  DP =  0,49162/ , - - | - k -   + - * £ - ) -  - £ ( 3) =  0,24581(1 +  0, =  0,16664, £7 2 >  - - - & - -  - i>( 73)  -  0, 08332(1- 0,

Cl

i )6 0,16664,  £7 &

£2 C l

=  - 0,08332*, Dp =   - Ą -  -  - - D( 9 3)  =  - 0,04166(1 +  i).

C

Wprowadź my oznaczenie: jR, =  v ' ^ . w . Wtedy i?2 =   - i ?3 =  1,35206(1 +

 0-Współ czynniki ,4fc, obliczone wedł ug wzoru (2.7), wynoszą

2,00000*:-  2,30408 - 0, 33333K - 0, 73764 . 2]/ 2T T (1 +   «) ' 2]/ 2n(l + x) - 0,1000Qp<- 0,36882 0,03571^+ 0,34275 .

0,01389^ +  0,17137

^9 =  7= — Ai =  AA =  Aa — As =  U .

U kł ad równ ań (1.12) przybierze po st ać:

a8 =  0,

a7 =  >43

a6  = 0 ,

; +  4Z>954 =  0,

Powyż szy ukł ad da się  rozseparowac na dwa ukł ady niezależ

ne —jeden z nieparzysty-mi wskaź nikami przy niewiadomych i drugi z parzystymi posiadają cy jedynie rozwią

za-nie zerowe, tzn. a

2

 =  «4 =  a

6

 =  a

a

 =  0. N atomiast z ukł adu równań posiadają cego

nieparzyste wskaź niki przy niewiadomych tworzymy dwa ukł

ady równań poprzez roz-dzielenie czę ś ci rzeczywistych i urojonych, stosują c dla współ czynników a

k

 zapis (1.11).

Z rozwią zania ukł adów równań otrzymamy

1, 03087K -

 1,30782 - 0,26926^- 0,53173

2 J / 2 ( 1 +  )

- 0,01522^- 0,39093 0,00206* +  0,27630 .

2  / 2 ( l )

- 0, 02905K + 0, 22585

a

 =  , -  , a

2

 = a

4

 = a

6

 = a

8

 = 0.

2- y2jr(l+ «)

N a podstawie wzoru (1.9) obliczamy współ czynniki Ą

0,96913^- 0,99626 - , - 0,06407^- 0,20591

X , A3 =  p=  z,

- 0,08478^+ 0,02211

 ₌

 0,03365^+ 0,06645

 _;

2]/ 2n(l+H)

0,04294*- 0,05448 „

A9 _ ,  A2 —  A4 —  A6 —  A8 =  U.

Współ czynniki g

k

 oraz / jj, obliczone wedł ug wzorów (2.16) i (2.19), wynoszą

=  - 0,39002a, g

_n

 =  9c

₉

bi. = 0,19107o,

- 0,76436*- 1,66032 .

- 0,05120*- 2,00775

0,01362*+ 1,82741 .

n5 — ibiCin =  =  1,

2j/ 2w( I+ «)

, . , - 0,24703*+ 1,92053

Mamy zatem wszystkie dane, aby móc napisać wzory (2.12), (2.23) i (2.24):

+  6,51717^

2

+ 4,80565C;

4

- 2,79811it

6

- l,00944C

8

-  0,38646C

8

) ,

X  Is

  is

 + * +N

 + * i N

  I N

X H oo  v i - rt* N [ ^ (N ^£> (S h-  oo CT\   O * O

i *t oo yD en  m m r-  co (N »n  o r ^ \ o ^ ~ l > O r- 1 i n oo (N oo ^  c - l v i  ^ H ( N M M

T- < Tt - ^- i  o r -  *o r-  *- i CTS  m c j \  oo DO <JS t—

*rf en  i n r ^c ~ -  oo i—i  t - n o I- H *3- OO H VO O

§ <n rf T-H  f ^ M ^ vo" t- ? o\  as" ^o o" r- i o"

! M  I I  | - i ^ _ t M + + 1 I I |

r - l

O -   + S + X  | N  | X + N

+  - * r - , i w - 1\ o o o M -   v o m j S o o ! 3 rtincst- it^m  o s o o S — i

I q m r T oo IJŚ" H B o " m" UT" r- f

> -

 + + 1 ' '

 +

Q .„  .„  ., .. +...

s-   + - ^ + ^ ,1? , +1? « 1?

K  o o v o  r - " n i n O\  o o ^t -  rt- AD T^ OO  ^ t  O t ~ -  CO ^O  0 0 0  \ D ^ ^ M t*-   ^ - ^ -  c o t - -  m a\  ^ O N r ^ CO"  * t CO" VO" en i- t Tf n 1 H

-

 %   i i  i i

l i + "ST i "S  + 1 T + x 3 o  o o t s i c n v o  M - t - ł c n o Ł J ^ T o «  o n  y 3 0 \ T l - v o ^  1 ^  a > ^ o « " > " * —i O m ffi > •   r f  0 " ^0" T- T m  0 "  o f t^r ^ + x  + s   + s   + s + * • . + • .*  r *

/—N DO  t ^  T t m  r - 0 0 H  v i  * t H a\  o\  T - H O

?i u 00  O " o c^r* %  o t - -   r o o ( N C h  r - ^ t *

r N 0 - «^- VD  v i 00  m r * J  o \ o  r ^ r -   0 0 0

~r c r \ c o r s co c n r ~ -   o o > • ^• 00  M S ' ^ OOI- H

T- <  V D O >n rH 00 1O V£> F-   m o O i - H ^*  V O O "hÓ1

 r~f <- H" lo" r- l 00" i- i"  H f r t i- H Ó"  O O O" Ó"

1^5 + + 1 4-  + + 1 + 1 1

7 7  7  +  +  +

i~^ i—( ł- H  ^ - ł T*H *- H *H >*sj^  Ł ^ J tfc^^/  i>_ ./  ^ ^ \ ^^> \ ^ y 1 vd K v5 v3 K ® • - i tS vo (VI 0 ^O (N O ' 0  t ^ a\  0 t~ <s\ 0 " 0 " <-n" 0" 0" i- T 1 1  ! / - s i o o - ^ f m o ^ m J x j i f o m T - f r ^ c n i - i c s ^ O \ O \ 0 O r t O s 0 0 i - < o C i ' d - O T - i - y O i - i a 1 0 »n  r -   O ' o  t ^ O H | ( S O O" O" «• ?' O" O" r- T x * , »" ^ / " ^ /—^ /**\  v ^ \ **•* . *"* '• ** l- H i—S ^ + + , ' + •  |  1 1 w O w v^-  w w O OO O i- H OO O »-1 00 r-   r i 00 r- ł- < r- m r-*-  t- -  cn t*- * o 00 O O 00 O_tn *r> p*  &L "** P^ d 0" cT 0" 0" o1 1557]

e. to-es x-o II o II o1 II II o 1!

9

CN o" 1 0 \ ł —1 ,—1 ,5 3 o 1 10 ,6 5 cn ,9 23

8

0 0 ,7 3 T—1 O co" CN 5 0 8 JJ o" 1 oo

s

o" 1 1 2 , 5 9 ,4 6 es O 0 0 0 7 8 m Ó" 8 7 3 o ^ cn cn 7 8 3 0 , 9 2 o ,1 87 m i 0 0

5

₄3 1 / —N 1—1 O 8 3 7 V i o 1 0 6

8

3 3 o o 0 7 1 o1 o 3 3 0

S

s

i

i—* 2 8 , 3 1 0 0 OO ,1 87 o 1 | c? 1 1—1 0 0 0 7 8 cn O

4

3 2 2 o o" 1 0 0 O\ oo ,2 0 o 1 11,5 3 m 44 2 o 1 oo ,3 9 o

1

o 8 3 7 V i o 8 7 5 o" 1 ,0 8 o 1 o o

I

0 7 1 © [558]

P R AK T YC Z N A P OSTAĆ OG ÓLN EG O R OZ WI Ą Z AN IA TARC Z Y JED N OSPÓJN EJ 559 < p"(0 =

L12+1Ć

3 ^7 21,63296  r ^ r + - 02  ( 2+ / C2 )3 13,03434/ f +  19, 22260£3 -  16,78866/ C5  - 8,07552C7 -  1,41330/ f5  -  3,09168^

1},

2 + if^ - 4 , 6 0 8 1 6 ( 2 C2 - 02

+ 0,191070  y ^

a + 1,660322+ 6,02325£2  -  9,13705/ f4

 -D la siedmiu wybranych pun któw: z = 0,  ( ± l +  / )a/ 6,  ( ± l +  i)a/ 3 i

którym odpowiadają pun kty f =  0, 0,30788(± 1 + z), 0,58370  ( ± l +  t), 0,70711  ( ± l +  r), obliczono wartoś ci co'(C), «"( £ ) , 95'(O. 9>"(0 i v' ( 0-  Wartoś ci te zestawiono w tablicy 1. W dwu ostatnich kolum nach tejże tablicy zamieszczono wartoś ci naprę ż eń a, i a9

. W tabli-cy 2 zamieszczono wartoś ci naprę ż eń w tych pun ktach dla tarcz posiadają cych współ

czyn-niki Poissona v =  0 oraz v =  0,5, jak również procentowe róż nice mię dzy tymi naprę ż e -niami, liczone wzglę dem materiał u o v = 0.

Wykresy naprę ż eń normalnych w rozpatrywanych przekrojach dla tarczy wykonanej z materiał u o współ czynniku P oissona v = 0,3 pokazan o n a rys. 6.

Literatura cytowana w tekś cie

1. A.  F . yrofliH KOB,  M .  H . fljiyrAij A. E . CTEIIAH OB, Peiueuue Kpaeeux 3adau n/ iocxou meopuuynpyzocmu

na ifucfipoebix u maAozosux Maiaunax, Bbicmajł  niKOJia, MocKBa 1970.

2.  H .  H . MycxEJiH iiiBiwiH , HeKomopue ocnoenue 3ada%u MameMammecKou meopuu ynpyiocmu, H ayKa, M ocKBa 1966.

3. F . LEJA, T eoria funkcji analitycznych, PWN , Warszawa 1957. 4. W. I . SMIRNOW, Matematyka wyż sza, t. 3, PWN , Warszawa 1967. .

5. K. RYKALUK, T arcza kwadratowa obcią ż ona na konturze sił ami skupionymi, Rozprawy Inż ynierskie, 19, 2 (1971).

6.  I I . <3>. <E>Hjib'iAi<oB, TJpu6AU3iceiMbie Memodu KoufiopMUbix omoópftsicenuii, H ayiraBa JtyMi<a3 Kuen

1964.

P e 3 IO M e

nOJIE3HLIH  BHfl OEUIErO PEHIEHIM SAflA^H  OB O,HHOCBfl3HOM AHCKE

O6iH.ee (KOMnneKCHoe) peuiei- me 3&p]ma 06 ojn- iocBsranoM AHCKe, Harpy>i<eHHOM npoH3BcuiLHbiM 06-pa30M (HenpepbiBHaH  Harpy3i<a H cocpefloTol

ieH H bie CHJIBI n a KOHType, a Taioite cocpeflOToiieHHbie CHJIM H cocpeflOToqeHHLie MOMenfw Biiyipii fliicKa), npefl,JioH<eirHoe  A. T . Yrofl^HKOBbiM [ 1]3 npiiBep;eHO

yflo5HOMy HJIH HcnoJiB3OBaHHH3 npH  aHajiH3e H anpH wcemioro H  fledpopMupoBaH noro cocTommił  B jnoSoft

HCKa (3a HCKJIIOiieHHeM TCieK npHJIOHfeHHH  COCpeflOTOl

ieHHHX Iiarpy30K). Cttoco6 npHBeAeuHH  npoH JinrocTpH poBan flayMH  ^H CJIOBM M H

S u m m a r y

PRACTICAL F OR M  OF  G EN ERAL SOLU TION  O F  A SIM PLY- CON N ECTED  D I SK

A general (complex) solution of a simply- connected disk, loaded in an arbitrary manner (continuous loadmg and concentrated forces on the contour, and concentrated forces and concentrated couples within the disk region), presented by A. G . U godć ikow [1] has been brought to a form enabling an analysis of the strain and stress state at its arbitrary point (except the points of application of the concentrated loads).

The procedure has been illustrated by two numerical examples.

POLITECHNIKA WROCŁAWSKA