Estymacja momentów zwykłych wektora losowego opartych na definicji potęgi wektora

Vol. LV (2014) PL ISSN 0071-674X

ESTYMACJA M O M ENTÓ W ZWYKŁYCH WEKTORA

LOSOWEGO OPARTYCH N A DEFINICJI POTĘGI WEKTORA1

KATARZYNA BUDNY

K atedra M atem atyki U n iw ersy tetu E konom icznego w K rakowie e-mail: budnyk@uek.krakow.pl

ABSTRACT

K. Budny. Estimation of the raw mom ents of a random vector based on the definition of the power of a vector. Folia O econom ica Cracoviensia 2014, 55: 81-96.

In this p a p e r w e p ro p o se th e consisten t a n d u n b ia se d estim ators of th e raw (uncorrected) m o m en ts of a ran d o m vector, m o m en ts th a t are b ased o n th e definition of th e p o w e r of a vector. For th e distrib u tio n s of th e estim ators w e find essential characteristics, su ch as m e a n vector, variance or total variance. We also calculate th e covariance a n d th e covariance m atrix b e tw e e n the relev an t sam ple raw m om ents. M oreover, th e asym ptotic b e h a v io u r of th e ir central m o m en ts of e v e n o rd ers are established.

STRESZCZENIE

W artykule p rzed staw io n e zostały zg o d n e i nieobciążone esty m ato ry m o m e n tó w zw ykłych w e k ­ tora losow ego o p a rty c h na definicji potęgi w ektora. W yznaczono p o d staw o w e charakterystyki dla ich ro zk ład ó w takie jak w ek to r w artości oczekiw anych, w ariancja lub w ariancja całkowita. O bliczono także postaci kow ariancji lub m acierzy kow ariancji m ied zy o d p o w ied n im i m o m en ta m i w próbie w ielow ym iarow ej. Ponadto u stalo n e zostało asym ptotyczne te m p o w zro stu ich m o m e n ­ tów centralnych parzy sty ch rzędów.

KEY WORDS — SŁOWA KLUCZOWE

p o w er of a vector, raw m o m e n t of a ran d o m vector, estim ator, m ultivariate d istribution potęga w ek to ra, m o m e n t zw ykły w ek to ra losow ego, estym ator, rozkład w ielow ym iarow y

1 W artykule zawarto niektóre cząstkowe wyniki rozpraw y doktorskiej — Budny (2014a), prezen­ towanej przez Autorkę na zebraniu naukow ym Komisji N auk Ekonomicznych i Statystyki dnia 9 paź­ dziernika 2014 roku.

W STĘP

Jednym i z pod staw ow ych charakterystyk rozkładu zm iennej losowej je d n o ­ wym iarowej są m om enty zwykłe (por. np. Shao (2003), s. 28; Bilingsley (2009), s. 274). W analizie rozkładów w ielow ym iarow ych jako klasyczne uogólnienia tych wielkości rozw aża się m om enty zwykłe m ieszane (por. np. Johnson, Kotz i Kemp (1992), s. 46) oraz w yznaczone za pom ocą iloczynu Kroneckera tzw. w ek­ torow e m om enty zwykłe — por. np. Holm quist (1988), G enton, He i Liu (2001), Kim i Mallik (2003).

Tatar (1996, 1999) opierając się na definicji potęgi w ektora zap ro p o n o w ał m.in. kolejne, odm ienne od przedstaw ionych pow yżej, w ielow ym iarow e uogól­ nienie pojęcia m om entu zw ykłego zm iennej losowej. Istotny, z p u n k tu w idze­ nia zastosow ań, jest problem estymacji ro zw ażan y ch charakterystyk. Celem tego opracow ania jest skonstruow anie co najm niej zgodnych estym atorów m o ­ m en tó w zw ykłych w ektora losow ego opartych na p o tęd ze w ektora. O tw iera to m ożliwość w ykorzystania tych m o m en tó w w analizie d anych w ielow ym ia­ rowych.

W kolejnych częściach pracy p rzypom inam y p odstaw ow e definicje, przedsta­ w iam y estym atory now ych m om entów zw ykłych i określamy ich podstaw ow e własności. Pracę zam ykają uw agi końcowe.

Definicja 1.1. (Tatar (1996, 1999)) Niech H będzie przestrzenią Hilberta. Dla d o ­ w olnego w ektora v e H oraz dowolnej liczby k e N k-tą potęgę wektora v definiu­ jem y w następujący sposób:

1. M O M EN TY ZWYKŁE I CENTRALNE OPARTE N A PO TĘDZE W EKTORA

dla r - nieparzystych dla r - parzystych

W pracy rozw ażać będziem y przestrzeń Hilberta (R", R ,+ ,-),w której okre "

ślono klasyczny (euklidesow y) iloczyn skalarny V, w £ R ".

Ponadto niech Lrn ( q ) oznacza przestrzeń w ektorów losowych całkowalnych w r-tej potędze tj. L" ( q ) = \ X : Q - > R " : X w ektor losowy i J ||X||r dP < l .

W literaturze przedm iotu wielkość E[||X||r] = J | | ^ | | ^ n a z y w a n a jest czasem n

m om entem rzęd u r w ektora losowego X i oznaczana jako E[Xr] (por. Bilodeau i Brenner (1999), s. 18). W tym opracow aniu, za Tatarem (2000, 2002), w yrażenie to określać będziem y term inem m om en tu absolutnego rzęd u r w ektora loso­ wego X .

Załóżmy, że X : Q ^ Rn jest w ektorem losowym, dla którego istnieje m om ent ab­ solutny rzęd u r.

D efinicja 1.2. (Tatar (1996, 1999)) Moment zwykły rzędu r wektora losowego X : Q ^ Rn to w yrażenie określone jako

( x ) = E [ X r ]. (1.1)

Zauważm y, że m om ent zw ykły w ektora losowego rzęd u 1 to w ektor wartości oczekiwanych, tj.

« 1 n (X )= m = E X .

Tatar (1996, 1999) zaproponow ał także wielow ym iarow e uogólnienie m om entów centralnych zm iennej losowej.

D efinicja 1.3. (Tatar (1996, 1999)) Momentem centralnym rzędu r wektora losowego X : Q ^ Rn nazyw am y wielkość w yrażoną jako

^ ( X ) = E[{X - E X ) ]. (1.2)

M om ent centralny rz ę d u drugiego definiuje wariancję wektora losowego X : Q ^ R n (por. Tatar (1996, 1999)). Dla tej wielkości zarezerw ujem y oznaczenie D 2X. Zauważm y, że wariancja w ektora losowego X = (X1, ...,X n) : Q ^ Rn przyj­ m uje postać:

D 2 X = £ d 2 X ,. ;=i

Sum a wariancji brzegow ych w ektora losowego w literaturze p rzedm iotu okre­ ślana jest także jako w ariancja całkowita w ektora losowego (por. Bilodeu i Bren­ n er (1999), s. 162).

Zauważm y, że zgodnie z koncepcją potęgi w ektora, jeżeli r jest liczbą parzy­ stą to ccr,n, ,n e R , czyli są skalarami. Natom iast, jeśli r jest liczbą nieparzystą to

W celu zastosow ania tych wielkości do analizy danych w ielow ym iarow ych niezbędne jest skonstruow anie ich odpow iednich estymatorów. W kolejnym roz­ dziale przedstaw iona zostanie propozycja zgodnych i nieobciążonych estym ato­ rów m om entów zwykłych w ektora losowego w raz z om ów ieniem ich pod staw o ­ w ych własności.

2. ESTYMATORY M O M E N T Ó W ZWYKŁYCH W EKTORA L O SO W E G O — DEFINICJA I PO DSTA W OW E W ŁASNOŚCI

Załóżmy, że X 1 : Q ^ Rn, ..., X k : Q ^ Rn jest próbą prostą z rozkładu n-wym iaro- wego, o skończonym m om encie absolutnym rzęd u r, natom iast k to liczebność próby.

Definicja 2.1. Estymator momentu zwykłego rzędu r wektora losowego (moment zwykły rzędu r w próbie wielowymiarowej) to

Zgodnie z definicją potęgi w ektora, jeżeli r jest liczbą parzystą to arn jest zm ienną losow ą jednow ym iarow ą. W p rzy p ad ku gdy r jest liczbą nieparzystą jako ar,n uzyskujem y w ektor losowy, czyli zm ienną losow ą wielowymiarową.

Analizę własności tak skonstruow anych estym atorów poprzedzim y tw ierdze­ niem , które okaże się użyteczne w przeprow adzeniu niezbędnych dowodów. Tw ierdzenie 2.1. (por. np. Bilodeau i B renner 1999, str. 27) Załóżmy, że

X 1: R n ,..., X k : O. ^ R"k to w ektory losowe. W ówczas dla wszystkich fu n k ­ cji borelowskich g 1: R"1 ^ R ,..., g k : R"k ^ R dla których e |g t (x ‘ ] < , gdzie i e {l, . , k} zachodzi następująca rów now ażność

O pierając się na rozum ow aniu p rzeprow adzonym dla estym atorów m om en­ tów zw ykłych zm iennych losow ych jednow ym iarow ych (por. Cram er (1958), s. 333) w dalszej części tego rozdziału przedstaw im y w ybrane własności m om en­ tów zwykłych w próbie wielowymiarowej.

N a początek w yznaczym y podstaw ow e charakterystyki dla ich rozkładów takie jak w ektor wartości oczekiwanych, wariancję, czy też wariancję całkowitą.

a

k k

X 1, . . . , X k są niezależne ^ E ^ g t(jCl) E [gt(jCl)] i=1

Tw ierdzenie 2.2. N iech zatem X1 : Q ^ Rn, X k : Q ^ R n będzie próbą prostą z rozkładu wielow ym iarow ego, o skończonym m om encie absolutnym rzęd u 2r. Wektor wartości oczekiwanych oraz wariancja całkowita (czyli m om ent centralny rzęd u drugiego) m om entu zwykłego rzęd u r w próbie wielowymiarowej przyj­ m ują odpow iednio postaci:

(2.2)

(2.3) Dowód: Biorąc p o d uw agę własność liniowości całki oraz fakt, że X1, ...,X k to próba prosta, w niem alże oczywisty sposób, uzyskujem y postać (2.2).

Dla dow odu równości (2.3) rozw ażym y dw a przypadki, w których uw zględ­ nim y podział m om entów zwykłych w ektora losowego na m om enty parzystego oraz nieparzystego rzędu.

1. Załóżmy, że r to liczba parzysta.

Wówczas dla każdego i e {l, ...,k} (X ' J jest zm ienną losow ą (jednowym iarową). Ponadto, na podstaw ie tw ierdzenia 2.1, zm ienne losowe ( x 1J ,..., { x k J są nieza­ leżne. Podstaw ow e własności wariancji zm iennej losowej (por. np. Jakubowski i Sztencel (2004), s. 84, 86) im plikują w zór

w ażną własność estym atorów m om entów zwykłych w ektora losowego, m iano­ wicie własność zgodności.

W niosek 2.2. M om ent zw ykły rzęd u r w próbie wielowymiarowej jest esty­ m atorem zgodnym m om entu zwykłego rzęd u r dla rozkładu wielowym iarowego o skończonym m om encie absolutnym rzęd u 2r, tzn. dla każdego e > 0 spełniony jest w arunek:

Dowód: Istotnie, zauważmy, że przy ustalonym e > 0 dzięki wielowymiarowej nie­ równości Czebyszewa — por. Osiewalski i Tatar (1999) — otrzymujemy

Do tezy prow adzi zatem tw ierdzenie o trzech ciągach.

Zauważm y, że własność zgodności estym atorów arn m oże być także ro zp atry ­ w ana jako w niosek z Pierwszego Uogólnionego Słabego Prawa Wielkich Liczb Czeby­ szewa; por. Tatar, (2003). Przedstaw ione w tym opracow aniu uzasadnienie w n io ­ sku 2.2 oparte jest na dow odzie PUPWLC z pracy Tatara (2003).

W kolejnym tw ierdzeniu uogólnim y w zór (2.3).

Tw ierdzenie 2.3. Załóżmy, że rozkład w populacji wielow ym iarow ej m a skoń­ czony m om ent absolutny rzęd u r + n. Wówczas

(2.4) £

N ierów ność (2.4), dzięki form ule (2.3), m ożna przedstaw ić jako

E\(a —a )° (a _{L\ r ,n r ,n / \ v,n} —a )1 = —_{v,n /J}

k (2.5)

gdzie "o " to operator następującej postaci

V o W = <

vw gdy v, w - l. rzeczywiste v ■ w gdy v - 1. rzeczywista, w - wektor w ■ v gdy w - 1. rzeczywista, v - wektor

Istotnie, E[a X e\x ' )2- * (x j )2 1 j ____________ li 7_2 Ź e|x ' r - - 1 ] + £ e|x ' f - X ) J=l j

Ponow nie z uw agi na fakt, że X 1, . , X k to próba losowa prosta oraz tw ierdzenie 2.1. zastosow ane kolejno do wszystkich w spółrzędnych w ektora (X J J uzysku-jem y k^2s+2t+1,n ^ ± E |X ' )2' ]• e [ ( x j J E[a J = l J k«2s+2t,n + k (k - 1 ) « 22s, n „„ -a.2t+1, n ^2s+2t,n k 2 a 2 ■(k -1),'^2s,n ' a 2t+1,n

co prow adzi do postaci (2.5) dla rozw ażanych momentów.

Jako ostatni rozpatrzym y p rzy p ad ek m om entów zw ykłych w próbie wielow y­ miarowej nieparzystych rzędów. I tutaj także rozum ow anie będzie analogiczne do przedstaw ionych powyżej. Zauważm y, że

E[(a _{.)° (a ,)] = E[} j ) ] ( ^ 2 s + 1 , n , a 2 t + 1 , n ) •

Ponadto,

E ' a 2s+1,n , a2t+1,n a (2s+1)+(2t+1),n + (k 1X^2s+1,n , a 2t+1,n) co kończy dowód twierdzenia.

Dzięki form ule (2.5) uzyskujem y postać kowariancji, w sensie klasycznej definicji (por. Jakubowski i Sztencel (2004), s. 86), m iędzy estym atoram i m om entów cen­ tralnych parzystych rzędów , tj. ^11 (a 2s,n , a 2t,n ) = C°v(a 2s,n , a 2t,n ) = ‘ (2.8) 2 k 2 k k k 2 s+2t,n 2 s,n 2t ,n k

oraz m acierze kowariancji m iędzy m om entam i zw ykłym i parzystego rzęd u i w spółrzędnym i m om entów zwykłych nieparzystego rzęd u w próbie wielow y­ miarowej, tj.

„ / \ ^(2s+\)+2t,n ~ a 2t,n ' a 2s+1,n

Cov\a2l+ln > a 2t,n) = — — ■ k--- (2.9) oraz

(Cov(a

_J

3. ASYM PTOTYCZNE TEM PO W ZR O STU M O M E N T Ó W

CENTRALN YCH PARZYSTEGO RZĘD U ESTYM ATORÓW M O M E N T Ó W ZWYKŁYCH W EKTORA LO SO W E G O

Punktem wyjścia do rozw ażań prow adzonych w tym rozdziale będzie n astęp u ­ jąca własność

D 2 ar,n = E[(ar,n - «r,n )2 ] = ° ( k_1), (3.1) co oznacza, że wariancja całkowita, czyli m om ent centralny rzęd u drugiego esty­ m atora m om entu zwykłego rzęd u r jest co najwyżej rzęd u k _1.

Obecnie zajm iem y się w yznaczeniem asym ptotycznego tem pa w zrostu m o­ m entów centralnych, opartych na definicji potęgi w ektora, dow olnych parzy­ stych rzędów dla m om entów zw ykłych w próbie w ielow ym iarow ej, a zatem uogólnieniem własności (3.1). Sform ułowanie odpow iedniej, ogólnej zależności poprzedzim y pom ocniczym lem atem 3.1, w którym przedstaw iona zostanie nie­ rów ność mająca istotne znaczenie w przep ro w ad zen iu niezbędnych dow odów formalnych.

Lem at 3.1. (por. Bilodeau, Brenner (1999), s. 19) Jeżeli X 1 : Q ^ R , X n : Q ^ R są zm iennym i losowymi należącymi do przestrzeni LP(Q) to

E < _(3.2)

gdzie Pi ^ 0 dla wszystkich i e {1, . , n} oraz p1 + ... + pn = p.

Dowód: N ierów ność ta w ynika w prost z klasycznej nierówności H oldera (por. np. Bilodeau, Brenner (1999), s. 19).

p

Przejdźm y zatem do sform ułow ania zapow iadanej zależności.

Tw ierdzenie 3.1. N iech X1 : Q ^ Rn, ..., X k : Q ^ Rn będzie w ielow ym iarow ą próbą prostą z rozkładu o skończonym m om encie absolutnym rzęd u 2sr. Wów­ czas m om ent centralny rzędu 2s m om entu zwykłego rzęd u r w próbie wielowy­ miarowej jest co najwyżej rzęd u k -s, czyli

E [ k n - a r,n) " ] = o ( k - s), (3.3) tzn. że istnieją takie stałe k0 > 0 oraz C > 0, że dla każdego k > zachodzi nie­ równość:

E [ k n ~ a r,n )2s ] < C ■ k s .

Dowód: N a początek rozw ażm y przypadek, gdy r jest liczbą parzystą. Wobec tego a rn to zm ienna losowa jednow ym iarow a, natom iast jako a rn uzyskujem y liczbę rzeczywistą. Zgodnie z definicją m om entu zwykłego w próbie, po zastosow aniu prostych przekształceń, otrzym ujem y :

E\(a _{L\ r , n} - a )_{r , n / J}2 s

1 =

[ I

Ź ( X ')

Uogólniony w zór N ew tona prow adzi więc do postaci:

E\(ar „ - a

₎

Z

(2s )

n ( ( X

)

Z uw agi na fakt, że X1 : Q ^ Rn, ..., X k : Q ^ Rn to próba losowa prosta p raw ­ dziw a jest równość:

z h . n ) " ] = ^ ■ t k su...,sk =0

s1 +...+sk =2s

gdzie X : Q ^ Rn to w ektor losowy o rozkładzie identycznym z rozkładem w ek­ torów losowych X1 : Q ^ R n, X k : Q ^ Rn.

^ E l X ~ a r,n f (3.5) *k- i=1

Z auw ażm y że, dla każdego k > s, spośród w szystkich w ielow skaźników

liczbę niezerow ych w spółrzędnych, przy założeniu, że nie zerują się odpow ia­ dające tym wielow skaźnikom składniki sum y (3.5), posiadają te, dla których na s-pozycjach w ystępuje liczba 2, natom iast pozostałe w spółrzędne są rów ne 0. O znaczm y zbiór takich w ielow skaźników p rzez O. Ustalając ilość elem en­ tów tego zbioru w ybieram y zatem s-w skaźników ze zbioru k elem entow ego. Obliczając ilość elem entów dow olnego, różnego od O, pod zb io ru w ielow ­ skaźników dokonujem y w yboru z m niejszego zbioru tzn. zbioru k-l elem ento­ wego, gdzie l e {l, ...,k - l}. Wobec tego w powyższej sumie (3.5) otrzym ujem y

co należało udow odnić.

Załóżm y teraz, że r jest liczbą nieparzystą. Wobec tego arn to w ektor losowy n-wymiarowy, natom iast a rn e Rn. Równość (3.4) przyjm uje w tym p rzypadku p o ­ stać

k

(s1 ...,Sk) spełniających w a ru n e k ^ s t — 2 s , gdzie s, e {0, . ..,2s}, najw iększą

składników m ożem y ją przedstaw ić jako

('si.--.sk)

Dzięki tem u dla k > s uzyskujem y oszacowanie

gdzie A e R. O statecznie więc

Po zastosow aniu uogólnienia w zoru N ew tona uzyskujem y

E k n T ]= T 12t ± T r K - , E P1,-P„ = 0 P1!'••• ' Pn !

P\ +•••+ Pn =s

n [ f i l ( x i) ! - < « , x

Zauważm y, że nierów ność (3.2) prow adzi do oszacowania

• (3.6) E j=1 i=1 2\ p— M f k

[ I

E [ ( X

) i - ( «

)

Rozum ow anie analogiczne do przedstaw ionego w przy p ad k u gdy r to liczba p a­ rzysta, implikuje postać

E

_{f i ( H i - k n )}

- {s

)

Z T T ^ I1 E |(X ' )j - k , n X >

dla w szystkich k > s oraz j e {l, ..., n}, gdzie, p o dobnie jak p o p rzed n io , X : Q ^ Rn to w ektor losowy o rozkładzie identycznym z rozkładem w ektorów losowych X1, . , X k.

Dzięki tem u, dla każdego k > s oraz j e {l, . , n}, praw dziw a jest nierów ność

E L [ ( X ) ' i ~ ( « , n X ]) ' * t - . M ( 4 y - ) j ~ ( a rn ) j f J + k s . ^

= k s •

_{I s H ( u * <x ) U - a—}

P

i=1

Wracając do nierówności (3.7) uzyskujem y E

_{n ( f i [ H 1 - < o}

O statecznie więc, że dla wszystkich k > s, otrzym ujem y oszacowanie

e\ « „ T ] * ^ t ■ k ' ] [ " l f f f Im, , H t2 + 4 =0 /V '•••' Pn ! J=1 V 2 s! Pl ’ • •• p, Pl +•••+ Pn =s = k -s •

_i

_{i i ( x ) )}

_{f + 4}

p

p

Zauważm y, że uzyskane rzędy przybliżeń m om entów centralnych parzystych rzędów dla estym atorów m om entów zwykłych są takie same jak w p rzypadku jednow ym iarow ym (por. Cram er (1958), s. 333).

UWAGI K O Ń C O W E

W artykule przedstaw ione zostały zgodne i nieobciążone estym atory m om entów zwykłych w ektora losowego opartych na definicji potęgi wektora. W yznaczono podstaw ow e charakterystyki rozkładów tych estymatorów, takie jak w ektor w ar­ tości oczekiwanych, wariancja lub wariancja całkowita. Obliczono także postaci kowariancji lub macierzy kowariancji m iedzy odpow iednim i m om entam i w p ró ­ bie wielowymiarowej. Ponadto ustalone zostało asym ptotyczne tem po w zrostu ich m om entów centralnych parzystych rzędów.

Prezentow ane wyniki stanow ią część pracy doktorskiej Autorki — Budny (2014a). W rozpraw ie tej p o n ad to uzupełniono zestaw charakterystyk opartych na definicji potęgi w ektora o kolejne, tj. kurtozę — por. Budny (2009), Budny i Tatar (2009), B udny (2012a, 2012b) oraz w spółczynnik ekscesu — por. Budny (2014d), a także zap rop o no w an o m iernik zależności liniowej m iędzy w ek to ­ ram i losowymi o dow olnych w ym iarach, nazw any w spółczynnikiem korelacji wielowym iarowej. W rozpraw ie doktorskiej zw rócono rów nież uw agę na p ro ­

blem w ielow ym iarow ego uogólnienia nierów ności Czebyszewa; por. Budny (2014b, 2014c). Ponadto, aby um ożliwić zastosow anie charakterystyk opartych na potędze w ektora (także w spółczynnika korelacji wielowymiarowej) w anali­ zie danych wielow ym iarow ych, skonstruow ano co najm niej zgodne estym atory now ych charakterystyk w ektorów losowych i now ego m iernika ich liniowej za­ leżności. W skazano także dw a przykłady zastosowań. Pierw szy z nich dotyczy zagadnień z zakresu finansów przedsiębiorstw, gdzie badaniu p o d d an o dwie ka­ tegorie finansowe, tj. zadłużenie i rentowność. W drugim rozw ażano zachow anie konsum entów w zakresie w yboru form płatności.

BIBLIOGRAFIA

Billingsley P (2009), Prawdopodobieństwo i miara, Wyd. 2, PW N , W arszawa.

Bilodeau M., B renner D. (1999), Theory o f M ultivariate Statistics, Springer-Verlag, N ew York.

B u d n y K. (2009), Kurtoza wektora losowego, Prace N au k o w e U n iw ersy tetu E konom icznego w e W rocławiu, 78, seria: Ekonom etria, 26, 44-54.

B ud n y K., Tatar J. (2009), Kurtosis of a random vector — special types of distributions, Statistics in Transi- to n — n e w series, 10(3), 445-456.

B ud n y K. (2012a), Kurtoza wektora losowego o wielowymiarowym rozkładzie norm alnym , w: Zastosowanie metod ilościowych w finansach i ubezpieczeniach (red. S. Forlicz), CeDeW u, W arszaw a, 41-54. B ud n y K. (2012b), Wybrane własności kurto zy wektora losowego, Z eszyty N au k o w e U n iw ersytetu Eko­

nom icznego w K rakowie, seria: M etody analizy d a n y c h (w druku).

B ud n y K. (2014a), N owe charakterystyki rozkładu i zależności wektora losowego — konstrukcja, estymacja, zastosowania, niepub lik o w an a ro zp raw a d oktorska, U niw ersy tet E konom iczny w Krakowie. B ud n y K. (2014b), A generalization of Chebyshev's inequality for Hilbert-space-valued random elements,

Statistics & Probability Letters, 88, 62-65.

B ud n y K. (2014c), A n extension of the multivariate Chebyshev's inequality to a random vector with a sin ­ gular covariance matrix, C om m unications in Statistics — T heory a n d M ethods (w druku). B ud n y K. (2014d), W spółczynnik ekscesu wektora losowego, Studia E konom iczne, Z eszyty N aukow e

U n iw ersy tetu Ekonom icznego w K atow icach (w druku).

C ram er H. (1958), M etody matematyczne w statystyce, Wyd. 1, PW N , W arszawa.

G en to n M.G., H e L., Liu X. (2001), M om ents of skew — normal random vectors and their quadratic form s, Statistics & Probability Letters, 51, 319-325.

H olm quist B. (1988), M om ents and cumulants of the multivariate normal distribution, Stochastic A naly­ sis a n d A pplications, 6, 273-278.

Jakubow ski J., Sztencel R. (2004), Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, w yd. 3, Script, W arszawa. Jo h n so n N.J., Kotz S., Kemp A.W (1992), Univariate discrete distributions: Volume 1: Models and appli­

cations, 2nd ed. Jo h n W iley & Sons, Inc.

Kim H., Mallick B.K. (2003), M om ents of random vectors w ith skew t distribution and their quadratic form s, Statistics & Probability Letters, 63, 417-423.

O siew alski J., Tatar J. (1999), M ultivariate Chebyshev inequality based on a new definition of mom ents of a random vector, Przegląd Statystyczny, 46 (2), 257-260.

Shao J. (2003), Mathematical statistics, 2nd ed. Springer.

Tatar J. (1996), O niektórych miarach rozproszenia rozkładów prawdopodobieństwa, Przegląd Statystyc­ zny, 43 (3-4), 267-274.

Tatar J. (2000), M o m en ty absolutne wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa, Komisja Statysty- czno-D em ograficzna PAN, O/Kraków, 17 Listopada 2000 r.

Tatar J. (2002), N ierów ność Lapunowa dla wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa, Z eszyty N au k o w e U niw ersy tetu E konom icznego w K rakowie, 549, 5-10.

Tatar J. (2003), Prawa wielkich liczb dla wielowymiarowych wektorów losowych. Zastosowania statystyki i matematyki w ekonomii, Prace N au k o w e AE w e W rocławiu, 1006, 254-260.