Metoda ustalania liczby powtórzeń eksperymentu symulacyjnego o skończonym horyzoncie czasowym

Pełen tekst

(1)METODA USTALANIA LICZBY POWTÓRZE EKSPERYMENTU SYMULACYJNEGO O SKOCZONYM HORYZONCIE CZASOWYM KRZYSZTOF JURCZYK, WOJCIECH WOħNIAK Streszczenie Symulacja komputerowa stanowi doskonałe narzdzie słuce analizie złoonych procesów czy systemów logistycznych. Znajduje zastosowanie w sytuacjach, gdy zawodz dostpne metody analityczne jednoczenie dostarczajc jak najwikszej liczby informacji o analizowanym procesie. Ze wzgldu na analiz wyników uzyskanych z eksperymentów symulacyjnych rozrónia si dwie kategorie symulacji – symulacj o skoczonym horyzoncie czasowym oraz symulacj o nieskoczonym czasie trwania. W niniejszej pracy zwrócono uwag na problem ustalania liczby powtórze eksperymentu symulacyjnego w skoczonym horyzoncie czasowym. Stosujc metody bezwzgldnej oraz wzgldnej precyzji ustalono liczb powtórze przykładowego eksperymentu. Ponadto zaproponowano autorski sposób ustalania liczby powtórze polegajcy na odrzucaniu kolejnych obserwacji majcych znikomy wpływ na urednione wyniki kocowe. Słowa kluczowe: analiza danych wyjciowych, harmonogramowanie, symulacja Wprowadzenie Wród najczciej stosowanych w praktyce narzdzi wspomagajcych procesy podejmowania decyzji zwizanych z identyfikacj, analiz oraz optymalizacj i planowaniem systemów logistycznych metody bazujce na modelowaniu symulacyjnym bez wtpienia stanowi najwikszy udział. Symulacja komputerowa ma zastosowanie w sytuacjach, gdy dokładne zbadanie wybranego procesu czy systemu przy wykorzystaniu metod matematycznych czy narzdzi analitycznych z obszaru bada operacyjnych jest zbyt uciliwe i skomplikowane [4]. Celem symulacji jest dostarczenie jak najwikszej liczby informacji o analizowanym procesie oraz umoliwienie dokonania analizy wraliwoci tego procesu na zmiany parametrów nim sterujcych. Łatwo wysnu wniosek, e narzdzie jakim jest symulacja komputerowa wymagało bdzie od modelujcego wprowadzenia preceyzyjnych danych wejciowych. Problem ten szeroko opisano w dostpnej literaturze przedmiotu. Doskonał taksonomi modeli danych wejciowych przedstawił L.M. Leemis w [7] oraz w [8]. Inne aspekty zwizane z przygotowaniem danych do modeli symulacyjnych, tzn. aspekty zwizane z odpowiednim doborem, poprawnoci, spójnoci czy kompletnoci danych wejciowych do modeli symulacyjnych poruszaj w swoich pracach chociaby N. Robertson i T. Perera w [nr], S. Robinson w [11], A. Skoogh i in. w [12] i [13], czy P. Hanczar i in. w [3]. W pracy M. Karkuli i in. zwrócono z kolei uwag na uwzgldnienie czynników niedeterministycznych w modelach symulacyjnych procesów logistycznych [5]. W niniejszym artykule uwag skupiono jednak na kompleksowej analizie wyników uzyskanych z eksperymentów symulacyjnych dla symulacji o skoczonym horyzoncie czasowym.. 78.

(2) Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 78, 2016. 1. Sposoby ustalania liczby powtórze eksperymentów symulacyjnych Analiza danych wyjciowych podobnie jak analiza danych wejciowych do modeli symulacyjnych musi by przeprowadzona przy wykorzystaniu odpowiednich technik walidacyjnych i statystycznych, tak aby w oparciu o uzyskane rezultaty mona było podejmowa odpowiednie decyzje. Na problem ten zwracaj uwag w swoich pracach m. in. C. Alexopoulas i A. Seila w [1], N. Nakayama w [9], A. Law w [6], czy M. Karkula w [4]. Ostatni z wymienionych autorów, podobnie jak Ch.A. Chung w [2] zwracaja uwag ustalenie liczby powtórze eksperymentu symulacyjnego. Poniej zaprezentowano procedur ustalania liczby powtórze eksperymentów symulacyjnych przedstawion w [4]. Eksperyment symulacyjny powinien zosta powtórzony okrelon liczb razy. Liczba powtórze powinna zosta ustalona w taki sposób, aby zapewni wymagany przez modelujcego poziom wiarygodnoci modelu. Wstpne ustalenie liczby powtórze eksperymentu symulacyjnego oraz analiza uzyskanych w ten sposób wyników pozwala stwierdzi, czy konieczne jest zwikszenie liczby iteracji czy te nie. Zbyt mała wyjciowa liczba powtórze zwiksza ryzyko uzyskania niewystarczajcych informacji, z kolei zbyt dua liczba niepotrzebnych powtórze eksperymentu wydłua czas potrzebny na zakoczenie przedsiwzicia i podnosi jego koszty. Pierwszym etapem ustalenia liczby powtórze eksperymentu symulacyjnego jest obliczenie wartoci redniej oraz odchylenia standardowego wyników uzyskanych z n niezalenych powtórze eksperymentu (n oznacza ustalon wyjciow liczb powtórze). Załómy, e wykonano n niezalenych powtórze eksperymentu symulacyjnego o skoczonym horyzoncie czasowym i uzyskano n niezalenych rozwiza X i , gdzie i oznacza indeks danego powtórzenia. Nastpnie wg wzorów opisanych równaniami 1 oraz 2 obliczono warto redni oraz odchylenie standardowe tych wyników: n. ¦X X ( n) =. i. (1). i =1. n n. ¦ [X S ( n) =. i. − X ( n). ]. 2. i =1. (2) n −1 Obliczonewartoci redniej oraz odchylenia standardowego słu ustaleniu przedziału ufnoci dla wartoci oczekiwanej. Wykorzystuje si statystyk t odczytywan z tablic rozkładu t-Studenta z n-1 stopniami swobody przy załoonym poziomie istotnoci . Prawdopodobiestwo tego, e uzyskany wynik mieci si w zadanym przedziale wynosi 100(1 – ) %: ° S 2 (n) ½° S 2 (n) < X k < X (n) + t1−α / 2 ,n−1 ⋅ P ® X (n) − t1−α / 2,n−1 ⋅ (3) ¾ = 1−α n °¿ n °¯ Warto błdu standardowego SE jakom obarczone s wyniki eksperymentu wysnacza si nastpnie według równania 4.. SE = t1−α / 2,n−1 ⋅ 79. S 2 (n) n. (4).

(3) Krzysztof Jurczyk, Wojciech Woniak Metoda ustalania liczby powtórze eksperymentu symulacyjnego o skoczonym horyzoncie czasowym. Istniej dwa podstawowe sposoby ustalenia liczby powtórze eksperymentu symulacyjnego: metoda bezwzgldnej precyzji oraz metoda wzgldnej precyzji. W przypadku metody bezwzgldnej precyzji [9] naley ustali akceptowalny poziom błdu SE. Liczba iteracji potrzebna do osignicia zakładanego poziomu precyzji jest obliczana wg wzoru opisanego równaniem: 2. 2 · § ¨ t1−α / 2 ,n −1 ⋅ S ( n) ¸ ¨ n ¸ (5) i = n⋅¨ ¸ AP ¸ ¨ ¸ ¨ ¹ © gdzie AP oznacza przyjty poziom precyzji. Alternatywn metod jest metoda wzgldnej precyzji. Polega na ustaleniu, nie jak w przypadku metody bezwzgldnej precyzji akceptowalnego poziomu błdu SE, ale na przyjciu dopuszczalnej wartoci błdu procentowego PE:. S 2 (n) n. t1−α / 2 ,n −1 ⋅ PE =. (6). X Liczb iteracji oblicza si nastpnie wg wzoru: 2 § · ¨ t1−α / 2 ,n−1 ⋅ S ( n) ¸ ¨ n ¸ ¨ ¸ X i = n⋅¨ ¸ RP ¸ ¨ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ gdzie RP oznacza przyjty wzgldny poziom precyzji.. 2. (7). 2. Przykłady eksperymetów symulacyjnych i ich analiza Rozwamy sytuacj, w której jeden podajnik obsługuje dwa stanowiska montaowe dedykowane dla dwóch rónych komponentów, które oznaczymy jako A oraz B. Czasy midzy przybyciami oraz czasy montau kadego z komponentów s liczbami losowymi o rozkładzie jednostajnym i parametrach: dla komponentu A odpowiednio 210 i 390 sekund oraz 120 i 360 sekund oraz dla komponentu B odpowiednio 126 i 234 sekund oraz 138 i 318 sekund. Czasy transportu komponentów przez podajnik z wejcia systemu na stanowisko montaowe oraz ze stanowiska montaowego do wyjcia podlegaj równie rozkładowi jednostajnemu, którego parametry wynosz odpowiednio 120 i 156 sekund oraz 84 i 96 sekund. Przeanalizowane zostan dwa warianty – w pierwszym mamy do czynienia z sytuacj, w której komponenty pojawiajce si na wejciu systemu układaj si w jeden strumie wejciowy, natomiast w wariancie drugim utworzono osobne strumienie wejciowe dla kadego z komponentów A oraz B. Omawiane warianty obrazuje rysunek 1.. 80.

(4) Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 78, 2016. Rysunek 1. Warianty analizowanego eksperymentu symulacyjnego ródło: opracowanie własne. Badania rozpoczto od wykonania pojedynczego eksperymetu symulacyjnego dla obu przedstawionych wariantów dla przykładowej liczby 20 komponentów wejciowych (10 typu A oraz 10 typu B). Jako zmienne wyjciowe zdefiniowano sumaryczny nastpujce charakterystyki: redni czas oczekiwania komponentu na podajnik Tocz , redni czas przebywania komponentu w systemie. Tprz , całkowit długo harmonogramu produkcyjnego Tsum oraz sumaryczny czas bezczynnoci podajnika Tbcz . Zestawienie wyników zamieszczono w tabeli 1, natomiast na rysunku 2 zaprezentowano harmonogramy obsługi kolejnych komponentów. Tabela 1. Wyniki pierwszego eksperymentu symulacyjnego Zmienna wyjciowa Wariant I Wariant II. Tocz 1543 s. 1478 s.. Tprz 1985 s. 1921 s.. ródło: opracowanie własne.. 81. Tsum 6206 s. 5392 s.. Tbcz 1706 s. 892 s..

(5) Krzysztof Jurczyk, Wojciech Woniak Metoda ustalania liczby powtórze eksperymentu symulacyjnego o skoczonym horyzoncie czasowym. +DUPRQRJUDPZDULDQW,. +DUPRQRJUDP:DULDQW,,. . . . . . . . . . . . . . . . .

(6)

(7) !".

(8) # .

(9) !$

(10) $!"

(11) !

(12) ! ".

(13) ! ".

(14) # .

(15) !$

(16) $!"

(17) !

(18) ! " %#. . .

(19)

(20) !".

(21) # .

(22) !$

(23) $!"

(24) !

(25) ! ".

(26) ! ".

(27) # .

(28) !$

(29) $!"

(30) !

(31) ! " %#. . . . . . . . . . . .

(32) . . . . . . .

(33) . Rysunek 2. Harmonogramy produkcyjne sporzdzone na podstawie wyników pierwszego eksperymentu symulacyjnego ródło: opracowanie własne. Łatwo zauway, e zastosowanie osobnych strumieni wejciowych dla komponentów A i B wpływa na otrzymane rezultaty, w szczególnoci na długo harmonogramu oraz sumaryczny czas bezczynnoci podajnika. Naley si jednak zastanowi, czy uzyskane wyniki s poprawne. Powtarzajc eksperyment symulacyjny kolejne 8 razy uzyskujemy zupełnie inne i znaczco od siebie odbiegajce rozwizania, które zestawiono w tabeli 2. Tabela 2. Wyniki pierwszego eksperymentu symulacyjnego Zmienna wynikowa Wariant. I. II. Kolejne powtórzenie 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8. Tprz. Tocz 1543 s. 1361 s. 1678 s. 1394 s. 1669 s. 1317 s. 1555 s. 1802 s. 1478 s. 1216 s. 1423 s. 1250 s. 1404 s. 1252 s. 1295 s. 1313 s.. 1985 s. 1797 s. 2160 s. 1856 s. 2139 s. 1785 s. 2012 s. 2253 s. 1921 s. 1654 s. 1906 s. 1714 s. 1876 s. 1719 s. 1758 s. 1765 s.. ródło: opracowanie własne. 82. Tsum 6206 s. 6442 s. 6842 s. 6387 s. 6923 s. 6680 s. 6396 s. 6845 s. 5392 s. 5330 s. 5798 s. 5514 s. 5683 s. 5691 s. 5585 s. 5520 s.. Tbcz 1706 s. 1948 s. 2276 s. 1821 s. 2285 s. 2078 s. 1968 s. 2333 s. 892 s. 788 s. 1196 s. 912 s. 1003 s. 1125 s. 1031 s. 972 s..

(34) Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 78, 2016. Symulowane harmonogramy produkcyjne te bd si midzy sob róni w zalenoci od kolejnego powtórzenia eksperymentu. Pojawia si zatem pytanie, który z otrzymanych wyników jest prawidłowy. Eksperyment symulacyjny powinien zosta powtórzony okrelon liczb razy co zaznaczono na wstpie niniejszej pracy. W analizowanym przypadku wstpna liczba powtórze eksperymentu symulacyjnego została ustalona jako 100. Rozkłady uzyskanych w ten sposób rozwiza zamieszczono na rysunku 3.. Rysunek 3. Histogramy obrazujce rozkłady wyników stu pierwszych powtórze eksperymentu symulacyjnego ródło: opracowanie własne. Kolejny etap bada polegał na obliczeniu wartoci rednich (równanie 1) oraz odchyle standardowych (równanie 2) uzyskanych wyników, a nastpnie wyznaczeniu przedziałów ufnoci dla wartoci oczekiwanych na poziomie istotnoci = 0,05 (równanie 3) oraz wartoci błdów standardowych (równanie 4) i procentowych (równanie 6) jakimi s obarczone wyniki eksperymentów, co zobrazowano tabelami 3 i 4. Tabela 3. Wybrane miary statystyczne wyników uzyskanych z przeprowadzonych eksperymentów symulacyjnych – wariant I Zmienna wynikowa Metryka rednia Odchylenie standardowe Dolna granica przedziału ufnoci Górna granica przedziału ufnoci Warto błdu standardowego SE Warto błdu procentowego PE. Tprz. Tocz 1503 s. 124 s. 1483 s. 1523 s. 20 s. 1,33 %. ródło: opracowanie własne. 83. 1964 s. 130 s. 1944 s. 1984 s. 20 s. 1,02 %. Tsum 6655 s. 312 s. 6624 s. 6686 s. 31 s. 0,47 %. Tbcz 2094 s. 307 s. 2064 s. 2126 s. 31 s. 1,48 %.

(35) Krzysztof Jurczyk, Wojciech Woniak Metoda ustalania liczby powtórze eksperymentu symulacyjnego o skoczonym horyzoncie czasowym. Tabela 4. Wybrane miary statystyczne wyników uzyskanych z przeprowadzonych eksperymentów symulacyjnych – wariant II Zmienna wynikowa Metryka rednia Odchylenie standardowe Dolna granica przedziału ufnoci Górna granica przedziału ufnoci Warto błdu standardowego SE Warto błdu procentowego PE. Tsum. Tprz. Tocz 1283 s. 118 s. 1264 s. 1302 s. 19 s. 1,48 %. 1744 s. 129 s. 1724 s. 1764 s. 20 s. 1,15 %. 5627 s. 235 s. 5600 s. 5654 s. 27 s. 0,48 %. Tbcz 1067 s. 231 s. 1040 s. 1094 s. 27 s. 2,53 %. ródło: opracowanie własne. Nastpnie obliczono liczb powtórze eksperymentu symulacyjnego stosujc przytoczone na wstpie metody bezwzgldnej oraz wzgldnej precyzji uzyskujc wyniki jak w tabeli 5. Tabela 5. Obliczona liczba powtórze w zalenoci od analizowanych zmiennych wynikowych oraz przyjtych poziomów precyzji Zmienna wynikowa Wariant Przyjty poziom precyzji AP Liczba powtórze wg metody bezwzgldnej precyzji Przyjty poziom precyzji RP. I. Tocz. Tprz. Tsum. Tbcz. 10 s.. 10 s.. 10 s.. 10 s.. 400. 400. 961. 961. 0,01. 0,01. 0,01. 0,01. Liczba powtórze wg metody wzgldnej precyzji. 134. 102. 47. 149. Przyjty poziom precyzji AP Liczba powtórze wg metody bezwzgldnej precyzji Przyjty poziom precyzji RP. 10 s.. 10 s.. 10 s.. 10 s.. 361. 400. 729. 729. 0,01. 0,01. 0,01. 0,01. 149. 115. 48. 254. Liczba powtórze wg metody wzgldnej precyzji. II. ródło: opracowanie własne. W przypadku metody bezwzgldnej precyzji obliczona liczba powtórze wyniesie 961, natomiast w przypadku metody wzgldnej precyzji bd to 254 powtórzenia. 3. Metoda ustalenia liczby powtórze eksperymentu symulacyjnego W niniejszym podrozdziale zaprezentowano alternatywne podejcie do problemu ustalania liczby powtórze eksperymentu symulacyjnego. Proponowane podejcie polega na sukcesywnym zwikszaniu liczby iteracji, a do momentu, w którym kady kolejny wynik nie bdzie miał znaczcego wpływu na rozkład wczeniejszych wyników. Od modelujcego zaley zdefiniowanie dokładnoci oczekiwanych rezultatów – w analizowanym przypadku załoono stopie dokładnoci na poziomie równym 1%. Na rysunku 4 zaprezentowano zmiany rednich wartoci analizowanych zmiennych wynikowych w zalenoci od wykonanej liczby powtórze eksperymentu symulacyjnego. 84.

(36) Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 78, 2016. Rysunek 4. Zmiany rednich wartoci analizowanych zmiennych wynikowych w zalenoci od wykonanej liczby powtórze eksperymentu symulacyjnego ródło: opracowanie własne. Na podstawie przeprowadzonych bada ustalono, e wymagana liczba powtórze analizowanego eksperymentu symulacyjnego wynoisi 721 i jest determinowana przez zmienn Tbcz . Kade kolejne powtórzenie nie ma znaczcego wpływu na rozkład uzyskanych wyników (tabela 6). Tabela 6. Obliczona liczba powtórze w zalenoci od analizowanych zmiennych wynikowych Zmienna wynikowa Wariant. Tocz. Tprz. Tsum. Tbcz. I. 303. 303. 497. 721. II. 219. 512. 660. 662. ródło: opracowanie własne. 4. Podsumowanie Zastosowanie osobnych strumieni wejciowych dla dwóch rónych rodzajów komponentów w systemie dwóch stanowisk montaowych obsługiwanych przez jeden podajnik znaczco wpływa na skrócenie wartoci takich parametrów jak długo harmonogramu produkcyjnego, czas bezczynnoci podajnika, czas oczekiwania komponentu na podajnik oraz czas przebywania komponentu w systemie. Zbudowanie odpowiedniego modelu symulacyjnego i analiza wyników uzyskanych z przeprowadzonych eksperymentów umoliwiła dokładne porównanie obu analizowanych wariantów. redni czas oczekiwania komponentu na podajnik w systemie z jednym strumieniem wejciowym jest o 17,15 % dłuszy ni w przypadku systemu z osobnymi strumieniami wejciowymi. 85.

(37) Krzysztof Jurczyk, Wojciech Woniak Metoda ustalania liczby powtórze eksperymentu symulacyjnego o skoczonym horyzoncie czasowym. redni czas przebywania komponentu w systemie z jednym strumieniem wejciowym jest o 12,62 % dłuszy ni w przypadku systemu z osobnymi strumieniami wejciowymi. Podobnie wygldaj wyniki dotyczce redniej długoci harmonogramu i całkowitego czasu bezczynnoci podajnika. W systemie z jednym strumieniem wejciowym wartoci tych parametrów s wiksze o odpowiednio 18,27 % i 96,25 % ni w przypadku systemu z osobnymi strumieniami wejciowymi. Takie miarodajne rezultaty mogły zosta uzyskane tylko pod warunkiem powtórzenia eksperymentu symulacyjnego okrelon liczb razy na co zwrócono uwag w niniejszym artykule. Bibliografia [1] [2] [3] [4] [5]. [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12]. [13]. Alexopoulas C., Seila A., Advanced methods for simulation output analysis. Proceedings of the 1998 Winter Simulation Conference, 1998, s. 113–120. Chung Ch.A., Simulation modeling handbook: a practical approach. CRC Press, Boca Raton, 2004. Hanczar P. i in., Quantititative methods in logistics management. AGH, Kraków 2014. Karkula M., Modelowanie i symulacja procesów logistycznych. AGH, Kraków 2013. Karkula M., Jurczyk K., Bukowski L., Nondeterministic factors in simulation models of logistics processes. CLC’2012: Carpathian Logistics Congress, November 7th-9th 2012, Jasenik, Czech Republic, Congress proceedings (reviewed version), TANGER Ltd., Ostrava, Czech Republic, 2013, s. 529–535. Law A., Statistical analysis of simulation output data: the practical state of art. Proceedings of the 2010 Winter Simulation Conference, 2010, s. 65–74. Leemis L.M., Building credible input models. Proceedings of the 2004 Winter Simulation Conference, 2004, s. 29–40. Leemis L.M., Seven habits of highly successful input modelers. Proceedings of the 1997 Winter Simulation Conference, 1997, s. 39–46. Nakayama N., Statistical analysis of simulation output. Proceedings of the 2008 Winter Simulation Conference, 2008, s. 62–72. Robertson N., Perera T., Automated data collection for simulation? Simulation Practice and Theory, Vol. 9, 2002, s. 349–364. Robinson S., Simulation: The practice of Model Development and Use. John Wiley & Sons Ltd., Chicester, 2004. Skoogh A., Johansson B., A methodology for input data management in discrete event simulation projects. Proceedings of the 2008 Winter Simulation Conference, 2008, s. 1727– 1735. Skoogh A., Perera T., Johansson B., Input data management in simulation – Industrial practices and future trends. Simuation Modelling Practice and Theory, Vol. 29, 2012, s. 181– 192.. 86.

(38) Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 78, 2016. METHOD OF DETERMINATION OF NUMBER OF REPLICATIONS OF TERMINATING SIMULATION EXPERIMENTS Summary Computer simulation is an excellent tool for the analysis of complex logistics processes and systems. It can be used in situations where the available analytical methods can not be implemented. There can be listed two main categories of simulation – terminating simulation and steady state simulation. In this study the problem of determination of number of replications of simulation experiment in a finite time horizon has been highlighted. Using the methods of absolute and relative precision the number of replications of the exemplary experiment has been determined. Moreover, the original method of determination of number of replications has been introduced. Keywords: output data analysis, scheduling, simulation Praca realizowana i finansowana w ramach grantu dziekaskiego nr 15.11.200.329 Krzysztof Jurczyk Katedra Inynierii Zarzdzania Wydział Zarzdzania AGH Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Ul. Gramatyka 10, 30-067 Kraków e-mail: kjurczyk@zarz.agh.edu.pl Wojciech Woniak Katedra Inynierii Zarzdzania Wydział Zarzdzania AGH Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Ul. Gramatyka 10, 30-067 Kraków e-mail: wojciech.wozniak.293@zarz.agh.edu.pl. 87.

(39)