1.5. POTĘGOWANIE
Potęga o wykładniku naturalnym
1
42
4
43
4
n na
a
a
a
a
=
⋅
⋅
⋅
...
⋅
a
n- n – ta potęga liczby a
a
- podstawa potęgi
n
∈
N
- wykładnik potęgi
1
0=
a
;a
≠
0
a
1=
a
1
n=
1
0
n=
0
;n
≠
0
−
00
nie istniejePotęga o wykładniku parzystym jest liczbą dodatnią
Potęga o wykładniku nieparzystym i podstawie ujemnej jest liczbą ujemną.
Przykład 1.5.1. Oblicz
a)
33
1
1
b)
12
0c)
(
−
0
,
3
)
4d)
−
5000
2Rozwiązanie
Komentarz
a)
=
=
3 33
4
3
1
1
27
10
2
27
64
3
4
3
4
3
4
⋅
⋅
=
=
=
Potęgując liczbę mieszaną zamieniamy ją na ułamek niewłaściwy. Korzystamy z definicji
1
42
4
43
4
n na
a
a
a
a
=
⋅
⋅
⋅
...
⋅
b)
12
0=
1
Korzystamy z własnościa
0=
1
c)
(
−
0
,
3
)
4=
−
0
,
3
⋅
(
−
0
,
3
) (
⋅
−
0
,
3
) (
⋅
−
0
,
3
)
=
0
,
0081
Pamiętamy, Ŝe potęga o wykładniku parzystym jest liczbą dodatnią.
Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym
n na
a
=
−1
gdzie
a
≠
0
Przykład 1.5.2. Oblicz
a)
2
−4b)
22
1
2
−
−
c)
0
,
03
−1d)
(
−
2
3
)
−5Rozwiązanie
Komentarz
a)
16
1
2
1
2
4 4
=
=
− Korzystamy z definicji n na
a
=
−1
b)
=
−
=
−
−2 −22
5
2
1
2
25
4
5
2
2=
−
=
Liczbę mieszaną zamieniamy na ułamek niewłaściwy. Korzystamy z definicji n n
a
a
=
−1
c)
=
=
− −1 1100
3
03
,
0
3
1
33
3
100
3
100
1=
=
=
Ułamek dziesiętny zamieniamy na ułamek zwykły. Korzystamy z definicji n n
a
a
=
−1
Przykład 1.5.3. Podane liczby zapisz w postaci iloczynu liczb wymiernej i potęgi liczby 10.
a) 120000000
b) 0,0000056
Rozwiązanie
Komentarz
a) 120000000
=
12
⋅
10
7 ZauwaŜmy , Ŝe10
7=
10000000
b) 0,0000056
=
56
⋅
10
−7 ZauwaŜmy , Ŝe10
−7=
0
,
0000001
Przykład 1.5.4. Oblicz:
2 1 34
3
2
− −
−
Rozwiązanie
Komentarz
=
−
=
−
−3 1 −2 3 −24
2
3
4
3
2
25
14
2
25
64
5
8
8
5
8
32
8
27
1
4
8
27
2 2 2 2 8 /=
=
−
=
=
−
=
=
−
=
=
−
=
− − − ⋅Pamiętamy o kolejności wykonywania działań.
Korzystamy z definicji n n
a
a
=
−1
Potęga o wykładniku wymiernym
n m n m
a
a
=
, gdzie
n
≥
1
,
m
∈
C
Przykład 1.5.5. Oblicz
a)
,
16
1
5
4 1
b)
16
4,
5c)
4
−0,5.
Rozwiązanie
Komentarz
a)
=
=
4 1 4 116
81
16
1
5
2
1
1
2
3
16
81
4=
=
=
Liczbę mieszaną zamieniamy na ułamek niewłaściwy. Korzystamy z definicji
a
n=
na
1b)
( )
16
2
32
16
16
5 5 4 4 5 4 5=
=
=
=
=
Korzystamy z definicji n n m ma
a
=
i zwłasności
( )
n m m na
=
a
c)
2
1
4
1
4
1
4
4
2 1 2 1 5 , 0=
=
=
=
=
=
− −Ułamek dziesiętny zamieniamy na ułamek zwykły. Korzystamy z definicji n n
a
a
=
−1
Korzystamy z definicjia
n=
na
1Przykład 1.5.6. Podaną liczbę przedstaw w postaci
n m7
a) 7
b)
349
c)
5 37
1
Rozwiązanie
Komentarz
a)
2 17
7
=
Korzystamy z definicjia
n=
na
1b)
3 2 3 2 349
=
7
=
7
Korzystamy z definicji n n m ma
a
=
c)
=
=
5 3 5 37
1
7
1
5 37
−=
Korzystamy z definicji n n m ma
a
=
Korzystamy z definicji n na
a
=
−1
Prawa działań na potęgach
m n m n
a
a
a
⋅
=
+ m n m na
a
a
:
=
−( )
n m n ma
a
=
⋅( )
n n nb
a
b
a
⋅
=
⋅
( )
n n nb
a
b
a
:
=
:
Przykład 1.5.7. Wykonaj działania ,stosując prawa działań na potęgach:
( )
a
a
a
2 −3⋅
4Rozwiązanie
Komentarz
( )
( )
3 1 2 1 2 1 2 1 4 6 1 4 6 1 4 3 2 4 3 2:
− − − − − + − − − ⋅ −=
=
=
=
=
=
=
⋅
=
⋅
=
⋅
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Korzystamy ze wzoru( )
n m m na
a
=
⋅ Korzystamy ze wzorua
n⋅
a
m=
a
n+m Korzystamy ze wzorua
n:
a
m=
a
n−mPrzykład 1.5.8. Przedstaw w postaci potęgi
a)
2
8
32
Rozwiązanie
Komentarz
3 4 2 1 3 8 2 1 3 8 2 1 3 5 3 3 2 1 3 5 1 2 1 2 1 3 10 2 1 2 1 3 1 3 2 1 2 1 3 1 3 3 3 32
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8
2
=
=
=
=
=
⋅
=
=
⋅
=
=
⋅
=
=
=
⋅ + ⋅Zapisujemy 8 w postaci potęgi 2
Zmieniamy pierwiastki na potęgi .
Korzystając z praw działań na potęgach , doprowadzamy wyraŜenie do jednej potęgi.
b)
5
5
1
25
125
1
25
1 3⋅
⋅
⋅
−Rozwiązanie
Komentarz
( )
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
− − − −5
5
5
5
5
5
5
1
25
125
1
25
1 1 2 3 3 2 1 3( )
2 1 1 1 2 3 3 25
5
5
5
5
⋅
⋅
⋅
=
− − −=
=
⋅
⋅
⋅
=
− − − 2 1 1 2 3 3 25
5
5
5
5
( ) ( )
=
=
=
=
− − − − − − − + − − + − + 2 1 3 13 2 1 3 13 2 1 3 1 4 2 1 1 2 3 3 25
5
:
5
5
5
5
5
=
6 23 6 3 6 265
5
− +=
−Zapisujemy wszystkie czynniki w postaci potęgi 5.
Zmieniamy pierwiastki na potęgi .
Korzystając z praw działań na potęgach , doprowadzamy wyraŜenie do jednej potęgi.
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 1.5.1. Oblicz:
a) (1pkt.)
1
7b) (1pkt.)
(
−
0
,
2
)
5c) (1pkt.)
400
3d) (1pkt.)
( )
−
2
−4e) (1pkt.)
(
−
0
,
3
)
−3f) (1pkt.)
42
3
−
g)(1pkt.)
,
9
7
2
2 1
h) (1pkt.)
3 28
−schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba
punktów
1 Podanie wyniku.1
Ćwiczenie 1.5.2. Zapisz podane liczby bez uŜycia potęg:
a) (1pkt.)
7
,
2
⋅
10
6b) (1pkt.)
124
⋅
10
−5schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba
punktów
1 Podanie wyniku.1
Ćwiczenie 1.5.3. ( 2pkt.) Oblicz:
1 2 5 , 0 02
4
3
2
− − −
+
⋅
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba
punktów
1 Obliczenie potęg w nawiasie.
1
2 Podanie ostatecznego wyniku.
1
Ćwiczenie 1.5.4. (1pkt.) Przedstaw w postaci potęgi :
3
35
+
16
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba
punktów
1 Podanie wyniku.1
Ćwiczenie 1.5.5. (2pkt.) Wykonaj działanie ,stosując prawa działań na potęgach:
2 3 1
8
1
4
2
2
1
16
⋅
⋅
⋅
−schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba
punktów
1 Zapisanie wszystkich czynników w postaci potęgi 2.1
2 Podanie ostatecznego wyniku.
1
Ćwiczenie 1.5.6. (1pkt.) Sprowadź do najprostszej postaci wyraŜenie:
( )
2 8 2
