Estymacja punktowa - Estymacja przedziałowa
1. Wyjaśnij pojęcia: parametr, statystyka z próby, estymator i ocena (szacunek). Jakie związki zachodzą między nimi?
O d p o w i e d ź. Parametrem (populacji) nazywa się liczbową charakterystykę populacji (np. średnia populacji µ lub wariancja populacji σ2). Statystyką z próby nazywa się liczbową
charakterystykę próby (np. średnią z próby x, wariancję z próby s2). Estymatorem
parame-tru populacji jest statystyka z próby używana do oszacowania tego parameparame-tru. Oceną lub szacunkiem parametru jest konkretna wartość liczbowa estymatora z danej próby.
2. Rewident wybiera losową próbę 12 zaległych należności spośród wszystkich zaległych należności pewnej firmy. Kwoty należności są następujące (w dolarach):
87,50; 123,10; 45,30; 52,22; 213,00; 155,00; 39,00; 76,05; 49,80; 99,99; 132,00; 102,11. Oszacuj średnią kwotę zaległych należności firmy, a także wariancję tej kwoty.
O d p o w i e d ź. Średnia: x = (87, 50 + . . . + 102, 11)/12 = 97, 9225; wariancja: s2 =(87, 5 − x)2+ . . . + (102, 11 − x)2/(12 − 1) = 2686, 380093; odchylenie standardowe:
s =√s2 = 51, 83030092.
3. Podanie niżej liczby pochodzą z losowej próby dochodów osobistych robotników prze-mysłowych w stanie Nowy York (w tysiącach $ rocznie)
14,5; 13,2; 15,4; 12,8; 19,3; 13,4; 16,5; 17,2; 17,8; 11,5; 13,6; 18,8.
Podaj punktową ocenę średniej i odchylenia standardowego dochodów w populacji robotni-ków przemysłowych w tym stanie.
O d p o w i e d ź. Średnia: x = 15, 33333333; wariancja: s2 = 6, 526060606; odchylenie
standardowe: s = 2, 55461555.
4. Podane niżej liczby są losową próbą wynagrodzeń otrzymywanych przez osoby należące do kategorii "najwyżej płatnych dyrektorów firm w kraju" (w milionach $):
0,79; 1,59; 0,99; 1,12; 3,42; 5,21; 7,86; 13,23.
Podaj punktową ocenę średniego wynagrodzenia dyrektora należącego do tej kategorii. O d p o w i e d ź. Średnia: x = 4, 27625; wariancja: s2 = 19, 24988393; odchylenie standardowe: s = 4, 387468966.
5. Wykorzystaj poniższą tablicę liczb losowych do ustalenia numerów identyfikacyjnych elementów próby losowej o liczebności n = 25, pobranej z populacji o liczebności 950 ele-mentów. 10480 15011 01536 02011 81647 91646 69179 14194 22368 46573 25595 85393 30995 89198 27982 53402 24130 48360 22527 97265 76393 64809 15179 24830 42167 93093 06243 61680 07856 16376 93440 53537 37570 39975 81837 16656 06121 91782 60468 81305 77921 06907 11008 42751 27756 53498 18602 70659
O d p o w i e d ź. Wybieramy pierwszą lepszą liczbę z tablicy i zaczynamy poruszać się wzdłuż wybranego wiersza lub kolumny w dowolnym kierunku. Skoro wybrać mamy z zakresu od 1 do 950, to decydujemy arbirtalnie, że wybierać będziemy pierwsze trzy cyfry liczby z tej tablicy, która wpada do zakresu od 1 do 950, pomijając te które nie należą do tego zakresu. Ja wybrałem pierwszą liczbę z tablicy i poruszam się w prawo po kolejnych wierszach: 104, 150, 15, 20, 816, 916, 691, 141, 223, 465, 255, 853, 309, 891, 279, 534, 241, 483, 225, (972 odrzucam – nie należy do podanego zakresu), 763, 648, 151, 248, 421, 930.
6. Znajdź 5 liczb losowych między 0 a 5600.
O d p o w i e d ź. Podobnie jak w poprzednim zadaniu, wybierając liczby czterocyfrowe: 1048, 1501, 153, 201, 1419.
7. Co to są rozkłady z próby i do jakich celów ich używamy?
O d p o w i e d ź. Rozkład z próby jest rozkładem wszystkich możliwych wartości, jakie ta statystyka może przyjąć, jeżeli obliczamy je na podstawie badania losowych prób o tych samych rozmiarach, pobranych z określonej populacji. Rozkład z próby służy do szacowania (oceny) parametrów populacji.
8. Pobrano próbę o liczebności n = 5. Pod jakimi warunkami rozkład średniej z próby, X, jest normalny?
O d p o w i e d ź. Rozkład X jest normalny pod warunkiem, że rozkład w populacji jest normalny. Jeżeli pobieramy próbę losową z populacji, w której rozkład jest normalny o średniej µ i odchyleniu standardowym σ, to średnia z próby, X, ma rozkład normalny ze średnią (wartością oczekiwaną) µ i odchyleniem standardowym σ/√n.
9. W zadaniu 8 przyjmijmy, że w populacji średnią jest µ = 125, a odchyleniem standar-dowym σ = 20. Jaka jest wartość standardowego błędu statystyki X, czyli SD(X)?
O d p o w i e d ź. E(X) = µ = 125, SD(X) = σ/√n = 20/√5 ≈ 8, 94427191.
10. Jeżeli średnia w populacji jest równa 1247, wariancja 10000, a próba liczy 100 elemen-tów, to jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia z próby, X, przyjmie wartość mniejszą od 1230?
O d p o w i e d ź. Znamy parametry populacji µ = 1247, σ2 = 10000 (więc σ = 100).
Rozpatrywana tu zmienna losowa to średnia z próby, X, która ma rozkład normalny (lub przynajmniej w przybliżeniu normalny, ze względu na dużą liczebność próby n = 100 > 30) o średniej µ = 1247. Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X jest SD(X) = σ/√n = 100/√100 = 10. Wykonujemy następujące obliczenia:
P (X < 1230) = P Z < 1230 − µ σ/√n ! = P Z < 1230 − 1247 100/√100 ! = P (Z < −1, 7),
gdzie Z = (X − µ)/(σ/√n) jest zmienną losową o standardowym rozkładzie normalnym (standaryzacją zmiennej X). P (Z < −1, 7) = P (Z > 1, 7) = 1 − P (Z 6 1, 7) = 1 − F (1, 7), gdzie F jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego, więc z tablic (lub komputera) F (1, 7) = 0, 95543. Zatem P (X < 1230) = 1 − 0, 95543 = 0, 04457.
11. Jeżeli pobieramy próbę z populacji o standardowym odchyleniu σ = 55, a liczebność próby n = 150, to jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia z próby, X, odchyli się od średniej w populacji, µ, o co najmniej 8 jednostek?
O d p o w i e d ź. Podobnie jak we wcześniejszym zadaniu, przyjmujemy, że rozkład zmiennej X jest normalny ze wzgledu na dużą liczebność próby 150 > 30. Wartość ocze-kiwana E(X) = µ, odchylenie standarowe SD(X) = σ/√n = 55/√150 = 4, 490731195. Zatem P (|X − µ| > 8) = P (X − µ > 8) + P (X − µ 6 −8) = P Z > 8 σ/√n ! + P Z 6 − 8 σ/√n ! ,
gdzie standaryzacją X jest zmienna Z = (X − µ)/(σ/√n). A ponieważ Z ma symetryczną funkcję gęstości (jako standardowa zmienna normalna), to
P (|X − µ| > 8) = 2P Z > 8 σ/√n ! = 2P (Z > 1, 78). Ale P (Z > 1, 78) = 1 − P (Z < 1, 78) = 1 − P (Z 6 1, 78) = 1 − F (1, 78) = 1 − 0, 96246 = 0, 03754. Zatem P (|X − µ| > 8) = 2 · 0, 03754 = 0, 07508.
12. Przeciętny stan konta czekowego klienta pewnego banku wynosi 657 $, a odchylenie standardowe 232 $. Zamierza się pobrać próbę losową 144 kont. Jakie jest prawdopodobień-stwo, że średnia w próbie nie przekroczy 600 $?
O d p o w i e d ź. Poszukiwane prawdopodobieństwo jest równe: P X 6 600= P X − 657 232/√144 6 600 − 657 232/√144 ! = P (Z 6 −2, 95) = F (−2, 95). Zatem P (X 6 600) = 1 − F (2, 95) = 1 − 0, 998 = 0, 001.
13. Przypuśćmy, że dysponujemy dwiema statystykami A i B, jako estymatorami tego samego parametru w populacji. Estymator A jest nieobciażony, ale ma dużą wariancję. Estymator B ma niewielkie obciążenie ale wariancję równą jednej dziesiątej wariancji esty-matora A. Który estymator uznałbyś za lepszy? Odpowiedź uzasadnij.
O d p o w i e d ź. Estymator o mniejszej wariancji, mimo niewielkiego obciążenia, jest lepszy, gdyż kolejne oceny szacowanego parametru populacji poczynione za pomocą estymatora B będą efektywniejsze, mniej rozproszone, mimo małego obciążenia.
14. Przypuśćmy, że dysponujemy estymatorem o stosunkowo dużym obciążeniu, który jest jednak zgodny i efektywny. Czy gdybyś dysponował dużym funduszem na przeprowadzenie badań reprezentacyjnych, skorzystałbyś z tego estymatora? Odpowiedź uzasadnij.
O d p o w i e d ź. Duży fundusz oznacza tu, że możemy pozyskać próbę o dużej liczebności. Zgodny estymator będzie w tym przypadku dobry, bo prawdopodobieństwo zbliżania się wartości estymatora do szacowanego parametru wzrasta wraz z liczebnością próby.
15. Przypuśćmy, że w badaniach reprezentacyjnych mających na celu oszacowanie warian-cji w populawarian-cji posłużono się obciążonym estymatorem (biorąc w mianowniku równania
s2 = n P i=1 (xi− x)2 n − 1
n zamiast n−1). Liczebność próby wynosiła 100. Otrzymano ocenę 1,287. Czy można ustalić nieobciążoną ocenę wariancji w populacji?
O d p o w i e d ź. Oznaczmy estymator obciążony Y i jego wartość w podanej próbie przez y = 1, 287. Wtedy y = n P i=1 (xi− x)2 n . Zatem s2 = n P i=1 (xi− x)2 n − 1 = n P i=1 (xi− x)2 n · n n − 1 = y · n n − 1 = yn n − 1.
Ponieważ liczebność próby wynosiła n = 100 i y = 1, 287, to z powyższego ocena nieobcią-żonej wariancji
s2 = 1, 287 · 100
99 = 1, 3.
16. Pobrano 3 losowe próby o liczebnościach 30, 48 i 32. Dla każdej z nich obliczono średnie z próby. Jaka jest łączna liczba stopni swobody dla odchyleń (standardowych) od średniej w tych próbach?
O d p o w i e d ź. Liczba stopni swobody w pojedynczej próbie o liczebności n wynosi df = n − 1 (df od degree of freedom). Zatem łączna liczba stopni swobody to 29 + 47 + 31 = 107.
17. Bank przysłał klientowi informację o średniej wartości sum wypisanych na czekach w ciągu ostatniego miesiąca. Klient ma zanotowane sumy wypisane na 17 czekach wśród 19 wystawionych przez siebie czeków. Czy korzystając z tej informacji możesz odtworzyć sumy wypisane na dwóch brakujących czekach? Odpowiedź uzasadnij.
O d p o w i e d ź. Nie. Można odtworzyć tylko sumę kwot wypisanych na pozostałych dwóch czekach. Niech x oznacza średnią sum przesłanych klientowi przez bank. Jest ona równa:
x = x1+ . . . + x17+ x18+ x19
19 .
Bez zmniejszenia ogólności możemy założyć, że klient nie wie ile wynoszą kwoty x18 i x19.
Zatem
x18+ x19= 19 · x − (x1+ . . . + x17).
18. W zadaniu 17 zmieniły się warunki o tyle, że klient przypomniał sobie jeszcze jedną, osiemnastą sumę wypisaną na czeku. Czy tym razem możesz odtworzyć sumę wypisaną na brakującym czeku? Odpowiedź uzasadnij.
O d p o w i e d ź. Załóżmy, że klient zanotował już sobie sumę x18+ x19. Oznaczmy ją
k. Wtedy x19= k − x18 i znamy wszystkie sumy z 19 czeków.
19. Co to jest przedział ufności i do czego jest przydatny? Co to jest poziom ufności? O d p o w i e d ź. Przedziałem ufności nazywamy przedział liczbowy, o którym przy-puszczamy, że mieści się w nim nieznany parametr populacji. Z przedziałem tym związana jest miara ufności (pewności), że ten przedział naprawdę zawiera interesujacy nas parametr, zwana poziomem ufności. Przedział ufności przydatny jest do oceny (szacunku) parametrów populacji.
20. Wyjaśnij dlaczego klasyczna statystyka nie pozwala określać przedziału ufności jako przedziału do którego szacowany parametr należy z określonym prawdopodobieństwem?
O d p o w i e d ź. Klasyczna statystyka x nie pozwala określać przedziału ufności, bowiem skoro pobranie losowej próby już nastąpiło i została obliczona pewna konkretna wartość x nie jest już ona zmienną losową i nie możemy mówić o prawdopodobieństwie pojawienia się tej liczby.
Przedziały ufności dla µ, gdy znane jest σ.
21. Pośrednik w handlu nieruchomościami chce oszacować średnią wartość domu mieszkal-nego o określonej powierzchni w pewnej dzielnicy. Pośrednik jest przekonany, że standardowe odchylenie wartości domu σ = 5500 $ i że rozkład wartości domów jest w przybliżeniu normalny. W losowej próbie 16 domów średnia wyniosła x = 89673, 12 $. Wyznacz 95% przedział ufności dla średniej wartości domu w tej dzielnicy.
O d p o w i e d ź. 95% przedział ufności dla średniej w populacji, µ, gdy znane jest σ, a próba (o liczności n) pochodzi z populacji normalnej (lub jest "dużą" próbą), wyznacza wzór: " x − 1, 96 · √σ n;x + 1, 96 · σ √ n # .
krócej, końce tego przedziału opisane sa wzorem x ± 1, 96σ/√n. W naszym zadaniu 1, 96 · √σ
n = 1, 96 · 5500 √
16 = 2695. Zatem 95% przedział ufności wynosi
[89673, 12 − 2695; 89673, 12 + 2695] = [86978, 12; 92368, 12]
22. W zadaniu 21 przyjmij. że poszukiwany jest 99% przedział ufności. Wyznacz nowy przedział ufności i porównaj go z przedziałem odpowiadającym 95% poziomowi ufności.
O d p o w i e d ź. Na początek wyznaczamy współczynnik ufności według wzoru (1 − α)100% = 99%, skąd 1 − α = 0, 99, czyli α = 0, 01. (1 − α)100% przedział ufności dla µ, gdy znamy σ dany jest wzorem
" x − zα/2· σ √ n; x + zα/2· σ √ n # ,
tzn. jest to przedział o końcach x ± zα/2σ/
√
n, gdzie zα/2 jest wartością standaryzowanej
zmiennej losowej normalnej Z, która odcina pod prawym "ogonem" krzywej gęstości nor-malnej pole o mierze α/2. Stąd zα/2 jest dodatnim rozwiązaniem równania 1 − F (x) = α/2,
gdzie F jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego. Zatem zα/2 jest dodatnim
rozwiązaniem równania F (x) = 1 − α/2. W naszym przypadku F (zα/2) = 0, 995.
Z tablicy rozkładu normalnego (lub komputera) odczytujemy wartość zα/2 = 2, 58. Stąd:
zα/2· σ √ n = 2, 58 · 5500 √ 16 = 3547, 5. Zatem 99% przedział ufności wynosi
23. Producent samochodów chce oszacować średnie zużycie paliwa przez nowy model sa-mochodu, mierzone ilością mil przejechanych na autostradzie na jednym galonie benzyny. Z doświadczeń z podobnymi modelami producent wie, że odchylenie standardowe zużycia paliwa wynosi 4,6 (mil/galon). Pobrano 100-elementową próbę przebiegów nowego modelu na tej samej autostradzie i stwierdzono, że średnio samochód przejeżdżał na jednym galonie benzyny 32 mile. Ustal 95% przedział ufności dla średniej liczby kilometrów, jaką nowy model samochodu może przejechać na danej autostradzie na jednym galonie benzyny.
O d p o w i e d ź. Dane mamy: σ = 4, 6, n = 100, x = 32. Zatem 95% przedział ufności dla µ w naszym zadaniu jest równy
" x − 1, 96 · √σ n; x + 1, 96 · σ √ n # = [31, 0984; 32, 9016].
24. Czy w zadaniu 23 musimy zakładać, że zmienna "liczba kilometrów przejechanych na jednym galonie benzyny" ma rozkład normalny? Odpowiedź uzasadnij.
O d p o w i e d ź. Nie musimy tego zakładać, gdyż pobrana próba jest duża, 100-elementowa (100 > 30).
25. Importer win musi ustalić średni procent alkoholu w butelkach nowego francuskiego wina. Z poprzednich doświadczeń wie on, że odchylenie standardowe tej zmiennej wynosi 1, 2%. Importer wybiera losowo 60 butelek i stwierdza, że średnia z próby x = 9, 3%. Ustal 90% przedział ufności dla średniego procentu alkoholu w butelkach nowego importowanego wina.
O d p o w i e d ź. Dane mamy: σ = 1, 2, n = 60, x = 9, 3. Aby wyznaczyć 90% przedział ufności dla µ wyznaczamy , że 1−α = 0, 9, czyli α = 0, 1. Zatem zα/2jest wartością dla której
F (zα/2) = 1 − α/2 = 1 − 0, 05 = 0, 95. Z tablic rozkładu normalnego mamy: zα/2 = 1, 64
Zatem 90% przedziałem ufności dla µ w naszym zadaniu jest
" x − zα/2· σ √ n; x + zα/2· σ √ n # = [9, 0459; 9, 5541].
26. Firma rozważa zainstalowanie faksu w jednym ze swoich biur. Przed podjęciem decyzji szef firmy chce oszacować przeciętną liczbę dokumentów, która będzie wysyłana za pomocą zainstalowanego urządzenia. Na podstawie obserwacji innych biur firmy szef uważa, że stan-dardowe odchylenie liczby dokumentów wysyłanych dziennie za pomocą faksu wynosi 32. Jest też przekonany, że liczba dokumentów wysyłanych dziennie w ten sposób jest zmienną losową o rozkładzie normalnym. Zbadano 15 losowo wybranych dni. Średnia liczba wysy-łanych dziennie dokumentów okazała się równa 267 sztuk. Ustal 99% przedział ufności dla przeciętnej liczby dokumentów wysyłanych dziennie z tego biura, o ile faks zostałby w nim zainstalowany.
O d p o w i e d ź. Dane mamy: σ = 32, n = 15, x = 267, skąd α = 0, 01, zα/2 = 2, 58.
Zatem 99% przedziałem ufności dla µ w naszym zadaniu jest
" x − zα/2· σ √ n; x + zα/2· σ √ n # = [245, 6831; 288, 3169].
27. Przy danych do zadania 26 rozpatrz sytuację, w której szef firmy byłby zainteresowany zainstalowaniem faksu, gdyby mógł mieć zaufanie do tego, że przeciętna liczba dokumentów wysyłanych dziennie przekroczy 245 sztuk. Czy wynik uzyskany w zadaniu 26 usprawiedli-wiałby zainstalowanie faksu? Odpowiedź uzasadnij.
O d p o w i e d ź. Wszystkie wartości w 99% przedziale ufności z poprzedniego zadania są większe od 245. Dlatego szef firmy może mieć 99% zaufanie do tego, że przeciętna liczba przesyłanych dziennie dokumentów przekroczy 245 sztuk.
Przedziały ufności dla µ, gdy σ nie jest znane.
28. Firma telefoniczna chce oszacować przeciętną długość rozmów międzymiastowych w czasie weekendu. Z losowej próby 50 rozmów otrzymano średnią x = 14, 5 minuty przy odchyleniu standardowym z próby s = 5, 6 minuty. Wyznacz 95% przedział ufności dla średniej długości rozmów międzymiastowych w czasie weekendu.
O d p o w i e d ź. Końce (1 − α)100% przedziału ufności w przypadku, gdy nie jest znane odchylenie standardowe w populacji dane są wzorem
x ± tα/2·
s √
n,
gdzie tα/2 jest wartością rozkładu t Studenta o n − 1 stopniach swobody, która odcina pod
"ogonem" krzywej gęstości rozkładu pole o mierze α/2 po prawej stronie.
Ponieważ liczebność próby n = 50, musimy posłużyć się rozkładem t o n − 1 = 59 stopniach swobody. W tablicy rozkładu Studenta, w wierszu odpowiadającym 59 stopniom swobody, w kolumnie odpowiadającej mierze pola pod prawym "ogonem" krzywej gęstości równej 0, 025 (czyli α/2) znajdujemy tα/2 = 2, 00958. Znając tę wartość obliczamy:
tα/2· s √ n = 2, 00958 · 5, 6 √ 50 = 1, 59. Zatem 95% przedział ufności dla µ w naszym zadaniu jest postaci
[14, 5 − 1, 59; 14, 5 + 1, 59] = [12, 91; 16, 09].
29. Firma ubezpieczeniowa zajmuje się przypadkami nadużyć w lecznictwie i jest zain-teresowana oszacowaniem przeciętnej wartości odszkodowania żądanego od lekarzy pewnej specjalności. Zbadano 165 losowo wybranych przypadków, wśród których średnia wartość żądanego odszkodowania x wyniosła 16530 $. przy odchyleniu standardowym s = 5542$. Wyznacz przedziały ufności dla przeciętnej wartości odszkodowania przy poziomach ufności 95% i 99%.
O d p o w i e d ź. Wyznaczamy najpierw α/2 w obu przypadkach. Mamy 1) 1 − α = 0, 95, gdy α = 0, 05, skąd α/2 = 0, 025,
2) 1 − α = 0, 99, gdy α = 0, 01, skąd α/2 = 0, 005.
W przypadku 1) szukamy t0,025, a w przypadku 2) szukamy t0,005w tablicy rozkładu studenta
o n − 1 = 164 stopniach swobody. Mamy t0,025 = 1, 975 i t0,005 = 2, 606. Zatem przedziałami
ufności są odpowiednio: 1) [16530 − 1, 975 · √5542 165; 16530 + 1, 975 · 5542 √ 165] = [15677, 89; 17382, 10],
2) [16530 − 2, 606 · √5542
165; 16530 + 2, 606 · 5542
√
165] = [15405, 66; 17654, 34].
30. Producent opon chce oszacować przeciętny przebieg (w milach) opony okreslonego typu przed całkowitym zużyciem. Pobrano próbę 32 opon i jeżdżono na nich aż do całkowitego zużycia, notując liczbę mil przebiegu każdej opony. Otrzymano następujące wyniki (w tys. mil):
32, 33, 28, 37, 29, 30, 25, 27, 39, 40, 26, 26, 27, 30, 25, 30, 31, 29, 24, 36, 25, 37, 37, 20, 22, 35, 23, 28, 30, 36, 40, 41.
Wyznacz 95% przedział ufności dla przeciętnej liczby mil, jaką można przejechać na oponie tego typu.
O d p o w i e d ź. Najpierw należy obliczyć średnią z próby: x = 1
32· (32 + . . . + 41) = 30, 5625, a następnie wariancję i odchylenie standardowe z próby:
s2 = 1 31·
(32 − x)2+ . . . + (41 − x)2= 33, 35080645,
więc s = √s2 = 5, 77501571. Parametr α jest równy 0, 05, więc α/2 = 0, 025. Z tablic
rozkładu studenta o n − 1 = 31 stopniach swobody odczytujemy tα/2 = 2, 03951. Zatem
tα/2·
s √
32 = 2, 0821. Stąd 95% przedziałem ufności dla µ jest
[30, 5625 − 2, 0821; 30, 5625 + 2, 0821] = [28, 4804; 32, 6446].
31. Firma Pier 1 Imports zajmuje się detaliczną sprzedażą mebli i innych sprzętów do-mowych w całym kraju. Od czasu do czasu firma przeprowadza badania ankietowe wśród swoich klientów wybierając ich losowo na zasadzie losowania kodów pocztowych. W jednym z badań klienci byli proszeni o ocenę stołu importowanego z Tajlandii, w skali od 0 do 100. Oceny 25 klientów wypadły następująco:
78, 85, 80, 89, 77, 50, 75, 90, 88, 100, 70, 99, 98, 55, 80, 45, 80, 76, 96, 100, 95, 90, 60, 85, 90.
Wyznacz 99% przedział ufności dla podawanej przeciętnie przez klientów firmy oceny stołu. O d p o w i e d ź. W tym zadaniu n = 25, x =, s = 15, 4469, α/2 = 0, 005, tα/2 = 2, 79694.
Zatem 99% procentowym przedziałem ufności dla µ jest: [x − tα/2· s √ n; x + tα/2· s √ n] = [81, 24 − 8, 6408; 81, 24 + 8, 6408] = [72, 60; 89, 88].
32. Szkła kontaktowe mogą wywoływać podrażnienie gałki ocznej z powodu gromadzenia się substancji białkowej na powierzchni soczewek. Nowa technologia zapowiada uporanie się z tym problemem. Na soczewkę nakłada się warstwę polimeru, która nie pozwala proteinom znajdującym się we łzach gromadzić się na soczewce. Warstwa polimeru musi mieć śred-nią długość 10 atomów. Zbadano próbę 15 miejsc wybranych losowo na soczewce pokrytej polimerem i stwierdzono następujące grubości warstwy polimeru (mierzone w atomach):
9, 9, 8, 11, 12, 10, 9, 8, 13, 12, 10, 11, 10, 9, 7.
Wyznacz 90% przedział ufności dla przeciętnej grubości warstwy polimeru na soczewce. Czy żądana grubość warstwy (10 atomów) leży wewnątrz przedziału ufności? Wyjaśnij znaczenie odpowiedzi.
O d p o w i e d ź. W tym zadaniu n = 15, x = 9, 8667, s = 1, 6847, α/2 = 0, 05, tα/2 = 1, 76131. Zatem 99% procentowym przedziałem ufności dla µ jest:
[x − tα/2· s √ n;x + tα/2· s √ n] = [9, 8667 − 0, 7661; 9, 8667 + 0, 7661] = [9, 1006; 10, 6328]. Mamy 90% pewność, że 10 należy do powyższego przedziału, tzn. mamy 90% zaufanie, że warstwa polimeru składa się średnio z 10 atomów.
Przedziały ufności dla wariancji w populacji, σ2.
33. Czas obsługi w okienku bankowym nie powinien mieć dużej wariancji, gdyż w prze-ciwnym przypadku kolejki maja tendencję do rozrastania się. Bank regularnie sprawdza czas obsługi w okienkach, by oceniać jego wariancję. Obserwacja 22 czasów obsługi losowo wybranych klientów dała s2 = 8 minut2. Wyznacz 95% przedział ufności dla wariancji czasu
obsługi w okienku bankowym.
O d p o w i e d ź. (1 − α)100% przedział ufności dla wariancji w populacji, σ2, gdy
rozkład w populacji jest normalny, wyznacza wzór:
(n − 1)s2 χ2 α/2 ;(n − 1)s 2 χ2 1−α/2
gdzie χ2α/2 jest wartością zmiennej o rozkładzie chi-kwadrat o n−1 stopniach swobody, która odcina pole o mierze α/2 z prawej strony; χ2
1−α/2 jest wartością tej zmiennej, która odcina
pole o mierze α/2 z lewej strony (a tym samym pole o mierze 1 − α/2 z prawej strony). W powyższym zadaniu n = 22, s2 = 8, α/2 = 0, 025, 1 − α/2 = 0, 975, χ2α/2 = 35, 4789, χ2
1−α/2 = 10, 2829. Zatem 95% przedział ufności dla σ2 jest postaci: (n − 1)s2 χ2 α/2 ;(n − 1)s 2 χ2 1−α/2 = [4, 74; 16, 34].
34. W losowej próbie 60 kont bankowych stwierdzono wariancję stanu kont równą 1228. Wyznacz 99% przedział ufności dla wariancji stanów kont.
O d p o w i e d ź. W powyższym zadaniu n = 60, s2 = 1228, α/2 = 0, 005, 1 − α/2 = 0, 995, χ2
α/2= 90, 7153, χ21−α/2 = 34, 7704. Zatem 99% przedział ufności dla σ2 jest postaci: (n − 1)s2 χ2 α/2 ;(n − 1)s 2 χ2 1−α/2 = [798, 68; 2083, 73].
35. Przy założeniach zadania 30 wyznacz 99% przedział ufności dla wariancji liczby mil, które można przejechać na oponie.
O d p o w i e d ź. W powyższym zadaniu n = 32, s2 = 33, 3508, α/2 = 0, 005, 1 − α/2 =
0, 995, więc χ2
α/2 = 55, 0027, χ21−α/2 = 14, 4578. Zatem 99% przedział ufności dla σ2 jest
postaci: (n − 1)s2 χ2 α/2 ;(n − 1)s 2 χ2 1−α/2 = [18, 7968; 71, 5098].
Wyznaczanie liczebności próby.
36. Firma zajmująca się analizą rynku chce przeprowadzić badania ankietowe w celu osza-cowania wydatków na rozrywki przez przeciętnego kuracjusza odwiedzającego popularne uzdrowisko. Osoba, która zleca badania, chciałaby znać te wydatki z przybliżeniem nie większym niż 120 $, przy poziomie ufności 95 %. Na podstawie dotychczasowych obserwacji działalności uzdrowiska odchylenie standardowe w populacji, σ, szacuje się na 400 $. Jaka jest minimalna wymagana liczebność próby?
O d p o w i e d ź. Minimalna wymagana liczebność próby do oszacowania średniej w populacji, µ, jest równa:
n = z
2
α/2σ2
B2 ,
gdzie B jest najmniejszą liczbą przybliżenia jakiej nie chcemy przekroczyć.
W naszym zadaniu α/2 = 0, 025, więc zα/2=1,96. Ponadto σ2 = 4002 = 160000 i B = 120.
Zatem:
n = (1, 96)
2· 160000
1202 = 42, 684.
Minimalna wymagana liczebność próby to 43 osoby. (Ponieważ elementami próby są ludzie, trzeba wynik zaokrąglić do najbliższej liczby całkowitej.)
37. Ile prób trzeba wykonać do oszacowania średniego przebiegu samochodu na autostra-dzie przy zużyciu 1 galona benzyny z dokładnością do 2 mil, jeżeli ma być osiagnięty 95% poziom ufności, a wstępna ocena wariancji w populacji przebiegów (zużywających 1 galon) wynosi około 100 mil?
O d p o w i e d ź. W tym zadaniu α/2 = 0, 025, więc zα/2=1,96. Ponadto σ2 = 100 i
B = 2. Zatem:
n = (1, 96)
2· 100
22 = 96, 04.
Minimalna wymagana liczba prób to 96.
38. Znajdź minimalną wymaganą liczebność próby do oszacowania przeciętnej stopy przy-chodu z pewnej lokaty kapitału (w procentach rocznie) z dokładnością do 0, 5%, przy 95% poziomie ufności. Standardowe odchylenie tej stopy przychodu szacowane jest na 2% rocznie. O d p o w i e d ź. W powuższym zadaniu α/2 = 0, 025, więc zα/2=1,96. Ponadto σ2 =
22 = 4 i B = 0, 5. Zatem:
n = (1, 96)
2· 4
0, 25 = 61, 47. Minimalna wymagana liczba prób to 61.
