• Nie Znaleziono Wyników

Odwzorowania liniowe

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Odwzorowania liniowe"

Copied!
28
0
0

Pełen tekst

(1)

Algebra

Przekształcenia linowe. Działania na

macierzach

Aleksander Denisiuk

denisjuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy o´srodek dydaktyczny w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

(2)

Przekształcenia linowe. Działania na macierzach

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

(3)

Przekształcenie zwi ˛

azane z macierz ˛

a

Niech dane b ˛edz ˛a przestrzenie kolumn Rn oraz Rm.

Niech dana b ˛edzie m × n macierz A

ϕA : Rn Rm, ϕA :       x1 x2 .. . xn       7→ x1A(1) + x2A(2) + · · · + xnA(n),

gdzie A(1),. . . ,A(n) — kolumny macierzy A.

Y = ϕA(X) ∈ Rm, yi = n P j=1 aijxj, i = 1, . . . , m • ∀X, Y ∈ Rn ϕA(X + Y ) = ϕA(X) + ϕA(Y )∀X ∈ Rn, ∀λ ∈ R ϕA(λX) = λϕA(X) Algebra – p. 3

(4)

Przekształcenie Liniowe

Definicja 1. Niech dane b ˛eda dwie przestrzenie liniowe Rn i Rm.

Odwzorowanie ϕ : Rn → Rm, x 7→ ϕ(x) nazywa si ˛e przekształceniem

liniowym, je˙zeli

1. ∀α ∈ R, ∀Rn ∈ X ⇒ ϕ(αX) = αϕ(X)

(5)

Macierz przekształcenia liniowego

Niech dane b ˛edzie przekształcenie liniowe ϕ : Rn Rm.

ϕ(X) = ϕ(Pn j=1 xjE(j)) = n P j=1 xjϕ(E(j)) • ϕ(E(j)) =    a1j .. . amj   

Definicja 2. Macierz ˛a przekształcenia liniowego nazywamy zdefiniowan ˛a wy˙zej macierz o wyrazach aij

Twierdzenie 3. Mi ˛edzy przekształceniami liniowymi Rn → Rm a macierzami

m × n ustalone jest wzajemnie-jednoznaczne odwzorowanie.

(6)

Przykłady przekształce ´n liniowych

Przykład 4. • Przekształcenie jednostkowe

Symetria wzgl ˛edem osi x na płaszczy´znieObrót o k ˛at θ

Obrót w przestrzeni x 7→ y 7→ z 7→ xFunkcja liniowa Rn R

(7)

Działania liniowe na przekształceniach liniowych

Twierdzenie 5.

αϕA + βϕB = ϕαA+βB

(8)

Dodawanie macierzy

Definicja 6. Sum ˛a dwóch macierzy A i B tego samego wymiary jest macierz

C = A + B tego˙z wymiary, taka ˙ze cij = aij + bij.

Przykład 7.    1 2 3    +    −1 2 4    =    0 4 7    .

(9)

Własno´sci dodawania macierzy

A + B = B + A — przemienno´s´c,

(A + B) + C = A + (B + C) — ł ˛aczno´s´c

A + O = O + A = A — macierz zerowa jest elementem

neutralnym,

dla ka˙zdej macierzy A istnieje macierz przeciwna −A, taka

˙ze A + (−A) = (−A) + A = O.

A − B = A + (−B).

(10)

Mno˙zenie macierzy przez liczb ˛e

Definicja 8. Iloczynem liczby rzeczywistej λ i macierzy A jest macierz

C = λA tego samego wymiary, taka ˙ze cij = λaij.

Przykład 9. 5 ·    1 −15 2 0 −1 3    =    5 −1 10 0 −5 15    .

(11)

Wła´sciwo´sci mno˙zenia macierzy przez liczb ˛e

Mno˙zenie macierzy przez liczb ˛e posiada własno´sci

liniowo´sci:

1 · A = A,

(αβ)A = α(βA),

α(A + B) = αA + αB,(α + β)A = αA + βA.

(12)

Superpozycja przekształce ´n liniowych

Twierdzenie 10.

ϕAB = ϕAϕB

Definicja 11. Iloczynem macierzy A wymiaru n × r przez macierz B

wymiaru r × m jest macierz C wymiaru n × m, której element cij jest równy

cij = ai1b1j + ai2b2j + · · · + airbrj = r X k=1 aikbkr. Przykład 12.    2 3 −1 4 5 1    3 −1 2 0 −2 −3 1 4 ! =    0 −11 7 12 −11 −11 2 16 13 −8 11 4    . Uwaga 13. AB 6= BA

(13)

Wła´sciwo´sci mno˙zenia macierzy

Zało˙zymy, ˙ze we wszystkich przypadkach mno˙zenie

macierzy jest okre´slone poprawnie.

A(BC) = (AB)C, • OA = O, AO = O,a • IA = AI = A,bA(B + C) = AB + AC,(A + B)C = AC + BC,∀λ ∈ R A(λB) = λ(AB). a

w tym przykładzie O w ka˙zdym przypadku oznacza zerow ˛a macierz ró˙z-nych wymiarów.

bw tym przykładzie w ka˙zdym przypadku I oznacza jednostkow ˛a macierz

ró˙znych wymiarów.

(14)

Rz ˛

ad iloczynu macierzy

Twierdzenie 14. rank AB 6 min { rank A, rank B }

Dowód. • Niech C = AB

Dla wierszy C(i) i kolumn C(j) macierzy C:

C(i) = A(i)B, C(j) = AB(j).

Niech r1 = rank A oraz A(1), . . . , A(r

1) b ˛ed ˛a bazowymi • A(k) = Pr1

i=1 λkiA(i) dla r1 < k 6 n

Wi ˛ec C(k) = A(k)B = Pr1 i=1 λkiA(i)  B = Pr1 i=1 λki A(i)B  = Pr1

i=1 λkiC(i) dla r1 < k 6 n

C(1), . . . , C(n) = C(1), . . . , C(r1)

rank C 6 r1 –verte–

(15)

Rz ˛

ad iloczynu macierzy

Twierdzenie 15. rank AB 6 min { rank A, rank B }

Dowód. cd. • Analogicznie dla B

Niech r2 = rank B oraz B(1), . . . , B(r2) b ˛ed ˛a bazowymiB(k) = Pr2 j=1 µkjB(j) dla r2 < k 6 m • Wi ˛ec C(k) = AB(k) = A Pr2 j=1 µkjB(j)  = Pr2 j=1 µkj AB(j)  = Pr2 i=1 µkjC(j) dla r2 < k 6 n • C(1), . . . , C(m) = C(1), . . . , C(r2) • rank C 6 r2 Algebra – p. 15

(16)

Macierze kwadratowe

Mn(Rn) = Mn zbiór macierzy kwadratowych n × n

I ∈ Mn macierz jednostkowa

elementy macierzy jednostkowej δij =

(

1, je˙zeli i = j, 0, je˙zeli i 6= j

(symbol Kroneckera)

∀A ∈ Mn, AI = IA = A

I(λ) = λI macierz skalarna∀A ∈ Mn, AI(λ) = I(λ)A = A

Twierdzenie 16. Niech Z ∈ Mn oraz ∀A ∈ Mn, AZ = ZA. Wtedy

Z = I(λ). Dowód. Eij

(17)

Macierz nieosobliwa

Definicja 17. • Macierz A ∈ Mn jest nieosobliw ˛a, je˙zeli rank A = n.

Macierz A ∈ Mn jest odwracalna, je˙zeli istnieje A−1

(AA−1 = I).

Twierdzenie 18. Macierz jest odwracaln ˛a wtedy i tyko wtedy, gdy jest nieosobliw ˛a

Dowód. 1. n = rank I = rank A−1A 6 rank A

2. (a) Rn = hE(1), . . . E(n)i = hA(1), . . . A(n)i (b) E(j) = Pni=1 a′jiA(i)

(c) I = AA′

Wniosek 19. Niech A ∈ Mn b ˛edzie macierz ˛a nieosobliw ˛a. Wtedy At te˙z jest macierz ˛a nieosobliw ˛a oraz (At)−1 = (A−1)t.

(18)

Mno˙zenie przez macierz nieosobliw ˛

a

Twierdzenie 20. Niech B i C b ˛ed ˛a macierzami nieosobliwymi wzgl ˛ednie

m × m oraz n × n. Wtedy dla dowolnej m × n macierzy A

rank BAC = rank A

Dowód. rank BAC 6 rank BA = rank BA(CC−1) =

rank(BAC)C−1

6 BAC

Wniosek 21. Niech A, B ∈ Mn oraz AB = I (lub BA = I). Wtedy

B = A−1

.

Wniosek 22. Niech A, B, . . . , C, D ∈ Mn b ˛ed ˛a nieosobliwe. Wtedy

AB . . . CD te˙zb ˛edzie macierz ˛a nieosobliw ˛a, oraz

(AB . . . CD)−1

= D−1

C−1

. . . B−1

(19)

Macierze elementarne —

F

s,tFs,t =                     1 . .. 0 1 . .. 1 . .. 1 0 . .. 1                     , s 6= t • Fs,t = I − Ess − Ett + Est + EtsFs,tA ⇐⇒ zamiana wierszy A(s) i A(t) Algebra – p. 19

(20)

Macierze elementarne —

F

s,t

(λ)

Fs,t(λ) =               1 . .. 1 λ . .. 1 . .. 1               , s 6= t • Fs,t(λ) = I + λEstFs,t(λ)A ⇐⇒ A(s) A(s) + λA(t)

(21)

Macierze elementarne —

F

s

(λ)

Fs(λ) =          1 . .. λ . .. 1          λ 6= 0 • Fs(λ) = I + (λ − 1)EssFs(λ)A ⇐⇒ A(s) λA(s) Algebra – p. 21

(22)

Sprowadzenie do postaci jednostkowej

Twierdzenie 23. Niech A ∈ Mn b ˛edzie nieosobliw ˛a. Wtedy za pomoc ˛a przekształce ´n elementarnych A mo˙zna sprowadzi´c do postaci macierzy jednostkowej.

Dowód. 1. Sprowadzamy do postaci schodkowej 2. Sprowadzamy do postaci jednostkowej

Wniosek 24. Niech A ∈ Mn b ˛edzie nieosobliw ˛a. Wtedy za pomoc ˛a mno˙zenia przed macierze elementarne A mo˙zna sprowadzi´c do postaci macierzy jednostkowej:

I = Pk . . . P1A,

gdzie P1, . . . , Pk — s ˛a macierze elementarne. Wniosek 25.

(23)

Obliczenie macierzy odwrotnej

(A|I) P1 (P1A|P1) P2 (P2P1A|P2P1) . . . . . . Pk (Pk . . . P2P1A|Pk . . . P2P1) = (I|A−1) Przykład 26. 1.    0 2 0 1 1 −1 2 1 −1    −1 =    0 −1 1 1 2 0 0 1 2 −2 1    2.      −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1      −1 =      −14 14 14 14 1 4 −14 14 14 1 4 14 −14 14 1 4 14 14 −14      Algebra – p. 23

(24)

Przestrze ´n rozwi ˛

aza ´n

Niech dany b ˛edzie układ jednorodny AX = 0Zbiór rozwi ˛aza ´n przestrze ´n liniow ˛a

Baza przestrzeni rozwi ˛aza ´n nazywa si ˛e układem rozwi ˛aza ´n

(25)

Google

Uporz ˛adkowa´c strony (wyniki wyszukiwania)Wa˙zno´s´c strony P jest I(P )

Niech strona Pj ma li odno´sników

Je˙zeli Pj ma link na Pi, strona Pj przekazuje I(Pj)/lj swojej

wa˙zno´sci na Pi • Wa˙zno´s´c Pi wyniesie I(Pi) = X Pj∈Bi I(Pj) lj ,

gdzie Bi jest zbiorem stron z odno´snikami do Pi

(26)

Google — podej´scie algebraiczne

Maciezr hiperlinków H: hij = ( 1 lj , je˙zeli Pj ∈ Bi 0 w pozostałych przypadkach ◦ hij > 0 ◦ P i hij = 1

H jest macierz ˛a stochastyczn ˛a

Wektor wa˙zno´sci I =    P1 .. . Pn    • Równanie wa˙zno´sci I = HI

(27)

Google — przykład

H =                0 0 0 0 0 0 13 0 1 2 0 12 13 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 12 13 0 0 13 0 0 0 0 13 13 0 0 12 0 0 0 0 13 0 0 12 0 0 0 0 13 1 13 0                Algebra – p. 27

(28)

Google — wa˙zno´sci wyników

I =                0,0600 0,0675 0,0300 0,0675 0,0975 0,2025 0,1800 0,2950               

Cytaty

Powiązane dokumenty

elementy powinny by´c poprawnie zagnie˙zd˙zone powinien by´c jeden element korzeniowy.. wszystkie atrybuty powinny by´c w

RDF Schema Wprowadzenie RDF Semantic Web Składnia Kontenery Kolekcje RDFS DCMI RDFa Microdata JSON-LD ✔ Rozszerzenie RDF. ✔ Zawiera język do opisania zestawów predykatów

JQuery Wprowadzenie Dostęp Modyfikacjia Łańcuch 2 / 23 Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod

je˙zeli serwer nie rozpoznał metody ˙z ˛ adania, on zwraca kod odpowiedzi 501 (Not implemented). je˙zeli serwer rozpoznał metod ˛e, ale one nie mo˙ze zosta´c zastosowana do

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda