Algebra
Przekształcenia linowe. Działania na
macierzach
Aleksander Denisiuk
denisjuk@pjwstk.edu.pl
Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy o´srodek dydaktyczny w Gda ´nsku
ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk
Przekształcenia linowe. Działania na macierzach
Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem
Przekształcenie zwi ˛
azane z macierz ˛
a
• Niech dane b ˛edz ˛a przestrzenie kolumn Rn oraz Rm.
• Niech dana b ˛edzie m × n macierz A
• ϕA : Rn → Rm, ϕA : x1 x2 .. . xn 7→ x1A(1) + x2A(2) + · · · + xnA(n),
gdzie A(1),. . . ,A(n) — kolumny macierzy A.
• Y = ϕA(X) ∈ Rm, yi = n P j=1 aijxj, i = 1, . . . , m • ∀X, Y ∈ Rn ϕA(X + Y ) = ϕA(X) + ϕA(Y ) • ∀X ∈ Rn, ∀λ ∈ R ϕA(λX) = λϕA(X) Algebra – p. 3
Przekształcenie Liniowe
Definicja 1. Niech dane b ˛eda dwie przestrzenie liniowe Rn i Rm.
Odwzorowanie ϕ : Rn → Rm, x 7→ ϕ(x) nazywa si ˛e przekształceniem
liniowym, je˙zeli
1. ∀α ∈ R, ∀Rn ∈ X ⇒ ϕ(αX) = αϕ(X)
Macierz przekształcenia liniowego
• Niech dane b ˛edzie przekształcenie liniowe ϕ : Rn → Rm.
• ϕ(X) = ϕ(Pn j=1 xjE(j)) = n P j=1 xjϕ(E(j)) • ϕ(E(j)) = a1j .. . amj
Definicja 2. Macierz ˛a przekształcenia liniowego nazywamy zdefiniowan ˛a wy˙zej macierz o wyrazach aij
Twierdzenie 3. Mi ˛edzy przekształceniami liniowymi Rn → Rm a macierzami
m × n ustalone jest wzajemnie-jednoznaczne odwzorowanie.
Przykłady przekształce ´n liniowych
Przykład 4. • Przekształcenie jednostkowe
• Symetria wzgl ˛edem osi x na płaszczy´znie • Obrót o k ˛at θ
• Obrót w przestrzeni x 7→ y 7→ z 7→ x • Funkcja liniowa Rn → R
Działania liniowe na przekształceniach liniowych
Twierdzenie 5.
αϕA + βϕB = ϕαA+βB
Dodawanie macierzy
Definicja 6. Sum ˛a dwóch macierzy A i B tego samego wymiary jest macierz
C = A + B tego˙z wymiary, taka ˙ze cij = aij + bij.
Przykład 7. 1 2 3 + −1 2 4 = 0 4 7 .
Własno´sci dodawania macierzy
• A + B = B + A — przemienno´s´c,
• (A + B) + C = A + (B + C) — ł ˛aczno´s´c
• A + O = O + A = A — macierz zerowa jest elementem
neutralnym,
• dla ka˙zdej macierzy A istnieje macierz przeciwna −A, taka
˙ze A + (−A) = (−A) + A = O.
• A − B = A + (−B).
Mno˙zenie macierzy przez liczb ˛e
Definicja 8. Iloczynem liczby rzeczywistej λ i macierzy A jest macierz
C = λA tego samego wymiary, taka ˙ze cij = λaij.
Przykład 9. 5 · 1 −15 2 0 −1 3 = 5 −1 10 0 −5 15 .
Wła´sciwo´sci mno˙zenia macierzy przez liczb ˛e
• Mno˙zenie macierzy przez liczb ˛e posiada własno´sci
liniowo´sci:
◦ 1 · A = A,
◦ (αβ)A = α(βA),
◦ α(A + B) = αA + αB, ◦ (α + β)A = αA + βA.
Superpozycja przekształce ´n liniowych
Twierdzenie 10.
ϕAB = ϕAϕB
Definicja 11. Iloczynem macierzy A wymiaru n × r przez macierz B
wymiaru r × m jest macierz C wymiaru n × m, której element cij jest równy
cij = ai1b1j + ai2b2j + · · · + airbrj = r X k=1 aikbkr. Przykład 12. 2 3 −1 4 5 1 3 −1 2 0 −2 −3 1 4 ! = 0 −11 7 12 −11 −11 2 16 13 −8 11 4 . Uwaga 13. AB 6= BA
Wła´sciwo´sci mno˙zenia macierzy
• Zało˙zymy, ˙ze we wszystkich przypadkach mno˙zenie
macierzy jest okre´slone poprawnie.
• A(BC) = (AB)C, • OA = O, AO = O,a • IA = AI = A,b • A(B + C) = AB + AC, • (A + B)C = AC + BC, • ∀λ ∈ R A(λB) = λ(AB). a
w tym przykładzie O w ka˙zdym przypadku oznacza zerow ˛a macierz ró˙z-nych wymiarów.
bw tym przykładzie w ka˙zdym przypadku I oznacza jednostkow ˛a macierz
ró˙znych wymiarów.
Rz ˛
ad iloczynu macierzy
Twierdzenie 14. rank AB 6 min { rank A, rank B }
Dowód. • Niech C = AB
• Dla wierszy C(i) i kolumn C(j) macierzy C:
C(i) = A(i)B, C(j) = AB(j).
• Niech r1 = rank A oraz A(1), . . . , A(r
1) b ˛ed ˛a bazowymi • A(k) = Pr1
i=1 λkiA(i) dla r1 < k 6 n
• Wi ˛ec C(k) = A(k)B = Pr1 i=1 λkiA(i) B = Pr1 i=1 λki A(i)B = Pr1
i=1 λkiC(i) dla r1 < k 6 n
•
C(1), . . . , C(n) = C(1), . . . , C(r1)
• rank C 6 r1 –verte–
Rz ˛
ad iloczynu macierzy
Twierdzenie 15. rank AB 6 min { rank A, rank B }
Dowód. cd. • Analogicznie dla B
• Niech r2 = rank B oraz B(1), . . . , B(r2) b ˛ed ˛a bazowymi • B(k) = Pr2 j=1 µkjB(j) dla r2 < k 6 m • Wi ˛ec C(k) = AB(k) = A Pr2 j=1 µkjB(j) = Pr2 j=1 µkj AB(j) = Pr2 i=1 µkjC(j) dla r2 < k 6 n • C(1), . . . , C(m) = C(1), . . . , C(r2) • rank C 6 r2 Algebra – p. 15
Macierze kwadratowe
• Mn(Rn) = Mn zbiór macierzy kwadratowych n × n
• I ∈ Mn macierz jednostkowa
• elementy macierzy jednostkowej δij =
(
1, je˙zeli i = j, 0, je˙zeli i 6= j
(symbol Kroneckera)
• ∀A ∈ Mn, AI = IA = A
• I(λ) = λI macierz skalarna • ∀A ∈ Mn, AI(λ) = I(λ)A = A
Twierdzenie 16. Niech Z ∈ Mn oraz ∀A ∈ Mn, AZ = ZA. Wtedy
Z = I(λ). Dowód. Eij
Macierz nieosobliwa
Definicja 17. • Macierz A ∈ Mn jest nieosobliw ˛a, je˙zeli rank A = n.
• Macierz A ∈ Mn jest odwracalna, je˙zeli istnieje A−1
(AA−1 = I).
Twierdzenie 18. Macierz jest odwracaln ˛a wtedy i tyko wtedy, gdy jest nieosobliw ˛a
Dowód. 1. n = rank I = rank A−1A 6 rank A
2. (a) Rn = hE(1), . . . E(n)i = hA(1), . . . A(n)i (b) E(j) = Pni=1 a′jiA(i)
(c) I = AA′
Wniosek 19. Niech A ∈ Mn b ˛edzie macierz ˛a nieosobliw ˛a. Wtedy At te˙z jest macierz ˛a nieosobliw ˛a oraz (At)−1 = (A−1)t.
Mno˙zenie przez macierz nieosobliw ˛
a
Twierdzenie 20. Niech B i C b ˛ed ˛a macierzami nieosobliwymi wzgl ˛ednie
m × m oraz n × n. Wtedy dla dowolnej m × n macierzy A
rank BAC = rank A
Dowód. rank BAC 6 rank BA = rank BA(CC−1) =
rank(BAC)C−1
6 BAC
Wniosek 21. Niech A, B ∈ Mn oraz AB = I (lub BA = I). Wtedy
B = A−1
.
Wniosek 22. Niech A, B, . . . , C, D ∈ Mn b ˛ed ˛a nieosobliwe. Wtedy
AB . . . CD te˙zb ˛edzie macierz ˛a nieosobliw ˛a, oraz
(AB . . . CD)−1
= D−1
C−1
. . . B−1
Macierze elementarne —
F
s,t • Fs,t = 1 . .. 0 1 . .. 1 . .. 1 0 . .. 1 , s 6= t • Fs,t = I − Ess − Ett + Est + Ets • Fs,tA ⇐⇒ zamiana wierszy A(s) i A(t) Algebra – p. 19Macierze elementarne —
F
s,t(λ)
• Fs,t(λ) = 1 . .. 1 λ . .. 1 . .. 1 , s 6= t • Fs,t(λ) = I + λEst • Fs,t(λ)A ⇐⇒ A(s) A(s) + λA(t)Macierze elementarne —
F
s(λ)
• Fs(λ) = 1 . .. λ . .. 1 λ 6= 0 • Fs(λ) = I + (λ − 1)Ess • Fs(λ)A ⇐⇒ A(s) λA(s) Algebra – p. 21Sprowadzenie do postaci jednostkowej
Twierdzenie 23. Niech A ∈ Mn b ˛edzie nieosobliw ˛a. Wtedy za pomoc ˛a przekształce ´n elementarnych A mo˙zna sprowadzi´c do postaci macierzy jednostkowej.
Dowód. 1. Sprowadzamy do postaci schodkowej 2. Sprowadzamy do postaci jednostkowej
Wniosek 24. Niech A ∈ Mn b ˛edzie nieosobliw ˛a. Wtedy za pomoc ˛a mno˙zenia przed macierze elementarne A mo˙zna sprowadzi´c do postaci macierzy jednostkowej:
I = Pk . . . P1A,
gdzie P1, . . . , Pk — s ˛a macierze elementarne. Wniosek 25.
Obliczenie macierzy odwrotnej
(A|I) P1 (P1A|P1) P2 (P2P1A|P2P1) . . . . . . Pk (Pk . . . P2P1A|Pk . . . P2P1) = (I|A−1) Przykład 26. 1. 0 2 0 1 1 −1 2 1 −1 −1 = 0 −1 1 1 2 0 0 1 2 −2 1 2. −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 −1 = −14 14 14 14 1 4 −14 14 14 1 4 14 −14 14 1 4 14 14 −14 Algebra – p. 23Przestrze ´n rozwi ˛
aza ´n
• Niech dany b ˛edzie układ jednorodny AX = 0 • Zbiór rozwi ˛aza ´n przestrze ´n liniow ˛a
• Baza przestrzeni rozwi ˛aza ´n nazywa si ˛e układem rozwi ˛aza ´n
• Uporz ˛adkowa´c strony (wyniki wyszukiwania) • Wa˙zno´s´c strony P jest I(P )
• Niech strona Pj ma li odno´sników
• Je˙zeli Pj ma link na Pi, strona Pj przekazuje I(Pj)/lj swojej
wa˙zno´sci na Pi • Wa˙zno´s´c Pi wyniesie I(Pi) = X Pj∈Bi I(Pj) lj ,
gdzie Bi jest zbiorem stron z odno´snikami do Pi
Google — podej´scie algebraiczne
• Maciezr hiperlinków H: hij = ( 1 lj , je˙zeli Pj ∈ Bi 0 w pozostałych przypadkach ◦ hij > 0 ◦ P i hij = 1◦ H jest macierz ˛a stochastyczn ˛a
• Wektor wa˙zno´sci I = P1 .. . Pn • Równanie wa˙zno´sci I = HI