Podstawy równań różniczkowych

Analiza Matematyczna

Równania ró˙zniczkowe

Aleksander Denisiuk

denisjuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

Równania ró˙zniczkowe

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/

Wiadomo´sci wst ˛epne

Definicja 1. 1. Równaniem ró˙zniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie

F

(x, y, y

′

, y

′′

, . . . , y

(n)

) = 0,

w którym wyst ˛epuje niewiadoma funkcja

y

= y(x)

oraz jej pochodne do rz ˛edu

n.

2. Liczba

n

nazywa si ˛e rz ˛edem równania.

3. Rozwi ˛azaniem albo całk ˛a równania ró˙zniczkowego nazywa si ˛e funkcja

y(x)

zmiennej niezale˙znej

x, która ma

n

pochodnych i po podstawieniu do równania spełnia to równanie to˙zsamo´sciowo.

4. Całk ˛a ogóln ˛a równania ró˙zniczkowego rz ˛edu

n

nazywa si ˛e takie jego rozwi ˛azanie, które zale˙zy od

n

niezale˙znych dowolnych stałych.

5. Funkcje, otrzymane z całki ogólnej dla ró˙znych konkretnych warto´sci liczbowych stałych dowolnych nosz ˛a nazw˛e całek szczególnychcałki szczególne równania ró˙zniczkowego równania.

Przykłady równa ´n ró˙zniczkowych

Przykład 2. 1.

y

′

= x + 1

jest równaniem pierwszego stopnia,

y(x) =

1₂

x

2

+ x

jest rozwi ˛azaniem (całk ˛a szczególn ˛a) tego równania,

y

(x) =

1₂

x

2

+ x + C

jest całk ˛a ogóln ˛a.

2.

y

′′

= y + 1

jest równaniem drugiego stopnia,

y

(x) = −1

jest rozwi ˛azaniem (całk ˛a szczególn ˛a) tego równania,

Zagadnienie Cauchy’ego

Definicja 3. Zagadnieniem Cauchy’ego dla równania ró˙zniczkowego

n-tego

rz ˛edu jest poszukiwanie całki tego równania, spełniaj ˛acej

n

warunków pocz ˛atkowych o postaci

y

(x

₀

) = y

₀,

y

′

(x

₀

) = y

₁, . . . ,

y

(n−1)

(x

₀

) = y

_n−1, gdzie

y

₀

, . . . , y

_n−1 — dane z góry warto´sci funkcji

y(x)

i jej pochodnych w ustalonym punkcie

x

₀.

•

_{Zagadnienie Cauchy’ego dla bardzo szerokiej klasy równa ´n}

Przykład Zagadnienia Cauchy’ego

Przykład 4.











y

′′

_{= y + 1,}

y

(0) = 0,

y

′

_{(0) = 1.}

(1)

Rozwi ˛azanie. Rozwi ˛azanie polega na ustaleniu stałych

C

₁ i

C

₂ w całce ogólnej tego równania (v. przykład 2, punkt 2):

(

C

₁

+ C

₂

− 1 = 0,

C

₁

− C

2

= 1.

Z ostatniego układu wynika, ˙ze

C

₁

= 1

,

C

₂

= 0

. Wi ˛ec rozwi ˛azaniem zagadnienia 1 b ˛edzie

y(x) = e

x

− 1

.

Równania o zmiennych rozdzielonych

Definicja 5. Równanie ró˙zniczkowe pierwszego rz ˛edu

y

′

= ψ(x)ϕ(y)

, zapisywane tak˙ze w postaci

M

(x)N (y) dx + P (x)Q(y) dy = 0

nazywa si ˛e równaniem ró˙zniczkowym o zmiennych rozdzielonych.

•

_{˙Zeby rozwi ˛}

_{aza´c równanie o zmiennych rozdzielonych,}

doprowadzamy go do postaci

f

(x)dx = h(y)dy

i całkujemy

obie strony.

Uwaga 6. Przy dzieleniu równania przez wyra˙zenie, które zale˙zy od

x

i/lub

y

mo˙zna zgubi´c rozwi ˛azania, na których to wyra˙zenie jest równe zeru.

Przykład równania o zmiennych rozdzielonych

Przykład 7.

x

2

y

2

y

′

+ 1 = y

.

Rozwi ˛azanie. 1. Rozdzielamy zmienne:

x

2

y

2 dy_dx

= y − 1 ⇐⇒

_y−1y2

dy

=

dx_x2

.

2. Całkujemy obie strony:

R

y2 y−1

dy

=

R

_dx x2

⇐⇒

y2 2

+ y + ln |y − 1| = −

x1

+ C.

3. Przy rozdzieleniu zmiennych dzielili´smy przez

(y − 1)x

2, wi ˛ec mogły si ˛e zgubi´c rozwi ˛azania

y

= 1

oraz

x

= 0

. Oczywi´scie, pierwsze z nich jest rozwi ˛azaniem, drugie nie.

Proces powielania

Przykład 8.

y

′

= λy

.

Równania jednorodne

Definicja 9. Równanie postaci

y

′

= f (

y_x

)

nazywa si ˛e równaniem jednorodnym.

Uwaga 10. Równanie jednorodne mo˙ze by´c zapisane równie˙z w postaci

M

(x, y) dx + N (x, y) dy = 0

, gdzie funkcje

M

(x, y)

i

N

(x, y)

s ˛a jednorodne tego samego stopniaa.

•

_{˙Zeby rozwi ˛}

_{aza´c jednorodne równanie, wykonuje si ˛e}

podstawienie

u(x) =

_xy

, po czym równanie zostanie

równaniem o zmiennych rozdzielonych.

a

Funkcja

F

(x, y)

nazywa si ˛e jednorodn ˛a stopnia

α

, je˙zeli

∀t ∈ R

spełnia si ˛e to˙zsamo´s´c

F

(tx, ty) = t

α

F

(x, y)

Przykład równania jednorodnego

Przykład 11.

xdy

= (x + y)dx

.

Rozwi ˛azanie. 1. Równanie jest jednorodnym.

2. Zróbmy podstawienie

y

= ux

, wi ˛ec dy_dx

=

du_dx

x

+ u

.

3. W taki sposób,

xdy

= (x + y)dx ⇐⇒ xdu = dx ⇒ u =

ln |x| + C ⇒ y = x(ln |x| + C)

.

4. Poza tym jest rozwi ˛azanie

x

= 0

, które zostało zagubiono przy dzieleniu przez

x.

Równania ró˙zniczkowe liniowe rz ˛edu pierwszego

Definicja 12. Równanie

y

′

+ a(x)y + b(x) = 0

nazywa si ˛e równaniem liniowym rz ˛edu pierwszego.

•

˙Zeby rozwi ˛

_{aza´c równanie liniowe rz ˛edu pierwszego, nale˙zy}

najpierw rozwi ˛

aza´c równanie

y

′

_{+ a(x)y = 0}

_{, w otrzymanej}

całce ogólnej zamieni´c dowoln ˛

a stał ˛

a

C

przez niewiadom ˛

a

funkcj ˛e

C

(x)

, po tym, z równania istotnego, znale´z´c

C

(x)

.

Przykład równania liniowego rz ˛edu pierwszego

Przykład 13.

y

′

− y ctg x = sin x

. Rozwi ˛azanie. 1.

y

′

_{− y ctg x = 0 ⇒}

dy y

= ctg x dx ⇒ ln |y| =

R

cos x sin x

dx

=











t

= sin x

dt

= cos x dx











=

R

dt_t

= ln | sin x| + ln C ⇒ y = C sin x

. 2.

y

= C(x) sin x ⇒ y

′

= C

′

(x) sin x + C(x) cos x, y ctg x =

C

(x) cos x ⇒ C

′

_{(x) sin x = sin x ⇒ C(x) =}

R

dx

= x + C.

3.

y(x) = (x + C) sin x

.

Równanie liniowe o współczynnikach stałych

•

_y

(n)

_{+ a}

n−1

y

(n−1)

+ a

n−2

y

(n−2)

+ · · · + a

1

y

′

+ a

0

y

= f (x)

•

_{Rownanie jednorodne:}

y

(n)

+ a

_n−1

y

(n−1)

+ a

_n−2

y

(n−2)

+ · · · + a

₁

y

′

_{+ a}

0

y

= 0

•

_{Rownanie charakterystyczne:}

λ

n

+ a

_n−1

λ

n−1

+ a

_n−2

λ

n−2

+ · · · + a

₁

λ

+ a

₀

y

= 0

•

_{Rozwi ˛}

_{azanie ogólne równania jednorodnego:}

y

₀

(x) = C

₁

e

λ1x

+ C

2

e

λ2x

+ · · · + C

n

e

λnx

,

gdzie

λ

1

, . . . , λ

n

—

s ˛

a rózne pierwiastki równania charakterystycznego

◦

_e

(u+iv)x

_{= e}

ux

_{(cos vx + i sin vx)}

◦

_{w przypadku piperwiastków zespolonych zamiast}

C

₁

e

(u+iv)x

+ C

2

e

(u−iv)x

mo˙zna przyj ˛

a´c

Przykład: drgania

•

_y

_{” = −k}

2

_y