REPORT No 115
M M '
SHIPBUILDING LABORATORY
T E C H N O L O G I C A L UNIVERSITY - DELFTAN INVESTIGATION OF FIXED AND
CONTROLLABLE ANTIPITCHING FINS
by
-AN INV£STIG/VTIQ?J QF FIXED -AND CONTROLLABLE yvHTIPITGHIMG F I N S . R e p o r t N r . 1 1 3 » By I r o J.H, V u g t s . S h i p b u i l d i n g L a b o r a t o r y . T e c h n o l o g i c a l U n i v e r s i t y - D e l f t . May 1 9 6^ 0
1o I n t r o d u c t i o n ' 2 c A t h e o r e t i c a l a p p r o a c h t o f i x e d f i n e 5 2 o 1 o I n t r o d u c t i o n 5 2 < , 2 < , K i n e m a t i c s - 6 2 < , 3 o The e q u a t i o n s o f m o t i o n o f t h e f i n s 1 1 2 < , 4 „ The e q u a t i o n s o f m o t i o n o f t h e m o d e l p l u s f i n a 1 5 2 o 5 » S t e r n f i n s l 8 3 o F i n d i m e n s i o n s a n d l o c a t i o n 1 9 C o n t r o l l a b l e f i n e 2 1 ^ . 1 « I n t r o d u c t i o n 2 1 ^ Ó 2 o P o s s i b i l i t i e s f o r a n a u t o m a t i c c o n t r o l o f t h e f i n a n g l e 2 2 4 o 5 o A t h e o r e t i c a l i n v e s t i g a t i a n o f c o n t i n u o u s f e e d b a c k c o n -t r o l i n p u r e p i -t c h i n g 2 5 kako C o n t r o l a c t i o n t h r o u g h ^ a n d ^ 5 1 ko^" A n o n l i n e a r c o n t r o l s y s t e m 5 5 4 o 6 o A c o n t r o l s y s t e m u s i n g t h e wave h e i g h t r e l a t i v e t o t h e v e s s e l 5 7 5 o E x p e r i m e n t s w i t h a n t i p i t c h i n g f i n s 5 9 L i s t o f s y m b o l s o ^ 1 R e f e r e n c e s ^ 5 o
AN INVESTIGATION OF FIXED AND CONTROLLABLE ANTIPITCHING F I N S , By I r e J.H. V u g t s . SUMt-IARY. I n t h i s r e p o r t a s u r v e y i s g i v e n o f w h a t h a s been a c h i e v e d i n t h e d e v e l o p m e n t o f a n t i p i t c h i n g f i n s a t present» A m e t h o d o f c a l c u l a t i o n o f t h e h y d r o d y n a m i c a c t i o n o f t h e f i n s and o f t h e i r c o n t r i b u t i o n t o t h e m o t i o n s o f t h e s h i p i s d e r i v e d * A l t h o u g h t h e p r o b l e m i s g r e a t l y n o n l i n e a r , i t seems t h a t t h e i n f l u e n c e o f t h e f i n s i n t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r p i t c h i n g a n d h e a -v i n g c a n be e s t a b l i s h e d c o m p l e t e l y b y a l i n e a r i z e d t h e o r y . F o r s t r u c t u r a l q u e a t i e n s l i n e a r i z a t i o n may be d a n g e r o u s , h o w e v e r , a s t h e a c -t u a l h y d r o d y n a m i c f o r c e s a r e u n d e r e s -t i r a a -t e d o The p r o b l e m o f c o n t r o l l a b l e f i n s i s t h e o r e t i c a l l y analysed» Some i n t e r e s t i n g c o n t r o l p o s s i b i l i t i e s a r e d i s c u s s e d , among w h i c h a n o n l i n e a r c o n t r o l s y s t e m a p p e a r s t o be préférable» E x p e r i m e n t s a r e n e c e s s a r y t o d e v e l o p t h i s m e t h o d t o a f u r t h e r e x t e n t . The o p t i -• * 1 a d j u s t m e n t o f t h e c o n t r o l c o n s t a n t s i s a d i f f i c u l t question» The a n a l o g c o m p u t e r may be o f g r e a t h e l p here»
F o r a n e x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n o f a n t i p i t c h i n g f i n a o s c i l l a -t o r -t e c h n i q u e s a r e p r o p o s e d . F o r b o -t h f i x e d a n d c o n -t r o l l a b l e f i n s t h i s m e t h o d m u s t be c o n s i d e r e d a s one o f t h e most i m p o r t a n t means i n t h e f u t u r e d e v e l o p m e n t o f a n t i p i t c h i n g f i n a . INTRODUCTION*. The r o l l i n g m o t i o n o f a s h i p h a s b e e n s t a b i l i z e d s u c c e s s f u l l y b y means o f a c t i v e f i n s , p r o j e c t i n g f r o m t h e h u l l a t t h e s i d e s o f t h e s h i p o A t p r e s e n t a t t e n t i o n i s p a i d t o t h e r e d u c t i o n o f p i t c h i n g . I t i s n o t n e c e s s a r y t o p o i n t o u t t h e i m p o r t a n c e o f p i t c h réduction» From t h e p o i n t o f v i e w o f c o m f o r t , damage o f s t r u c t u r e o r c a r g o a n d s a f e t y ( s l a m m i n g , s h i p p i n g o f g r e e n w a t e r ) a s w e l l a s f r o m a n e c o -n o m i c a l a s p e c t ( s p e e d l o s s due t o r e s i s t a -n c e i -n c r e a s e a -n d r a c i -n g o f t h e p r o p e l l e r ) p i t c h i n g p l a y s a p r e d o m i n a n t role«
U n t i l now t h e d e v e l o p m e n t o f a n t i p i t c h i n g f i n s h a s n o t r e a c h e d t h e p o i n t o f p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n o A n t i p i t c h i n g f i n s have b e e n t r i e d o u t on t w o a c t u a l s h i p s , t h e f i r s t o f w h i c h was t h e D u t c h o a r -g o - a n d p a s s e n -g e r l i n e r " R i j n d a m " o f t h e N.AoS.Mo ( 1 9 5 5 )» A f t e r t h r e e d a y s , h o w e v e r , t h e s h i p had t o i n t e r r u p t i t s j o u r n e y t o New Y o r k a s a c o n s e q u e n c e o f v e r y s e r i o u s h o r i z o n t a l v i b r a t i o n s } i t h a d t o r e t u r n , t o remove t h e fins» The s e c o n d one was t h e U.3.S. "Compass I s -l a n d " (1 9 5 8) , a ship of t h e TJoS.navy o f t h e m a r i n e r type» T h i s s h i p was e q u i p p e d w i t h m e a s u r i n g i n s t r u m e n t s a n d i n 1 7 r u n s v a l u a b l e i n f o r m a t i o n was c o l l e c t e d , e s p e c i a l l y r e l a t i n g t o t h e s t r u c t u r a l p r o -b l e m ^ l j e Lint a g a i n s e r i o u s v i -b r a t i o n was e x p e r i e n c e d a n d t h e f i n s h a d t o be r e m o v e d i n t h i s c a s e t o o . A f t e r t h e s e d i s a p p o i n t i n g r e s u l t s m o d e l e x p e r i m e n t s have been c a r r i e d o u t t o g e t a b e t t e r i n s i g h t i n
t h e p r o b l e m a n d i n t h i s r e s p e c t some p r o g r e s s has been made»
S t a b i l i s a t i o n a g a i n s t p i t c h i n g d i f f e r s g r e a t l y f r o m r o l l s t a b i -l i s a t i o n . F i r s t -l y , t h e e x c i t i n g moment i n p i t c h i s many t i m e s -l a r g e r t h a n i n r o l l o I t i s n o t p o s s i b l e t o e l i m i n a t e p i t c h i n g c o m p l e t e l y by f i n e o f r e a s o n a b l e s i z e , a s i s p r a c t i c a l l y t h e c a s e i n r o l l i n g f o r m o d e r a t e s e a - c o n d i t i o n s , , S e c o n d l y , t h e n a t u r a l d a m p i n g i n r o l l i s l o w ; a s a c o n s e q u e n c e r o l l i s a n o s c i l l a t i o n w i t h a s h a r p l y i^tun-ad a m p l i t u d e - r e s p o n s e c u r v e . Most o f t h e e n e r g y i n a r o l l s p e c t r u m i s c o n c e n t r a t e d i n a n a r r o w p e a k - a t r e s o n a n c e a n d t h i s p e a k i s e f f e c t i v e l y r e d u c e d b y i n c r e i n g t h e d a m p i n g . A p i t c h i n g v e s s e l o f f e r s a t o t a l l y d i f f e r e n t p i c t u r e . The n a t u r a l d a m p i n g i s h i g h a n d t h e p i t c h s p e c t r u m i s w i d e ; t h e p e a k a t r e s o n a n c e i s n o t d o m i n a t i n g i t o An i n c r e a s e i n d a m p i n g r e d u c e s t h i s p e a k , b u t i t w i l l o n l y s l i g h t l y c h a n g e r e l a t i v e l y l a r g e o t h e r p a r t s o f t h e s p e c t r u m . F i x e d a n t i p i t -c h i n g f i n s m a i n l y -c o n t r i b u t e t o a v e s s e l ' s d a m p i n g a n d -c o n s e q u e n t l y t h e y a r e m a i n l y e f f e c t i v e a t o r n e a r resonance» F o r t u n a t e l y s u c h f i n s a r e n o t a p u r e d a m p i n g d e v i c e ; i t has been shown b y m o d e l e x p e r i m e n t s t h a t a d d e d mass e f f e c t s a r e p r e s e n t a n d t h i s means t h a t p i t -c h i n g i s a l s o r e d u -c e d a t t h e h i g h e r frequen-cies» N e v e r t h e l e s s t h e r e d u c t i o n . o f t h e s i g n i f i c m t p i t c h a n g l e i n i r r e g u l a r s e a s i s r e l a -t i v e l y s m a l l i n c o m p a r i s o n w i -t h -t h e r e d u c -t i o n o b -t a i n e d a -t r e s o n a n c e i n r e g u l a r w a v e s . I t i s l i k e l y , t h a t c o n t r o l l a b l e f i n s w i l l be more s u i t e d f o r t h e p u r p o s e o f r e d u c i n g t h e s p e c t r u m as a w h o l e r e s u l t i n g
3 -A n t i p i t c h i n g f i n s w i l l i n f l u e n c e t h e s h i p a n d i t s p e r f o r m a n e e i n m a n j r e s p e c t s , a s u r v e y o f w h i c h may be g i v e n b e l o w : a ) . S h i p m o t i o n s ; p i t c h a n d heave a m p l i t u d e s and t h e i r p h a s e r e l a -t i o n ; -t h e v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t s a n d a c c e l e r a t i o n s a l o n g t h e l e n g t h o f t h e s h i p . b) . R e s i s t a n c e a n d p r o p u l s i o n i n s t i l l w a t e r , i n r e g u l a r a n d i n i r -r e g u l a -r wavaao c ) o V i b r a t i o n s . d ) . L o a d i n g a n d s t r e n g t h o f t h e f i n , o f t h e a t t a c h m e n t t o t h e s h i p ( b e n d i n g moment) a n d o f t h e h u l l ( m i d s h i p b e a d i n g m o m e n t ) . M o s t o f t h e m o d e l e x p e r i m e n t s w e r e c o n c e r n e d w i t h t h e r e d u c -t i o n o f -t h e p i -t c h i n g m o -t i o n i n r e g u l a r w a v e c o m p o n e n -t s u s i n g f i x e d f i n s a t t h e b o w[2j , ^ 3 «(^ • I n a l l t h e s e e x p e r i m e n t s a s u b s t a n t i a l de-c r e a s e o f t h e p i t de-c h i n g m o t i o n was f o u n d a t a n d above r e s o n a n c e . I n t h e s u b c r i t i c a l s p e e d r a n g e t h e f i n s a r e n o t v e r y e f f e c t i v e a n d s o m e t i m e s even a s l i g h t i n c r e a s e o f t h e m o t i o n i s n o t i c e d i n s h o r t ( A / L <0 , 7 ) a n d l o n g waves ( A / L> 1 , ' + ) , b u t t h i s i s o f l i t t l e i m p o r -t a n c e . L i k e w i s e a b o u t heave r e d u c t i o n many f a v o u r a b l e t h i n g s h a v e b e e n s a i d ; a n t i p i t c h i n g f i n s c o u l d a l s o be a c t i n g as a n t i h e a v i n g f i n s . Here t h e b e h a v i o u r o f t h e m o d e l i n wave c o m p o n e n t s o f a b o u t t h e s h i p l e n g t h i s m i s l e a d i n g , h o w e v e r , The t o t a l i n f l u e n c e o f t h e m o d i f i e d h e a v i n g m o t i o n a t f r e q u e n c i e s l o w e r o r h i g h e r t h a n t h e n a -t u r a l f r e q u e n c y may c a n c e l t h e f a v o u r a b l e e f f e c t i n t h e r e s o n a n c e z o n e , so t h a t t h e s i g n i f i c a n t heave a m p l i t u d e i n i r r e g u l a r s e a s h a s n o t c h a n g e d b y t h e f i n s, [^5] and ^6 . T h i s u n d e r l i n e s t h e n e c e s s i t y o f c a r e f u l l y j u d g i n g t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s i n r e g u l a r w a v e s . Theaa phenomena a r e c o n f i r m e d b y S t e f u n who f o u n d a decr^; ^ i n h e a v i n g f o r a l l s p e e d s i n waves s h o r t e r t h a n 0 , 7 5 L, b u t a n i n c r e a s e f o r a l l s p e e d s i n waves l o n g e r t h a n 1, ^ L . F o r i n t e r m e d i a t e w a v e - l e n g t h s h e a v i n g i s l e s s a t aad aboY* r e s o n a n c e a n d w o r s e f o r f r e q u e n c i e s b e -l o w r e s o n a n c e. I t h a s b e e n shown t h a t t h e p h a s e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n h e a v i n g a n d p i t c h i n g a n d b e t w e e n t h e m o t i o n s a n d t h e waves i a n o t a i g n i f i -c a n t l y i n f l u e n -c e d b y t h e f i n a . N e v e r t h e l e s s e v e n s m a l l d e v i a t i o n s i n p h a s e may be i m p o r t a n t f o r t h e r e s i s t a n c e a n d p r o p u l s i v e p r o p e r t i e s o f t h e s h i p i n wavea. 3 o n o d a[5]h a a ahown t h a t t h e r e a i s t a n c e i n c r e a -se i n r e g u l a r waves i s a u b a t a n t i a l l y r e d u c e d b y f i n a , e x c e p t a t l o w . k
^
-s p e e d -s . A n i n v e -s t i g a t i o n o f t h e p«rfcrtnanoe i n i r r e g u l a r head a e a a , cteffaed b y N e u m a n n - s p e c t r a , shows a c o n s i d e r a b l y l o w e r mean i n c r e a s e i n t h r u s t , t o r q u e , p r o p e l l e r r e v o l u t i o n s a n d powerfól T h e r e f o r e , t h e s p e e d l o s s a t s e a u n d e r l e s s f a v o u r a b l e c o n d i t i o n s c o u l d be l i m i t e d b y a n t i p i t c h i n g f i n s o The p r o b l e m o f t h e i n d u c e d v i b r a t i o n s has b e e n a t t a c k e d b y O c h i . He showed t h a t t h e v i b r a t i o n s a r e c a u s e d b y a v e r t i c a l i m p a c t f o r c e on t h e f i n a n d a l a t e r a l one on t h e bow s i d e , j u s t a b o v e t h e f i n . The i m p a c t f o r c e i s g e n e r a t e d b y t h e c o l l a p s e o f a n a i r - f i l l e d c a v i t y , f o r m e d i n t h e l o w - p r e s s u r e r e g i o n above t h e f i n d u r i n g i t s downward s t r o k e , a n d b y s l a m m i n g . C o n s e q u e n t l y t h e v i b r a t i o n s a r e o f two t y p e s : t h e c a v i t y t y p e a n d t h e s l a m p l u s c a v i t y type» F u r t i i e r more Q c h i showed t h a t t h e v i b r a t i o n i s i n i t i a l l y a t o r s i o n a l v i b r a -t i o n r a -t h e r -t h a n a p u r e h o r i z o n -t a l f l e x u r a l v i b r a -t i o n . A f -t e r a v e r y s h o r t t i m e (some p e r i o d s o f v i b r a t i o n ) , h o w e v e r , o n l y t h e f l e x u r a l v i b r a t i o n i n t h e f u n d a m e n t a l mode r e m a i n s . T h i s e x p l a i n s t h e v i b r a t i o n p a t t e r n , n o t i c e d b o t h i n m o d e l e x p e r i m e n t s a n d i n t h e f u l l s c a l e a p p l i c a t i o n s . T h e r e a r e some p o s s i b i l i t i e s o f r e d u c i n g t h e v i b r a -t i o n -t r o u b l e . The mos-t i m p o r -t a n -t m e -t h o d s a r e m e n -t i o n e d h e r e . I n -t h e f i r s t p l a c e a l a r g e r minimum s u b m e r g e n c e o f t h e f i n i s v e r y e f f e c t i v e « T h i s c a n be r e a l i z e d i n a v e r t i c a l d i r e c t i o n , b u t a l s o b y p l a -c i n g t h e f i n s f u r t h e r a f t . A t a l o -c a t i o n o f a b o u t 1 5 p e r c e n t a f t . o f t h e f o r w a r d p e r p e n d i c u l a r t h e v i b r a t i o n s have a l m o s t e n t i r e l y d i s -a p p e -a r e d . S e c o n d l y , c -a v i t y f o r m -a t i o n o -a n be h -a m p e r e d b y p r o p e r h o l e s i n t h e f i n s , s o - c a l l e d r e l i e f mechanismso I t a p p e a r s t h a t s l o t s i n t h e d i r e c t i o n o f f l o w a r e m o s t b e n e f i c i a l i n t h i s r e s p e c t » A n o t e w o r t h y p r o p e r t y o f t h e i n d u c e d v i b r a t i o n s i s t h e f a c t t h a t t h e i n t e n -s i t y i -s a f u n c t i o n o f -speed» I n g e n e r a l a t higher f o r w a r d -s p e e d -s t h e v i b r a t i o n s w i l l be s m a l l e r a n d may p r a c t i c a l l y d i s a p p e a r . B u t a p a r t f r o m t h i s q u a l i t a t i v e r e m a r k s v e r y l i t t l e c a n be s a i d a b o u t t h e v i -b r a t i o n phenomena. The g e o m e t r y o f t h e f i n a n d tl.e l o c a t i o n a l s o i n f l u e n c e t h e p e r -f o r m a n c e . The most i m p o r t a n t a s p e c t s w i l l be d i s c u s s e d i n s e c t i o n 5 ° S t e m f i n s have some n o t a b l e d i s a d v a n t a g e s c o m p a r e d t o bow f i n s . The p h a s e r e l a t i o n b e t w e e n p i t c h i n g , h e a v i n g a n d t h e o r b i t a l v e l o c i -t i e s a -t -t h e atern i s s u c h , t h a t t h e a n g l e s o f a t t a c k a r e much s m a l l e r t h a n a t t h e bow. I n a d d i t i o n at«Ti f i n s a r e p a r t l y a c t i n g i n t h e
boun 5 boun
-d a r y l a y e r o f t h e s h i p a n -d a r e l e s s e f f e c t i v e f o r t h i s r e a s o n , t o O o A p a r t f r o E i t h e q u e s t i o n o f e f f e c t i v e n e s s s t e r n f i n s may h a v e a n u n
-f a v o u r a b l e e -f -f e c t on t h e r -f t e r b o d y -f l o w a n d on t h e e -f -f i c i e n c y o -f t h e p r o p e l l e r . T h e r e f o r e most e x p e r i m e n t a l w o r k has been c o n c e n t r a t e d on bow f i n s . The s u b j e o t w i l l be d i s c u s s e d a b i t f u r t h e r i n sectiën 2 . 5 . A p o i n t w h i c h w i l l n o t be t r e a t e d h e r e i s t h e s c a l e e f f e c t . The f l o w a r o u n d a s m a l l f i n w i l l be l a r g e l y i n f l u e n c e d b y s c a l e e f f e c t . The r e s u l t s i n t h i s r e p o r t s h o u l d be r e g a r d e d o n l y as m o d e l r e s u l t s . 2 . A t h e o r e t i c a l a p p r o a c h t o f i x e d f i n s . 2 . 1 . I n t r o d u c t i o n . As f a r a s known a t h e o r e t i c a l c a l c u l a t i o n o f t h e f i n c o n t r i b u -t i o n i n -t h e e q u a -t i o n s o f m o -t i o n b y means o f a i r f o i l -t h e o r y f o r a l i n e a r p r o b l e m hne o n l y b e e n g i v e n t w i c e . A b k o w i t z [ S ] u s e d f i x e d b o d y a x e s a n d E u l e r ' e e q u a t i o n e f o r a body w h i c h i s f r e e t o move i n s p a c e ( i n t h i e caee i n t w o d i m e n e i o n a l f o r m f o r m o t i o n i n t h e v e r t i -c a l p l a n e ) . The unknown h y d r o d y n a m i -c f o r -c e s a r e e x p r e s e e d i n a Taylar-s e r i e Taylar-s f o r t h e c o o r d i n a t e Taylar-s a n d t h e i r f i r e t a n d Taylar-s e c o n d d e r i v a t i v e Taylar-s . U e u a l l y a f i x e d c o o r d i n a t e s y e t e m i e u s e d t o d e s c r i b e ahip m o t i o n s i n t l i e v e r t i c a l p l a n e . N o r m a l l y t h e c o u p l e d e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e g i v e n b y :
Av+ B Ö + Cii)+ Dz + Ez + Qz = K^sxnicj t + fc )
^ ' r e mr
ais+ bê + CZ + dtp + etj; -»- g<^ = F ^ s i n ( c o ^ t + )
The E u l e r i a n e q u a t i o n s have b e e n d e r i v e d b y A b k o w i t z i n I9J. Of c o u r s e t h e f i n c o n t r i b u t i o n i s e x p r e s s e d i n t h i s f o r m , t o o . U n f o r t u n a t e l y he o n l y g i v e s t h e a d d i t i o n a l t e r m s i n t h e l e f t hand a i d a o f t h e equa-, t i o n s , a l t h o u g h he a d m i t s t h a t t h e e x c i t i n g f o r c e s a n d moments a r e i n f l u e n c e d as w e l l . N i k o l a e v a n d M o r e n s i l • t [1 o j c o n s i d e r p u r e p i t c i i i n g a n d p u r e h e a -v i n g s e p a r a t e l y i n s n t e o t h w a t e r o n l y . N e i t h e r c o u p l i n g e f f e c t s n o r t h e i n f l u e n c e o f t h e o r b i t a l m o t i o n i s i n c l u d e d i n t h e i r f o r m u l a e . They h a v e , h o w e v e r , t r i e d t o g i v e a b e t t e r a p p r o x i m a t i o n f o r t h e h y -d r o -d y n a m i c f o r c e s on t h e f i n . The s h i p i s c o n s i -d e r e -d t o be p l a c e -d 6
6 -i n 6 u n -i f o r m f l o w . A s t a t -i o n a r y f -i n u n d e r a c e r t a -i n a n g l e w -i l l t h e n p r o d u c e l i f t and d r a g . The l a t t e r i s d i r e c t e d h o r i z o n t a l l y a n d a m a l l i n c o m p a r i s o n w i t h t h e v e r t i c a l l i f t f o r c e . I t s c o n t r i b u t i o n i n t h e • M i e a t a r o u n d t h e c e n t r e o f g r a v i t y i s n e g l e c t e d . The f i n i s n o t s t a t i o n a r y , h o w e v e r , I t a own m o t i o n i a a v e r t i c a l t r a n s l a t i o n , w h i l e h e a v i n g and a r o t a t i o n r o u n d t h e c e n t r e o f g r a v i t y , w h i l e p i t c h i n g . T h i s g i v e s r i a e t o an a d d i t i o n a l h y d r o d y n a m i c f o r c e , a r e a i a t a n o e f o r c e , i n a d i r e c t i o n p e r p e n d i c u l a r t o t h e m o m e n t a r y p o a i t i o n o f t h e f i n . The o r d e r o f m a g n i t u d e o f t h e v e r t i c a l c o m p o n e n t s o f e a c h o f t h e s e f o r c e s d e p e n d s on t h e a s p e c t r a t i o . They f o u n d t h a t f o r a s p e c t r a t i o s l a r g e r t h a n 1 , 0 t h e r e s i s t a n c e f o r c e i a n e g l i g i b l y a m a l l ; i f t h e a s p e c t r a t i o i s s m a l l e r t h a n 0 , 1 t h e r e w i l l h a r d l y be a n y l i f t and o n l y t h e r e s i s t a n c e f o r c e i s t o be t a k e n i n t o a c c o u n t . F o r i a -t e r r a e d i a -t e v a l u e s b o -t h come i n -t o p l a y . As o n l y f i n s w i -t h an a a p e c -t r a t i o o f 1 , 0 o r more a r e t o be c o n s i d e r e d f o r p r a c t i c a l u a e , t h i a l a a d a t o an e l i m i n a t i o n o f a l l f o r o e a , e x c e p t t h e s t a t i o n a r y l i f t . I n t h e n e x t p a g e s t h e r e s u l t i n g v e l o c i t y and t h e r e s u l t i n g a n g l e o f a t t a c k a r e d e r i v e d f o r t h e g e n e r a l c a s e o f c o u p l e d p i t c h i n g and h e a v i n g i n r e g u l a r w a v e s . The f o r c e s a r e d e t e r m i n e d f r o m known a i r f o i l d a t a . The i n f l u e n c e o f t h e f i n s on t h e s h i p m o t i o n s i s f o u n d b y l i n e a r s u p e r p o s i t i o n . 2.2. K i n e m a t i c s . The f o l l o w i n g a s s u m p t i o n s w i l l be made: 1 . T h e r e i s no m u t u a l i n t e r a c t i o n b e t w e e n b a r e h u l l a n d f i n a . The r e s u l t i n g e q u a t i o n s can be p u t i n t h e f o r m : A ^ y + B^vy+G^Lp+D^z + E ^ i + G^z = M^^ain(ü9^t-f £^ ^ ^ )
a^z + b^z + c^z + d^ 4 j + e^4^+ g^ip = F ^ ^ s i n ( a ? ^ t + g ^
w h e r e : A^ = A + A A , e t c . , i n w h i c h A i s t h e c o e f f i c i e n t f o r t h e h u l l w i t h o u t f i n a ( a e e e q u a t i o n ( 1 ) ) a n d A A i s t h e c o r r e s p o n -d i n g c o e f f i c i e n t f o r t h e f i n s s e p a r a t e l y . 2. The e q u a t i o n s o f Ébtion o f t h e s h i p i n r e g u l a r h a a d w a v e s a r e c o n s i d e r e d t o be a a u p e r p o a i t i o n o f two c a a e a . The l e f t h a n d a i d a o f t h e e q u a t i o n i a d e t e r m i n e d , e i t h e r t h e o r e t i c a l l y o r e x p e r i
7 -m e n t a l l y , b y f o r c e d o s c i l l a t i o n i n s -m o o t h w a t e r ; t h e r i g h t h a n d s i d e b y p u t t i n g t h e r e s t r a i n e d s h i p i n r e g u l a r w a v e s . I t has b e e n shown s e v e r a l t i m e s t h a t t h i s s u p e r p o s i t i o n i s a g o o d a p p r o x i m a t i o n f o r m o d e l s w i t h o u t f i n s , e.^. I l ] , a n d t h e r e i s no r e a s o n t o b e l i e v e t h a t i t w i l l n o t h o l d a n y more when f i n s a r e p r e s e n t . 3 o The v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n o f t h e f l o w r o u n d t h e f i n c o n n e c t e d t o t h e s h i p i s e q u a l t o t h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n i n an u n d i s t u r b e d f l o w . Components f r o m p o t e n t i a l f l o w r o u n d a t h r e e - d i m e n s i o n a l b o d y , b o u n d a r y l a y e r , wake e f f e c t e t c . , a r e l e f t o u t o f c o n s i d e -r a t i o n , 4 o The F r o u d e - K r y l e v h y p o t h e s i s i s v a l i d . 5. The s y s t e m m o d e l p l u s f i n s a n d t h e l i f t c h a r a c t e r i s t i c o f t h e h y -d r o f o i l a r e l i n e a r t h r o u g h o u t . 6 . S u r f a c e e f f e c t s , v e n t i l a t i o n a n d c a v i t a t i o n a r e assumed n o t t o be p r e s e n t . Two s e t s o f r i g h t - h a n d e d o r t h o g o n a l c o o r d i n a t e s y s t e m s w i l l be u a a d ; t h e y a r e i l l u s t r a t e d i n f i g . 1 . OX Z i s f i x e d a n d OXZ t r a n s l a -t e s w i -t h -t h e m o d e l s p e e d U. OX l i e s i n -t h e w a -t e r s u r f a c e , w h i l e OZ i s a v e r t i c a l t h r o u g h t h e c e n t r e o f g r a v i t y . G i s s u p p o s e d t o be s i t u a t e d i n t h e l e a d l i n e o f t h e m o d e l ; t h e c e n t r e o f g r a v i t y t r a n s l a -t e s w i -t h -t h e f o r w a r d s p e e d U. A -t -t = 0 i s G = 0 = 0 . F i n l o c a t i o n i s d e f i n e d b y : 1 = t h e h o r i z o n t a l d i s t a n c e b e t w e e n G a n d t h e a e r o d y n a m i c c e n t r e o f t h e f i n ; p o s i t i v e f o r bow f i n s , n e g a t i v e f o r s t e r n f i n s , h = t h e v e r t i c a l d i s t a n c e b e t w e e n G a n d t h e f i n ; h i s p o s i t i v e . F o r a p i t c h i n g a n d h e a v i n g s h i p i n s m o o t h w a t e r t h e v e l o c i t y d i a g r a m i s g i v e n i n f i g . 2 , The f l o w r o u n d t h e f i n i s d e t e r m i n e d b y : J ( 3 ) 8
8 when t h e f i n i s n o t p a r a l l e l t o t h e w a t e r s u r f a c e , b u t i s p l a c e d u n -d e r a n a n g l e ( s i g n i n a c c o r -d a n c e w i t h ) o I n l i n e a r i z e d f o r m t h i s b e c o m e s : = U + h (}; = z - 1 i i ; V = V ^ = U + hlf> 1 I n r e g u l a r waves t h e o r b i t a l v e l o c i t i e s a p p e a r as a d d i t i o n a l compo-n e compo-n t s o The v e l o c i t y p o t e compo-n t i a l o f t h e wave m o t i o compo-n i s g i v e compo-n b y : J = g e c o s ( k x ' + c J t ) o ( 5 ) The wave p r o f i l e f o l l o w s f r o m : See f i g o 3 o W i t h x ' = X + U t a n d z* = z t h e wave m o t i o n a t t h e c e n t r e o f g r a v i t y ( x = O) r e d u c e s t o : ^ = r s i n ( ( o + k U ) t = r s i n cO t a n d a t t h e f i n ( x = 1 ) t o : è = r s i n j k l +(cO+ k U ) t , - r s i n ( C L ? ^ t + k l ) • ( 6 ) 1
J
The o r b i t a l v e l o c i t i e s a r e g i v e n a s : s a - k z * . u = = ^ = - r w e s i n ( k x + c j t ) 9 X _ » V = 1^ = - r c j e ' ^ ^ c a s C k x ' + cótji w h e r e ( x , z ) a r e t h e c o o r d i n a t e s o f t h e w a t e r p a u - t i c l e a t r a a t , A t t h e f i n i s : x ' = X + U t = 1 + U t ( 7 ) z = z = h + z - 19
-The f a c t o r e - k z can be e x p r e s s e d i n a power s e r i e s . T a k i n g o n -l y -l i n e a r t e r m e t h i s r e s u -l t s i n : k ( h + z - 1 H > ) = 1 - k ( h + z - 1 4 ; ) . T h e r e b y ( 7 ) i s t r a n s f o r m e d i n t o : u = - r u)[l - k ( h + z - i v ) ] s i n ( c 0 ^ t + k l ) V = - r t o f l - k ( h + z- l i | ) ) 1 cosCco t + k l ) to 1 - k ( h + z - lq;) ^ ( 8 ) The v e l o c i t y c o m p o n e n t s a t t h e f i n a r e t h e = U + h^) -CO 1 - k ( h + z - I t f ) ^ V 2 = z - l 4 ^ - ^ 1 - k ( h + z - 1<4> ) ( 9 ) I t i s e v i d e n t f r o m t h e e q u a t i o n e ( 9 ) t h a t a s s u m p t i o n 2 g r e a t l y s i m -p l i f i e s t h e t r e a t m e n t , b e c a u s e t h e much s i m -p l e r f o r m u l a e ( 4 ) can be u s e d i n s t e a d o f V and OC , d e r i v e d f r o m ( 9 ) . I n t h i s c a s e t h e o r -b i t a l m o t i o n d o e s n o t i n f l u e n c e t h e a d d i t i o n a l t e r m s i n t h e l e f t h a n d s i d e o f t b e e q u a t i o n s o f m o t i o n ; i n t h e e x c i t i n g t e r m s t h e y e n t e r i n a s i m p l i f i e d way w i t h z = l p = 0 as z = h = c o n s t a n t e The p o s s i b i l i t y o f l i n e a r i z a t i o n may be d o u b t e d . I n d e e d i n many c a s e s t h e v e r t i c a l v e l o c i t y c o m p o n e n t s a r e n o t s m a l l i n compar i s o n w i t h t h e s p e e d o f a d v a n c e U. An e x a m p l e f o compar a m o d e l i n compar e s o -n a -n c e c o -n d i t i o -n i s g i v e -n i -n t a b l e 1 » P r o c e e d i n g f r o m t h e n o n l i n e a -r i z e d * ) f o -r m u l a e ( 3 ) a n o n l i n e a r t h e o r y has b e e n d e v e l o p e d b y e x p a n d i n g V and O C ^ i n a s e r i e s o I t was s h o w n , h o w e v e r , t h a t t h e v e r t i c a l c o m p o n e n t o f t h e f i n f o r c e N a n d t h e m o t i o n a m p l i t u d e s a c c o r -d i n g t o b o t h t h e o r i e s -d i f f e r e -d v e r y l i t t l e . Up t o a n g l e s o f a t t a c k ÖC o f ^ 0 d e g r e e s t h e t h e o r e t i c a l v a l u e s o f N d i f f e r e d l e s s t h a n 1 0 p e r c e n t . I n v i e w o f t h e o t h e r a s s u m p t i o n s i t was d e c i d e d t h a t a c o m p l e x n o n - l i n e a r t r e a t m e n t had no s i g n i f i c a n c e i n t h i s c a s e . The c o m p a r i s o n w i t h t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e s i s n o t y e t a v a i l a b l e . . * ) o The p i t c h i n g m o t i o n o f a v e s s e l i s a l w a y s s m a l l e n o u g h t o p u t s i n = ^l a n d c o s ^; = 1. I n l i n e a r i z a t i o n o n l y t h e d i s p l a c e -m e n t s z a n d a n d t h e i r d e r i v a t i v e s a r e c o n c e r n e d . 1 0
10 -T a b l e 1 T o d d S i x t y S e r i e s m o d e l w i t h = 0 , 6 5 , L g p = 2 , 2 6 m . ( m o d e l s c a l e 5 ^ ) i n r e g u l a r head waves. F i n l o c a t i o n 1 = - j L =! 1 „ 1 5 n i . ; h = T = 0,125m< M o t i o n a m p l i t u d e s : = 0,0'fmo; ^ = 0 , 0 7 5 ( ^ , 5 d e g r e e s ) , M o t i o n f r e q u e n c y : C*3 = 7 sec?'' Speed o f a d v a n c e : U = 0 , 9 ^ 0 m/sec. ( F r , = 0 , 2 0) o The a m p l i t u d e o f t h e o r b i t a l v e l o c i t y w i t h z = ^> = 0 i s r - k h ) . F o r waves o f X / L = 1,20 a n d 2 r/ L = ^ we h a v e : r = ^ = 3 , 7 5 cm. ; X. = 1 , 2 0 L = 2 , 7 1 m. J k = = 2 , 5 2 m " ' ' ; O = ^ = ^ , 7 6 sec-''; kh = 1 - 0 , 2 9 = 0 , 7 1 . 1 -T h i s l e a d s t o a n a m p l i t u d e o f : X ' f,76 X 0 , 7 1 = 0 , 1 2 7 m/secc; Component freq» A m p l i t u d e p e r c e n t o f U -p e r c e n t o f 1 11 = u 0 0 , 9 ^ 0 m/seco 100 h cjl s h U) (JO c o s Qt o Ü 0 , 0 6 6 7 , 0 1 = ^ H j / ^ Q s i n 2U)t 2 U 0 , 0 2 5 2 , 3 9 ^2 1 ^ , = Z (J c o s (jjt o ^ = 1 ^ c o s ( O t 1 2 = — hc|l^ Q s i n 2 u) t CO LJ 2 CO 0 , 2 8 0 0 , 5 9 3 0 , 0 0 2 3 2 9 , 8 0 6 3 , 0 0 0 , 2 ^ ^ 7 , 3 100
2 „ 5 < > The e q u a t i o n s o f m o t i o n o f t h e f i n a c The h y d r o d y n a m i c f o r c e s a c t i n g on t h e f i n i n s m o o t h w a t e r a r e i n d i c a t e d i n fig» I t f o l l o w s t h a t : -N = L cos «c + D s i n a e , • - \r V -T = -LsinO^.^ + D c o a O t ^ , The moment w i t h r e g a r d t o G i s g i v e n b y : = - N ( l c o s {(f + h s i n q ; ) + T ( h c o s vj; - 1 s i n v ^ ) . I n l i n e a r i z e d f o r m t h e s e e x p r e s s i o n s r e d u c e t o : N = -L - Dot T = hOC^ - D Jy M j = - N ( l + h^) + T ( h - l i ^ ) F o r s m a l l a n g l e s o f a t t a c k we may w r i t e : TT— i s c o n s t a n t , a n d : I n f a c t i s a f u n c t i o n o f o C a s w e l l , b u t t h e v a r i a t i o n i s s m a l l c o m p a r e d t o t h e v a r i a t i o n o f C^ » T h e r e f o r e C^ i s t a k e n a s a c o n ¬ s t a n t mean v a l u e . S u b s t i t u t i o n o f (k) i n ( 1 1 ) a n d ( 1 2 ) and s u b s e q u e n t l i n e a r i z a -t i o n g i v e s : 3c( •
L = ^ F (2UhOC^ - U l ) < j > + Uz + U^(^ + u^o<^ a n d :
( 1 3 )
D = I p C p F ( U ^ + 2Vh(f)), ( 1 ^ )
12 -Then f o r m u l a ( 1 0 ) becomes, e q u a l l y l i n e a r i z e d , r 1 '^^L 9C, ( 2 U h o t - U Dj j ; + Uz + U^i|j + U^ ö 6 -^|DCjjF(Uz - U l ( ^ ) : i 5 ) i P ^ ï " ^ O t j ^ ^ - 1 ( i ; ) - ^ p G ^ F ( U ^ + 2Uh4|;) | p ^ F l (2Uh0t^ - U l ) ^ + U i + U ^ ^ +U ^ O Cq
4( » C ^ F 1 ( U z - U l i
, ) 4 p
^ F h u 2 o c ^ ^ ;
+ 2 ( 9 g ^ F h U O C ^ ( z - l < i ^ ) - ^ f O C j j F h ( U ^ + 2Uh4/) ^ ^ f a G j ^ F l U ^ ^ ; . F o r s u i t a b l y c h o s e n a i r f o i l s e c t i o n s i s C ^ < ( o r d e r o f mag¬ n i t u d e o f 1 0 )o T h e r e f o r e a l l t e r m s c o n t a i n i n g C_ c a n be n e g l e c t e d w i t h r e s p e c t t o i d e n t i c a l t e r m s c o n t a i n i n g -x^ o The s a a e may be s a i d w i t h r e g a r d t o h ^ a n d 1 ^ , b e c a u s e h ^ / l i s i n t h e o r d e r o f l O " ^ F u r t h e r m o r e ö^, i s s m a l l . I t i s r e a s o n a b l e t o s u p p o s e t h a t 0(. i s o f o o t h e same o r d e r a s . T h e r e f o r e a l l t e r m s i n , , z a n d z, c o n -t a i n i n g 0<.Q» a r e t o be n e g l e c t e d a s s e c o n d o r d e r t e r m s . T h e n , u l t i -m a t e l y , t h e n e x t sche-me o f c o e f f i c i e n t s r e s u l t s . T a b l e 2,4^
4^
Z z c o n s t a n t9 c
1 24
^ ^ ^ < ^ o ^
T - ^ C j j U h F — — -1 2-
1 ^'^L 2 One r e m a r k w i l l be a d d e d . F o r m u l a ( 1 5 ) h a s b e e n a c h i e v e d b y c o n s i s t e n t l i n e a r i z a t i o n , w i t h o u t a n y n e g l e c t . A f t e r t h a t i n t a b l e 2 t h e t e r m s have been c o l l e c t e d , w h i c h a r e b y f a r most i m p o r t a n t e The s a n e c o e f f i c i e n t s w o u l d h a v e b e e n r e a c h e d when f i n d r a g a n d t h e v e r -t i c a l d i s -t a n c e h w o u l d h a v e b e e n i g n o r e d -t h r o u g h o u -t -t h e d e r i v a -t i o n . F o r s i m p l i c i t y t h e l a t t e r m e t h o d w i l l be u s e d f r o m now o n .1 3 -The f o r c e s on t h e r e s t r a i n e d f i n , c r e a t e d b y t h e o r b i t a l m o t i o n i n r e g u l a r w a v e s , oan be d e r i v e d s i m i l a r l y ; " s e e fig» 5 . 0C„ = (U + u ) ^ +
v
^ l * 3^
U + u g Ü + u U ( 1 6 ) OC g o' and N = - L - D o t - L y g M. = - N ^ l + T h ^ i * L 1 ( 1 7 ) S u b s t i t u t i n g t h e o r b i t a l v e l o c i t i e s i n ( l 6 ) a n d ( 1 7 ) t h e r e a p p e a r s : N = ^ ( 5 ^ F U r c o d - k h ) c o s ( i O t + k l ) 1 '°L U - 2 U r c j C l - k h ) s i n i O t + k l ) ( 1 8 ) M j ^ = - j | 0 ^ F l U r c o d - k h) c o s ( c O g t + k l ) + 1 ^ ^ L U - 2 U r c o d - k h ) s i n ( c o t + k l ) The e q u a t i o n f o r t h e h e a v i n g m o t i o n i n r e g u l a r waves o f t h e f i n s j a l o n e r e s u l t s f r o m : K = maas x v e r t i c a l a c c e l e r a t i o n ; K = 2 N + 2 N z g mass = ( r e a l m a s s ) + ( v i r t u a l mass a g a i n s t t r a n s l a t i o n ) = . - 2( m j + A m^) v e r t i c a l a c c e l e r a t i o n = d V. £ d t = z - 1^ S u b s t i t u t i n g N f r o m t a b l e 2 a n d N f r o m ( l 8 ) a n d r e a r r a n g i n g t h e t e r a a , i t b e c a m e a : 2(Bj>A«f ) 2 + | 6^ U F i - 2 (B J + „ p i y . ^ ^ u i F( ; > + / ^ u 2 F ^ ) == p ^ F U r to( 1 - k h) c o s ( o ) ^ t + k l ) + ^ p - ^ Fo(^Ur 1 - k h )s i n (co^ t + k l ) .
( t h e c o n s t a n t t e r m s i n QC c a n c e l )
-I n t h e same way t h e p i t c h e q u a t i o n o a n be d e r i v e d . The moment o f t h e i n e r t i a f o r c e a r o u n d G s t i l l has t o be d e v e l o p e d ; s e e fig» 6, dV " i = - hz^^ ^ i x ^ ^ -I n l i n e a r f o r m : = ( « ^ + A« f ) ( z - 1^^)1 - («j +A»j.)h^ci} 2 2 As h i s n e g l i g i b l e w i t h r e s p e c t t o 1 t h i s s i m p l y becomes: M. = (m^ - ( 2 0 ) Then t h e e q u a t i o n f o r t h e p i t c h i n g m o t i o n i n r e g u l a r waves f o r t h e f i n s a l o n e i s : 2 MJ + 2 + 2 = 0 , o r w i t h t a b l e 2 , ( l 8 ) a n d ( 2 0 ) : «C -JG 9C 2 ( ) 1 s5+f>^Ul^FV-y(»^U^lFy-2 (m J ) I z - ^ - ^ U l F i = a c ^C ^^^^ -/3 j ^ F l U r « ( 1 - k h ) c o s ( c p ^ t + k l ) - 2/ > ^ ^ l f l i ^ ^ U r & ) ( 1 - k h ) s i n ( c O ^ t + k l ) ( a g a i n o o n a t a n t t e r m a i n o c c a n c e l ) . o
1 5 -2 ok O The e q u a t i o n s o f m o t i o n o f t h e m o d e l p l u s f i n S o By a d d i n g ( 1 9 ) a n d ( 2 1 ) t o t h e s y s t e m ( 1 ) t h e c o u p l e d e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r t h e m o d e l , e q u i p p e d w i t h f i n s a r i s e : |^a+2(mj + A m j ) z + ( b • + d- 2( m üF)z 4. CZ + . 9G . a c j + 4 m j ) l U + ( e - / > ^ U F l ) < 4 ; + ( g + ) » ^ U F)(p = a c . = F^ Bin(cO„t + 6 j ^ ) + ( 0- 5~ F ü r C 0( 1 - k h ) c o s( 0^ t + k l ) + 30C a c + 2 ö - 5 r r F O C Urtód - k h ) s i n ( c O t + k l ) r 30C o e a c . ( 2 2 ) . ' A + ö ( m j + A m j ) l^j i p +(B y U F l ^ )(;^ 4 - K C U ^ F l + + D- 2( m j + A m j) l t z+ ( E- / O- y^ U F D z + Qz = 9C = M s i n( c j t +1 )-p T s r r F l U r c j d - k h ) c o s( c J t + k l ) (|( mr ' oOL e -ac^ - 2| » - ^ F K X ^ U r o j d - k h ) s i n( C 3 t + k l ) . The i n f l u e n c e o f a n t i p i t c h i n g f i n s on s h i p m o t i o n s c a n be sum-m a r i z e d a s f o l l o w s : 1 ) . The d a m p i n g , b o t h a g a i n s t p i t c h i n g a n d h e a v i n g , i n c r e a s e s s u b -s t a n t i a l l y , i n d e p e n d e n t o f t h e -s i g n o f 1 ; t h a t i -s : i n d e p e n d e n t o f a l o c a t i o n f o r w a r d o r a f t . The f a c t t h a t s t e r n f i n s a r e c o n s i d e r a b l y l e s s e f f e c t i v e t h a n bow f i n s i s n o t due t o t h e m a g n i -t u d e o f -t h e d a m p i n g c o e f f i c i e n -t , b u -t -t o -t h e c h a n g e i n c o u p l i n g t e r m s a n d e x c i t i n g moment. T h i s w i l l be made c l e a r i n s e c t i o n 2 o 5 . A p a r t f r o m t h e s e t h e o r e t i c a l r e a s o n s i n an a c t u a l i n s t a l -l a t i o n t h e wake e f f e c t w i -l -l c a u s e a s m a -l -l e r r e s u -l t i n g v e -l o c i t y a t t h e s t e r n . 2 ) . The i n e r t i a t e r m s a r e somewhat l a r g e r . 3 ) . The s p r i n g f a c t o r a g a i n s t p i t c h i n g i s a l i t t l e s m a l l e r f o r a bow f i n a n d a l i t t l e l a r g e r f o r a s t e r n f i n ; a g a i n s t h e a v i n g i t r e m a i n s u n c h a n g e d . 16
1 6 -k)O T h r o u g h t h e p o i n t s 2 and 3 t h e n a t u r a l f r e q u e n c y d i f f e r s as w e l l . I n h e a v i n g i t i s a l w a y s s l i g h t l y s m a l l e r . I n p i t c h i n g t h e r e s o n a n c e f r e q u e n c y i s d e c r e a s e d by a bow f i n , w h i l e a s t e r n f i n w i l l h a r d l y change t h e n a t u r a l p i t c h f r e q u e n c y . 5 ) » The s t a t i c c o u p l i n g o f p i t c h i n t o heave i s s t r e n g t h e n e d f o r a n y p o s i t i o n o f t h e f i n . I n t h e d y n a m i c c o u p l i n g e f f e c t s d i s o f l i t t l e significance» For many s h i p s , f o r i n s t a n c e t h e Todd S i x -t y S e r i e s m o d e l s , e i s p o s i -t i v e f o r -t h i s s e -t o f a x e s . T h e r e f o r e t h e d y n a m i c c o u p l i n g i s s t r e n g t h e n e d , t o o , i n t h e c a s e o f a, s t e r n f i n ( l< 0 ) „ C o n s e q u e n t l y , O c h i 7 e x p e r i m e n t a l l y f o u n d a c o n s i d e r a b l e i n c r e a s e i n h e a v i n g w i t h a M a r i n e r m o d e l , when u s i n g a f i x e d s t e r n f i n ^
6 ) o The c o u p l i n g o f heave i n t o p i t c h i s due t o t h e b e h a v i o u r o f t h e
t e r m Ez. T h i s t e r m i s l a r g e l y i n f l u e n c e d , b u t t h e r e s u l t may change f r o m s h i p t o s h i p and f r o m s p e e d t o s p e e d . The o r d e r o f m a g n i t u d e o f t h e i n f l u e n c e o f t h e c o u p l i n g t e r m s on s h i p m o t i o n s i s n o t v e r y w e l l e s t a b l i s h e d , b u t i t i s known t h a t [ t h e s e e f f e c t s may be q u i t e i m p o r t a n t . The e q u a t i o n s ( 2 2 ) a p p e a r t o be a g o o d b a s i s f o r a t h e o r e t i c a l c a l c u l a t i o n . Some u n c e r t a i n t i e s a r e i n v o l v e d , h o w e v e r , b y t h e assumpt i o n s made. The c o r r e c assumpt v a l u e o f U i s s assumpt r o n g l y d e p e n d e n assumpt on assumpt h e l o c a t i o n o f t h e f i n and t h i s s i m p l i f i c a t i o n may c a u s e f a i r l y l a r g e d i f -f e r e n c e s b e t w e e n t h e o r e t i c a l and e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . The s l o p e o -f t h e l i f t c u r v e -r—** a l s o o f f e r s p r o b l e m s . The many d a t a on t h i s quar. t i t y a r e a l l v a l i d f o r a s t a t i o n a r y , u n i f o r m f l o w o f i n f i n i t e e x t e n t , i n f i n i t e a s p e c t r a t i o and h i g h R e y n o l d s n u m b e r s . A b o u t t h e i n f l u e n ce o f t h e p r o x i m i t y o f t h e f r e e s u r f a c e l i t t l e i s k n o w n . F u r t h e r -more t h e R e y n o l d s number does p r i m a r i l y a f f e c t t h e p o i n t o f l i f t b r e a k d o w n ; t h e s l o p e o f t h e l i f t c u r v e i s o n l y s l i g h t l y i n f l u e n c e d . As b o t h c i r c u m s t a n c e s a r e t o t a l l y l e f t o u t o f c o n s i d e r a t i o n i n t h e p r e s e n t t h e o r y t h e y can n o t a c t upon t h e v a l u e o f i n t h e p r o -b l e m i n q u e s t i o n . T h e r e r e m a i n s a s p e c t r a t i o and n o n - u n i f o r m f l o w . The h i g h e r t h e a s p e c t r a t i o t h e l a r g e r t h e s l o p e . A r e d u c t i o n f a c t o r f o r AR =«>«> can be d e r i v e d f r o m r e f e r e n c e [ l i ] , f i g . l 8 , w h i c h i s r e p r o d u c e d h e r e as f i g . 7. F o r an e f f e c t i v e a s p e c t r a t i o o f t w o , f o r e x a m p l e , i t
17 -i s ( u s -i n g t h e e x p e r -i m e n t a l c u r v e ) —^^r = 0,3^ . The e f f e c t -i v e a s ¬ p e c t r a t i o f o r a h y d r o f o i l w i t h o n l y one f r e e end i s t h e o r e t i c a l l y t w i c e t h e g e o m e t r i c a l a s p e c t r a t i o . T h e r e a r e some s i m p l e f o r m u l a e , t o o , w h i c h t a k e t h i s i n f l u e n c e i n t o a c c o u n t . I n . S j i s m e n t i o n e d :
^
-and i n [ l o j : - 1 3 , 1 k , 7 7 acc 2 , 7 5 AR + 5 , 6 ~ . . 2.04 " AR These f o r m u l a e do n o t a g r e e w i t h f i g o 7 ; t h e r e f o r e t h e use o f t h e e x p e r i m e n t a l c u r v e i s p r e f e r e d o The i n f l u e n c e o f n o n - u n i f o r ^ f l o w has b e e n c a l c u l a t e d i n 15 f o r some c a s e s . The c a l c u l a t i o n s a r e c o m p l i c a t e d a n d t h e r e f o r e a a c j mean r e d u c t i o n f a c t o r i e p r o p o s e d . I t i s assumed t h a t i s on a n a v e r a g e 85 p e r c e n t o f t h e v a l u e w i t h a u n i f o r m v e l o c i t y d i s t r i b u -t i o n . The v i r t u a l mass o f t h e f i n A m j c a n be a p p r o x i m a t e d b y t h e f o r m u l a , v a l i d f o r a f l a t r e c t a n g u l a r p l a t e o f s p a n s a n d c h o r d c: A.m, = X> TT _ 4 = £ = = ( 2 3 ) • f ^ ^ ^ ; \ 7 = r ^ I n 13 i s u s e d : + c j . K ^ ^ s c ^ ( 2 4 ) i n w h i c h K i s a c o e f f i c i e n t f o r an e l l i p t i c d i s c h a v i n g a n a s p e c t r a t i o o f 1,168 t i m e s t h e a s p e c t r a t i o o f t h e fin» I t c a n be d e t e r -m i n e d f r o -m 14 p 18= 18 -2050 s t e r n f i n s . I t has b e e n s a i d t h a t s t e r n f i n s a r e l e s s e f f e c t i v e t h a n bow f i n s . T h i s i s due t o t h e p h a s e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n p i t c h , h e a v e a n d t h e o r b i t a l v e l o c i t i e s , w h i c h c a u s e s a l a r g e r v e r t i c a l v e l o c i t y com-p o n e n t a t t h e f o r e - com-p a r t o f t h e a h i com-p . T h i s can e a s i l y be com-p r o v e d f r o m f o r m u l a ( 9 ) . T e r m s , c o n t a i n i n g z and i n t h e o r b i t a l v e l o c i t y , g i v e r i s e t o s e c o n d h a r m o n i c a i n and a r e n e g l e c t e d f o r c o n v e n i e n c e ! 7^= z - l i j ; - r o d - k h ) c o 8 ( C 0 ^ t + k l ) = = z CO c o s ( a ) t ) - 1(1) 6) cos(cO t + 6 j - r u ( l - k h ) c o s ( Q t + k l ) = o e e z ^ o e e y e = z (0 cos(tO t +A ) + l ( p CO c o s ( c J t +e -ïli)+rcüd - k h ) c o s ( c ? t + k l +7t) » o e e ^ ' ^ o e e < ( > e F o r bow f i n s 1 i s p o s i t i v e and t h e s i g n o f t h e t h r e e t e r m s i s t h e same. I f t h e p i t c h v e l o c i t y i s t a k e n as a r e f e r e n c e t h e a m p l i t u -de o f w i l l be l a r g e r i f o r : V ^ - ^ z
< f
a n d < f a n d t^-7t- k l Tt F o r waves I n m o s t c a s e s \ve h a v e^ ^ t i ^ K
^ l t
and 7 C < 6 ^ ; - ^It. o f a b o u t t h e s h i p l e n g t h k l J » ^ o |-L <s:f7. T h e r e f o r e i n t h e s e waves b o t h c o n d i t i o n s a r e s a t i s f i e d . F o r s t e r n f i n s 1 i s n e g a t i v e and o n l y t h e s i g n o f t h e s e c o n d t e r m c h a n g e s . The h e a v e v e l o c i t y i s i n d e p e n d e n t o f 1 and t h e o r b i t a l v e l o c i t y a l s o r e m a i n s t h e same f o r A. ^ L and l = - 2 L o O c h i [ 7 ] e x p e r i m e n t e d w i t h s t e r n f i n s , p l a c e d 5 , 3 , P«r c e n t o f t h e l e n g t h f o r w a r d o f t h e a f t p e r p e n d i c u l a r . He cane t o t h e f o l l o -w i n g c o n c l u s i o n s : _ t h e r e d u c t i o n i n p i t c h i n g i s c o n s i d e r a b l y l e s s t h a n w i t h a bow f i n ; _ t h e r e i s a l a r g e i n c r e a s e i n h e a v i n g , e v e n when c o m p a r e d t o t h e b a r e h u l l ;- t h e r e a i s t a n c e i n c r e a s e i n waves i s much l a r g e r t h a n w i t h bow f i n s ;
T a k i n g i n t o a c c o u n t t h e s e r e s u l t s and t h e r e m a r k s made i n t h e i n t r o d u c t i o n , t h e r e may be c o n c l u d e d t h a t , i f s t e r n f i n s a r e c o n s i d e r e d as a means f o r p i t c h r e d u c t i o n , t h e y c e r t a i n l y have t o be c o n -t r o l l a b l e and g r e a -t c a r e has -t o be g i v e n -t o -t h e ins-talla-tion» Work i n t h i s f i e l d i s c a r r i e d o u t a t t h e D a v i d s o n L a b o r a t o r y ^15 o
3c F i n d i m e n s i o n s and l o c a t i o n .
The d i m e n s i o n s o f t h e f i n s a l s o i n f l u e n c e t h e p e r f o r m a n c e . The f o l l o w i n g i m p o r t a n t p a r a m e t e r s may be m e n t i o n e d : f i n a r e a F, a s p e c t r a t i o AR, p l a n f o r m and s e c t i o n . M o r e o v e r t i p f e n c e s a n d / e r r e l i e f m e c h a n i s m s may be f i t . T i p itMices hamper t h e f l o w f r o m h i g h t o l o w p r e s s u r e s i d e r o u n d t h e f r e e e n d , b y w h i c h i h e | j r e s s u r e d i f f e r e n c e i s l e v e l l e d down. T h e r e f o r e t h e y i n c r e a s e t h e e f f e c t i v e a s p e c t r a t i o and a f a v o u r a b l e i n f l u e n c e may be e x p e c t e d . T h i s has b e e n c o n f i r m e d e x p e r i m e n t a l l y [ 4 , t h o u g h t h e q u a n t i t a t i v e i m p r o v e m e n t a p p e a r e d t o be v e r y s m a l l . R e l i e f raechnisms a r e s t u d i e d i n 5^. T h e i r o b j e c t i v e i s a r e d u c t i o n o f t h e v i b r a t i o n t r o u b l e . I t has t u r n e d o u t t h a t l o n g i -t u d i n a l s l o -t s a r e mos-t e f f e c -t i v e i n -t h i s r e s p e c -t and f o r -t u n a -t e l y t h i s t y p e o f h o l e s i s m o s t b e n e f i c i a l t o p r e v e n t bad i n f l u e n c e s on m o t i o n r e d u c t i o n a n d r e s i s t a n c e i n c r e a s e as w e l l . The r e d u c t i o n o f m o t i o n a m p l i t u d e s i n c r e a s e s a l m o s t l i n e a r l y w i t h f i n a r e a , up t o F = 0, 0 3 o r 0, 0 4 A^^j^ [ 4 ] , [tJO F o r p r a c t i c a l p u r -p o s e s f i n s o f 1, 0 t o 1,5 p e r c e n t o f t h e w a t e r l i n e a r e a l o o k s u i t a b l y s i z e d . L a r g e f i n a g i v e l a r g e m o t i o n r e d u c t i o n s a n d t h e r e b y l e s s v i -b r a t i o n ' d a n g e r ; -b u t i f v i -b r a t i o n o c c u r s t h e i n t e n s i t y i s i n c r e a s e d . The l a r g e r t h e a s p e c t r a t i o t h e l a r g e r t h e s l o p e o f t h e l i f t c u r v e and t h e f i n f o r c e s . R a t i o s n o t s m a l l e r t h a n 1,0 a r e p r e f e r a b l e . E x p e r i m e n t a l r e s u l t s a g r e e w i t h t h i s e x p e c t a t i o n ; h o w e v e r , r e a s o n a -b l e c h a n g e s i n AR w i l l c a u s e no n o t a -b l e i n f l u e n c e on s h i p m o t i o n s a n d r e s i s t a n c e i n c r e a s e [ 4 j . I t i s q u i t e c e r t a i n t h a t a h y d r o f o i l f i n s e c t i o n w i l l be b e s t i n a l l r e s p e c t s . I n v i e w o f t h e c a v i t a t i o n d a n g e r t h e n o s e has t o ba w e l l r o u n d e d w i t h a r a d i u s o f a t l e a s t 5 p e r c e n t o f t h e c h o r d . N e x t t a i t a c h o r d - t h i c k n e s s r a t i o o f a b o u t s i x seems t o s a t i s f y a l l c o n s i d e r a t i o n s [l2]„ 20
20 -A b o u t t h e i n f l u e n c e o f t h e p l a n f o r m no d a t a a r e known. Most f i n s u s e d f o r e x p e r i m e n t s w e r e o f a r e c t a n g u l a r s h a p e . F r o m^ 1 2] o r 16J, d e a l i n g w i t h h y d r o f o i l s and a p p e n d a g e s i n g e n e r a l , t h e f o l l o w i n g d i r e c t i v e s m i g h t be g a t h e r e d . An e l l i p t i e a l s p a n w i s e l o a d d i s -t r i b u -t i o n on -t h e f i n i s f a v o u r a b l e i n r e l a -t i o n -t o -t h e f o l l o w i n g p o i n t s : minimum I n d u c e d d r a g , l a r g e r s l o p e o f t h e l i f t c u r v e , s m a l l e r b e n d i n g moment a t t h e r o o t and an i n c r e a s e d s p e e d , a t w h i c h c a -v i t a t i o n o c c u r s . T h i s e l l i p t i c a l d i s t r i b u t i o n can be o b t a i n e d by t h e a i d o f t h e d i a g r a m i n f i g . 8, t a k e n f r o m r e f e r e n c e [^12]; i n t h e same f i g u r e some e x a m p l e s a r e g i v e n . P e r h a p s i t i s w o r t h w i l e t o p a y a t t e n t i o n t o t h e s e p o i n t s f o r a n t i p i t c h i n g f i n s as w e l l . F i n l o c a t i o n i s v e r y i m p o r t a n t f o r i t s p e r f o r m a n c e . O c h i j^7" has shown e x p e r i m e n t a l l y t h a t m o t i o n r e d u c t i o n d e c r e a s e s f a s t i n -d e e -d w i t h -d i s t a n c e f r o m t h e bow. He a -d v i s e s a p o s i t i o n n o t more t h a n 5 p e r c e n t a f t o f t h e f o r w a r d p e r p e n d i c u l a r f o r f i x e d f i n s . The r e -s i -s t a n c e i n c r e a -s e become-s l a r g e r a-s w e l l ; i n t h i -s r e -s p e c t i t doe-s n o t l o o k a d v i s a b l e t o e x c e e d t h e 10 p e r c e n t p o i n t . But a l s o tlio vLbr» t i o n t r o u b l e d i s a p p e a r s f a s t when t h e s t a b i l i z e r i s f i t more t o amid-^ s h i p s ; a t 10 t o 15 p e r c e n t b e h i n d t h e f o r w a r d p e r p e n d i c u l a r i t haa r e d u c e d c o n s i d e r a b l y . From case t o c a s e t h e s e p e r c e n t a g e s may d i f
-f e r somewhat and i t m u s t be c o n s i d e r e d p o s s i b l e t o -f i n d an o p t i m u m c o m p r o m i s e f o r any i n s t a l l a t i o n . Anyhow t h e g e n e r a l t e n d e n c y o f t h e a b o v e phenomena i s a p p l i c a b l e t o e v e r y c a s e .
i.Vith a n t i - r o l l i n g f i n s t h e r e has been e x p e r i m e n t e d w i t h s e v e r a l s m a l l e r f i n s , p o s i t i o n e d b e h i n d o r a b o v e e a c h o t h e r , i n s t e a d o f one l a r g e f i n . The a d v a n t a g e s a r e c l e a r , b u t i t has a p p e a r e d t h a t a s e r i o u s l o s s i n l i f t f o r c e s was s u f f e r e d by f l o w d i s t u r b a n c e . T h e r e -f o r e t h e s e i n s t a l l a t i o n s w e r e r e j e c t e d as t o o l i t t l e e -f -f e c t i v e [ 1 ? ] .
2 1 -4 . C o n t r o l l a b l e f i n a . 4 c 1 o I n t r o d u c t i o n . B e t t e r r e a u l t a may be o b t a i n e d by a u t o m a t i c a l l y c o n t r o l l e d f i n s . The i n f l u e n c e on m o t i o n r e d u c t i o n and s p e e d l o s s w i l l p r o b a b l y be i m p r o v e d , w h i l e t h e v i b r a t i o n t r o u b l e may be r e d u c e d by a d e e p e r a u b m e r g e n c e and t h e p r e v e n t i o n o f f i n s t a l l and f l o w d i s t u r b a n c e . I n v a r i o u s a s p e c t s t h e c o n t r o l q u e s t i o n i s an u n d e t e r m i n e d p r o b l e m . S o m e t i m e s a h i g h e r f i n e f f i c i e n c y must be o b t a i n e d by i n c r e a s i n g t h e a n g l e o f a t t a c k , e s p e c i a l l y i n l i g h t w e a t h e r c o n d i
-t i o n s . I n h e a v y Seas und a -t l o w s p e e d , h o w e v e r , f i n a n g l e s have to be r e d u c e d t o g e t an o p t i m a l p e r f o r m a n c e . T h i s may be c a l l e d a p o s i t i v e and a n e g a t i v e c o n t r o l s y s t e m , r e s p e c t i v e l y . I n any s y s t e m b o t h r e -q u i r e m e n t s have t o be s a t i s f i e d i n some way. A n o t h e r u n d e f i n i t e p o i n t i s t h e a b s e n c e o f good and q u a n t i t a t i v e c r i t e r i a f o r t h e d e -s i r e d c o n t r o l a c t i o n . F o r i n -s t a n c e t h e f o l l o v j i n g o b j e c t -s may be p u r s u e d ^ 1 ) . The s h i p moves h o r i z o n t a l l y : <+> = 1 = 0 . An i d e a l s i t u a t i o n f o r p a s s e n g e r c o m f o r t , b u t n o t f o r s h i p o p e r a t i o n . S h i p p i n g o f wa-t e r , s l a m m i n g and s c r e w emergence w i l l o c c u r f r e q u e n wa-t l y . 2 ) . The p i t c h a n g l e r e m a i n s s m a l l e r t h a n a f i x e d v a l u e . I n p r i n c i -p l e t h e same r e m a r k s as a b o v e can be made t o t h i s c a s e . As am-p l i t u d e and f r e q u e n c y t o g e t h e r d e t e r m i n e t h e i n c o n v e n i e n c e o f t h e m o t i o n an a b s o l u t e a m p l i t u d e r e s t r i c t i o n can n e v a r be a c o r -r e c t s o l u t i o n .
3 ) o The v e r t i c a l a c c e l e r a t i o n s a r e l i m i t e d t o a c e r t a i n m a g n i t u d e . T h i s i a a l r e a d y much more c o m p l i c a t e d ; a m p l i t u d e , p e r i o d and p h a s e r e l a t i o n o f b o t h m o t i o n s a r e d e c i s i v e . 4 ) . The s h i p as a w h o l e o r a p a r t o f i t moves i n a c c o r d a n c e w i t h t h e w a v e s , so t h a t a c o n s t a n t f r e e b o a r d i s m a i n t a i n e d . To p r e -v e n t w a t e r on d e c k a n d s l a m m i n g t h e r e l a t i -v e m o t i o n o f t h e bow w i t h r e s p e c t t o t h e waves has t o be m i n i m u m : ^ j - ( z - i m i ) = 0 o r ^-z + ^nl) = 0. The c o n d i t i o n f o r s u f f i c i e n t s c r e w s u b m e r g e n c e i s l i k e w i s e : ^ ^ . ê - l L y = 0 . 22
-22
5 ) . The s p e e d l o s s i n waves i s as s m a l l as p o s s i b l e . I n many c a s e s t h i s u l t i m a t e l y w i l l be one o f t h e most i m p o r t a n t p u r p o s e s o f m o t i o n r e d u c t i o n . But t h e t h e o r e t i c a l d e v e l o p m e n t has not y e t r e a c h e d t h e p o i n t t h a t t h i s p r o b l e m can be a t t a c k e d . M o s t l y 3, 4 and 5 t o g e t h e r a r e t o be c o n s i d e r e d f o r a b e t t e r p e r f o r m a n c e o f a s h i p a t sea» W h i c h p o i n t has t o be e m p h a s i z e d i s a l m o s t a d e c i s i o n o f an o p e r a t i o n a l c h a r a c t e r , w h i c h may d i f f e r f r o m c a s e t o c a s e . 4.2. P o s s i b i l i t i e s f o r an a u t o m a t i c c o n t r o l o f t h e f i n a n g l e . For c o n t r o l p u r p o s e s i t i s v e r y u s e f u l t o d e s c r i b e t h e p r o b l e m i n t e r m s o f t r a n s f e r f u n c t i o n s i n s t e a d o f n o r m a l d i f f e r e n t i a l e q u a -t i o n s . Then -t h e s y s -t e m : m o d e l p l u s f i n s p l u s c o n -t r o l m e c h a n i s m i s d i v i d e d into»its l i n e a r c o m p o n e n t s and i s r e p r e s e n t e d b y a b l o c k d i a g r a m . I n p u t and o u t p u t o f e a c h e l e m e n t a r e c o n n e c t e d by t h e t r a n s f e r f u n c t i o n , when t h e s u b j e c t i s t r e a t e d w i t h t h e L a p l a c e t r a n s f o r m , o r by t h e f r e q u e n c y r e s p o n s e f u n c t i o n , when a c o m p l e x n o t a t i o n i s u s e d . As t h i s i n v e s t i g a t i o n w i l l r e s t r i c t i t s e l f t o t h e c a s e o f m o t i o n s i n r e g u l a r waves b o t h c o n c e p t s a r e i n d e n t i c a l i f p i s r e p l a c e d b y iC«^. L i n e a r i t y o f a l l t h e e l e m e n t s now i s an e s s e n -t i a l a s s u m p -t i o n , as -t h e a p p l i e d -t h e o r y o n l y h o l d s i n -t h i s c a s e . P u r e p i t c h i n g i s c o n s i d e r e d f i r s t . The b l o c k d i a g r a m o f t h e m o d e l w i t h o u t f i n s i s a s s i m p l e as f i g . 9 . The t r a n s f e r f u n c t i o n o f e l e m e n t A ( a h i p ) i s g i v e n b y : A m o d e l , e q u i p p e d w i t h f i x e d f i n s , f o r m s a p a s s i v e f e e d b a c k s y s t e m . I t i s r e p r e s e n t e d i n f i g . 1 0 . The s u g g e s t i v e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s h i p and f i n may n o t be s e p a r a t e d c o m p l e t e l y . I n f a c t t h e t r a n s f e r f u n c t i o n A ( p ) f o r t h e s h i p w i t h and w i t h o u t f i n s a r e s i m i l a r , b u t n o t i d e n t i c a l . The t r a n s f e r f u n c t i o n s f o r t h e p a s s i v e c o n t r o l me-c h a n i s m and t h e s t a b i l i z e r a r e as f o l l o w s : * ) T h e n o t a t i o n a ( p ) i s u s e d f o r t h e L a p l a c e t r a n s f o r m as w e l l as f o r t h e c o m p l e x a m p l i t u d e o f t h e f u n c t i o n a ( t ) ; A ( p ) d e n o t e s t h e t r a n s -f e r -f u n c t i o n ( -f r e q u e n c y r e a p o n a e -f u n c t i o n , r e s p e c t i v e l y ) o -f b l o c k A. e m p h a s i z e s t h a t t h e d y n a m i c s o f
2 3 -The o v e r - a l l t r a n s f e r f u n c t i o n i s f o u n d b y some s i m p l e a l g e b r a i c o p e r a t i o n s o F o r b l o c k A h o l d s t h e e q u a t i o n : so t h a t : Cp= A M - A M p = A M - A B C g i , a n d : I = T T T T ? ( 2 5 ) T h e r e a r e t w o k i n d s o f a c t i v e s t a b i l i s a t i o n , d i f f e r i n g i n t h e n a t u r e o f t h e s i g n a l s f r o m w h i c h t h e c o n t r o l a c t i o n i s d e r i v e d : - f e e d b a c k c o n t r o l , u s i n g s i g n a l s f r o m t h e o u t p u t , t h a t i s s h i p m o t i o n s ( (f) , «4; a n d g ) ) ; - f e e d a h e a d c o n t r o l , u s i n g s i g n a l s f r o m t h e i n p u t , t h a t i s t h e waves ( b y p r e s s u r e m e a s u r e m e n t s , wave h e i g h t m e t e r s , e t c . ) . The b l o c k d i a g r a m s a r e r e p r e s e n t e d i n f i g . 1 1 a n d 1 2 . The t r a n s f e r f u n c t i o n s o f t h e a c t i v e b l o c k a r e r e s p e c t i v e l y g i v e n b y : a n d : I n e x a c t l y t h e same way a s b e f o r e t h e t r a n s f e r f u n c t i o n f o r t h e w h o l e s y s t e m c a n be d e r i v e i o F o r f e e d b a c k c o n t r o l i t i s f o u n d : and f o r f e e d a h e a d c o n t r o l : 5 = A( 1 - c T * ) , , = = — ^ — 1 . - : - • - ( 2 7 ) M l U ^ A B C 2 4
2 4
-B o t h k i n d s o f a c t i v e s t a b i l i s a t i o n can be u s e d . F e e d b a c k , how-e v how-e r , has somhow-e n o t a b l how-e a d v a n t a g how-e s and i s p r how-e f how-e r a b l how-e i n g how-e n how-e r a l . Thhow-eshow-e a d v a n t a g e s can be s u m m a r i z e d as f o l l o w s : w i n f e e d b a c k s y s t e m s t h e c o n t r o l s i g n a l s a r e d e r i v e d f r o m t h e m o t i o n o f t h e s h i p , w h i c h can be r e a l i z e d i n a v e r y s i m p l e way. I n f e e d a h e a d c o n t r o l , on t h e o t h e r h a n d , m e a s u r e m e n t o f t h e e x c i t i n g moment o r e q u i v a l e n t i n p u t s a n d d e r i v i n g a c o n t r o l s i g -n a l f r o m i t o f f e r s ma-ny problems« f e e d b a c k c o n t r o l i s l a r g e l y i n d e p e n d e n t on v a r i a t i o n s i n s y s -tem p a r a m e t e r s as d i s p l a c e m e n t , l o n g i t u d i n a l m e t a c e n t r i c h e i g h t , e t c o I n u s i n g s h i p m o t i o n s a l l t h e s e v a r i a t i o n s a r e a u t o m a t i c a l l y t a k e n i n t o a c c o u n t . T h i s i s a v e r y g r e a t a d v a n t a g e o v e r f e e d a h e a d c o n t r o l . The m e a s u r e d i n p u t s a r e n o t s u f f i c i e n t t o d e t e r m i n e t h e r e s u l t i n g m o t i o n s : t h e s y s t e m p a r a m e -t e r s p l a y an i m p o r -t a n -t r o l e as w e l l . I -t i s p o s s i b l e -t o compen-s a t e t h e compen-s e i n f l u e n c e compen-s t h r o u g h t h e c o n t r o l c o n compen-s t a n t compen-s , b u t t h a t makes t h e m e c h a n i s m much more c o m p l i c a t e d .
I n p r i n c i p l e f e e d a h e a d c o n t r o l a l s o has some v e r y f a v o u r a b l e a s p e c t s , b u t t h e y a r e o f l i t t l e i m p o r t a n c e h e r e . I n p r i n c i p l e i t i s p o s s i b l e , ' f o r i n s t a n c e , t o e l i m i n a t e a m o t i o n , w h i l e a f u n d a m e n t a l p r o p e r t y o f a f e e d b a c k s y s t e m i s t h a t i t c a n o n l y r e d u c e i t , t h o u g h t o a g r e a t e x -t e n -t . B u -t i n p i -t c h s -t a b i l i s a -t i o n -t h i s i s an u n a -t -t a i n a b l e s i -t u a -t i o n , anyhow. F u r t h e r m o r e , f e e d a h e a d c o n t r o l i s an open s y s t e m ; i t a v o i d s t h e c l o s e d l o o p a n d h e n c e t h e p r o b l e m o f s e l f - o s c i l l a t i o n . T h i s has c a u s e d many t r o u b l e s i n c o n t r o l s y s t e m s i n t h e p a s t , b u t t h e f u n d a -m e n t a l p r o p e r t i e s a r e w e l l u n d e r s t o o d now a n d i t i s no r e a s o n any more t o l a b e l f e e d b a c k as u n r e l i a b l e . I n a f u r t h e r c l a s s i f i c a t i o n o f c o n t r o l s y s t e m s i t i s u s u a l t o d i s t i n g u i s h c o n t i n u o u s and d i s c o n t i n u o u s , o r s o - c a l l e d o n - o f f contrcQ. I n t h e f i r s t t y p e t h e r e g u l a t e d q u a n t i t y ( f i n a n g l e S ) i s p r o p o r -t i o n a l -t o -t h e c o n -t r o l s i g n a l a -t any momen-t. I n -t h e s e c o n d s y s -t e m i -t has a c o n s t a n t v a l u e , e i t h e r p o s i t i v e o r n e g a t i v e , d e p e n d i n g on t h e s i g n o f t h e c o n t r o l s i g n a l o n l y . I f , f o r i n s t a n c e , t h i s s i g n a l i s 4> t h e c o n t r o l i a c o n t i n u o u s when S = k and d i s c o n t i n u o u s when 5 = + S ^ f o r 4> ^ 0 , r e s p e c t i v e l y . O n - o f f c o n t r o l has b e e n u s e d some t i m e s i n
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r o l l s t a b i l i s a t i o n , b e c a u s e i t p r o b a b l y w i l l a l l o w a g r e a t e r r e d u c -t i o n w i -t h a g i v e n s y s -t e m . T h i s -t u r n e d o u -t -t o be -t r u e , b u -t o n l y a -t
Anyhow, t h e d u a l c h a r a c t e r o f t h e c o n t r o l s y s t e m i n p i t c h s t a b i l i -s a t i o n ( p o -s i t i v e a n d n e g a t i v e ) l e a v e -s no d o u b t t h a t o n - o f f c o n t r o l does n o t come i n t o c o n s i d e r a t i o n here»
H a v i n g d i s c u s s e d t h e c o n t r o l p o s s i b i l i t i e s a n d h a v i n g r e d u c e d them t o a c o n t i n u o u s f e e d b a c k s y s t e m , t h i s c a s e w i l l be l o o k e d i n t o f u r t h e r now, 4 o 5 o . A t h e o r e t i c a l i n v e s t i g a t i o n o f c o n t i n u o u s f e e d b a c k c o n t r o l i n p u r e p i t c h i n g . The f o l l o w i n g a s s u m p t i o n s w i l l be made: - t h e s h i p p e r f o r m s a p u r e p i t c h i n g m o t i o n i n r e g u l a r w a v e s ; - t h e m o t i o n i s d e s c r i b e d b y a l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ; - t h e c o n t r o l s y s t e m i s i d e a l ; t h e l i f t c o e f f i c i e n t i s a l i n e a r f u n c t i o n o f t h e a n g l e o f a t -t a c k ; l i f -t b r e a k d o w n i s n o -t c o n s i d e r e d f o r -t h e presen-t» The d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n f o r t h e m o d e l w i t h o u t s t a b i l i z e r i s w r i t -t e n i n a d i m e n s i o n l e s s f o r m , a s : t h e e x p e n s e o f h i g h e r a c c e l e r a t i o n ^ , due t o t h e a b r u p t -^»+ ^ ^ ; + H> = s i n( u > ^ t + e^^)» S u b s t i t u t i n g t h e p a r a m e t e r s : t h e n a t u r a l p i t c h f r e q u e n c y a d i m e n s i o n l e s s d a m p i n g c o e f f i c i e n t a g a i n s t p i t c h i n g S . ( 2 8 ) a n d : M s i n ( c 0^ t + i ) , 9 m IT t h i s i s t r a n s f o r m e d i n t o : ( 2 9 ) 2 6
26
-I n a c c o r d a n c e w i t h t h e s e c t i o n s 2<.5 a n d 2 . 4 t h e p i t c h e q u a t i o n f o r t h e s h i p p l u s f i n s i s g i v e n by
Ai^i + B(i; + Gl(;= Mj^ainCoD^t + Ê j , ^ ) + 2 M^^ + 2 + 2 M^»
T h i s c a n be w r i t t e n a s : (AV^-- 2M. )+BU'+2/»= M. s i n (a? t + € ) + 2 M , +2M,, . . . f ' 1 ^ X... f o r : A ^ v + + C(p = M ^ ^ s i n C w ^ t + + 2 M^o And s i m i l a r l y : ^ ^ i ' v i l ; * ' ^ = « 1 ^ ^ ( 5 0 ) F o r c o n v e n i e n c e a n d M^^ a r e n e g l e c t e d , h o w e v e r , and ( 3 0 ) r e d u c e s t o : ^ . 9 ^ , ^ + <p = M . ^ ( 3 1 ) T h i s o f f e r s t h e a d v a n t a g e t h a t t h e i n f l u e n c e o f t h e f i n s i s c o n c e n t r a t e d i n one t e r m i n t h e r i g h t h a n d s i d e ; s e e t h e e q u a t i o n s ( 2 9 ) a n d ( 3 1 ) . The n e g l e c t o f t h e i n e r t i a o f t h e f i n s a n d o f t h e o r -b i t a l m o t i o n means, i n f a c t , a c o m p l e t e s e p a r a t i o n o f t h e d y n a m i c p e r f o r m a n c e o f a h i p a n d f i n ; t h e s u p e r a c r i p t L w f i o f b l o c k A i n fig« 10 a n d f o l l o ' . ' / i n g : s h i p ( + f i n ) may be r e p l a c e d b y s h i p a l o n e a n d t h e t r a n s f e r f u n c t i o n A ( f ) i a t h e same w i t h a n d w i t h o u t f i n s . Now t h e f o r m u l a ( 2 9 ) f o r m s a f i x e d a n d g i v e n b a s i s f o r t h e c o m p a r i s o n o f t h e s t a b i l i z e d a n d t h e n o n - s t a b i l i z e d c a s e , a s t h e c o e f f i c i e n t s o f t h e s h i p w i t h o u t f i n s may be c o n s i d e r e d t o be k n o w n . I n p r i n c i p l e , howe v howe r , i t o f f howe r s no d i f f i c u l t y a t a l l t o t a k howe t h howe a b o v howe m howe n t i o n howe d i n -f l u e n c e s i n t o a c c o u n t a n d t o w o r k w i t h ( 3 0 ) i n s t e a d o f ( 3 1 ) a n d a c o r r e s p o n d i n g A ^ ( p ) . The b l o c k d i a g r a m i s g i v e n i n f i g o 11 a n d t h e t r a n s f e r f u n c t i o n by ( 2 6 ) . The t r a n s f e r f u n c t i o n f o r e a c h b l o c k i s d e r i v e d f r o m t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n f o r t h e e l e m e n t i n q u e s t i o n . From ( 2 9 ) : 1 + 5 ) < p ( ^ ) + ( 5 - ) ^ o o f r o m ( 4 ) : 1 « B ( p ) = . i p + 1 = . - - 2 ( i ) ^ T, ( 3 3 )
