Algebrę Wienera funkcji analitycznych definiuje się jako przemienną algebrę Banacha funkcji zespolonych określonych w jednostkowej zespolonej kuli
D = {z∈C: z| < 1} (C oznacza ciało liczb zespolonych) z punktowym mnożeniem funkcji, które posiadają rozwinięcie w bezwzględnie zbieżny szereg Taylora
∑
∞ = = 0 ) ( n n nz f x f z normą =∑
<∞ ∞ =0 n n ff .W pracy zostało zaprezentowane jedno
z wielu uogólnień pojęcia algebry Wienera na przypadek funkcji zespolonych, które są analityczne w jednostkowej kuli B dowolnej nieskończenie wymiarowej zespolonej przestrzeni Banacha X. Taką algebrę typu Wienera oznaczamy przez
Wπ(B), Elementami Wπ(B) są funkcje analityczne f : B → C posiadające
rozwinięcie w zbieżny szereg Taylora
∑
∞ gdzie x∈B, których= = 1 ) ( n nx f x f
pochodne Frecheta w zerze fn =d0nf należą do domkniętych podprzestrzeni n
Xπ'⊗
przestrzeni n-jednorodnych ciągłych wielomianów Pn
(X) na X oraz szereg postaci
π
∑
∞ =0n n
f jest zbieżny, gdzie przez || ⋅ ||π oznaczono projektywną normę symetrycznego iloczynu tensorowego X'⊗n = X'⊗L⊗X' dualnych przestrzeni.
W przypadku X = C algebra Wπ(B) dokładnie pokrywa się ze zwykłą algebrą
Wienera. Jednak Wπ(B) nie jest najszerszym z możliwych nieskończenie
wymiarowych uogólnień, ponieważ zawieranie ' ( ) na ogół jest ścisłe.
X P Xπ⊗n ⊂ n
Wybór algebry Wπ(B) jest spowodowany badanymi problemami -
nietrywialności i gęstości niezmienniczych podprzestrzeni tzw. całkowitych wektorów typu wykładniczego generatorów pewnej klasy Co grup automorfizmów
działających na Wπ(B), W przypadku przestrzeni Hilberta X i Co grup
generowanych przez nieograniczone operatory samosprzężone, te niezmiennicze podprzestrzenie całkowitych wektorów typu wykładniczego są po prostu podprzestrzeniami spektralnymi ich generatorów. Natomiast problem ich nietrywialności i gęstości roztrzyga para znanych Twierdzeń Nelsona (o wektorach analitycznych) i Stone'a (o samosprzężoności generatorów unitarnych jednoparametrowych Co grup). W tym sensie teza podsumującego Twierdzenia 4.2.1
przypadek izometrycznych Co grup automorfizmów algebry typu Wienera funkcji
analitycznych w nieskończenie wymiarowej jednostkowej kuli w przestrzeni Banacha.Zostały również udowodnione Twierdzenia 3.2.2—3.2.3 o warunkach nietrywialności niezmienniczych podprzestrzeni wektorów typu wykładniczego dla nieograniczonych operatorów z oddzielanym widmem. W Twierdzeniach 3.3.2— 3.3.3 pokazano związek pomiędzy konserwatywnością generatorów, gęstością ich podprzestrzeni wektorów typu wykładniczego oraz izometrycznością jednoparametrowych Co grup automorfizmów algebry Wienera.
As it is well known. Nelson's and Stone's classical theorems imply the next proposition: a closed operator iA on a Hilbert space generates the unitary group e^(itA) if and only if the operator A is symmetric and its analytic vectors are dense. In the work, this proposition is extended to isometric groups on Banach spaces. In this case, the exponential type vectors fulfill the role of analytic vectors and conservativity fulfills the role of symmetry. In addition, it is established that exponential type vectors of isometric group generators can be completely described by the spectral subspaces in the sense of J. Lubic and V. Macajev. This fact is proved not only for generators of such groups, but for a more general class of closed operators with spectrum on contours, whose resolvents satisfy Levinson's condition. Such operators belong to the so-called class a operators with separable spectrum. It is also considered Wiener type algebras on an open Banach ball. In particular, it is proved that such algebras consist of functions analytic in this ball. A property of one-parameter groups generated by an isometric group acting on a Banach ball is also considered. It is established that the subspace of exponential type vectors of its generators form a dense subalgebra in a Wiener algebra and a generator is a derivation on this subspace.
