Fale elektromagnetyczne (pdf),

Elektrodynamika

Część 8

Fale elektromagnetyczne

Ryszard Tanaś

Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Spis treści

9 Fale elektromagnetyczne 3

9.1 Fale w jednym wymiarze . . . 3

9.2 Fale elektromagnetyczne w próżni . . . 13

9.3 Fale elektromagnetyczne w ośrodku materialnym . . . . 23

9 Fale elektromagnetyczne 9.1 Fale w jednym wymiarze 9.1.1 Równanie falowe f z vt f(z, 0) f(z, t) v f(z, t) = f(z − vt, 0) = g(z − vt)

∂2f ∂z2 = 1 v2 ∂2f ∂t2 równanie falowe f(z, t) = g(z − vt) + h(z + vt) rozwiązanie ogólne

9.1.2 Fale sinusoidalne (i) Terminologia f(z, 0) δ/k maksimum centralne A λ v z f(z, t) = A cos[k(z − vt) + δ] λ = 2π

k , λ — długość fali, k — liczba falowa T = 2π

kv = λ

ν = 1 T = kv 2π = v λ, częstość ω = 2πν = kv, częstość kątowa

f(z, t) = A cos(kz − ωt + δ) fala biegnąca w prawo

(ii) Notacja zespolona

eiθ _{= cos θ + i sin θ}

wzór Eulera

f(z, t) = Re[Aei(kz−ωt+δ)_]

˜

f(z, t) ≡ ˜Aei(kz−ωt)

zespolona funkcja falowa

˜

A = Aeiδ

zespolona amplituda

(iii) Liniowe kombinacje fal sinusoidalnych ˜ f(z, t) = ∞ Z −∞ ˜ A(k)ei(kz−ωt) _dk

każdą falę można przedstawić w postaci kombinacji liniowej fal sinusoidalnych

Amplitudę A(k)˜ można wyznaczyć z warunków początkowych f(z, 0) i

9.1.4 Polaryzacja

v

z

x

y

v

z

x

y

v

z

x

y

v

ˆn

θ

fala poprzeczna: polaryzacja ukośna, f˜(z, t) = ˜Aei(kz−ωt)nˆ ˆ

n = cos θ ˆx + sin θ ˆy, θ — kąt polaryzacji

˜

9.2 Fale elektromagnetyczne w próżni 9.2.1 Równanie falowe dla E i B

(i) ∇ · E = 0, (iii) ∇ × E = −∂B_∂t , (ii) ∇ · B = 0, (iv) ∇ × B = µ₀₀ ∂E_∂t ,

     równania Maxwella w obszarach bez ładunków i prądów ∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∆E = ∇ × −∂B ∂t ! = − ∂ ∂t(∇ × B) = −µ00 ∂2_E ∂t2 ∇ × (∇ × B) = ∇(∇ · B) − ∆B = ∇ × µ00 ∂E ∂t ! = µ00 ∂ ∂t(∇ × E) = −µ00 ∂2_B ∂t2

∇ · E = 0 i ∇ · B = 0 w obszarach bez ładunków ∆E = µ00 ∂ 2_E ∂t2 , ∆B = µ00 ∂2_B ∂t2 ∆f = 1 v2 ∂2f ∂t2

każda składowa pól E i B spełnia

trójwymiarowe równanie falowe

v = _õ1

00 = 3, 00 · 10

8 _m/s prędkość fali elektromagnetycznej

9.2.2 Fale monochromatyczne płaskie ˜ E(z, t) = ˜E₀ei(kz−ωt), B˜ (z, t) = ˜B₀ei(kz−ωt) z x y v fala płaska ∇ · E = 0 i ∇ · B = 0 ⇒ ( ˜E₀)_z = ( ˜B₀)_z = 0 fale są poprzeczne

∇ × E = −∂B

∂t ⇒ −k( ˜E0)y = ω( ˜B0)x, k( ˜E0)x = ω( ˜B0)y

˜

B₀ = k

ω ( ˆz × ˜E0)

pola E i B są zgodne w fazie i wzajemnie prostopadłe

B0 = k

ω E0 =

1

cE0

amplitudy pola elektrycznego i

z x y c E E0 B E0/c Jeśli E˜(z, t) = ˜E₀ei(kz−ωt)xˆ, to B˜ (z, t) = 1 c E˜0e i(kz−ωt) _ˆ y

E(z, t) = E₀ cos(kz − ωt + δ) ˆx B(z, t) = 1_cE₀ cos(kz − ωt + δ) ˆy

pola rzeczywiste

Kierunek pola elektrycznego określa polaryzację fali elektromagnetycznej.

c

k

r

ˆk · r

dowolny kierunek propagacji

˜ E(r, t) = ˜E₀ei(k·r−ωt)nˆ ˜ B(r, t) = 1 c E˜0e i(k·r−ωt)_{(ˆk × ˆ} n) = 1 c ˆk × ˜E(r, t) ˆ n · k = 0 fala poprzeczna ˆ

E(r, t) = E₀ cos(k · r − ωt + δ) ˆn B(r, t) = 1

9.2.3 Energia i pęd fal elektromagnetycznych u = 1 2 0E2 + 1 µ0 B 2 ! B2 ₌ 1 c2 E 2 _{= µ}

00E2 dla płaskiej fali monochromatycznej

u = 0E2 = 0E₀2 cos2(kz − ωt + δ)

wkład elektryczny i

magnetyczny są równe S = 1

µ0 (E × B)

gęstość strumienia energii

S = c₀E₀2 cos2(kz − ωt + δ) ˆz = cu ˆz dla płaskiej fali

℘ = 1 c2 S gęstość pędu ℘ = 1 c 0E 2 0 cos 2_{(kz − ωt + δ) ˆ} z = 1 cu ˆz

dla płaskiej fali

monochromatycznej hui = 1 20E 2 0 hSi = 1 2c0E 2 0zˆ h℘i = 1 2c0E 2 0zˆ średnie po okresie I ≡ h|S|i = 1 2c0E02 natężenie fali

9.3 Fale elektromagnetyczne w ośrodku materialnym 9.3.1 Rozchodzenie się fal w ośrodkach liniowych

(i) ∇ · D = 0, (iii) ∇ × E = −∂B_∂t , (ii) ∇ · B = 0, (iv) ∇ × H = ∂D_∂t ,      jeśli nie ma ładunków i prądów swobodnych D = E, H = 1 µB w ośrodku liniowym (i) ∇ · E = 0, (iii) ∇ × E = −∂B_∂t , (ii) ∇ · B = 0, (iv) ∇ × B = µ∂E_∂t ,

     w ośrodku liniowym i jednorodnym µ00 ⇒ µ

v = _{√µ =}1 c n n ≡ r µ

0µ0

współczynnik załamania

µ/µ0 ∼= 1, n ∼= √r dla większości materiałów

Poprzednie wyniki pozostają słuszne po zamianie

0 → , µ0 → µ, c → v u = 1 2 E 2 ₊ 1 µB 2 ! gęstość energii

S = 1

µ(E × B) wektor Poyntinga I = 1

2vE02 natężenie fali

Co się dzieje, gdy fala przechodzi z jednego ośrodka do drugiego?

(i) ₁E₁⊥ = ₂E₂⊥, (iii) E₁k = E₂k, (ii) B₁⊥ = B₂⊥, (iv) _µ1 1 B k 1 = 1 µ₂ B k 2,      warunki brzegowe

9.3.2 Odbicie i przejście przy padaniu prostopadłym x z y 1 ₂ powierzchnia graniczna v1 BI EI −v1 BR ER _v 2 BT ET

˜ E_I(z, t) = ˜E_0Iei(k1z−ωt)_xˆ ˜ B_I(z, t) = _v1 1 E˜0Ie i(k₁z−ωt)_yˆ      fala padająca ˜ E_R(z, t) = ˜E_0Rei(−k1z−ωt)_xˆ ˜ B_R(z, t) = −_v1 1 E˜0Re i(−k₁z−ωt)_yˆ      fala odbita ˜ E_T(z, t) = ˜E_0Tei(k2z−ωt)_xˆ ˜ B_T(z, t) = _v1 2 E˜0Te i(k₂z−ωt)_yˆ      fala przechodząca

˜ E0_I + ˜E0_R = ˜E0_T z (iii) 1 µ1  1 v1 ˜ E0_I − 1 v1 ˜ E0_R  = 1 µ2  1 v2 ˜ E0_T  z (iv) ˜ E0_I − ˜E0_R = β ˜E0_T, β ≡ µ 1v1 µ2v2 = µ1n2 µ2n1 ˜ E0_R = 1 − β 1 + β ! ˜ E0_I, E˜0_T = 2 1 + β ! ˜ E0_I ˜ E0_R = v 2 − v1 v2 + v1  ˜ E0_I, E˜0_T =  2v 2 v2 + v1  ˜ E0_I dla µ1 = µ2 = µ0 E0_R =     v2 − v1 v2 + v1     E0I, E0T =     2v2 v2 + v1     E0I amplitudy rzeczywiste

E0_R =     n1 − n2 n1 + n2     E0I, E0T =     2n1 n1 + n2     E0I amplitudy rzeczywiste I = 1 2vE 2 0 natężenie fali R ≡ IR II = E0_R E0_I !2 = n1 − n2 n1 + n2 2 współczynnik odbicia T ≡ IT II = 2v2 1v1 E0_T E0_I !2 = 4n1n2 (n1 + n2)2 współczynnik przejścia

9.3.3 Odbicie i przejście przy padaniu ukośnym z 1 2 płaszczyzna padania kR kI kT θT θR θI

˜ E_I(r, t) = ˜E_0Iei(kI·r−ωt) ˜ B_I(r, t) = _v1 1 [ˆkI × ˜EI(r, t)]      fala padająca ˜ E_R(r, t) = ˜E_0Rei(kR·r−ωt) ˜ B_R(r, t) = _v1 1 [ˆkR × ˜ER(r, t)]      fala odbita ˜ E_T(r, t) = ˜E_0Rei(kT·r−ωt) ˜ B_T(r, t) = _v1 2 [ˆkT × ˜ET(r, t)]      fala przechodząca kIv1 = kRv1 = kTv2 = ω ⇒ kI = kR = v 2 v1 k T = n 1 n2 k T

(. . . )ei(k_I·r−ωt) _{+ (. . . )e}i(k_R·r−ωt) _{= (. . . )e}i(k_T·r−ωt)

dla z = 0

k_I · r = k_R · r = k_T · r dla z = 0

x(kI)x + y(kR)y = x(kR)x + y(kR)y = x(kT)x + y(kT)y

(kI)y = (kR)y = (kT)y dla x = 0

(kI)x = (kR)x = (kT)x dla y = 0

Wektory falowe fali padającej, odbitej i przechodzącej leżą w tej samej płaszczyźnie — płaszczyźnie padania — wyznaczonej przez wektor falowy fali padającej i normalną do powierzchni

kI sin θI = kR sin θR = kT sin θT

θI — kąt padania, θR — kąt odbicia, θT — kąt załamania

Kąt padania jest równy kątowi odbicia

θI = θR

Prawo załamania, prawo Snella

sin θ_T sin θ_I = n₁ n₂ n1 < n2, θT < θI; n1 > n2, θT > θI n1 > n2, dla θI > θgr ≡ arcsin n 2 n1  całkowite wewnętrzne odbicie

z 1 2 płaszczyzna padania kR kI θR θI

z x 1 2 płaszczyzna padania ⊙ ⊕ ⊙ kR kI kT θT θR θI EI ER _E T BI BR BT

(i) ₁( ˜E_0I + ˜E_0R)_z = ₂( ˜E_0T)_z

(ii) ( ˜B_0I + ˜B_0R)_z = ( ˜B_0T)_z

(iii) ( ˜E_0I + ˜E_0R)_x,y = ( ˜E_0T)_x,y

(iv) _µ1 1 ( ˜B0I + ˜B0R)x,y = 1 µ₂ ( ˜B0T)x,y                  na granicy ośrodków

Dla polaryzacji równoległej do płaszczyzny padania:

1(− ˜E0_I sin θI + ˜E0_R sin θR) = 2(− ˜E0_T sin θT) z (i)

( ˜E0_I cos θI + ˜E0_R cos θR) = ˜E0_T cos θT z (iii)

1 µ1v1 ( ˜E 0_I − ˜E0_R) = 1 µ2v2 ˜ E0_T z (iv)

˜

E0_I − ˜E0_R = β ˜E0_T z praw odbicia i załamania

β ≡ µ1v1 µ2v2 = µ1n2 µ2n1 ˜ E0_I + ˜E0_R = α ˜E0_T α ≡ cos θT cos θI ˜ E0_R = α − β α + β ! ˜ E0_I, E˜0_T = 2 α + β ! ˜ E0_I równania Fresnela

10 20 30 40 50 60 70 80 90 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 E_0R E_0I E_0T E_0I

θ

θ

α = p 1 − sin2 θ T cos θI = p 1 − [(n1/n2) sin θI]2 cos θI sin2 _θ B = 1 − β 2 (n1/n2)2 − β2 kąt Brewstera µ1 ∼= µ2 ⇒ β ∼= n2/n1, sin2 θB ∼= β2/(1 + β2) typowo tg θB ∼= n 2 n1

II = 1

21v1E02_I cos θI natężenie fali padającej

IR = 1

21v1E

2

0_R cos θR natężenie fali odbitej

IT = 1

22v2E

2

0_T cos θT natężenie fali przechodzącej

R ≡ IR II = E0_R E0_I !2 = α − β α + β !2 współczynnik odbicia T ≡ IT II = 2v2 1v1 E0_T E0_I !2 cos θT cos θI = αβ 2 α + β !2 współczynnik przejścia

10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

R

T

θ

θ

z x 1 2 płaszczyzna padania ⊙ ⊙ ⊙ kR kI kT θT θR θI BI BR BT EI ER ET

Dla polaryzacji prostopadłej do płaszczyzny padania:

(i) ₁( ˜E_0I + ˜E_0R)_z = ₂( ˜E_0T)_z

(ii) ( ˜B_0I + ˜B_0R)_z = ( ˜B_0T)_z

(iii) ( ˜E_0I + ˜E_0R)_x,y = ( ˜E_0T)_x,y

(iv) _µ1 1 ( ˜B0I + ˜B0R)x,y = 1 µ₂ ( ˜B0T)x,y                  na granicy ośrodków ˜ E0_I + ˜E0_R = ˜E0_T z (iii) ˜ E0_I − ˜E0_R = αβ ˜E0_T z (iv) ˜ E0_R = 1 − αβ 1 + αβ ! ˜ E0_I, E˜0_T = 2 1 + αβ ! ˜ E0_I równania Fresnela

10 20 30 40 50 60 70 80 90 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 E_0R E_0I E_0T E_0I θI n₂ n₁ = 1.5

R ≡ E˜0R ˜ E0_I !2 = 1 − αβ 1 + αβ !2 współczynnik odbicia T ≡ 2v2 1v1 α ˜ E0_T ˜ E0_I !2 = αβ 2 1 + αβ !2 współczynnik przejścia

10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

R

T

θ

9.4 Absorpcja i dyspersja

9.4.1 Fale elektromagnetyczne w przewodnikach

J_sw = σE prawo Ohma

(i) ∇ · E = 1_ ρ_sw, (iii) ∇ × E = −∂B_∂t ,

(ii) ∇ · B = 0, (iv) ∇ × B = µσE + µ∂E_∂t ,

     równania Maxwella ∇ · Jsw = −∂ρ sw ∂t równanie ciągłości ∂ρsw ∂t = −σ(∇ · E) = − σ  ρsw ⇒ ρsw(t) = e−(σ/)tρsw(0)

(i) ∇ · E = 0, (iii) ∇ × E = −∂B_∂t ,

(ii) ∇ · B = 0, (iv) ∇ × B = µ∂E_∂t + µσE,

     równania Maxwella ∆E = µ∂2E ∂t2 + µσ ∂E ∂t ∆B = µ∂2B ∂t2 + µσ ∂B ∂t     

zmodyfikowane równania falowe

˜ E(z, t) = ˜E₀ei(˜kz−ωt) ˜ B(z, t) = ˜B₀ei(˜kz−ωt)      rozwiązania ˜k2 _{= µω}2 _{+ iµσω}

zespolona liczba falowa ˜k = k + iκ

k ≡ ωqµ 2 "r 1 +  σ ω 2 + 1 #1/2 κ ≡ ωqµ 2 "r 1 +  σ ω 2 − 1 #1/2 ˜ E(z, t) = ˜E₀e−κzei(kz−ωt) ˜ B(z, t) = ˜B₀e−κzei(kz−ωt)      rozwiązania d ≡ 1 κ głębokość wnikania λ = 2π k , v = ω k , n = ck ω

˜ E(z, t) = ˜E₀e−κzei(kz−ωt)xˆ ˜ B(z, t) = _ωk˜ E˜₀e−κzei(kz−ωt)yˆ z równań Maxwella pola są prostopadłe ˜k = Keiφ K ≡ |˜k| = p k2 + κ2 = ω v u u tµ s 1 +  σ ω 2 φ ≡ arctg κ k  B0eiδB = Ke iφ ω E0e iδ_E

pola nie są w fazie

B0 E0 = K ω = v u u tµ s 1 +  σ ω 2 rzeczywiste amplitudy E(z, t) = E₀e−κz cos(kz − ωt + δ_E) ˆx B(z, t) = B₀e−κz cos(kz − ωt + δ_E + φ) ˆy rozwiązania rzeczywiste z x y E B

9.4.2 Odbicie na powierzchni przewodzącej (i) ₁E₁⊥ − ₂E₂⊥ = σ_sw, (iii) E₁k = E₂k, (ii) B₁⊥ = B₂⊥, (iv) _µ1 1 B k 1 − 1 µ₂ B k 2 = Ksw × ˆn,      ˜ E_I(z, t) = ˜E_0Iei(k1z−ωt)xˆ ˜ B_I(z, t) = _v1 1 E˜0Ie i(k₁z−ωt)_yˆ      fala padająca ˜ E_R(z, t) = ˜E_0Rei(−k1z−ωt)xˆ ˜ B_R(z, t) = −_v1 1 E˜0Re i(−k₁z−ωt)_yˆ      fala odbita ˜ E_T(z, t) = ˜E_0Tei(˜k2z−ωt)xˆ ˜ B_T(z, t) = k˜2 ω E˜0Te i(˜k₂z−ωt)_yˆ      fala przechodząca

˜ E0_I + ˜E0_R = ˜E0_T z (iii) 1 µ1v1 ( ˜E 0_I − ˜E0_R) − ˜k 2 µ2ω ˜ E0_T = 0 z (iv) przy Ksw = 0 ˜ E0_I − ˜E0_R = ˜β ˜E0_T ˜β ≡ µ1v1 µ2ω ˜k 2 ˜ E0_R = 1 − ˜β 1 + ˜β ! ˜ E0_I, E˜0_T = 2 1 + ˜β ! ˜ E0_I ˜

9.4.3 Zależność przenikalności elektrycznej od częstości

v = ω

k prędkość fazowa vg = dω

dk prędkość grupowa

Elektron związany można potraktować jak tłumiony oscylator harmoniczny. m d2x dt2 + mγ dx dt + mω02x = qE0 cos(ωt) d2˜x dt2 + γ d˜x dt + ω 2 0 ˜x = q mE0e −iωt w zmiennych zespolonych

˜x(t) = ˜x0e−iωt ˜x0 = q/m ω2 0 − ω2 − iγω E0 amplituda drgań ˜p(t) = q˜x(t) = q2/m ω2 0 − ω2 − iγω

E0e−iωt moment dipolowy

˜ P = Nq 2 m   X j fj ω2 j − ω2 − iγjω   E˜ polaryzacja ośrodka ˜

P = ₀ ˜χ_eE˜ zespolona podatność elektryczna

˜r = 1 + Nq 2 m0 X j fj ω2 j − ω2 − iγjω zespolona względna przenikalność elektryczna ∆ ˜E = ˜µ₀ ∂ 2_E˜ ∂t2

równanie falowe dla danej częstości w ośrodku dyspersyjnym ˜ E(z, t) = ˜E₀ei(˜kz−ωt) rozwiązanie ˜k ≡ p ˜µ0 ω = ω c √

˜r zespolona liczba falowa

˜k = k + iκ ˜

α = 2κ współczynnik absorpcji n = ck ω współczynnik załamania ˜k = ω c √ ˜r ∼= ω c  1 + Nq2 2m0 X j fj ω2 j − ω2 − iγjω   n = ck ω ∼= 1 + Nq2 2m0 X j fj(ω_j2 − ω2) (ω2 j − ω2)2 + γj2ω2 α = 2κ ∼= Nq_m2ω2 0c X j fjγj (ω2 j − ω2)2 + γj2ω2

0.8 1 1.2 1.4 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

dyspersja anomalna

ω/ω

[n(ω) − 1]

n = 1 + Nq2 2m0 X j fj ω2 j − ω2 daleko od rezonansów 1 ω2 j − ω2 = 1 ω2 j 1 − ω2 ω2 j !−1 ∼ = _ω1₂ j 1 + ω2 ω2 j ! dla ω < ω_j n = 1 +   Nq2 2m0 X j fj ω2 j   + ω 2   Nq2 2m0 X j fj ω4 j   n = 1 + A 1 + B λ2 ! wzór Cauchy’ego