___________________________________________________________________________
Wielowymiarowa analiza statystyczna wyników
wzbogacania rudy miedzi w ZWR Polkowice
Magdalena Duchnowska1), Ewelina Kasińska-Pilut2), Alicja Bakalarz1), Andrzej Konieczny2), Przemysław Kowalczuk1), Andrzej Łuszczkiewicz1)1)
Politechnika Wrocławska, Wrocław, magdalena.duchnowska@pwr.edu.pl
2)
KGHM Polska Miedź S.A., Oddział Zakłady Wzbogacania Rud, Polkowice Streszczenie
W pracy dokonano analizy zależności pomiędzy wzbogacaniem miedzi, srebra i węgla orga-nicznego podczas procesu flotacji. Dokonano wielowymiarowej analizy statystycznej podsta-wowych wskaźników wzbogacania polkowickiej rudy miedzi w oparciu o wyniki przemysłowe flotacji za lata 2011-2015 w ZWR Polkowice. Celem pracy było wyznaczenie, oddzielnie dla każdego z ciągów technologicznych zakładu, równań, pozwalających na ocenę wzbogacania węgla organicznego w stosunku do wzbogacania miedzi i srebra. Wyznaczone równania łączą Cu, Ag i Corg, tak że na podstawie wskaźników selektywności Cu i Ag można wyzna-czyć selektywność węgla organicznego, a następnie oszacować jego zawartości w produktach flotacji. Wyznaczone równania pozwalają na przewidywanie wyników wzboga-cania węgla organicznego na podstawie analiz miedzi i srebra.
Słowa kluczowe: ruda miedzi, wzbogacanie, wskaźnik selektywności flotacji
Multivariate statistical analysis of upgrading copper ore
in ZWR Polkowice
Abstract
The aim of this paper is determination of relationship between the contents of copper, silver and organic carbon in industrial flotation circuits. A multivariate statistical analysis of basic upgrading parameters’ distribution of the copper ore from the Polkowice Divisions of Concentrators on the basis of industrial results obtained between 2011 and 2015 was conducted. For each single flotation line, three equations, which connect the selectivity of copper, silver and organic carbon upgrading were determined. The obtained equations allow to calculate the upgrading selectivity and the content of Corg in the flotation products on the basis of Cu and Ag upgrading selectivities. The equations predict the results of upgrading in organic carbon basing on the data for copper and silver.
Key words: copper ore, upgrading, selective indicator
Wstęp
Metody modelowania ilościowego stanowią podstawę do dokładnego zrozumienia i rozpoznania procesów. W większości przypadków dąży się do tego, aby stosowa-ne modele opierały się na podstawowych prawach, opisujących zjawiska fizyczstosowa-ne,
jak na przykład na prawie zachowania masy. W przypadku opisu procesu wzboga-cania krajowych rud miedzi dotyczą one głównie opisu przeróbki materiałów uziar-nionych [11] bądź optymalizacji układów technologicznych Zakładów Wzbogacania Rud [8, 13].
W literaturze można wyróżnić dwa sposoby oceny i analizy wzbogacania krajo-wych rud miedzi. Pierwszy z nich polega na analitycznej i graficznej ocenie bilansów wzbogacania oraz krzywych wzbogacania, natomiast drugi opiera się na metodach statystycznych i modelowaniu matematycznym procesu przemysłowego.
Ocena i analiza wzbogacania wymaga dostosowania metodyki oceny procesu do odpowiedniego typu rudy i powinna być prowadzona indywidualnie dla każdego przypadku. W przypadku dużej liczby parametrów opisujących proces, optymalnym rozwiązaniem wydaje się zastosowanie metod statystycznej analizy wielowymiaro-wej. Analizy statystyczne można w prosty sposób skoordynować z metodami gra-ficznymi, co pozwala na zintegrowanie ze sobą większej ilości informacji.
Celem pracy jest wyznaczenie równania korelacji wielowymiarowej, pozwalają-cego na predykcję wyników wzbogacania węgla organicznego na podstawie wyni-ków wzbogacania miedzi i srebra, bez konieczności przeprowadzania kosztownych analiz chemicznych węgla organicznego.
1. Statystyczna analiza wielowymiarowa
Statystyka pozwala na weryfikację praw opisujących daną zbiorowość, a także na wyznaczanie nowych zależności opisujących daną rzeczywistość. Statystyczny opis pozwala na lepsze rozumienie zachodzących zjawisk, a tym samym na ich przewi-dywanie [7]. Klasyczne metody statystyczne, zwłaszcza metody jednowymiarowe, znalazły szerokie zastosowanie między innymi w badaniach empirycznych. Jednak-że w wielu praktycznych przypadkach, zwłaszcza w opisie złożonych struktur, są one niewystarczające [5]. W praktyce przemysłowej rzeczywistość opisywana jest za pomocą wielu skomplikowanych wskaźników, co często nie wyjaśnia zależności w istniejącej strukturze, a często dodatkowo ją komplikuje. Wiąże się to między in-nymi z tym, że ta sama przestrzeń określana jest przez wiele różnych wskaźników. Prowadzi to do szumu informacyjnego, określanego jako „przeinformowanie” osób kierujących daną przestrzenią [10]. Dlatego istotne jest wyznaczanie metody, zwalającej na jednoczesną analizę wielu zmiennych, która eliminuje wzajemne po-wiązania pomiędzy zmiennymi. Metoda ta pozwoliłaby na dokonanie szybkiej oceny działania badanej jednostki (np. Zakładu Wzbogacania Rud). Do metod, które opisu-ją złożone przestrzenie, należą metody statystycznej analizy wielowymiarowej [14].
Rozwój teorii statystyki wielowymiarowej miał miejsce na przełomie XIX i XX wie-ku, kiedy to statystycy i matematycy doszli do wnioswie-ku, że klasyczne metody staty-styki jednowymiarowej można przenieść na struktury charakteryzowane przez wiele zmiennych [7]. Praktyczny rozwój teorii statystycznych analiz wielowymiarowych nastąpił wraz z rozwojem technik komputerowych [5].
Wielowymiarowa analiza statystyczna tworzy zbiór metod statystycznych, których zadaniem jest badanie relacji pomiędzy wieloma zmiennymi zależnymi, a także współzależnymi [14]. Termin ten odnosi się do grupy metod statystycznych, za pomo-cą których bada się obiekty (jednostki statystyczne), opisywane za pomopomo-cą minimum trzech zmiennych [4]. Z uwagi na fakt, że metody te znajdują szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach, podział głównych metod zależny jest od celów, jakim metody te
mają służyć. Do podstawowych metod, określających statystyczne zależności wielo-wymiarowe, należą między innymi uogólnione analizy korelacji, regresji oraz wariancji (zwłaszcza korelacja cząstkowa i wieloraka), a także analiza głównych składowych, klasyfikacja, analiza czynnikowa, uogólnienie testów jednorodności czy analiza dys-kryminacyjna [1].
Jednym z ważniejszych elementów statystycznej analizy wielowymiarowej jest badanie związków korelacyjnych pomiędzy zmiennymi. Element ten często stanowi punkt wyjścia przy bardziej złożonych analizach. Korelacja cząstkowa określa współzależność pomiędzy dwiema zmiennymi, wybranymi z większego zbioru, przy czym eliminuje wpływ pozostałych zmiennych na badane zmienne [9]. Wartość współczynnika korelacji cząstkowej można wyznaczyć na podstawie wzoru:
) 1 )( 1 ( 12.34...( 1) 2 .34...( 1) ) 1 ...( 34 . 2 ) 1 ...( 34 . 1 ) 1 ...( 34 . 12 ... 34 . 12 p p p p p p p p p p r r r r r r , (1)
gdzie p oznacza liczbę zmiennych, natomiast r12.34…(p-1) współczynnik korelacji niż-szego rzędu. W ogólnym znaczeniu współczynnik korelacji cząstkowej pierwniż-szego rzędu oznacza wartość wyznaczoną dla zbioru trzech zmiennych – korelacja pomię-dzy dwoma zmiennymi z pominięciem trzeciej zmiennej [1].
Współczynnik korelacji wielorakiej określa relacje pomiędzy zmienną jednowy-miarową i zmienną wyjednowy-miarową (kombinacją grupy zmiennych niezależnych trakto-wanych jako jedna zmienna) [12]. Współczynnik korelacji wielorakiej można wyzna-czyć na podstawie wzoru:
2 1 2 ) ... 23 ( 1 2 ) ... 23 ( 1 1 S S R p p , (2) gdzie 2 ) ... 23 ( 1 p
S oznacza wariancje resztowe, natomiast 2 1
S określa wariancje zmien-nej zależzmien-nej [1].
Na podstawie współczynników korelacji, można wyznaczyć równanie hiperpłasz-czyzny regresji wielorakiej, oznaczającej zbiór punktów w przestrzeni p wymiarowej [9]. W przypadku trzech zmiennych równanie płaszczyzny określa wyrażenie w po-staci: 3 2 2 1 0 1 a ax a x x , (3)
gdzie współczynniki regresji zmiennej x1 (zależnej) względem zmiennych x2 oraz x3 mają postać [12]: 3 . 12 2 1 1 r s s a , (4) 2 . 13 2 1 2 r s s a , (5)
2 2 1 1 0 y ax ax a . (6)
Cechą charakterystyczną korelacji wielorakiej oraz cząstkowej, w przeciwień-stwie do większości metod statystycznej analizy wielowymiarowej, jest to, że pod-czas prowadzenia analizy jedną ze zmiennych przeciwstawia się innym zmiennym, traktując ją jako zmienną zależną [1].
2. Statystyczna analiza wyników wzbogacania w ZWR Polkowice Wśród składników złoża rud miedzi na monoklinie przedsudeckiej węgiel organiczny ma znaczenie szczególne, jest bowiem jednym z najważniejszych elementów gene-tycznych związanych z powstawaniem złoża, a także, oprócz składników metalicz-nych, jednym z decydujących składników w technologii wzbogacania flotacyjnego rudy oraz w procesach metalurgicznego przerobu koncentratów [3, 6].
W rejonie Polkowice-Sieroszowice miedź koncentruje się głównie w skałach wę-glanowych i łupkach, bogatych w węgiel organiczny. W ostatnich kilku latach nastą-pił wzrost zawartości Corg w nadawach do procesu wzbogacania. Zmiany te wiąza-ne są zazwyczaj przez technologów z właściwościami flotacyjnymi frakcji łupkowej rudy, która jest głównym nośnikiem Corg. Obserwowany wzrost zawartości węgla organicznego w koncentratach, a zwłaszcza występujące okresowe jego wahania, mają istotne znaczenie dla przebiegu procesów hutniczych i ich efektywności. W technologii pieca szybowego (HM Legnica i HM Głogów I) węgiel organiczny jest składnikiem korzystnym ze względów energetycznych. Natomiast w jednostadialnej technologii pieca zawiesinowego, ze względu na ograniczone możliwości odbioru ciepła w procesie, przekroczenie poziomu 7% zawartości węgla organicznego w koncentracie powoduje konieczność obniżenia wydajności pieca, a zatem zwięk-sza koszty produkcji. Analiza zawartości węgla organicznego w koncentratach mie-dziowych jest istotnym problemem również z uwagi na stosunkowo długi czas analiz chemicznych tej substancji oraz stosunkowo wysoki ich koszt [3]. Znaczący jest również fakt, że kontrola zawartości węgla organicznego w koncentratach miedzio-wych prowadzona jest w rozliczeniu miesięcznym, bez dodatkomiedzio-wych analiz ułatwia-jących sterowanie procesem w systemie zmianowym.
Układ technologiczny ZWR Polkowice składa się z trzech ciągów produkcyjnych. W czasie wzbogacania najwyższą zawartość miedzi i najniższą zawartość węgla organicznego w koncentratach końcowych otrzymuje się z III ciągu (rys. 1). Na przestrzeni lat zawartość miedzi w koncentratach końcowych wyraźnie spada, co jest skorelowane ze wzrastającą zawartością węgla organicznego w tych koncentra-tach. Spośród trzech ciągów najwyższe zawartości węgla organicznego w koncentracie końcowym charakterystyczne są dla ciągu II, co wiąże się z najwyższą selektywnością wzbogacania węgla organicznego i najniższą efektyw-nością wzbogacania miedzi w tym układzie.
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 17 19 21 23 25 27 0 6 12 18 24 30 36 42 48 Z a w a rt o ś ć m ie d zi w k o n c e n tr a c ie , b , %
Ciąg I Ciąg II Ciąg III
Z a w a rt o ś ć w ę g la o rg . w k o n c e n tr a c ie , b , % Z a w a rt o ś ć w ę g la o rg . w k o n c e n tr a c ie , b , %
czerwiec grudzień czerwiec grudzień czerwiec grudzień czerwiec grudzień
2011 2012 2013 2014
Rys. 1. Średnie zawartości miedzi i węgla organicznego w koncentratach końcowych ZWR Polkowice
2.1. Metodyka badań
Przedmiotem analiz statystycznych były dane określające jakość nadaw, koncentra-tów oraz odpadów w ZWR Polkowice w latach 2011-2015 (analiza wyników mie-sięcznych, osobno dla każdego z ciągów ZWR Polkowice – dane zakładowe – tabe-la 1, rys. 1). Proces wzbogacania oceniono pod względem selektywności wzboga-cania miedzi, srebra, a także węgla organicznego.
W pierwszym etapie pracy na podstawie zawartości miedzi srebra i węgla orga-nicznego w nadawach do procesu oraz w produktach flotacji wyznaczono uzyski tych składników w koncentratach oraz uzyski pozostałych składników w odpadach. Następnie dla każdego z pierwiastków wyznaczono miesięczne wskaźniki selektyw-ności według wzoru:
r r a 100 , (7)
gdzie: a – wskaźnik selektywności wzbogacania dla krzywej Fuerstenaua syme-trycznej względem diagonalnej, – uzysk rozpatrywanego składnika w koncentracie,
r – uzysk pozostałych składników w odpadzie. Im wyższa wartość wskaźnika selek-tywności tym niższa selektywność wzbogacania rozpatrywanego składnika [2].
Tabela 1. Wskaźniki selektywności miedzi, srebra i węgla organicznego wyznaczone dla wszystkich ciągów ZWR Polkowice (styczeń 2011-luty 2015)
(na podstawie danych ZWR KGHM Polska Miedź S.A.)
rok miesiąc Ciąg I Ciąg II Ciąg III
aCu aAg aCorg. aCu aAg aCorg. aCu aAg aCorg.
2011 styczeń 100,75 100,80 109,77 100,83 101,66 111,15 100,83 101,34 111,15 luty 100,81 101,10 109,50 100,73 101,33 110,33 100,90 101,18 110,33 marzec 100,76 101,26 108,46 100,73 101,33 110,29 100,85 100,96 110,29 kwiecień 100,76 101,25 109,47 100,77 101,06 110,97 100,82 100,90 110,97 maj 100,77 101,70 108,52 100,74 101,04 109,85 100,84 101,17 109,85 czerwiec 100,75 101,12 109,69 100,71 101,83 110,43 100,75 101,21 110,43 lipiec 100,73 101,50 108,05 100,68 101,18 110,28 100,75 101,15 110,28 sierpień 100,74 101,20 108,39 100,68 101,06 110,34 100,72 101,02 110,34 wrzesień 100,83 100,89 109,23 100,75 101,12 110,49 100,76 101,23 110,49 październik 100,82 101,01 111,33 100,70 101,42 113,60 100,71 101,46 113,60 listopad 100,76 101,23 110,15 100,65 101,35 111,40 100,75 101,38 111,40 grudzień 100,77 101,37 111,84 100,70 101,07 110,63 100,70 101,43 110,63 2012 styczeń 100,73 101,70 109,98 100,69 101,65 110,98 100,69 101,51 110,98 luty 100,79 101,33 111,50 100,67 101,63 111,25 100,67 100,76 111,25 marzec 100,78 101,13 111,52 100,67 101,42 111,26 100,70 101,66 111,26 kwiecień 100,76 101,18 111,07 100,65 101,63 111,41 100,75 101,39 111,41 maj 100,75 101,00 109,85 100,64 101,08 110,08 100,78 101,50 110,08 czerwiec 100,75 101,70 111,62 100,66 101,17 112,76 100,71 101,26 112,76 lipiec 100,74 100,79 108,92 100,64 101,60 110,55 100,70 100,83 110,55 sierpień 100,73 101,31 109,56 100,65 101,04 109,70 100,65 101,38 109,70 wrzesień 100,70 101,21 109,61 100,72 100,70 111,35 100,65 101,38 111,35 październik 100,71 101,23 108,54 100,72 101,00 108,52 100,61 101,39 108,52 listopad 100,73 100,91 109,22 100,70 100,81 109,11 100,53 100,89 109,11 grudzień 100,70 100,99 112,26 100,75 101,30 110,32 100,62 101,22 110,32 2013 styczeń 100,66 101,39 112,44 100,73 101,24 110,99 100,59 101,87 110,99 luty 100,65 101,03 110,85 100,75 101,10 108,80 100,59 101,25 108,80 marzec 100,73 100,86 110,43 100,70 101,12 111,13 100,60 101,02 111,13 kwiecień 100,71 100,45 110,02 100,63 101,33 110,03 100,65 100,54 110,03 maj 100,67 101,49 108,56 100,66 101,16 108,45 100,61 101,01 108,45 czerwiec 100,67 101,14 107,88 100,60 101,04 108,87 100,58 100,68 108,87 lipiec 100,73 100,61 108,59 100,71 100,88 109,66 100,62 100,97 109,66 sierpień 100,70 100,91 106,79 100,70 100,91 107,56 100,67 100,72 107,56 wrzesień 100,66 101,43 108,03 100,65 101,77 109,81 100,68 101,22 109,81 październik 100,64 100,72 108,43 100,71 101,16 109,19 100,69 100,90 109,19 listopad 100,65 100,87 107,67 100,71 101,35 107,86 100,65 101,13 107,86 grudzień 100,65 100,85 110,48 100,66 101,13 108,57 100,69 101,06 108,57 2014 styczeń 100,68 100,91 107,40 100,57 101,05 107,74 100,70 101,17 107,74 luty 100,64 100,94 108,19 100,69 100,81 108,38 100,62 101,13 108,38 marzec 100,64 100,94 108,41 100,66 101,24 107,25 100,62 100,75 107,25 kwiecień 100,68 100,80 108,30 100,71 101,12 107,18 100,62 100,84 107,18 maj 100,63 100,86 108,17 100,69 101,15 107,08 100,71 101,02 107,08 czerwiec 100,62 100,71 108,56 100,66 100,55 108,12 100,65 101,02 108,12 lipiec 100,58 101,34 109,11 100,67 101,84 108,27 100,69 100,75 108,27 sierpień 100,65 101,32 107,38 100,65 101,11 107,21 100,71 100,72 107,21 wrzesień 100,63 101,39 106,68 100,68 101,35 106,97 100,58 101,10 106,97 październik 100,64 100,79 108,30 100,65 101,13 108,27 100,65 100,65 108,27 listopad 100,64 101,07 108,20 100,65 100,44 108,16 100,65 101,19 108,16 grudzień 100,59 101,74 108,73 100,62 101,36 110,07 100,62 101,29 110,07 2015 styczeń luty 100,62 100,59 101,24 101,06 109,97 102,58 100,57 100,63 100,85 101,14 109,34 102,12 100,57 100,63 101,22 101,39 109,34 102,12
W tabeli 2 dla zbioru wartości wskaźników selektywności z tabeli 1 wyznaczono najważniejsze parametry statystyczne, takie jak wartość średnia czy odchylenie standardowe. Dokonano również analizy punktów odstających. W przypadku ciągu I oraz II do wyznaczenia korelacji wielowymiarowej pomiędzy wskaźnikiem selek-tywności wzbogacania miedzi, srebra i węgla organicznego przyjęto zbiór, składają-cych się z 50 danych, w przypadku ciągu III z 48 (pominięto dwa punkty wyraźnie odstające.).
Tabela 2. Najważniejsze parametry statystyczne wskaźników selektywności wzbogacania dla miedzi, srebra i węgla organicznego
ZWR Polkowice Ciąg I Ciąg II Ciąg III
Statystyka Ag Cu Corg. Ag Cu Corg. Ag Cu Corg.
liczba danych 50 50 50 wartość minimalna 100,45 100,58 102,58 100,57 100,44 102,12 100,53 101,56 102,57 wartość maksymalna 101,74 100,83 112,44 100,83 101,84 113,60 100,90 104,64 114,84 wartość średnia 101,12 100,70 109,16 100,68 101,20 109,48 100,68 102,74 106,69 odchylenie standardowe 0,30 0,06 1,69 0,05 0,30 1,86 0,08 0,53 1,63
Na podstawie równań 1-6 oraz obliczeń z tabeli 2 wyznaczono korelację wielo-wymiarową pomiędzy wskaźnikiem selektywności wzbogacania węgla organicznego a wskaźnikami selektywności wzbogacania miedzi i srebra. Korelację wielowymia-rową wyznaczono, zakładając poziom istotności wynoszący 0,05. Na podstawie tablicy statystycznej wyznaczono równanie, określające minimalną wartość współ-czynnika korelacji, która pozwala na stwierdzenie, że pomiędzy danymi istnieje kore-lacja [15]: 0669 , 1 ) ln( 209 , 0 n R , (8)
gdzie n oznacza liczbę stopni swobody. Obliczono, że dla istniejącego zbioru para-metrów wzbogacania minimalna wartość współczynnika korelacji powinna wynosić 0,25 (dla wyników z 50 miesięcy). Dla wszystkich ciągów warunek ten został speł-niony.
W tabeli 3 podano współczynniki równania opisującego selektywność wzbogaca-nia węgla organicznego, wyliczone na podstawie selektywności wzbogacawzbogaca-nia miedzi i srebra, oraz obliczono, z jakim standardowym błędem estymacji równania te zosta-ły wyznaczone. Na podstawie wyznaczonych równań (tabela 3) obliczono modelowe wskaźniki selektywności wzbogacania węgla. Wyniki naniesiono na wykresy trójwy-miarowe, osobno dla danych rzeczywistych i osobno dla danych wyprowadzonych na podstawie równania korelacji wielowymiarowej (dane modelowe).
Na podstawie analizy rys. 2 można stwierdzić, że wyprowadzone równania cha-rakteryzują się wysokim stopniem dokładności i pozwalają na przewidywanie wyni-ków wzbogacania węgla organicznego na podstawie wzbogacania miedzi oraz sre-bra. Układ punktów na wykresach trójwymiarowych wskazuje, że największe różnice pomiędzy danymi rzeczywistymi i modelowymi występują przy punktach najbardziej odbiegających od wartości średniej. Model zmniejsza różnice pomiędzy wartościami odstającymi względnie wartości średnich.
Tabela 3. Współczynniki korelacji wyznaczone na podstawie wzajemnych relacji pomiędzy wskaźnikami selektywności wyznaczonymi dla węgla organicznego, miedzi i srebra
Ciąg I
współczynniki korelacji zupełnej współczynniki korelacji cząstkowej
r12 r13 r23 r12.3 r13.2 r23.1
0,057 0,116 0,470 0,003 0,101 0,467
współczynniki korelacji wielorakiej współczynniki kierunkowe
równania wyraz wolny
R3(12) a31 a32
0,479 0,512712 12,638908 -1215,4355
F(2,47)=6,981528 błąd stand. estymacji SEE: 1,5165 p<0,002214
Ciąg II
współczynniki korelacji zupełnej współczynniki korelacji cząstkowej
r12 r13 r23 r12.3 r13.2 r23.1
0,078 0,281 0,373 -0,030 0,273 0,367
współczynniki korelacji wielorakiej współczynniki kierunkowe
równania wyraz wolny
R3(12) a31 a32
0,451 1,559994 13,388983 -1396,4256
F(2,47)=5,989564 błąd stand. estymacji SEE: 1,6923 p<0,004818
Ciąg III
współczynniki korelacji zupełnej współczynniki korelacji cząstkowej
r12 r13 r23 r12.3 r13.2 r23.1
0,114 0,455 -0,032 0,145 0,462 -0,095
współczynniki korelacji wielorakiej współczynniki kierunkowe
równania wyraz wolny
R3(12) a31 a32
0,463 1,630983 -1,09142 51,5771
F(2,45)=6,126866 błąd stand. estymacji SEE: 0,9021 p<0,004433
1 – wskaźnik selektywności wyznaczony na podstawie krzywej wzbogacania Fuerstenaua dla srebra, 2 – wskaźnik selektywności wyznaczony na podstawie krzywej wzbogacania Fuerstenaua dla miedzi, 3 – wskaźnik selektywności wyznaczony na podstawie krzywej wzbogacania Fuerstenaua dla węgla org.
Najwyższą dokładnością estymacji charakteryzuje się równanie wyznaczone dla ciągu III, dla którego średni błąd estymacji wyniósł 0,90.
Tabela 4. Równania opisujące zależności pomiędzy wskaźnikami selektywności wzbogacania
Ciąg Równanie
I aCorg.0,512712aAg12,638908aCu1215,4355 II aCorg.1,559994aAg13,388993aCu1396,4256 III aCorg.1,630983aAg1,091142aCu51,5771
DANE RZECZYWISTE DANE MODELOWE
CIĄG I
CIĄG II
CIĄG III
Rys. 2. Średnie miesięczne wartości wskaźników selektywności miedzi, srebra i węgla orga-nicznego w koncentratach końcowych ZWR Polkowice
Na wykresach (rys. 3) wykreślono krzywe wzbogacania Fuerstenaua dla średnich wartości wskaźnika selektywności, osobno dla każdego z ciągów (dane tabela 2). Następnie na podstawie wartości standardowego błędu estymacji (tabela 3) wyzna-czono dodatkowo po dwie krzywe Fuerstenaua, pierwszą poprzez dodanie wartości standardowego błędu estymacji do średniej wartości wskaźnika selektywności (a+SEE), drugą poprzez odjęcie tej wartości (a-SEE). W ten sposób otrzymano zakres zmienności wskaźnika selektywności, wynikający ze standardowego błędu estymacji.
Dodatkowo na wykresach na rys. 3. przedstawiono krzywe wzbogacania, poka-zujące niepewność średniej wartości wskaźnika selektywności, w zależności od wielkości błędów analiz chemicznych, określających zawartości węgla organicznego w produktach wzbogacania. W obu przypadkach jako średnie wartości wskaźnika selektywności przyjęto średnie wyznaczone w tabeli 2. Średni błąd wyznaczania wskaźnika selektywności wzbogacania (równanie 7), wynikający z błędu oznaczeń chemicznych zawartości węgla organicznego w produktach wzbogacania, został wyznaczony na podstawie następującego równania:
2 2 2 2 r rf s f s a error (9)
gdzie s to odchylenie standardowe wyznaczone na podstawie błędów oznaczeń chemicznych (średni błąd oznaczeń dla koncentratu wynosi ±0,2% podanej warto-ści, a dla nadawy i odpadu ±0,1%), a f to pochodne cząstkowe równania 7 po wskaźniku selektywności, dla których uzyski rozpatrywanych składników koncentra-cie i uzyski pozostałych składników w odpadzie zostały wyznaczone dla średnich zawartości w nadawach i produktach wzbogacania z okresu od stycznia 2011 do lutego 2015 r. Na podstawie równania 9 wyznaczono niepewności wartości wskaź-nika selektywności a dla węgla organicznego, wywskaź-nikające z błędu analizy chemicz-nej. Wartości średniej + niepewność wynoszą: dla ciągu I – a=109,16 +/- 0,56, dla ciągu II – a=109,48 +/- 0,55 oraz dla ciągu III – a= 106,69 +/- 1,79 (rys. 2).
0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 średnia średnia =109,16
średnia + błąd analizy chemicznej =109,16 +/- 0,56 średnia + błąd standardowy estymacji =109,16 +/- 1,52
Uzysk węgla organicznego w koncentracie, e, %
U z y s k p o z o s ta ły c h s k ła d n ik ó w w o d p a d z ie , er , % id e a ln e mi e s z a n ie idealne wzbogacanie a a a CIĄG I 90 92 94 96 98 100 40 42 44 46 48 50 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 średnia średnia =109,48
średnia + błąd analizy chemicznej =109,48 +/- 0,55 średnia + błąd standardowy estymacji =109,48 +/- 1,69
Uzysk węgla organicznego w koncentracie, e, %
U z y s k p o z o s ta ły c h s k ła d n ik ó w w o d p a d z ie , er , % id e a ln e m ie s za n ie idealne wzbogacanie a a a CIĄG II 90 92 94 96 98 100 40 42 44 46 48 50 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 średnia średnia =106,69
średnia + błąd analizy chemicznej =106,69 +/- 1,79 średnia + błąd standardowy estymacji =106,69 +/- 0,90
Uzysk węgla organicznego w koncentracie, e, %
U z y s k p o z o s ta ły c h s k ła d n ik ó w w o d p a d z ie , er , % id e a ln e m ie s z a n ie idealne wzbogacanie a a a CIĄG III 90 92 94 96 98 100 45 47 49 51 53 55
Rys. 3. Krzywe Fuerstenaua dla średnich wartości wskaźników selektywności wzbogacania węgla organicznego w ZWR Polkowice
Przeprowadzona analiza wskazuje na stosunkowo wysoki stopień dokładności wyprowadzonych równań. Wartości standardowego błędu estymacji są mniejsze niż 1,7 wartości wskaźnika selektywności. W przypadku gdy zakres jego zmienności na krzywej Fuerstenaua charakteryzuje się funkcją wykładniczą [3], dla wartości wyż-szych wskaźnika selektywności ta różnica jest niewielka, co pokazano na rys. 3. Dla ciągu I oraz II błąd estymacji jest trzy razy większy niż różnica wartości wskaźnika selektywności, wynikająca z dokładności analiz chemicznych. W przypadku ciągu III sytuacja jest odwrotna, co oznacza, że dla tego układu równanie zostało wyznaczo-ne z najlepszą dokładnością.
Podsumowanie i wnioski
Na podstawie przeprowadzonej wielowymiarowej analizy statystycznej wyprowa-dzono równania matematyczne, opisujące selektywność wzbogacania rudy w węgiel organiczny w zależności od selektywności wzbogacania miedzi i srebra na trzech ciągach ZWR Polkowice. Wyznaczone równania pozwalają na predykcję wyników wzbogacania węgla organicznego ze stosunkowo niskim standardowym błędem estymacji, w przypadku ciągu III, mieszczącym się w granicach średniego błędu analiz chemicznych, w pozostałych przypadkach nieznacznie wyższym od wartości błędu oznaczeń chemicznych.
W wyniku przeprowadzonych analiz potwierdzono fakt istnienia korelacji pomię-dzy wzbogacaniem węgla organicznego oraz srebra i miedzi w koncentratach mie-dziowych (współczynniki korelacji wielowymiarowej powyżej 0,45). Wyprowadzone równania pozwalają na szybką i efektywną kontrolę zawartości węgla w koncentra-tach miedziowych, opartą jedynie na wynikach zawartości miedzi i srebra w nada-wach i produktach flotacji. W przypadku każdego z ciągów szybka informacja o za-wartości węgla pozwoli na natychmiastowe reakcje załogi, w przypadku wystąpienia problemów podczas procesu wzbogacania, na przykład poprzez zwiększenie dawki dozowanych odczynników zbierających w przypadku wzrastających wartości wskaź-nika selektywności miedzi i spadających wartości wskaźwskaź-nika selektywności węgla organicznego. Wykorzystanie i uwzględnienie tych informacji przy wzbogacaniu w warunkach technologicznych może wpłynąć na poprawę selektywności wzboga-cania, poprzez efektywne kontrole i ograniczenie zawartości węgla organicznego w koncentratach miedziowych, a co za tym idzie – poprawę jakości koncentratów miedziowych zgodnie z zapotrzebowaniem huty.
Praca wykonana w ramach badań statutowych Politechniki Wrocławskiej (S40 166 oraz S40 028).
Bibliografia
[1] Balicki A., 1998, Statystyka w badaniach ochrony środowiska, Główny Urząd Staty-styczny, Warszawa.
[2] Drzymała J., Ahmed H.A.M., 2005, Mathematical equations for approximation of separa-tion results using the Fuerstenau upgrading curves, Int. J. Miner. Process., vol. 76 (1-2), s. 55-65.
[3] Duchnowska M., Łuszczkiewicz A., Drzymała J., Konopacka Ż., Kowalczuk P., Bakalarz A., Foszcz D., Szyszka D., Karwowski P., Opracowanie technologii wydzielenia węgla organicznego na etapie flotacji wstępnej, Raport Nr I-11/2014/S-21, Instytut Górnictwa Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, listopad 2014.
[4] Hair J.F., Anderson R.E., Tatham R.L., Black W.C., 1995, Multivariate Data Analysis with Readings, Prentice Hall International, London.
[5] Jajuga K., 1993, Statystyczna analiza wielowymiarowa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.
[6] Kijewski P., Leszczyński R., Węgiel organiczny w rudach miedzi – znaczenie i problemy.
Zeszyty Naukowe Instytutu Gospodarki Surowcami Mineralnymi i Energi Polskiej Aka-demii Nauk, nr 79, 2010, s. 131-146.
[7] Makać M., Urbanek-Krzysztofiak D., 2011, Metody opisu statystycznego, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk.
[8] Konieczny A., Pawlos W., Jach M., Pępkowski R., Krzemińska M., Kaleta R., 2011, Zastosowanie systemu wizualizacji do sterowania parametrami pracy maszyn flotacyj-nych w KGHM Polska Miedź S.A. Oddział Zakłady Wzbogacania Rud, Górnictwo i Geo-logia, t. 6, z. 2, s. 61-71.
[9] Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K., Wasilewski M., 2011, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Cz. 2, Wydawnictwo Na-ukowe PWN, Warszawa.
[10] Pluta W., 1977, Wielowymiarowa analiza porównawcza w badaniach ekonomicznych, Państwowe Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa.
[11] Tumidajski T., 2010, Aktualne tendencje w opisie i modelowaniu matematycznym proce-sów przeróbki materiałów uziarnionych, Gospodarka Surowcami Mineralnymi. T. 26, z. 3, s. 111-121.
[12] Tumidajski T., Saramak D., 2009, Metody i modele statystyki matematycznej w przeróbce surowców mineralnych, Wydawnictwo AGH, Kraków.
[13] Tumidajski T., Saramak D., Foszcz D., Niedoba T., 2005, Methods of modeling and optimization of work effects for chosen mineral processing systems, Acta Montanistica Slovaca, 01, s. 115-120.
[14] Walesiak M., 1996, Metody analizy danych marketingowych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.
[15] Volk W., 1973, Statystyka stosowana dla inżynierów, Wydawnictwa Naukowo- -Techniczne, Warszawa.