Grawitacja

http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/

fizyka1.html

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Katedra Optyki i Fotoniki

Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska

Wykład FIZYKA I



Wzajemne

przyciąganie się

ciał jest źródłem jednej z podstawowych sił w

fizyce – sił przyciągania, które podlegają prawu powszechnego ciążenia

(grawitacji). Prawo to podał Isaac Newton (1687; pierwsze obserwacje już od

1655):

Między każdymi dwoma punktami materialnymi działa siła wzajemnego przyciągania, wprost proporcjonalna do iloczynu mas tych punktów (m₁ i m₂) a odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości r między nimi.

2 2 1

r

m

m

G

F





W postaci wektorowej prawo to można zapisać jako:

F₁₂ to siła, z jaką punkt „2” działa na punkt „1”, r₁₂ to promień wodzący, łączący punkt drugi z pierwszym.

12 3 12 2 1 12

r

r

m

m

G

F









F



r





Współczynnik

to

stała

grawitacji,

wyznaczona po raz pierwszy doświadczalnie w 1797 r. przez Henry`ego

Cavendisha przy użyciu tzw. wagi skręceń.

10

672

,

6

Nm

kg

G





(długie, cienkie włókno kwarcowe, ołowiane kule)



Pomiar Richardsa z 1898r

 Ciężar ciała (inaczej: siła ciążenia) – siła przyciągania, jaka działa na dane ciało ze strony innego ciała (na przykład Ziemi…). W pobliżu Ziemi będzie ona równa:

gdzie g oznacza tzw. przyspieszenie ziemskie równe:

mg

P



R

M

G

g



M_Z to masa Ziemi, R_Z to jej promień.

 Ciężar pozorny to wskazanie wagi sprężynowej, na której ważymy ciało (miara siły, która na niego działa, a którą ono z kolei działa na wagę). W przypadku ciał poruszających się z pewnym przyspieszeniem, ciężar pozorny to wypadkowa suma sił wynikających z przyciągania przez inną masę (np. Ziemię) i sił bezwładności, wynikających z ruchu z tym przyspieszeniem.

 Ciężar fizjologiczny jest proporcjonalny do siły, jaką działa ciecz na zakończeniu nerwów w półkolistych kanałach ucha wewnętrznego... (ile wysiłku trzeba włożyć w uniesienie np. głowy lub ramienia).

Oznaczmy masę grawitacyjną ciała przez m₁’ a jego masę bezwładną przez m₁.

Wtedy masa bezwładna, spadająca swobodnie w pobliżu Ziemi osiągnie przyspieszenie a₁:



Siła grawitacji jest proporcjonalna do masy ciała jako miary liczebności

materii (np. liczby nukleonów w jądrze) i moglibyśmy ją wobec tego nazwać

masą grawitacyjną. Czy jest to ta sama masa, która występuje w zasadach

dynamiki, a którą nazwijmy masą bezwładną?

2 1 1 1

'

'

R

m

M

G

a

m



Podobne równanie możemy napisać dla innego ciała o masie m₁. Dzieląc równania stronami, otrzymamy:

Czyli: jeśli wszystkie ciała spadają z jednakowym przyspieszeniem, to oba pojęcia mas są równoważne (obie masy są równe).

'

'

m

m

a

m

a

m



 Próby zbadania zależności między masą bezwładną a grawitacyjną: - Newton stwierdził równość przyspieszeń z dokładnością do 1/1000; - 1901 r. Roland Eötvös stwierdził to z dokładnością do 108_;

- 1964 r. R. Dicke (University of Princeton, USA): 10300_.

 Wyniki tych pomiarów sugerują, że dla wszystkich substancji masa grawitacyjna jest równa masie bezwładnej –> zasada równoważności – podstawowe prawo przyrody, opierające się na wynikach doświadczeń.

 Konsekwencją tej zasady jest niemożność rozróżnienia przyspieszenia grawitacyjnego od przyspieszenia np. całego laboratorium, w którym odbywałyby się pomiary – punkt wyjścia do ogólnej teorii względności Einsteina.

 Również kwestia wykładnika w potędze odległości (R-2_{) jest zagadnieniem,}



Zagadnienie obliczenia sił wzajemnego przyciągania dwóch ciał o

dowolnych rozmiarach i kształtach (o dowolnym rozkładzie masy):

- „rozbijamy” ciała na wielką liczbę cząsteczek tak małych, aby można je było

potraktować jako punkty materialne;

- sumujemy (wektorowo!) wszystkie siły przyciągania, działające na dany

punkt jednego ciała ze strony punktów drugiego ciała;

- sumujemy siły działające na każdy punkt danego ciała aby otrzymać

wypadkową siłę, działającą na całe ciało.

W przypadku ciał o ciągłym rozkładzie masy, należy zastosować oczywiście całkowanie zamiast sumowania.

 





r

r

m

m

G

F





 Newton w swych rozważaniach zakładał, że Ziemię można potraktować tak, jakby cała masa była skupiona w jej środku, ale udowodnił to dopiero 20 lat później (stąd rozbieżności w podawanych datach odkrycia prawa powszechnego ciążenia i stąd opracowanie przez niego podstaw rachunku całkowego!).

 Pole grawitacyjne to próba opisu wzajemnego oddziaływania ciał (na wskutek istnienia sił wzajemnego przyciągania) poprzez pewną wielkość wektorową, „niezależną” od ciała, które to pole wytwarza. Jest to inaczej przyspieszenie grawitacyjne w funkcji położenia. Można wtedy obliczyć siłę F, działającą na daną masę m, jako:

g

m

F







gdzie g jest natężeniem pola grawitacyjnego, charakteryzującym siły pola grawitacyjnego.

 Pole nazywamy jednorodnym, jeśli natężenie we wszystkich jego punktach jest jednakowe.

 Pole nazywamy centralnym, jeżeli we wszystkich jego punktach wektory natężenia skierowane są wzdłuż prostych, przecinających się w jednym punkcie, nieruchomym względem dowolnego układu inercjalnego (punkt ten nazywamy środkiem sił).

 Pole centralne nazywamy kulisto-symetrycznym, jeśli liczbowa wartość wektora natężenia pola zależy tylko od odległości od środka sił.



Zasada superpozycji pól (nakładania się pól): przy nałożeniu się kilku pól

(np. ciążenia), natężenie pola wypadkowego równa się sumie wektorowej

natężeń wszystkich tych pól.



Pola charakteryzuje się również pewną wielkością skalarną, zwaną

potencjałem pola. Równy jest on stosunkowi energii potencjalnej punktu

materialnego do jego masy:

W przypadku pola grawitacyjnego pojedynczego punktu materialnego o masie m, potencjał tego pola wyraża się wzorem:

m

E

V



r

Gm

V







Pole grawitacyjne wewnątrz i na zewnątrz jednorodnej kuli:

- pole grawitacyjne na zewnątrz pustej czaszy kulistej (bądź pełnej kuli) o masie M i promieniu R:

- pole wewnątrz tejże czaszy:

2

R

GM

g



0



g

- pole wewnątrz jednorodnej kuli o gęstości  :

 

R

r

R

M

G

Gr

r

g

















3

4

_

 Nauki Arystotelesa i Ptolemeusza: wszystkie planety i gwiazdy poruszają się wokół Ziemi po skomplikowanych torach (będących superpozycjami ruchów po okręgach);

 Mikołaj Kopernik (1540): planety krążą wokół Słońca, Księżyc wokół Ziemi.

 Giordano Bruno - zwolennik teorii heliocentrycznej Kopernika -> stos (1600).

 Galileusz (również przełom XVI i XVII wieku): odwołał publicznie swoje teorie w obawie przed stosem.



Johannes Kepler (korzystając z obserwacji Tycho Brache) podał

wyprowadzone empirycznie prawa ruchu planet – prawa te

można wyprowadzić z prawa powszechnego ciążenia Newtona.

Johannes Kepler

(ur. 27 grudnia 1571 r. w Weil der Stadt, zm. 15 listopada 1630 r. w Ratyzbonie)

Tycho Brahe (właśc. Tyge Ottesen Brahe, także (mylnie) Tycho de Brahe; ur. 14 grudnia 1546 r. w zamku Knutstorp w Skanii – zm. 24 października 1601 r. w Pradze)



Pierwsze prawo Keplera:

Każda planeta krąży po orbicie eliptycznej, ze

Słońcem w jednym z ognisk tej elipsy.



Drugie prawo Keplera (prawo równych pól):

Linia łącząca Słońce i planetę zakreśla

równe pola w równych odstępach czasu.



Trzecie prawo Keplera:

Sześciany półosi wielkich orbit jakichkolwiek

dwóch planet mają się tak do siebie, jak

kwadraty ich okresów obiegu:

2 2 2 1 3 2 3 1

T

T

a

a

_



Rozpatrzmy ruch ciała w polu sił centralnych:

r

r

F

F







Moment siły F względem środka pola jest równy zeru:

dlatego moment pędu tego ciała względem środka pola jest zachowany:

0























r

r

F

r

F

r

M











 

m

v

const

r

K













Stąd z kolei wynika, że w centralnym polu sił tor ruchu tego ciała jest krzywą płaską (płaszczyzna, zawierająca wektory położenia r i prędkości v nie zmienia swej orientacji względem środka pola).



Skoro krzywa ruchu jest krzywą płaską, położenie punktu w przestrzeni

określimy we współrzędnych biegunowych

, , a prędkość rozłożymy na

prostopadłe składowe: radialną i transwersalną (poprzeczną)

r

:



v

v

v

v

v











dt

dr

v



dt

d

r

v





 Moment pędu układu zależy tylko od prędkości poprzecznej:

 

m

v

const

r

K













 Wartość momentu pędu jest równa:

const

dt

d

mr

wycinek kołowy, którego pole jest równe: stąd wielkość :

nazywamy prędkością polową (wycinkową).



d

r

dA

2

1



v

dt

d

r

dt

dA

v



2

1





 Biorąc pod uwagę powyższą definicję i zasadę zachowania momentu pędu, otrzymujemy:

const

m

K

v





2

Przy ruchu ciała w polu siły centralnej jego prędkość polowa

(rozumiana jako pole zakreślane przez promień wodzący w jednostce

czasu) jest stała. (II prawo Keplera)



Aby wyprowadzić I i III prawo Keplera, skorzystajmy z zasady zachowania

momentu pędu (była) i zasady zachowania energii:

const

E

E

E

























































































2

2

2

mr

K

dt

dr

m

dt

d

r

dt

dr

m

mv

E



₂























mr

K

E

E

m

dt

dr

mr

K

dt

d



_



E

E





K

r



dr

m

r

K

d

2











Aby rozwiązać podane równanie trajektorii ruchu, musimy podstawić

konkretne wyrażenie na energię potencjalną, która w przypadku pola

grawitacyjnego ma postać:

r

E











GMm

 Ostateczne rozwiązanie można przedstawić w postaci:

 





cos

1 e

p

r







m

K

p



2

₁







m

EK

e



Tor ruchu (orbita), jest krzywą drugiego stopnia (krzywą stożkową), przy

czym p jest jej parametrem ogniskowym a e - mimośrodem.

 





cos

1 e

p

r







W zależności od tego, jaka jest energia całkowita ciała, możliwe są

następujące rozwiązania równania toru (trajektorii):

•dla E<0 (czyli e<1) jest to orbita eliptyczna;

•dla E=0 (e=1) jest to orbita paraboliczna;

•dla E>0 (e>1) jest to orbita hiperboliczna;

•dla K=0 (e=1, p=0) jest to tor prostoliniowy, przechodzący przez środek

pola.





Dla planet, poruszających się w polu grawitacyjnym Słońca:

a więc torami ruchu planet są elipsy (I prawo Keplera).

0



E



Wtedy również można wyprowadzić wzór na okres

_{T obiegu planety}

po tej elipsie:

gdzie

_{a jest dużą osią elipsy. Stąd otrzymujemy III prawo Keplera.}

4

a

GM

T





nazywamy prędkość, którą powinien mieć satelita Ziemi, obiegający ją po

orbicie kołowej.

Znajdziemy ją z zasady zachowania energii:

- całkowita energia satelity na orbicie kołowej (e=0): - energia kinetyczna satelity:

- energia potencjalna satelity:

r

E

2





2

mv

E



r

E





GMm







r

GM

v



v



g

R



7

,

9

km

/

s



Drugą prędkością kosmiczną (prędkością paraboliczną) dla Ziemi

nazywamy prędkość, którą trzeba nadać ciału, aby jego orbita w polu

grawitacyjnym stała się paraboliczna – to znaczy, aby ciało mogło pokonać

przyciąganie ziemskie i stać się satelitą Słońca (lot na inne planety).

Znajdziemy ją z zasady zachowania energii:

- całkowita energia satelity na orbicie kołowej (e=1): - energia kinetyczna i potencjalna: jak poprzednio

0



E

2

mv

E





v

r

GM

v



2



2

przy powierzchni Ziemi:

_v

_g

_R

_km

_s

Z Z