View of What is the Dimension of the Universe?

R O C Z N I K I F I L O Z O F I C Z N E To m XXXVII-XXXVI11, zeszyt 3 - 1989-1990

PAW EŁ TURKOW SKI

IL E W Y M IA R Ó W M A W S Z E C H Ś W IA T ?

Na początku IX w. h olen d ersk i matematyk Brouwer przed­ s ta w ił dowód to p o lo g ic z n e j nierównoważności p r z e s tr z e n i e u k li­ desowych E ^ g ^ d la n (i ® /1, 2/. Dowód Brouwera potw ierdza naszą i n t u i c ję dotyczącą za s a d n iczej r ó ż n ic y pomiędzy tymi przestrzen ia m i i nadaje sens poszukiwaniom dobrej d e f i n i c j i ch a ra k tery styk i t o p o lo g ic z n e j zwanej wymiarem topologiczn ym . Taka w ła ściw ie określona d e f in i c ja powinna gwarantować rów­ ność wymiaru dwu fig u r homeomorficznych. Powyższy p o stu la t udało s i ę z re a liz o w a ć , /3, 4/ a t e o r ia wymiaru r o z ro s ła s ię d z is ia j do r o l i sam odzielnego d z ia łu matematyki, k tóry o b e j­ muje zakresem swych badań różnorodne k la sy p r z e s tr z e n i i po­ sługu je s ię kilkom a, sta ra n n ie dobranymi, d e fin ic ja m i wymia­ ru /wymiar dim, in d , Ind i inne/ /5, 6, 7/. W przypadku p rze­ s t r z e n i metrycznych d e f i n i c j e wymiarów dim, ind i Ind są rów­ noważne.

W cią gu o s ta tn ic h sie d e m d zie się ciu la t p r z e s tr z e n ie me­ try czn e z r o b iły ogromną k a r ie r ę w k o s m o lo g ii, słu żąc jako two­ rzywo do k o n s tru k c ji m odeli Wszechświata. C iągłość procesów zachodzących w p rz y ro d z ie nasuwa h ip o te z ę , i ż p rz e s trz e ń Wszechświata, j e ś l i nawet n ie je s t niezmienna, może być mode­ lowana jako szere g p ły n n ie następujących po so b ie f i g u r homeo­ m orficznych. Zatem j e j wymiar, ja k ik o lw ie k j e s t , powinien s ta ­ nowić trw a łą cechę p r z e s t r z e n i. W p rzec iw ie ń stw ie do innych b a rd z ie j subtelnych ch arakterystyk geom etrycznych, cecha ta j e s t lok aln a - wymiar z zasady może być sprawdzony w ziemskim laboratoriu m . W szystkie tego rodzaju pomiary p o tw ierd za ją przestrzen n ą trójwymiarowość Wszechświata. Dla przykładu: ł a ­ two zauważyć, że trójwymiarowa śruba obracana w czterowym ia- rowej p r z e s tr z e n i nie zachowywałaby sw ojej s k r ę tn o ś c i. Pomia­ ry op arte na tak p r o s te j za sad zie n ie pozw alają jednak s ię g ­

nąć g łę b ie j n iż na o d łe g ło ś c i rzędu rozmiarów molekuł: 10~9 m. Inne, mniej bezpośrednie doświadczenia, p o leg a ją ce na in t e r ­ p r e t a c ji wyników zdarzeń cząstek elementarnych um ożliw iają

—17

d z iś dostęp do o d le g ło ś c i się g a ją cy ch 10 ' m i tak że n ie wy­ kazują zmian w łasności p r z e s tr z e n i: o p era c y jn ie zdefiniow any wymiar p r z e s tr z e n i fiz y c z n e j j e s t , w za k re sie dostępnych eks­ perymentom o d le g ło ś c i, równy t r z y .

W 1921 r . Teodor Kaluza odkrył za d ziw ia ją c ą możliwość wyprowadzania skomplikowanych praw t e o r i i g r a w it a c ji E in s te i­ na i elektromagnetyzmu Maxwella, obowiązujących w p rzy ro d zie trójw ym iarow ej, z p r o s te j pojęciow o t e o r i i , budowanej na prze­ s tr z e n i o w iększej l i c z b i e wymiarów. Rachunek Kaluzy można traktować jako wybieg matematyczny, można t e ż nadawać dodatko­ wym wymiarom statu s r e a ln o ś c i, a ich nieobserwowalność tłuma­ czyć naszymi niedostatecznym i m ożliwościami eksperymentalnymi. I s t n ie ją podstawy by przypuszczać, że w takim eksperymencie trzeb a sięgn ąć do o d le g ło ś c i rzędu tzw . d łu g o ś ci Plancka /hG/2Trc"V^ = 1 • 6 x 10-35 m. w t e j s y t u a c ji cennym spraw­ dzianem k o n cep cji realnych dodatkowych wymiarów Wszechświata j e s t pomysł powiązania j e j z kosm ologią określany mianem kos­ m ologicznej red u k cji wymiarowej.

P rz e s trz e ń fiz y c z n a Wszechświata posiada n ie ty lk o okre­ śloną struktu rę geom etryczną, le c z co w ię c e j podlega ew olu cji, zm ieniając swoje rozm iary. Ewolucją p r z e s tr z e n i rządzą równa­ n ia dynamiczne wiążące j e j cechy metryczne z m aterialną zawar­ t o ś c ią św ia ta . Według p ro p o z y c ji Chodosa i D etw eilera /8/, wczesny Wszechświat b ył wielowymiarowy, a równania einsteinow - s k ie zmusiły go do p r z y ję c ia p o s ta c i pozorn ie trójw ym iarow ej. R e a liz a c ja tego scenariusza w iązałab y, być może, w jedną ca­ ło ś ć bardzo o d le g łe zdarzen ia, k tó re z a s zły w prehistorycznym o k re sie Wszechświata, niedostępnym w żadnej bezpośredniej o b serw a c ji, z własnościam i, k tó re ujawnia d z i s i a j .

Trójwymiarowość i wysoką iz o t r o p ię d z is ie js z e g o świa­ ta Chodos i D etw eiler w swej o ry g in a ln ej pracy u z y s k a li, wy­ b ie r a ją c a r b it r a ln ie bardzo szczególn y /I + 4/-wymiarowy model kosm ologiczny. W y ra z ili przy tym n a d z ie ję , że wybór ten będzie mógł być usprawiedliw iony d z ię k i dalszym badaniom. Po przeba­ daniu różnorodnych m odeli kosmologicznych okazało s i ę , że sam efe k t "zn ik a n ia " pewnej lic z b y wymiarów przestrzennych n ie je s t czymś wyjątkowym /9, 10, 11, 12/. Gdy o d le g ło ś ć pomiędzy punktami, mierzona w pewnym kierunku, ro śn ie wraz z upływem

IL E W Y M IA R Ó W M A W SZECHŚW IAT? 65 czasu, równania E in stein a zmuszają p rz e s trz e ń do kurczenia s ię wzdłuż innego kierunku. Proces ten można so b ie w yobrazić jako ro zcią ga n ie doskonale e la s ty c z n e j r u r k i, powodujące w zrost j e j długości i jed n ocześn ie m alenie śred n icy. Zmiany k s z ta łtu p rze­ s tr z e n i zachowują j e j wymiar dopóki nie d o jd z ie do czegoś w r o ­ dzaju s k le je n ia r u r k i w n itk ę o zerowej ś re d n ic y . Przypuszcza s ię jednak, że do ta k ieg o zupełnego skurczenia s ię dodatkowych wymiarów n ie d o s z ło , le c z ic h rozm iary z o s ta ły u stab ilizow a n e na małym poziom ie.

J e ś l i źró d ło samej re d u k c ji lic z b y wymiarów le ż y g d z ie ś w równaniach E in stein a , t o i s t n i e j ą n ie w ą tp liw ie u za le ż n ie n ia j e j efektów od: /a/ s y m e tr ii nałożonych na p r z e s tr z e ń podlega­ jącą e w o lu c ji, /b/ krzywizny p o d p rzes trzen i tworzących całą ewoluującą p r z e s tr z e ń , /c/ rod za ju m a te r ii w y p ełn ia ją ce j mo­ d e l. Oprócz samej m ożliw ości pozornej zmiany lic z b y wymiarów p r z e s tr z e n i, p rzez r o z s z c z e p ie n ie j e j na dwie p o d p rzestrzen ie charakteryzujące s ię zu p ełn ie różnymi skalami rozmiarów, n ie mniej in te r e s u ją c e są odpow iedzi na pytania dotyczące własno­ śc i t a k ie j asym etrycznej p r z e s tr z e n i. Można sformułować n astę­ pujące problemy. /A/ Czy model Friedmana może być w naturalny sposób realizow an y przez wielowymiarowe równania E in steina? /B/ Jaki j e s t mechanizm s t a b iliz u ją c y rozm iary dodatkowych wy­ miarów ma małym, le c z niezerowym poziom ie? Przekonywające od­ powiedzi u d zielon e na pytania /A/ i /B/ zw iększyłyby poziom zau­ fa n ia , którym obdarzana j e s t koncepcja wielowymiarowego Wszech­ św iata. Omówimy pokrótce k o lejn o punkty /a/-/c/, /A/ i /B/.

/a/ Brak j e s t wyników dotyczących problemu e w o lu c ji w ie­ lowymiarowych p r z e s tr z e n i niesym etrycznych. P rz e s tr z e n ie syme­ tryczn e charakteryzowane są p rzez lic z b ę i wzajemne r e l a c j e po­ między tzw . wektorami K illin g a . I s t n ie j ą częściow e k la s y fik a ­ c je ta k ich p r z e s tr z e n i /13,

14

/b/ W standardowym friedmanowskim modelu m akroprzestrze- ni o s y m e tr ii Robertsona-Walkera uzupełnionym dodatkową p r z e s tr z e n ią S11 o s y m e tr ii wielowymiarowej s fe r y i s t n i e j e wy­ raźna zależn ość p rzeb iegu e w o lu c ji od założon ej uprzednio k rzy­ wizny p r z e s tr z e n i M . Efekt ten ilu s t r u je następujący diagram /11/s

U u

I

I

k = -1 k = O, +1

b b

3 '

k - oznacza s ta łą krzywizny p r z e s tr z e n i M , a , b - oznaczają dwa dozwolone początkowe stany e w o lu c ji Wszechświata, a , b - dwa dozwolone końcowe stany e w o lu c ji, przy czym stan końcowy b r e a liz u je znikanie dodatkowej p o d p rzes trzen i S11 i w zrost wy­ miarów p r z e s tr z e n i I/P; stan a r e a liz u je tendencje odwrotną. S trzałk a wskazuje b ie g e w o lu c ji. Dla przypadku k = 0,1 ewolu-o ja kewolu-ończąca s ię stanem b je s t tak samewolu-o m ewolu-ożliwa, ja k ewewolu-olucja

*

w kierunku stanu a . W przypadku p r z e s tr z e n i Robertsona-Walkera o s t a ł e j ujemnej k rzyw iżn ie /k = -1/ stan końcowy b je s t wyróż­ n ion y. Wynik ten n ie z a le ż y od wymiaru dodatkowej p rz e s trz e n i

s“ - .

/c/ W ypełnienie modelu m aterią m odyfikuje równania ewolu­ c j i zw iększając lic z b ę możliwych typów e w o lu c ji. Dla przykładu e fe k t m a te r ii p rom ien istej na ew olucję modelu omówionego w punk­ c ie /b/ i lu s t r u je poniższy diagram /12/:

Jak widaó, pojawia s i ę nowy, dodatkowy stan początkowy c i koń­ *

cowy c , przy czym końcowy stan e w o lu cji b p o zo s ta je nadal wy­ różn ion y. wynik ten , podobnie ja k w omawianym wyżej punkcie /b/, n ie z a le ży od wymiaru s fe r y S®.

/A/ W prostych modelach omówionyoh powyżej model F rie d ­ mana je s t "wbudowany" w rozważania od początku. I s t n i e j e bar­ dzo n ie w ie le wskazówek co do m ożliw ości w yłonienia s ię t a k ie ­ go modelu z innej p r z e s tr z e n i, np. o m n iejs ze j s y m e tr ii.

IL E W Y M IA R Ó W M A W SZECHŚW IAT? 67 W s z c z e g ó ln o ś c i mechanizm iz o t r o p i z a c j i t a k ie j p r z e s tr z e n i, związany z obecnością i kurczeniem s i g dodatkowych wymiarów, je s t mało wydajny lub w o g ó le n ie i s t n i e j e /12/ .

U w zględnienie efektów kwantowych pozwala uzyskiwać in ­ teres u ją ce odpow iedzi na p ytan ie /B/. Ponadto wiadomo, że k la ­ syczne w yja śn ien ie problemu s t a b i l i z a c j i rozmiarów tak że je s t możliwe /

1 3

W ś w ie t le tego co powiedziano wyżej kosm ologia e ln s t e i - nowska j e s t zgodna z koncepcją dodatkowych wymiarów Wszech­ św iata, jednak nie wyróżnia ic h l ic z b y . Z d ru g ie j stron y, współczesne modele oddziaływań i czą stek elementarnych p r e fe ­ ru ją pewne lic z b y wymiarów przestrzennych Wszechświata, np. 9, 10, 25 /16, 17/, trudno jednak d z is i a j wskazać, która z tych p r o p o z y c ji j e s t n a jle p s z a . Zatem we współczesnych bada­ niach kosmologicznych wymiar często traktowany je s t jako pa­ rametr, k tóreg o wartość z o s ta n ie ustalona w p r z y s z ło ś c i. W mo­ delach prezen tu jących bardzo wczesne, n ieein s te in o w sk ie etapy ew olu cji kosmosu podejmowane są tak że próby o d e jś c ia od rów­ nań E in stein a . W szystkie t e próby sta w ia ją sobie ambitny c e l : jednoznaczne odtw orzenie h i s t o r i i samego początku św iata.

WHAT IS THE DIMENSION OP THE UNIVERSE?

S u m m a r y

We discu ss the concept o f dimension in i t s mathematical and co sm ologica l b e a rin g s. A ccording to K a lu za -K lein and super­ s trin g th e o r ie s the U niverse i s f u l l y N-dim ensional /with N> 3/ but a l l except th ree s p a t ia l dimensions are confined to s iz e s clo se to the Planck le n g th . As the en erg ies necessary to probe the ex tra s p a t ia l dimensions are not a tta in a b le in t e r r e s t r i a l a c c e le r a to r s , i t i s n atu ral to use the Big Bang to study the e f f e c t o f e x tra dim ensions. The p a r tic u la r cosmology we pre­ sent here i s the /Priedman-Robertson-Walker/ x /n-sphere/ uni­ v e rse. The cosm ological e v o lu tio n o f such a w orld w ith n + 3 s p a tia l dimensions can be stu died using higher-dim ensional extensions o f gen eral r e l a t i v i t y . I t turns out th a t, w ith in the class o f both vacuum and r a d ia tio n f i l l e d models, the q u a li­ t a t iv e fe a tu re s o f the u n iverse do not depend on the s p e c if ic number o f dimensions and, p a r tic u la r y , the cosm ological dimen- s io n a l-re d u ctio n occurs, i . e . , the u niverse passess from mul­ ti-d im en s io n a l phase to the Friedm an -like one. However, at present th e re i s no t h e o r e t ic a l explan ation why ju s t three dimensions have expanded to a la r g e s i z e .

LITERATURA

1. B r o u w e r L . : Beweis der In va ria n z der Dimensionen­ z a h l. "Mathematische Annalen" 70:1911 s . 161-165.

2. B r o u w e r L .: Uber den n atttrlichen D im en s io n s b eg riff. "Journal fltr d ie r e in e und angewandte Mathematik" 142:1913

s . 146-152. ,

Rentus de l»Academie P a r ia " 175:1922 s . 440-442.

4. M e n g e r K .: Uber d ie Dimenoion von Punktmengen. "Monata- h e fte ftlr Mathematik und Physik" 33:1923 s . 148-160.

5. H u r e w i c z W. , W a l l m a n H.: Dimension th eory. Princeton 1948.

6. E n g e l k i n g R . : Teorio wymiaru. Warszawa 1981. 7. E l u s z k i e w i c z J. , C i e p l a k M.: Błądzenie

przypadkowe na fr a k ta la c h . "Postępy F iz y k i" 37:1986 s . 409­

434 * ™

8. C h o d o a A ., D e t w e i l e r A .: "here has the fifth dimension gone? "P h y s ic a l. R eview ." D 21:1980 a. 2167-2170. 9. S a h d e v D .: Towards a r e a l i s t i c K a lu zs-K lein Cosmo­

lo g y . "Physics L e t t e r s " 137 B:1984 s . 155-159.

10. D e m i a ń s k i M. , G o 1 d a Z. , H e l l e r M. , S z y d ł o w s k i M.: The dim ensional red u ction in a mul­ tidim en sion al cosmology. " C la s s ic a l and Quantum G ravity" 3:1986 s . 1199-1205.

1 1 . T u r k o w s k i P. , M a ś l a n k a K .: Phase space c la s s if i c a t io n o f K a lu za -K lein cosm ologies. "G eneral Rela­ t i v i t y and G ra v ita tio n " 19:1987.

12. T u r k o w s k i P .: A m ultidim ensional r a d ia tio n f i l l e d u n iverse. "General R e l a t i v i t y and G r a v ita tio n ". P rzed sta­ wione do druku.

13. D e m i a ń s k i M. , G o 1 d a Z. , S o k o ł o w ­ s k i I . M. , S z y d ł o w s k i M. , T u r k o w s ­ k i P .: The group t h e o r e t ic a l c l a s s i f i c a t i o n o f the 11-di­ mensional c la s s ic a l homogeneous K a lu za -K lein cosm ologies. "Journal o f Mathematical P h ysics" 28:1987 s . 171-174. 14. T u r k o w s k i P .: C la s s ific a t io n o f M ultidim ensional

Cosm ologies. "General R e l a t i v i t y and G r a v ita tio n ". Przed­ stawione do druku.

1 5 . T o m i m a t s u A . t I s h i h a r a H.: Dimensional red u ction in an o s c illa t o r y Klauza-Kxein cosmology. "General R e la t i v it y and G ra v ita tio n " 18:1986 s . 161-171.

16. G r e e n M.: U n ific a tio n o f fo rc e s and p a r t ic le s in su­ p e r s tr in g th e o r ie s . "N ature" 314:1985 a. 409-414.

17. E l l i s J . : The su p e rstrin g: theory o f ev ery th in g , or o f nothing? "Nature" 323:1986 s . 595-598.