W11. Zasada równowartości energii kinetycznej i pracy Plik

B) Praca wykonana przez układ sił.

b) Praca elementarna wykonana przez siły działające na bryłę .

- ruch postępowy bryły

x

z

y

Rys. 4.10

0

 

S m

v_S v_i

P

_i dr_i dr_S Rys. 4.10 Załóżmy, że na ciało pozostające

w ruchu postępowym działa układ sił

P P P

₁

, ..

_{i n}

Przy postępowym ruchu ciała trajektorie wszystkich jego punktów są krzywymi przystającymi.

Wektory elementarnych

przemieszczeń wszystkich punktów ciała są geometrycznie równe:

S i

d

r

r

d

r

d





praca układu sił jest więc równa:









   



















n i i S n i S i n i i i n i i

P

v

dt

P

v

dt

d

r

P

L

L

1 1 1 1





Oznaczając przez: wektor główny sił zewnętrznych,

_P

dr

_S - wektor elementarnego przesunięcia środka masy, mamy:

 

S

P

_P

_d

_r

L





- ruch obrotowy bryły 0 x y z   r_i P_i x Rys. 4.11

Obliczmy pracę elementarną wykonaną przez układ sił , przyłożony do bryły w ruchu obrotowym.

P P P

1

, ..

i n

Praca elementarna równa jest:





 









n i i i n i i

P

v

dt

L

L

1 1





v

_i



prędkość liniowa i- tego punktu.

W ruchu obrotowym prędkość liniowa i- tego punktu jest równa:

v

_i

 



r

_i

praca elementarna będzie więc określona:







L



r

_i

P dt

_i i n



 







1

r

_i



P

_i

P

_i

r

_i

 

P

_i

M P

₀

 

_i

Wyrażenie jest momentem siły , co zapiszemy: Prędkość kątową wyrazimy w postaci:





d





dt

k

Ponieważ jest to ruch obrotowy to:

 

_

 



 





n i i z n i i

k

M

P

P

M

1 1 0 Elementarna praca:

 



 







L

d

M

P

k

d

n

M

P

M

_z

d

i i z n i i



















 1 1 0  

_



L

0



M

_z



d

(4.20)

 







 n i i z z

M

P

M

1

to suma algebraiczna momentów wszystkich sił wzgl. osi obrotu,

- ruch płaski bryły.

0

 

S m

x

y

C

dr

_S

d



d



Rys. 4.12 W ruchu płaskim elementarna praca

jest równa sumie pracy ruchu postępowego środka masy i obrotowego względem środka masy:

 pl

_L

 p

_L

 o

L











co można zapisać ostatecznie:

 

_



L

pl



P



d

r

_s



M

_s



d

(4.21)







n i i

P

P

1

 

M

_s

M P

_{s i} i n







1

Jeżeli znamy środek chwilowego obrotu to elementarną pracę można wyrazić:  



L

pl



M d

_C





(4.22)

 

M

_C

M P

_{C i} i n









1

moment sił zewnętrznych wzgl. chwilowego środka obrotu.

c) Praca sił wewnętrznych.

W naszych rozważaniach zakładamy, że bryła jest idealnie sztywna.

Rys. 4.15

A

_B

W

_W

'

v

_A

dr

_A

v

_A

dr

_A

dr

_B

v

_B

v

_BA

dr

_BA



bryła sztywna

_{bryła sztywna}

Rys.4.15 Dla każdego odcinka AB należącego

do bryły możemy zapisać:

W W



'



0

Elementarna praca sił wewnętrznych wynosi:



L W dr





_A



W dr

'



_B

elementarne przemieszczenie punktu B jest równe:

co po wstawieniu do zależności na elementarną pracę pozwoli napisać:







L W dr





_A



W

'



dr

_A



dr

_BA

upraszczając powyższe wyrażenie:







L



W W



'



dr

_A



W dr

'



_BA



₀

bo

W dr

'

_

_BA

Mamy układ w którym występuje deformacja.

S

S

'

A

B

x

_A

_x

_B

dr

_A

dr

_B Rys.4.16 Siły reakcji sprężyny na węzły A i B

spełniają zależność:

S S



'



0

Elementarna praca wykonana przez siły układu:



L S dr

 

_A

 

S dr

' _B

  

S dr

_A

 

S dr

' _B

Siła występująca w sprężynie:





S S



'

   

k



k x

_A



x

_B





 

x

_A



x

_B - odkształcenie liniowe sprężyny. Punkty A i B przemieszczają się liniowo więc możemy zapisać:

elementarną pracę możemy wyrazić teraz zależnością:



 





L k x

 

_A



x

_B



dx

_B



dx

_A

d) Zasada równowartości energii kinetycznej i pracy. P m z y x Rys. 4.18 Rys.4.18 Niech na punkt materialny o masie działa

siła (rys. 4.18). Równania ruchu punktu względem przyjętego układu odniesienia będą:

P























z y x

P

z

m

P

y

m

P

x

m













(4.26)

pomnóżmy (4.26) przez prędkości i dodajmy do siebie:



x

x

y

y

z

z



P

x

P

y

P

z

m

































_x







_y







_z





Wyrażenie w nawiasie jest pochodną energii kinetycznej po czasie:

z

z

y

y

x

x

dt

dE































czyli:



P

x

P

y

P

z



dt

dE



_x







_y







_z





gdzie:



P

x

P

y

P

z



dt

L



_x







_y







_z







Ostatecznie możemy zapisać:

dE





L

(4.27)

Z równania (4.27) wynika, że elementarna energia kinetyczna równa jest elementarnej pracy. Jeżeli równanie (4.27) obustronnie scałkujemy to dostaniemy:

dE

L









co po rozwiązaniu całki będzie:

E

_II



E

_I



L

_{I II} (4.28) (4.28) to tzw. zasada równowartości energii kinetycznej i pracy.

Określa ona, że przyrost energii kinetycznej układu jest równy pracy całkowitej wykonanej przez wszystkie siły w czasie, gdy przyrost ten następuje. Zasadę tą można stosować do opisu zjawiska ruchu zawsze!

Jeżeli:

L

_{I II}

 0

to:

E

_II



E

_I

 0

E

_II



E

_I



const

(4.29) (4.29) to tzw. zasada zachowania energii kinetycznej.

e) Moc układu.

Zmiana pracy siły w odniesieniu do jednostki czasu, nazywa się mocą siły.

N

L

dt





(4.30)

np. w ruchu postępowym moc można określić:

  S z S y S x S p

_P

_v

_P

_x

_P

_y

_P

_z

N























(4.31) w przypadku ruchu obrotowego będziemy mieli:

 

_

_

_

z

o

_M

N

(4.32)

Jednostką mocy w układzie SI jest

 

_W

s

m

N

1

1











f) Pole potencjalne sił.

Załóżmy, że istnieje obszar o tej własności, że na punkt materialny umieszczony w dowolnym punkcie obszaru działa siła zależna tylko od położenia tego punktu.

Każdemu punktowi obszaru odpowiada więc pewna niezmienna w czasie siła , która działa na punkt materialny, gdy ten znajduje się w rozpatrywanym położeniu obszaru.

P

z y x Rys. 4.20 0

x

y

z

P r obszar obszar Rys.4.20 Przestrzeń o takiej własności, że na

dowolnie umieszczony w niej punkt materialny działa ściśle określona siła , zależna tylko od położenia punktu, nazywamy polem sił.

P

 

Jako przykład takiego pola można podać przestrzeń dokoła magnesu dla ciał ferromagnetycznych, pole grawitacyjne ziemskie, pole sprężyny itp.

W mechanice interesuje nas przypadek pola grawitacyjnego sił.

Określimy pracę wykonaną przez siłę pola

_P

przy przejściu z A do B.

z

y

x

0 A B x Rys.4.21    





L

_AB

L

P dx

P dy

P dz

P dx P dy P dz

AB x x x y y y z z z x y z AB A B A B A B











 









 



 



 

Praca całkowita wykonana przez siłę pola zależy od wielkości przebytej drogi.

Jeżeli okaże się, że praca całkowita nie zależy od przebytej drogi, to takie pole sił nazywamy potencjalnym.

Przez potencjał rozumiemy pewną skalarną funkcję położenia.





V

_A



V x y z

_A

,

_A

,

_A tzw. potencjał w punkcie A,





V

_B



V x y z

_B

,

_B

,

_B tzw. potencjał w punkcie B.

Jeżeli punkty A i B leżą na prostej równoległej do osi x układu odniesienia (rys.4.22), to praca przejścia wynosi:

z

y

x

Rys. 4.22

0





B x y z

_B

, ,





A x y z

_A

, ,

z Rys. 4.22

L

_AB

P dx

_x x x A B







(4.34)

z kolei zgodnie ze wzorem (4.33) mamy:



 



Porównując (4.34) oraz (4.35) dostaniemy:



 



V x y z

_A

V x y z

_B

P dx

_x x x A B

, ,



, ,







Powyższa zależność prowadzi do wyznaczenia sił pola potencjalnego:































z y x

P

z

V

P

y

V

P

x

V













(4.36)

Z równania (4.36) wynika, że pochodna cząstkowa potencjału podług odpowiedniej współrzędnej przedstawia rzut siły pola potencjalnego na odpowiednią oś ze znakiem przeciwnym, tzn.:

P



P i P j P k

_x

    

_{y z}

V

grad

k

z

V

j

y

V

i

x

V

P































(4.37)

W polu potencjalnym mówimy o tzw. powierzchniach stałego potencjału, rys.423. Powierzchnie ekwipotencjalne, to takie powierzchnie na których w każdym punkcie potencjał jest taki sam.

Uwzględniając równania (4.36) otrzymamy

  A B P VA  const  . .r p ekwip V_B  const  . .r p ekwip Rys. 4.23 Rys. 4.23 Siła pola potencjalnego jest zawsze

na kierunku normalnej do

powierzchni ekwipotencjalnej, a zwrot siły jest zawsze w stronę powierzchni o niższym potencjale

Aby pole sił było polem potencjalnym, to:

























y

P

z

P

x

P

z

P

x

P

y

P

z y z x y x

























(4.38)

Równania (4.38) to warunki konieczne i wystarczające występowania potencjału. Równania te możemy zapisać:

rotP

 0

(4.39)

Pole potencjalne nazywamy często polem bezwirowym, zachowawczym lub konserwatywnym. Jeżeli spełnione są równania (4.38), to z równań (4.36) możemy szukać skalarowej funkcji zwanej potencjałem.

a) Przykłady pól potencjalnych. - pole potencjalne ziemskie,

z y x Rys. 4.24 0 G h





A x y z_A, _A, _A





B x y_B, _B,0 Rys. 4.24

Przyjmujemy poziom porównawczy (płaszczyzna xy). Siły pola potencjalnego działające na punkt A będą wynosić:



















G

P

P

P

z y x

0

0

Ponieważ równania (4.38) są spełnione to z równań (4.36) szukamy potencjału:

G

P

z

V

z











całkując obustronnie powyższe wyrażenie po :



z







V



G





z

dostaniemy:

V

  

G z C

Zakładamy, że dla z=0 potencjał jest zerem, czyli C=0 i ostatecznie potencjał pola ziemskiego określony będzie jako:

Jeżeli to:

V

   

m g z const

z const





równanie powierzchni ekwipotencjalnej.

Płaszczyzna xy jest tzw. płaszczyzną porównawczą, zakładamy że potencjał na tej płaszczyźnie jest zerowy.

Praca sił pola potencjalnego przy przejściu z punktu A do B będzie wynosić:





- pole sprężyny,

Siła reakcji sprężyny zależy od zmiany jej długości.

Jeżeli założymy liniową zmianę siły reakcji sprężyny to jej wartość będzie:

 

S k x N

 

x S A B x_A y  l  dł. p. sprężyny S x Rys. 4.25 gdzie:

k

N

m











tzw.sprężystości, wyznaczanywspółczynnik na drodze doświadczalnej.

 

x m



zmiana długości sprężyny w porównaniu z długością początkową sprężyny.

Zgodnie z rys. 4.25 siły pola sprężyny wyznaczymy: x S A B x_A y  l  dł. p. sprężyny S x Rys. 4.25

P

_x

    

S

k x

P

_y

 0

P

_z

 0

Potencjał znajdziemy z zależności:





V

x

   

P

x

k x



V

k x x









 

czyli:

_V



1

_{k x}





_C

2

2

Ostatecznie potencjał pola sprężyny określimy jako:

V



1

k x



2

2 _(4.41) Jeżeli

V



1

k x





const

2

2 to

x

 

const



równanie powierzchni ekwipotencjalnej.

Praca sił pola potencjalnego sprężyny przy przejściu z punktu A do B będzie wynosić:





L

_AB



V

_A



V

_B



1

k x



_A



k x



_B



k x

_A



x

_B

 

k x



_B

 

k



2

1

2

1

2

1

2

1

2

2 2 2 2 2



2

Uwaga!!!

Potencjał tak określony nazywany jest również energią potencjalną lub energią położenia, jednostką potencjału w SI jest jednostka pracy.

Równowaga w polu potencjalnym

Jeżeli będziemy szukali położenia równowagi w polu potencjalnym, to będzie ono tam gdzie:

P

V

x

P

V

y

P

V

z

x y z

 



 



 

































0

0

0

(4.42)

Z równania (4.42) wynika że, położenie równowagi występuje tam gdzie potencjał będzie osiągał wartość ekstremalną, równowaga statyczna będzie tam, gdzie potencjał będzie minimalny. (4.42) jest to tzw. kryterium szukania równowagi układu, jest to tzw. twierdzenie Dirichleta.

g) Zasada zachowania energii mechanicznej.

Zjawisko ruchu układu zawsze można opisać stosując zasadę zachowania energii kinetycznej i pracy:

E

_II



E

_I



L

_{I II}

Jeżeli pracę wykonują tylko siły pola potencjalnego:

L

_{I II}



V

_I



V

_II

to

E

_II



E

_I



V V

_I



_II

Wyrażenie to możemy przekształcić:

Wielkość nazywamy energią mechaniczną. Jeżeli zaistnieje sytuacja, że:

E V

 

H

H

_I



H

_II



const

(4.43) zależność (4.43) nazywamy zasadą zachowania energii mechanicznej.

H

_I



energia mechaniczna pierwszego położenia,

H

_II



energia mechaniczna w położeniu drugim. Uwaga!!!

Potencjał układu jest sumą algebraiczną potencjałów pochodzących od poszczególnych pól potencjalnych.