45°
P=40kN
P1=20kN
3 0 °2
2
2
45°P=40kN
P1=20kN
3 0 °2
2
2
R
AyR
AxR
BA
B
45°P=40kN
P1=20kN
3 0 °2
2
2
R
AyR
AxR
BP1
yP1
x 45°R
ByR
BxA
B
Wyznaczenie reakcji w belkach statycznie wyznaczalnych
Przykład 1. Wyznacz reakcje podporowe dla poni
ż
szych schematów bez uwzgl
ę
dniania ci
ęż
aru własnego
układu. Sprawd
ź
poprawno
ść
oblicze
ń
.
a)
Rozwiązanie:
Oznaczamy punkty podporowe, jako A i B oraz zaznaczamy w nich reakcje.
Dla uproszczenia oblicze
ń
rozkładamy sił
ę
P1 i reakcj
ę
R
Bna składowe pionow
ą
i poziom
ą
.
Wyznaczenie reakcji z równań równowagi:
kN
P
P
R
P
R
P
M
B y Ay Ay y5
4
80
5
,
0
120
4
40
2
30
sin
20
6
4
2
1
6
0
2
4
6
1
⋅
−
⋅
+
⋅
=
→
=
−
+
=
−
⋅
⋅
+
⋅
=
−
⋅
+
=
−
=
∑
okN
P
P
R
R
P
P
M
A y By By y25
4
80
5
,
0
40
4
40
2
30
sin
20
2
4
2
1
2
0
4
2
2
1
⋅
−
⋅
+
⋅
=
→
=
+
=
⋅
⋅
+
⋅
=
⋅
+
=
−
=
∑
okN
R
R
R
R
By B B By35
,
36
2
2
25
45
cos
45
cos
→
=
=
⋅
=
⋅
=
o okN
P
R
P
R
R
R
R
P
R
X x Ax Bx Ax Bx x B7
,
68
2
3
20
2
2
36
,
35
30
cos
1
45
sin
1
0
1
+
−
=
→
=
−
=
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
=
=
∑
o oP=40kN
q=8kN/m
M=12kNm
1
2
1
1
P=40kN
q=8kN/m
M=12kNm
1
2
1
1
R
AyR
AxR
BA
B
P=40kN
q=8kN/m
M=12kNm
1
1
1
R
AyR
AxR
BW=2q=16kN
1
1
A
B
45°P=40kN
P1=20kN
3 0 °2
2
2
R =5kN
AyR =7,68kN
AxR =35,36kN
BP1
yP1
x 45°R
ByR
BxA
B
Sprawdzenie poprawności obliczenia reakcji:
0
25
40
5
5
,
0
20
30
sin
1
1
+
−
+
=
⋅
+
−
+
=
⋅
+
−
+
=
=
∑
R
YP
yR
AyP
R
ByP
R
AyP
R
By oNaniesienie wartości reakcji na rysunek:
b)
Rozwiązanie:
Oznaczamy punkty podporowe, jako A i B oraz zaznaczamy w nich reakcje.
P=40kN
q=8kN/m
M=12kNm
1
1
1
R =1kN
AyR =0
AxR =55kN
BW=2q=16kN
1
1
A
B
P=20kN
q=6kN/m
q=6kN/m
4
4
3
P=20kN
q=6kN/m
q=6kN/m
4
4
3
A
B
R
AyR
AxR
BWyznaczenie reakcji z równań równowagi:
kN
P
W
M
R
P
R
W
M
M
A B B55
4
40
5
16
2
12
4
5
2
0
5
4
2
+
⋅
−
⋅
=
→
=
−
+
+
=
−
+
⋅
+
⋅
=
⋅
−
=
∑
kN
P
W
M
R
P
W
M
R
M
B Ay Ay1
4
40
16
2
12
4
2
0
1
2
4
+
+
⋅
−
⋅
=
→
=
+
−
=
+
⋅
−
=
⋅
−
=
∑
0
=
=
∑
R
XR
AxSprawdzenie poprawności obliczenia reakcji:
0
40
55
16
1
−
+
−
=
=
−
+
−
=
∑
R
YR
AyW
R
BP
Naniesienie wartości reakcji na rysunek:
c)
Rozwiązanie:
P=20kN
q=6kN/m
q=6kN/m
3
A
B
R
AyR
AxR
BW =1/2 q 4=12kN
1W =1/2 q 4=12kN
22,67
1,33 1,33
2,67
P=20kN
q=6kN/m
q=6kN/m
A
B
R =-11,49kN
AyR =0
AxR =31,49kN
BW =1/2 q 4=12kN
1W =1/2 q 4=12kN
2Dla uproszczenia oblicze
ń
sprowadzamy obci
ąż
enia trójk
ą
tne do dwóch wypadkowych W
1i W
2:
Wyznaczenie reakcji z równań równowagi:
kN
P
W
W
R
P
R
W
W
M
A B B31
,
49
8
20
11
12
33
,
5
12
67
,
2
8
11
33
,
5
67
,
2
0
11
8
33
,
5
67
,
2
2 1 1 2=
⋅
+
⋅
+
⋅
−
=
+
+
−
=
→
=
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
=
∑
kN
P
W
W
R
P
W
W
R
M
B Ay Ay11
,
49
8
20
3
12
67
,
2
12
33
,
5
8
3
67
,
2
33
,
5
0
3
67
,
2
33
,
5
8
2 1 1 2=
−
⋅
−
⋅
+
⋅
−
=
−
+
−
=
→
=
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
−
=
∑
0
=
=
∑
R
XR
AxWniosek: Zwrot reakcji RAy w rzeczywistości jest przeciwny do założonego. Sprawdzenie poprawności obliczenia reakcji:
0
20
49
,
31
12
12
49
,
11
1 2−
+
−
=
−
+
−
+
−
=
+
=
∑
R
YR
AyW
W
R
BP
q =6kN/m
1q =12kN/m
2P=20kN
3
0
°
M=10kNm
1,5
3
1
1
q =6kN/m
1q =12kN/m
2P=20kN
3
0
°
M=10kNm
1,5
3
1
1
A
R
AyR
AxM
AB
q =6kN/m
1q =12kN/m
2P=20kN
3
0
°
M=10kNm
1,5
1
1
A
R
AyR
AxM
AB
W =1/2 q 3=9kN1 1 W =1/2 q 3=18kN2 21
1
1
P
yP
x d) Rozwiązanie:Oznaczamy utwierdzenie, jako punkt A, natomiast koniec wspornika, jako punkt B i zaznaczamy reakcje na podporze.
Dla uproszczenia oblicze
ń
dzielimy obci
ąż
enie trapezowe na dwa obci
ąż
enia trójk
ą
tne i sprowadzamy je do
dwóch wypadkowych W
1i W
2, sił
ę
P rozkładamy natomiast na dwie składowe - pionow
ą
P
yi poziom
ą
P
x:
Wyznaczenie reakcji z równań równowagi:
kNm
M
M
P
W
W
M
M
P
W
W
M
M
A A y A A5
,
150
10
5
,
0
20
5
,
5
18
5
,
3
9
5
,
2
30
sin
5
,
5
5
,
3
5
,
2
0
5
,
5
5
,
3
5
,
2
2 1 2 1=
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
+
=
→
=
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
=
∑
okN
P
W
W
R
P
W
W
R
R
Y=
Ay−
1−
2−
y=
0
→
Ay=
1+
2+
y=
9
+
18
+
20
⋅
sin
30
=
37
∑
okN
P
P
R
P
R
R
X Ax x Ax x17
,
32
2
3
20
30
cos
0
→
=
=
⋅
=
⋅
=
=
−
=
∑
oSprawdzenie poprawności obliczenia reakcji: