• Nie Znaleziono Wyników

A Method of Computing Moments of the Durbin-Watson Statistic of Linear Trend

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "A Method of Computing Moments of the Durbin-Watson Statistic of Linear Trend"

Copied!
11
0
0

Pełen tekst

(1)

A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 90, 1989

A n d r z e j S. T o m a e z e w i e z *

A METHOD OF COMPUTING MOMENTS

OF THE DURBIN-WATSON STATISTIC FOR LINEAR TREND

1. INTRODUCTION

To v e r i f y t h e h y p o t h e s i s c o n c e r n i n g t h e l a c k o f a u t o c o r r e l a -t i o n i n an e c o n o m e -t r i c m o d e l

у - Ха + с ( 1 )

t h e D u r b i n - W a t s o n t e s t i s u s u a l l y u s e d b e c a u s e o f s i m p l e c a l c u -l a t i o n s and q u i t e a b i g pow er a s w e l l . The a p p l i c a t i o n s o f t h e t e s t , h o w e v e r , a r e l i m i t e d b e c a u s e t h e s o - c a l l e d " n o n c o n c l u s i - v i t y i n t e r v a l " d o e s e x i s t . I t i s c o n n e c t e d w i t h t h e f a c t t h a t t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e D u r b i n - W a t s o n s t a t i s t i c d e p e n d s on t h e ma-t r i x X, t h u s t a b u l a t i n g o f t h e c r i t i c a l v a l u e s i s p r a c t i c a l l y i m p o s s i b l e . Commonly known t a b l e s c o n t a i n o n l y l o w e r and u p p e r l i m i t s Of t h e q u a n t i l e s c o r r e s p o n d i n g w i t h t h e m o s t f r e q u e n t l y a p p l i e d s i g n i f i c a n c e l e v e l s . T h e r e i s a p o s s i b i l i t y , h o w e v e r , t o b u i l d s u c h t a b l e s when X m a t r i x i s f i x e d . The t a b l e f o r t h e l i n e a r t r e n d c a s e when 1 1 1 2 1 3 1 n i s shown i n t h e p a p e r - b y T o m a s z e w i c z [ 4 ] .

(

2

)

A s s i s t a n t p r o f e s s o r a t th e I n s t i t u t e o f E c o n o m e tric s and S t a t i s t i c s , U n i v e r s i t y of Łódź. [ i l l ]

(2)

2. THE PROBLEM

An o t h e r p o s s i b i l i t y o f i n v e s t i g a t i n g t h e D u r b i n - W a ts o n s t a -t i s -t i c d i s -t r i b u -t i o n w h i c h s e e m s -t o b e w o r -t h -t a k i n g i n -t o a c c o u n -t i s t o f i n d i t s moments o r c u m u l a n t s . T h i s p a p e r p r e s e n t s g e n e r a l f o r m u l a e f o r c o m p u t i n g moments o f t h e s t a t i s t i c f o r l i n e a r t r e n d m o d e l . The f o r m u l a e f o r t h e mean and s t a n d a r d d e v i a t i o n are shown a s w e l l . We c o n s i d e r e c o n o m e t r i c m o d e l ( 1") ( w h e r e X h a s t h e form ( 2 ) ) w h i c h f u l f i l s c l a s s i c a l a s s u m p t i o n s i . e . e i s o f n - d i m e n s i o n a l n o r m a l d i s t r i b u t i o n ! e ~ N ( o , a 2 l ) . The D u r b i n - W a ts o n s t a t i s t i c i s g i v e n by t h e f o r m u l a d = n e t - e t - l ) 2 T 1 _ e*A e Cl — n L ' e t=1 2 t T e e w h e re 1 -1 0 . . . 0 0 -1 2 -1 . . . 0 0 0 - 1 2 . . . 0 0 A = . . . 0 0 0 2 -1 0 0 0 -1 1 and e i s t h e v e c t o r o f r e s i d u a l s e t l e a s t s q u a r e s m eth o d : e У - Xa w h e r e (X TX ) " 1 XTy . V e c t o r e c a n b e e x p r e s s e d i n t h e f o l l o w i n g form

(3)

e * Me. w h e r e

' M * I

t

x ( x Tx ) ~ 1

XT

( 3 )

i s v e r y w e l l known i d e m p o t e n t m a t r i x . F u r t h e r on we s h a l l a l s o u s e t h e s y m b o l s s T T u = e A e , v = e e , s o j Л d v ' On t h e b a s i s o f von N e u i r a n n ' s r e s u l t [ 3 ] D u r -b i n and W a t s o n [ 1 ] p r o v e d t h a t t h e v a r i a b l e s d = u / v and v a r e i n d e p e n d e n t . C o n s e q u e n t l y , f o r g i v e n к we h a v e

Euk = Edk v k = EdkEvk , h e n c e

Edk - ^

-

( 4 >

Ev

To f i n d d s t a t i s t i c moments i t i s e n o u g h t o c a l c u l a t e t h e

moments Ľu and Ev . D u r b i n and W a t s o n [ 1 ]

f o u n d f o r m u l a e f o r moments d on t h e b a s i s o f t h e sums o f t h e form n-k.j Y 2 = t r ( H A ) 4 . t=1 I n p a r t i c u l a r

(4)

w h e r e

E v t - £г(м а) » t r A - t r XTAX(XTX ) " 1 ,

X £ v t 2 = t r ( M A ) 2 - t r A 2 - 2 t r ( X TA2X(XTX ) “ 1) +

+ t r ( X TAX(XTX ) - 1 ) 2 .

3. FORMULAE FOR LINEAR TREND

We p r e s e n t f o r m u l a e ( 4 ) , ( 5 ) and ( 6 ) f o r t h e c a s e o f t h e l i -n e a r t r e -n d m o d e l i n w h i c h t h e X m a t r i x i s g i v e n by ( 2 ) .

L e t u s d e n o t e

M = T - N, N = X(XTX T 1XT . T h e r e f o r e

(MA)k = ( A - NA~)k « У] ( - l ) h Ak_h ( NA ) h .

n=b

n

As from t h e v e r y w e l l known p r o p e r t i e s o f t r a c e

t r AK_n ( NA ) h = t r Ak_h NANA . . . NA = h t i m e s NA = t r Ak - h Х(ХТХ')_ 1 .Х ТЛХ(ХТХ ) ' 1 XTA . . . X(XTX T 1 XTA ' I . . . i. , i ■■ i ■ . i = h - 1 t e r m s ХТАХ(ХТХ Г 1

= t r x A

x ( x Tx ) " 1 (,xTAxCxTx ) " 1) h~ 1 ,

t h u s , s )t = t r ( M A ) k = t r Ak + + ( _ 1 >h ( h 5 t r 3 k - h + i ( x T x ) ~ '

( B 1(xTx ) _ 1 ) h_1

( 7 )

(5)

w h e r e B, • T 1 X A X f o r 1 = 1 , 2 , k . L e t X - Cj x ] . Of c o u r s e Aj = 0 , h e n c e e a c h m a t r i x f o r к > 1 i s o f _ t h e form T k X A X T *" 1 T h e r e f o r e t h e f i r s t row o f e a c h o f ( x x ) m a t r i c e s c o n - s i s t s o f z e r o e s , t h u s , t h e t r a c e o f t h e p r o d u c t в к ( х т х ) - 1 ( в / х ^ ' х Г 1 ) h " 1 i s e q u a l t o t h e p r o d u c t o f d i a g o n a l e l e m e n t s o f t h e s e c o n d row o f e a c h e l e m e n t : ( t r B k ( x Tx ) - 1 ( e l ( x T x r 1 ) h - 1 = ь к ь / 1 - 1 , w h e r e k n ( n

-12

I) ( n + т у x A x H o w e v e r , f o r к > 2 \ x TAk —2— / 2 ( k - 2 ) \ X A X k - 1 ' к - 2 ' ' t h u s , f i n a l l y K _ _ ________ 24 ( 2 ( k - 2) \ к n ( n - 1 ) ( n + 1 ) ( k - 1) ' к - 2 f o r к ^ 2 and 12 ’ 1 n ( n + 1)

(

8

)

( 9 )

(6)

b e c a u s e T x Ax = n - 1 . T a k i n g i n t o a c c o u n t ( 8 ) , (.9) and t h e f o r m u l a t r A k - » 2k - г 21“ ' , ( 7 ) can b e r e w r i t t e n i n t h e form

In

p a r t i c u l a r

' •

* s 1 “ t r M A “ t r A - b 1 * 2 ( n - ’ > - 2<n - '> Г Ы - i ’ ?n ' 2 ( " - ’ > < ’ - < " > . s2 = t r A2 - 2b 2 + b , 2 » 2 ( 3n - 4 ) --- 4 8 ---+ — --- 1 7 6 — n ( n + 1H n - 1) n 2 ( n + 1 } 2 V a l u e s s ]c ( Ю ) p u t i n t h e f o r m u l a e f o r t h e moments o f t h e n u n .e r a t o r u d i s t r i b u t i o n ca n b e e x p r e s s e d a s f u n c t i o n s o f i t s с urn u l a n t s x ]c^u ^ ( s e e : D u r b i n and W a t s o n [ 1 ] , p . 9 9 - 1 0 6 a l s o K e n d a l l and S t u a r t [ 2 ] , p . 5 1 1

(7)

-Xk ( u ) - 2k ” 1 ( k - 1)1 s k . P a r t i c u l a r l y x ^ ’u ) ■ 9 1f X2 ( u ) “ 2s2 » 80 “ Eu = x ^ u ) " s .j, (12) 2 2 2 m2 * Eu “ X2 ( u ) - X , ( u ) = 2s2 + s r 2 The moments o f t h e d e n o m i n a t o r v w h i c h i s o f x d i s t r i b u t i o n w i t h n - 2 u e g r e s s o f f r e e d o m a r e g i v e n by t h e f o r m u l a k ( n - 4 + 2 к ) П e v - fr T ~ lT T T • E s p e c i a l l y Ev = n - 2, ( 1 3 ) Ev2 m Cn - 2 ) n . I t i s e a s y t o o b t a i n from ( 4 ) and ( 1 1 ; - ( 1 3 ) Ed n - 2 . _______________ 20__________ _ n (n~ + ľ f ( n - 2) and 0 2d = - ( E d ) 2 Ev *2_______ a__±_____ ( 1 5 )

n ( n - 2 )

( n -

2)

2 s2 2 s 1

“ n ( n - T ľ “ n_ ľn - ~ 2 ) 2 ‘

(8)

Moments of the Durbin-í-ľatson s t a t i s t i c s : lower DŁ, upper Ш and for linear trend DT

(9)

00 00 СО СО о со СО •л O' -J 'Г. m 0Ü см

-

чО »— о СО со с чО 1Л LO vr <г со СО CM со т ГО СО to СО СО СО со со со о О О о о с d о d о d о r * Г ". 00 00 о m СО с о щ О» vr 00 1Л 00 ем I'* 40 чО 00 со г » sD о 1Л m VI- t СО со C i со со со со СО СО со CO 1

.

''О со со d с о о о о с о с о о о чО о 00 IT* чО о m Г“. г^. со "Т о о* Г". ч£> V f* r'N 1Л г-» о vr 00 го о ON l*V 40 1Г> vr со CN см *— о о о го «N СМ CN СМ см см см см гм см см о о о о о о о о о о о о о sD о со U0 о Q 1Л Г" Г ч со >г о O' г>* «~ чО vr со "t m к о *4- 00 со г» о сг> г* чО ŁO <1 со см см ■г— о о on со ем см см см см СЧч см СМ см см см *-d о о о d о о d о d о о о \T\ о 'О sO — CO CO о о u~i CM — CM чО со о vr O g s о X ст> со х> ч» ON |>-ч ON vr см см 40 <7ч vr о*. *л X 1Л со O' г- чС 40 о m 1Л Vf <г vr vr СО о о о о о о о о о с о о о с о о о о d о о с г*«. г^- о -X) m •X» ON m см »•- см т— Ш о 40 'T- со ON 'D со о г** m vT со СО см см *“■ *“ о *“ •— **” *"■ *” *" о о о о о о о о о о о о г^. >о с* со 40 vr ON ON vr Cl см <г vr чО о> vr ON ю X) m СО c^ On 00 г*»* vT) MD U-I m 1Л <г -а vr 't СО о о о о о о о с о о о о о о о о о о о о d о d о с *ч — —f <£> vr Ч© о m см СО <* vr мэ г-. ‘У Vf ‘О Г*ч щ vr чО со 00 см о ем O' 'У о СП »■>. г^. ч£ чО *0 ю VT см СМ ем о о о о о о о о о о о о о о о о с о о о о о о о см СМ см ем см см см см см <м см см ем ем ем ем ем см см ем см r j СМ СМ I со г*» ю о о vO СО ем ем vf ю 'У чО г^> -7 >5 Vf чО Г^Ч m 'f о nO ем ON «о со 00 чО Vf CM О см чО г” г> vr *“ ON г**» U0 Vf ем 1— о ON ОС» 00 г . г^. р ч чО •о sO чО чО 1Л vr vr ео со СО см см см см СМ гм ем о о о о о о о о о Ô о о о о о о о о о о о о о с о см см СМ ем СМ см см см СМ CM CM см ем см см ем см см ем см CNJ см см ем ГМ i и s со m чО vr о vr 00 00 чО ŁO чО vr со о со чС чО vr ON CO in чО го о -О о\ со m Г ч ON Г^Ч со 00 CM m со о СМ 'T m Г^ч 00 о* о г— ем см ем ем СО CA СО СО со VT ю tn чО о чО Г ч г^. 1-^ r*4 r^. Г '■ о» ON ON ON о» ON O ' ON ON ON O ' Ox о\ ON ON O ' ON ON ON ON Ox o> ON о ON — 1 —* *-* «- — — — «- »- ч~ — »- — Г-* T-* —* V f ŁO чО 00 ON о — см с о V f m о ю о 1Л о ю о Ю Q m о ю о CM CM CM ем CM CM с о с о со СО СО со v r v r •л m чО чО Г*Чч Г 'ч об 00 О4. 04 о

(10)

As I t can b e s e e n , t h e D u r b i n - W a t s o n s t a t i s t i c moments e v e n i n t h e e a s i e s t c a s e o f t h e l i n e a r t r e n d m o d e l a r e e x p r e s s e d by q u i t e c o m p l i c a t e d f o r m u l a e , w h i c h a r e d i f f i c u l t t o b e ap -p l i e d i n f u r t h e r a n a l y t i c r e s e a r c h . N e v e r t h e l e s s , u s i n g t h o s e f o r m u l a e l a r g e l y f a c i l i t a t e s t h e n u m e r i c a l a n a l y s i s i n com pa-U r i s o n w i t h d i r e c t c a l c u l a t i o n s tr(M A ) . T h a t p r o c e d u r e w a s a p -p l i e d t o f i n d t h e f i r s t tw o moments o f d s t a t i s t i c s f o r some s a m p l e s i z e s . The r e s u l t s a r e shown i n T a b l e 1. Of c o u r s e , t h e same p r o c e d u r e ca n be a p p l i e d t o c o m p u te h i g h e r - o r d e r mo-m e n t s . REFERENCES / [ 1 ] D u r b i n J t>l W a t s o n G. S. ( l 9 5 0 ) , T e s t in g f o r S e r i a l C o r r e la tio n i n L e a s t S q u a re s R e g r e s s io n , I , " B io m e tr i k a " 37, 409- - 4 2 8 .

[2 ] K e n d a l l M. G. , S t u a r t A. ( 1 9 6 1 ) , The A dvanced Theory

o f S t a t i s t i c s , V o l. 2 , G r i f f i n , London.

Í.3.] N e u m a n n von J . (1941 ) , D i s t r i b u t i o n o f t h e R a tio o f t he

Mean Square S u c c e s iv e D iff e r e n o e to th e V a ria n c e , Ann. Math. S t a t i s t . ,

12, 367-395.

[ 4 ] T o m a s i e w i c z A. S. (1984 ) , W a rto śc i k r y t y c z n e t e s t u D-W d la p rzy p a d k u lin io w e g o tr e n d u , Łódź ( mimeo).

A n d rze j S . Tom aszew icz

0 PEWNEJ METODZIE OBLICZANIA

MOMENTÓW STATYSTYKI DURBINA-WATSONA

ZWIĄZANEJ Z LINIOWYM TRENDEM

Celem a r t y k u ł u j e s t o p is pewnej num erycznie a t r a k c y j n e j metody o b l i -c z a n i a momentów s t a t y s t y k i t e s t u D urbin a-W atsona d l a h i p o t e z y o b r a k u au-t o k o r e l a c j i w liniowym modelu t r e n d u .

D u r b i n i W a t s o n [ 1 ] p o d a l i sposób o b l i c z a n i a momentów t e j s t a t y s t y k i w z a l e ż n o ś c i od sum w a r t o ś c i w łasn y ch p o t ę g m a c ie rz y MA.

\ *

(11)

Autorowi u d a ło e i e z n a l e ź d w y r a ż e n i e , z a pomocy k tó r e g o można t e sumy wy-z n a c wy-z y ć .

Metoda z o s t a ł a z a s t o s o w a n a do o b l i c z e n i a dwóch p ie r w s z y c h momentów. Wy-n i k i 8 4 z.iwartc w t a b . t .

Cytaty

Powiązane dokumenty

Elementem tego systemu jest UOKiK, insty- tucja administracji publicznej, zajmując się polityką ochrony konsumenta, która prowadzi postępowania w sprawach praktyk naruszających

Informator Archeologiczny : badania 7,

Daarnaast zijn de PM‟s uiterst gevoelig voor verstoringen.Door deze hoge storingsgevoeligheid en de strategie van ASML om producten zo snel mogelijk in de markt

Była to pierwsza w Polsce szkoła kościelna kształcąca dzia- łaczy społecznych (Banaszak, 1974, s. 82), stąd jej powstanie i działalność miały charakter

Celem pracy jest zaadaptowanie metody wnioskowania opartego na bazie przypad- ków do wykrywania ciągów podobnych do wzorca liniowego w szeregach względnych zmian cen

• ploso południowe (zachodnie) jeziora Wigry, na przedpolu którego (strona południowa) przebiega linia maksymalnego zasięgu lądolodu fazy pomorskiej stadiału

W sposób naturalny pojawiają się więc w formułowanych w języku polskim wypowiedziach dotyczących rosyjskiej rzeczywistości. Rzadko pochodzą jednak z tekstów literac-

Aktywa niematerialne można podzielić na te, które mają oddzielny byt eko- nomiczny i prawny (np. relacje z klientami, reputacja). Aktywa niematerialne nie posiadające oddzielnego