BARBARA MABIC-KULMA HENRYK POTRZEBOWSKI JAROSŁAW STA CZAK KRZYSZTOF S P
Instytut Bada Systemowych PAN
Streszczenie
Teoria logistycznych systemów transportowych zajmuje siĊ zagadnieniem połączeĔ w przewozach ludzi i towarów. Od modelu systemu transportowego oczekuje siĊ symulowania rzeczywistego systemu w celu rozwiązywania problemów transportowych. Do opisania systemów transportowych (kolejowych, drogowych czy lotniczych) przydatnymi mogą okazaü siĊ grafy. Wierzchołki grafu mogą odpowiadaü wĊzłom logistycznym takim jak: stacje kolejowe, przystanki autobusowe, lotniska itd., a krawĊdzie – bezpoĞrednim połączeniom pomiĊdzy wĊzłami. Dokładny model trudno byłoby analizowaü lub optymalizowaü i dlatego jako przydatny model proponujemy strukturĊ kernel and shell oraz jej szczególny przypadek strukturĊ hub
and spoke oraz strukturĊ α-klikową, jako graf odwzorowujący strukturĊ połączeĔ.
Struktury te umoĪliwiają koncentracjĊ i zarządzanie transportem pomiĊdzy wĊzłami. W celu uzyskania tych struktur stosujemy specjalizowany algorytm ewolucyjny (EA).
Słowa kluczowe: hub and spoke, system transportowy, klika, algorytm ewolucyjny. 1. Wprowadzenie
Przekształcenie grafu połcze do struktury kernel and shell jest jedn z metod rozwizania problemu podziału grafu na oddzielne, gsto połczone struktury (podgrafy). Zadanie takie jest czsto rozwizywane w wielu rzeczywistych systemach logistycznych lub transportowych, definiowanych przez trzy podstawowe komponenty [1, 3, 5–10]:
• work task – konieczno przemieszczenia towarów (towary i/lub ludzie),
• composition – type and number of elements describing the equipment and crew systems, • organization – methods of system's elements reaction during task realization.
Zadania systemu transportowego s okrelone przez potrzeby i wymagania klientów. S one opisywane przez typ i liczb towarów oraz drog i czas dostarczenia. Mona wyróni wiele rodzajów systemów transportowych, w zalenoci od:
• rodzaju transportowanych obiektów (przewozy towarów, przewozy osób), • liczby transportowanych obiektów,
• drogi transportowanych obiektów,
• rodka transportu (pocig, samolot, statek...).
Teoria systemów transportowych zajmuje si modelowaniem i testowaniem modeli systemów transportowych. Model taki powinien by wystarczajco dokładny, aeby mona nim było zastpi
rzeczywisty badany system, jednake nie moe by zbyt dokładny i nie powinien wnika w istot wikszoci zjawisk fizycznych zachodzcych w nim. Model matematyczny systemu transportowego przedstawiany jest zazwyczaj w postaci grafu połcze. Wierzchołki takiego grafu reprezentuj stacje kolejowe, autobusowe, porty lotnicze lub morskie, krawdzie natomiast pokazuj istnienie lub brak połczenia pomidzy wzłami systemu transportowego. W zalenoci od złoonoci modelowanego systemu, graf taki moe by bardzo skomplikowany, moe by grafem skierowanym lub nie, waonym lub binarnym, symetrycznym lub nie. Ostateczna forma takiego grafu ma duy wpływ na tworzony lub optymalizowany system transportu. W pracy tej proponowana jest ewolucyjna metoda optymalizacji grafu połcze przez wprowadzenie struktury kernel and shell, któr mona uzna za generalizacj znanej struktury hub and spoke. Struktury te wykorzystuj wprowadzone przez autorów pojcie α-kliki i innych podobnych struktur [8, 11, 13-15]. Struktura kernel and shell grafu połcze umoliwia koncentracj przepływów transportowanych osób/towarów pomidzy wzłami. rys. 1 prezentuje pocztkow struktur połcze przed koncentracj. Odpowiedni wybór wzłów tranzytowych i połcze lokalnych moe poprawi efektywno i zredukowa koszty transportu. rys. 1 przedstawia przykładow struktur połcze pewnego systemu transportowego, natomiast rys. 2 przedstawia ten sam system transportowy przetworzony do struktury kernel and shell. Wyra nie widoczne jest, e w ten sposób z niektórych połcze lokalnych mona zrezygnowa, natomiast znaczn popraw jakoci da tu usprawnienie połcze pomidzy wzłami typu kernel.
Rys. 1. Początkowa postaü Rys. 2. System o strukturze systemu transportowego. kernel and shell.
W szczególnym przypadku, jak dla struktury z rys. 3, struktura kernel and shell moe zawiera wszystkie połczenia (rys. 4)
Zalety nowej struktury połcze mona podsumowa nastpujco: • czstsze połczenia midzy wzłami,
• krótsze rednie czasy podróy, • niszy koszt transportu,
• mniejsza liczba wykorzystanych rodków transportu.
Jednake w zwizku z rónymi cechami systemów transportowych, mog by wymagane róne warianty struktury kernel and shell. Moe to zalee np. od tego, czy wymagane s take połczenia lokalne pomidzy wzłami typu shell z pominiciem głównego wzła typu kernel, czy te cały ruch lokalny moe by realizowany przez główny wzeł typu kernel. Dlatego te proponujemy w tej pracy dwie metody przekształcania. Jedn nawizujc do dawniej uywanej struktury hub and spoke, drug do struktury α-kliki. Obie metody przekształacania grafów realizowane
s przy uyciu algorytmów ewolucyjnych. W obu metodach moliwe jest zastosowanie wyboru przez algorytm podziału grafu wejciowego na odpowiednie podgrafy lub te narzucenie tego podziału przez uytkownika. Jednake w tym drugim przypadku moliwe jest niespełnienie niektórych ogranicze przez otrzymane rozwizania, natomiast rozwizania zaproponowane przez algorytm prawie zawsze bd dopuszczalne (poza wyjtkowymi przypadkami, gdy wejciowy graf połcze bdzie niespójny). 2. Poj cia podstawowe
Graf jest par G = (V, E), gdzie V jest a niepustym zbiorem wierzchołków, a E jest zbiorem krawĊdzi. Kada krawd jest par wierzchołków (v1, v2) takich, e v1≠v2.
Rys. 5. Przykładowy graf
Dwa wierzchołki grafu G=(V, E) s incydentne jeeli v1,v2∈V to {v1,v2 }∈E.
Podgraf grafu G = (V, E) jest grafem G' = (V', E'), gdzie V'⊆V i E'⊆E takim, e dla kadego
e∈E i e={v1,v2} jeeli v1,v2∈V' to e∈E'.
Stopniem wierzchołka w grafie prostym (nieskierowanym) nazywamy liczb krawdzi do których ten wierzchołek naley.
Graf G = (V, E) nazywamy grafem pełnym, jeeli dla kadej pary wierzchołków istnieje krawd e∈E do której te dwa wierzchołki nale.
Kliką (podgrafem pełnym) Q=(Vq, Eq) w grafie G=(V, E) jest graf` taki, e Vq⊆V i Eq⊆E oraz kada para wierzchołków v1, v2∈Vq spełnia warunek {v1, v2}∈Eq.
α− α− α−
α−klika: Niech A=(V’, E’) bdzie podgrafem grafu G = (V, E), V’⊆V, E’⊆E, k=Card(V’),
niech ki bdzie liczb wierzchołków vj∈V’ takich, e {vi, vj}∈E’. 1. Dla k=1 podgraf A grafu G jest α-kliką(α).
2. Dla k>1 podgraf A grafu G jest α-kliką(α) jeeli dla kadego wierzchołka vi∈V’ spełniony jest warunek α ≤ (ki+1)/k, gdzie α∈(0, 1].
W dalszej czci artykułu bdziemy uywali oznaczenia α-klika oznaczajcego α-clique(α) dla wczeniej ustalonego α.. Warto nadmieni, e jeli graf jest α-kliką(α) nie znaczy to, ze kady podgraf tego grafu bedzie α-kliką(α) [8].
Niech graf A=(V’, E’) bdzie α-kliką(α) dla α>0.5, std dla kadego wierzchołka vi nalecego doα-kliki(α) ki+1>0.5 k.
Z teorii zbiorów wynika, e dla kadej pary wierzchołków podzbiory wierzchołków incydentnych z tymi wierzchołkami maj niepuste przecicie co oznacza, e taki graf jest spójny.
Jeeli α=0.5 uzyskany graf moe nie by grafem spójnym.
Struktura kernel and shell jest grafem G(V, E) zbudowanym z dwóch grafów:
kernel – podgraf zbudowany z wierzchołków gsto połczonych ze sob K(Vk, Ek), w zalenoci od załoe moe byα-kliką lub klik czyli α-kliką o α =1. shell – graf S(Vs, Es) gdzie Vs= V – Vk i Es= E – Ek
Struktura hub-and-spoke jest grafem Hs=(Gh ∪ Gs, E) gdzie podzbiór Gh wyznacza wraz z odpowiednim podzbiorem krawdzi graf pełny (kernel), kady wierzchołek z podzbioru Gs ma stopie 1 i jest połczony z dokładnie jednym wierzchołkiem z podzbioru Gh (shell).
Hub and spoke jest szczególnym przypadkiem struktury kernel and shell. Struktura ta moe znale zastosowanie w modelach logistycznych, gdzie połczenie pomidzy wzłami-“spoke” dołczonymi do wzłów-“hub” nie jest konieczne. Struktura α-klikowa (rys. 6b) moe mie zastosowanie w bardziej
ogólnej strukturze kernel and shell. Struktura ta zbudowana jest z kilku zewntrznych α-klik (shell) Gα z zadanym α połczonych z centralnα-kliką Gc (kernel) gsto połczonych wierzchołków z α≈1.
Struktura α-klikowa moe mie zastosowanie w przypadku, gdy połczenia w wybranych
podgrafach s równie bardzo istotne. Przepływ towarów pomidzy lokalnymi wzłami mógłby by zbyt duym obcieniem dla wzłów centralnych Gc dlatego trzeba dopuszcza równie połczenia lokalne. Na potrzeby modeli logistycznych proponujemy ewolucyjn metod przekształcenia grafu połcze w struktur typu shell and kernel.
a) b) c)
Rys. 6. a) graf wejĞciowy, b) ten sam graf przekształcony do struktury α-klikowej, c) struktura hub
and spoke uzyskana z grafu wejĞciowego
3. Ewolucyjne metody przekształcania grafu
Schemat działania typowego algorytmu ewolucyjnego (AE) przedstawiono w ramce poniej. Jednake, aby stworzy efektywn metod ewolucyjn, rozwizujc postawione zagadnienie, schemat ten musi zosta do tego celu odpowiednio przystosowany. Przystosowanie to polega na wybraniu odpowiedniego sposobu kodowania rozwiza, zaprojektowania specjalizowanych operatorów genetycznych, odpowiednich do problemu i zastosowanego kodowania i wprowadzeniu funkcji dopasowania, opartej na funkcji celu zadania.
1. Losowa inicjalizacja populacji rozwiza.
2. Reprodukcja i modyfikacja rozwiza przy uyciu operatorów genetycznych. 3. Ocena uzyskanych rozwiza.
4. Selekcja osobników do kolejnej generacji. Jeli nie spełniono warunku stopu, powrót do punktu 2. 3.1. Reprezentacja zakodowanego rozwizania
Zakodowanie rozwizywanego problemu (reprezentacja osobnika w AE) jest cile zwizana z rozwizywanym problemem. Co prawda we wczesnych stadiach rozwoju AE promowano metod kodowania binarnego, jako uniwersaln do wszystkich zada, to jednak obecnie uznaje si, e zakodowanie rozwiza powinno by zalene od konkretnego problemu. Wobec tego w pracy tej wykorzystano dwie metody kodowania, rónice si dla obu rozpatrywanych przypadków, zalenie od docelowej postaci przekształcanego grafu. W obu przypadkach informacja o przekształcanym grafie połcze zapamitana jest w postaci macierzy ssiedztwa, opisujcej połczenia w grafie.
3.1.1. Struktura ααα-kliki α
Zakodowanie rozwizania dla struktury α-kliki zaprezentowane jest na rys. 7. W kadym
rozwizaniu wydzielone podgrafy (α-kliki) przechowywane s jako dynamiczne tablice
wierzchołków. Zarówno ich liczba, jak i długo oraz zawarto list moe si zmienia w trakcie oblicze. Kady podgraf ma te wyróniony jeden wzeł, wybrany jako “hub” dla wyrónionej α
-kliki. Kady wzeł moe wystpi tylko raz w całym rozwizaniu, wobec czego otrzymywane α
-kliki s nie pokrywaj si.
Rys. 7. Zakodowanie osobnika dla struktury α-kliki
3.1.2. Struktura “hub and spoke”
Struktura „hub and spoke” zakodowana jest podobnie jak w pierwszym przypadku (rys. 8), jednake wyrónione podgrafy „spokes” nie tworz α-klik, lecz grupy wzłów połczonych ze
swoimi „hubami”. Natomiast wyróniony podgraf składajcy si z „hubów”, tworzy α-klikĊ o jak
przypadku podgraf hubów powinien tworzy klik, jednake w przypadku grafów o małej liczbie połcze (rzadkich) dopuszczalne jest złagodzenie tego warunku i zachowanie jedynie spójnoci podgrafu hubów. Zarówno wersja zakodowania przedstawiona na rys. 7, jak i na rys. 8 posiada te pewne dodatkowe dane, wymagane przez AE.
Rys 8. Zakodowanie osobnika dla struktury “hub and spoke”.
3.2. Funkcja dopasowania
Zadania klasteryzacji grafu nie s typowymi zadaniami optymalizacyjnymi, wobec czego optymalizowane funkcje celu nie s narzucane przez zadanie. To raczej przez zastosowanie odpowiedniej postaci funkcji celu, otrzymuje si róne moliwe postacie podziału grafu połcze na silnie powizane podgrafy. Funkcja dopasowania w AE jest odpowiednikiem funkcji celu w zadaniu optymalizacyjnym, przystosowana do wymogów tej metody. Przystosowanie to polega na odpowiednim jej przesuniciu i przeskalowaniu tak, aby nie przyjmowała wartoci ujemnych lub te zadanie polegało na maksymalizacji, a nie minimalizacji kryterium jakoci.
3.2.1. Funkcja dopasowania dla struktury αααα-kliki
W tym zadaniu wymagania co do postaci otrzymywanych klastrów mog by wyraone w róny sposób w zalenoci od optymalizowanego grafu (skierowany lub nie, krawdzie z wagami lub nie) oraz planowanej postaci otrzymywanych klastrów (o maksymalnie zblionych rozmiarach, maksymalnych rozmiarach, minimalnej liczbie, itp.). Załoenia te mona zrealizowa modyfikujc odpowiednio funkcj dopasowania i wprowadzajc do niej odpowiednie człony, bdce karami za odstpstwa od wymaganych parametrów poszukiwanych klastrów. Funkcja dopasowania nie posiada natomiast elementu karzcego za naruszenie narzuconego warunku na α, gdy spełnienie go jest zagwarantowane przez odpowiednio skonstruowane operatory genetyczne i metody inicjalizujce populacj rozwiza w AE. W symulacjach komputerowych uylimy nastpujcego kryterium jakoci:
= − + − + − − = n 1 i i i i i i 1 n h 1 k l k n k k n 1 Q max (1) gdzie: n – liczba α-klik w ocenianym rozwizaniu, ki – liczba wzłów w i-tejα-klice, k – liczba wzłów w całym grafie, li– liczba połcze pomidzy hubem reprezentujcym i-tąklikĊ a wzłami w tej
Funkcja dopasowania (1) promuje α-kliki o rozmiarze zblionym do wartoci redniej (czyli liczby wzłów grafu podzielonej przez liczbα-klik), minimalizujc liczb otrzymanych α-klik, maksymalizujc liczb połcze pomidzy hubami oraz pomidzy hubami i ich α-klikami. 3.2.2. Funkcja dopasowania dla struktury “hub and spoke”
W tej metodzie klasteryzacji zastosowano funkcj dopasowania, która promuje rozwizania o jak najmniejszej liczbie hubów z klastrami o wyrównanej wielkoci i jak najsilniej połczonymi ze sob hubami:
= − + − − − = n 1 i i i i 1 n h k n n k k n 1 Q max (2) gdzie:
n – liczba hubów w ocenianym rozwizaniu,
ki – liczba wzłów (spokes) połczonych z i-tym hubem,
k – liczba wzłów w całym grafie,
hi – liczba połcze pomidzy hubem i a pozostałymi hubami. 3.3. Specjalizowane operatory genetyczne
W zwizku z zastosowaniem metod kodowania dostosowanych do rozwizywanych zada, równie i operatory genetyczne musz by przystosowane do rozwizania konkretnych problemów. W tym przypadku zastosowano dwa zestawy operatorów, nieco podobnych do siebie z uwagi na podobiestwo rozwizywanych problemów.
3.3.1. Operatory genetyczne dla struktury αααα-kliki
W tym przypadku wszystkie operatory genetyczne zaprojektowane zostały w ten sposób, aby zachowywa załoon warto parametru α dla kadej tworzonej lub modyfikowanej α-kliki. Jeli
utworzony podgraf nie zachowuje tego parametru, to operacja jest anulowana i rozwizanie nie jest modyfikowane. Algorytm porusza si tylko w przestrzeni rozwiza dopuszczalnych, w zwizku z tym jest on bardziej skomplikowany, nie ma jednak moliwoci powstania rozwiza niedopuszczalnych i nie potrzeba stosowa funkcji kary za przekroczenie tego ograniczenia w funkcji celu (dopasowania).
W tym przypadku opracowano nastpujcy zestaw operatorów:
1. mutacja I – wymiana wylosowanych wzłów w losowo wybranych α-klikach; 2. mutacja II – losowy wybór wzła bdcego hubem sporód wzłów α-kliki;
3. przeniesienie losowo wybranych wzłów do innych losowo wybranych α-klik;
4. “inteligentne” przeniesienie – działa podobnie jak w punkcie poprzednim, lecz wykonywane jest tylko wtedy, gdy poprawia warto funkcji celu (dopasowania); 5. konkatenacja – operator stara si łczy (głównie małe) α-kliki.
3.3.2. Operatory genetyczne dla struktury “hub and spoke”
Operatory opracowane dla tego zadania róni si przede wszystkim warunkiem, który musz zachowa, aby otrzymane rozwizania były dopuszczalne. W tym przypadku kady modyfikowany element (oczywicie bdcy tam ju wczeniej równie) wyrónionego podgrafu
musi mie połczenie ze swoim hubem, jeli tak nie jest, to operacja jest anulowana, podobnie jak w przypadku niezachowania warunku na α z poprzedniego podpunktu.
Zastosowano nastpujce operatory genetyczne:
1. mutacja – wymiana wylosowanych wzłów w losowo wybranych podgrafach; 2. przeniesienie losowo wybranych wzłów do innych losowo wybranych podgrafów; 3. losowy wybór wzła bdcego hubem sporód wzłów podgrafu;
4. konkatenacja – operator stara si łczy (głównie małe) podgrafy. 4. Wyniki symulacji komputerowych
4.1. Dane uyte do testowania algorytmów
Do testowania opisywanych metod uyto przykładowych grafów z BHOSLIB: Benchmarks with Hidden Optimum Solutions for Graph Problems (Maximum Clique, Maximum Independent Set, Minimum Vertex Cover and Vertex Coloring) – Hiding Exact Solutions in Random Graphs [18], gdy nie dysponowalimy rzeczywistymi danymi komunikacyjnymi. Wybrany graf ma 450 wierzchołków i 83198 krawdzi i jest znany rozmiar maksymalnej kliki w tym grafie, równy 30 (frb30-15-clq.tar.gz). Wielko tego grafu nie jest bardzo dua, lecz jest ona porównywalny z liczb połcze lotniczych pomidzy najwikszymi miastami w Europie.
4.2. Wyniki przekształcania grafu połcze do struktury ααα-klikowej α
Tab. 1. przedstawia zaleno podziału grafu wejciowego na α-kliki w zalenoci od przyjtej wartoci parametru α . Liczba uzyskanych α-klik jest automatycznie generowana przez zastosowany algorytm ewolucyjny i zaley głównie od przyjtej wartoci α.
Uywajc rónych wartoci α otrzymalimy rón liczb wydzielonych, silne powizanych komunikacyjnie regionów. Siła powizania elementów wydzielonego podgrafu zalezy od parametru α. Im wiksza jego warto, tym mniejsze s wydzielone podgrafy i jest ich wicej, ale ich elementy s ze sob połczone w wikszym stopniu. Trudno jest oceni, które wyniki byłyby tu najbardziej uyteczne, ale najprawdopodobniej s to rezultaty uzyskane dla α=0.8 lub α=0.85 z 9 lub 15 wzłami typu kernel. Oczywicie mona te uzyska inne liczby wzłów typu kernel, wprowadzajc inne wartoci α lub uywajc wersji z ustalon liczb uzyskiwanych podgrafów.
Tabela 1. Wyniki podziału grafu połączeĔ na podgrafy metodą klikową α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3 150 138 139 2 0.75 num 3 2 1 3 9 50 41 42 43 44 45 46 47 8 0.80 num 9 1 1 1 1 2 2 1 9 15 24 29 30 34 22 25 26 27 28 31 32 13 14 0.85 num 1 2 10 2 1 2 2 7 1 1 1 8 7 21 21 22 19 20 21 17 18 19 20 0.90 num 12 9 11 8 2 2 5 9 4 29 14 15 15 14 23 24 25 26 27 0.95 num 15 16 15 14 3 4 4 11 7 29 14 15 15 14 22 23 24 25 26 27 28 0.99 num 15 16 15 14 1 1 5 4 10 5 3 29 14 15 15 14 24 25 26 27 28 1.00 num 15 16 15 14 5 12 4 6 2 gdzie:
kolumna α – przyjta warto parametru α
kolumna 1 – liczba uzyskanych zewntrznych (shell) α-klik
kolumny 2–5 – moc poszczególnych α-klik i liczba (num) α-klik o takiej mocy kolumny 6–12 – stopnie wierzchołków zbioru kernel w ich α-klikach
i liczba (num) wierzchołków o takim stopniu
kolumny 13–19 – liczba wierzchołków w zbiorze kernel połczonych z konkretnym wzłem i liczba (num) takich wierzchołków w zbiorze kernel
Ewolucyjne obliczenia tego problemu trwaj od 5 do 10 minut, zalenie od uytych parametrów. Jest to czas na tyle niedługi, e mona powtórzy obliczenia dla rónych wartoci α i wybra najlepsz. Przykładowo dla α=0,80 uzyskano struktur z 486 połczeniami, zamiast 83 198 w grafie wejciowym. Nisza liczba połcze umoliwia zwikszenie czstotliwoci i przyspieszenie połcze, a co za tym idzie spadek kosztów dla firm przewozowych i ich klientów.
4.3. Wyniki uzyskane dla struktury hub and spoke
Aby uzyska struktur kernel and shell uylimy dwóch metod. W pierwszej metodzie algorytm generował liczb wzłów typu hub i liczb wzłów typu spoke w celu uzyskania pokrycia grafu moliwie najmniejsz liczb wzłów typu hub. Uzyskane wyniki prezentujemy poniej.
Tabela 2. Uzyskane wyniki dla algorytmu automatycznym generowaniem liczby wĊzłów typu hub i liczby wĊzłów typu spoke
1 2 3
2 22 4
1
num 2 2
kolumna 1 – liczba uzyskanych zbiorów wzłów typu spoke kolumna 2 – moce poszczególnych zbiorów wzłów typu spoke
kolumna 3 – liczba wzłów ze zbioru kernel połczonych z konkretnym wzłem i liczba (num) takich wzłów w zbiorze kernel
Warto zauway, e ta wersja algorytmu daje niewielkie moliwoci przekształcenia grafu. Uzyskalimy tylko jedno rozwizanie z wystarczajco duym zbiorem wzłów typu spoke, aby mogło by przydatne. Rozwizanie to, wszake, umoliwiło znalezienie dolnego ograniczenia liczby wzłów typu hub, przydatnego w drugiej metodzie do ustalenia wikszej liczby wzłów typu hub.
Druga metoda generuje struktur kernel and shell ze z góry zadan liczb wzłów typu hub. Uzyskane wyniki prezentujemy poniej.
Tabela 3. Wyniki uzyskane dla zadanej liczby wĊzłów typu hub
Liczba wzłów typu hub 1 2 3 4 5 4 4 112 111 3 num 2 2 4 8 8 56 55 7 num 2 6 8 16 16 28 27 15 num 2 14 16 32 32 14 13 30 31 num 2 30 12 20
kolumna 1 – liczba uzyskanych zbiorów wzłów typu spoke kolumny 2–3 – moc poszczególnych zbiorów wzłów typu spoke
i liczba (num) zbiorów wzłów typu spoke o takiej mocy
kolumny 4–5 – liczba wzłów w zbiorze kernel połczonych z konkretnym wzłem i liczba (num) takich wzłów
Wyniki zebrane w tabeli 3 pokazuj, e metoda z zadan liczba wzłów typu hub jest bardziej elastyczna, gdy jest moliwe uzyskanie załoonej struktury grafu, podczas gdy pierwsza metoda dawała tylko jedno rozwizanie. Jak wida dla wikszej liczby wzłów typu hub podgraf generowany przez te wzły nie jest grafem pełnym, a tylko grafem gsto połczonym (α w takiej α-klice jest bliskie
1). Moliwe jest wszake uzyskanie gorszych wyników dla grafów rzadszych lub dla zadanej wikszej liczby wzłów typu hub. Konieczne jest zachowanie spójnoci tego podgrafu.
5. Wnioski
Zadania obliczeniowe zwizane z optymalizacj grafów s w znacznej wikszoci zadaniami o ponadwielomianowej złoonoci obliczeniowej, dlatego te uywanie do tego celu algorytmów genetycznych wydaje si w pełni usprawiedliwione i dziki temu w akceptowalnym czasie moliwe jest uzyskanie wyników suboptymalnych.
Rezultaty przeprowadzonych symulacji s bardzo obiecujce, zaproponowane narzdzia i metody klasteryzacji grafów umoliwiaj uzyskanie dobrych wyników w akceptowalnym czasie.
%LEOLRJUDILD
[1] Ambroziak T. (2000) O pewnych aspektach modelowania systemów transportowych, (eng.:On some aspects of modeling transportation systems), Prace Naukowe Transport z. 44 OW PW Warszawa.
[2] Cichosz P. (2000) Systemy uczące siĊ (in Polish), (eng.: Self-learning systems) WNT, Warszawa.
[3] Coyle J.J. ,Bardi E.J, Novack R.A. (1994) Transportation, Fourth Edition, New York: West Publishing Company, pp. 402.
[4] Hansen P., Mladenovic N., Urosevic D.(2004) Variable neighborhood search for the
maximum clique, The Fourth International Colloquium on Graphs and Optimization
(GO-IV)GO-IV International Colloquium on Graphs and Optimization No4, Lòeche-les-Bains, SUISSE (20/08/2000) 2004, vol. 145, no 1 (28 ref.), pp. 117–125.
[5] Jacyna M. (2001) Modelowanie wielokryterialne w zastosowaniu do oceny systemów transportowych, (eng.: Multi-criteria modeling applied to transportation systems valuation), Prace Naukowe Transport, z.47 OW PW, Warszawa.
[6] O’Kelly M.E (1987) A quadratic integer program for the location of interacting hub facilities, European Journal of Operational Research 32, pp. 392–404.
[7] Kulma-Mabic B., Sp K. (2005) Problem wyboru wzłów tranzytowych w sieci lotniczej, (eng.: The problem of selection transit nodes in an airline network), Logistic Systems Theory And Practice OW PW, pp. 341–348.
[8] Kulma-Mabic B, Potrzebowski H., Staczak J., Sp K. (2008) Evolutionary approach to
solve hub-and-spoke problem using α-cliques, Evolutionary Computation and Global
Optimization, Prace naukowe PW, Warszawa, pp. 121–130.
[9] Leszczyski J. (1994) Modelowanie systemów i procesów transportowych, (eng.: Modelling of transportation precesses and systems) OW PW, Warszawa.
[10] Piasecki S. (1973) Optymalizacja systemów przewozowych, (eng.: Optymization of freight systems), WKiŁ, Warszawa.
[11] Potrzebowski H., Staczak J., Sp K. (2007) Separable decomposition of graph using
alpha-cliques, in: Kurzyski. M., Puchała E., Wo niak M, ołnierek A. (Eds.): Computer
recognition systems 2, in: Advances in soft computing Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, pp. 386–393.
[12] Potrzebowski H., Staczak J., Sp K. (2006) Evolutionary Algorithm to Find Graph
Covering Subsets Using Alpha-Cliques, Evolutionary Computation and Global Optimization,
Prace naukowe PW, Warszawa, pp. 351–358.
[13] Potrzebowski H., Staczak J., Sp K. (2006) Heurystyczne i ewolucyjne metody znajdowania pokrycia grafu, korzystajce z pojcia alfa-kliki i innych ogranicze (eng.: Heuristic and evolutionary methods of solving graph vertex cover problem using alpha-cliques and other constraints) (in Polish), Badania operacyjne i systemowe 2006, Metody i techniki, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa.
[14] Potrzebowski H., Staczak J., Sp K. (2008) Evolutionary approach to solve hub-and-spoke problem using alpha-cliques, Evolutionary Computation and Global Optimization, Prace naukowe PW, Warszawa, pp. 121–130.
[15] Protasi M. (2001) Reactive local search for the maximum clique problem, Algoritmica vol. 29, no 4. pp. 610–637.
[16] Staczak J. (2003) Biologically inspired methods for control of evolutionary algorithms, Control and Cybernetics, 32(2), pp. 411–433.
[17] Wilson R.J. (1996) Introduction to graph theory Addison Wesley Longman. [18] http://www.nlsde.buaa.edu.cn/~kexu/benchmarks/graph-benchmarks.htm.
A GRAPH OF CONNECTION TO THE KERNEL AND SHELL CONVERSION – APPLAYING IN TRANSPORTATION PROBLEMS
Summary
The theory of logistic transportation systems deals with models of phenomena connected with movement of goods and persons. The developed model of the transportation system is expected to simulate a real system, but also should help us to solve given transportation tasks. In order to describe transportation system (rail, bus or air), as a routine a connection graph would be used. Vertices of the graph can be train stations, bus stops etc. The edges show direct connections between vertices. Its direct application can be difficult and computational problems can occur while one would try to organize or optimize such a transportation system. Therefore, a method of aggregation of such graph was introduced, using the general kernel and
shell structure and its particular instances: hub-and-spoke and α-clique structured
graphs of connections. These structures enable to concentrate and order the transport of goods/persons among vertices. To obtain these desired structures an evolutionary algorithm (EA) was applied. This method enables to reduce the number of analyzed vertices as well as arcs/edges of the graph.
Keywords: logistic network, kernel and shell graph, clique, evolutionary algorithm. Barbara Mabic-Kulma
Henryk Potrzebowski Jarosław Staczak Krzysztof Sp
Instytut Bada Systemowych PAN ul. Newelska 5, 01-447 Warszawa
e-mail: barbara.mazbic-kulma@ibspan.waw.pl henryk.potrzebowski@ibspan.waw.pl jarosław.stanczak@ibspan.waw.pl krzysztof.sep@ibspan.waw.pl