Erreur resultant de la determination des flux tremiques par la methode analoique dans le cas de temperatures superficielles de la forme tN (N entier, non négatif)

l'ECHNISCt:E

HOGESn !OOl

DEL

t

YUEGTUICC .... U\/I.UI~[;E

-

DEC. '956

BISLIOl EEK

INSTITUT

von

KARJ\1AN

DE DYNAMIQUE DES FLUIDES

NOTE TECHNIQUE 22

ERREUR RESULTANT DE

LA

DETERMINATION DES FLUX THERMIQUES PAR

LA

METHODE ANALOGIQUE DANS LE CAS DE TEMPERATURES SUPERFICIELLES

n

DE LA FORME t (n entier, non négatif) •

par

André BENOIT

RHODE-SAINT -GENESE, BELGIQUE Octobre 1964

NOTE TECHNIQUE 22

ERREUR RESULTANT DE LA DETERMINATION DES FLUX THERMIQUES PAR LA METHODE ANALOGIQUE DANS LE CAS DE TEMPERATURES SUPERFICIELLES DE LA FORME tn (n entier, ~ non négatif). par André BENOIT Octobre 1964

REMERCIEMENTS

Je remercie les autorités de 1u_{lnstitut von Karman pour} avoir pu effectuer ce travail et suis reconnaissant au Centre Nationa1 diEtudes et de Recherches Aeronautiques pour l'obtention d'une bourse de recherche.

2.

RESUME

La solution analogique du problème de la propagation de la chaleur dans un domaine fini, à une dimension~ est considéré pour une température de surface pouvant être représentée par un polynome en t.

Les expressions exactes de la température et du flux thermique sont obtenues pour une classe de terminaisons à laquelle appar-tiennent les cas particuliers extrèmes à savoir, extrémité parfaitement conduqtrice ou parfaitement isolée. Les solutions sont comparées et les différences écrites sous les formes les mieux adaptées d'une part à une étude analytique, d'autre part à un calcul numérique.

TABLE DES MATIERES

Remerciements Résumé

Tab1e des Matières

Liste des principaux symbo1es utilisés Introduction

1. Equations de départ

2. Conditions aux frontières 3. Réponse de régime

4. Réponse globale

5. Différence résu1tant de la substitution d'un réseau à

paramètres loca1isés à un système continu

5.1 - Comportement des différences 0irN ( ~, t) 5.2 - Ca1cu1 numérique des différences 0irN ( ~ , t) 6. Terminaisons particulières

6.1 - Extrémité parfaitement conductrice 6.2 - Extrémité parfaitement iso1ée 7. Conc1usions Références 1. 2. 3. 4. 5. 6. 9. 11. 18. 22. 22. 26.

27.

27.

29.

31.

32.

4.

LISTE DES PRINCIPAUX SYMBOLES UTILISES

A conductance entre deux noeuds successifs a conductivité

C capacité d'un élément du réseau

~ capacité par unité de longueur dans le système continu n exposant de t dans la sollicitation, entier non négatif

N nombre de cellules dans le réseau à paramètres localisés, entier au moins égal à trois

s variable de Laplace t temps réduit

y température ou flux thermique ~ impédance terminale

6 différence entre les températures ou flux thermiques mesurés en des points homo1ogues, d'une part dans 1e système continu, d'autre part dans le réseau à paramètres loca1isés

abscisse réduite, 0

Indices

1 relatif à la température 2 relatif au flux thermique

N re1atif à un réseau de N ce11ules

co _{re1atif au système continu, N inHni}

r relatif à la composante de "régimeU

t relatif à la composante transitoire.

Les autres symb oles sont définis dans 1e texte au fur et à mesure de leur uti1isation.

INTRODUCTION

Dans l'étude de la répartition de la température et du flux thermique par la méthode analogique consistant à substituer à un système continu un réseau électrique passif, il peut s'avérer utile de connaitre et de comparer les réponses à des sollicitations du type tn, n entier non

négatif. En effet, sous des conditions relativement générales, une fonction de t peut être approximée par un polynome en t judicieusement choisi

(premiers termes d'une série entière convergente, polynomes de Chebyshev, ••• ) et pour un système linéaire la réponse s'obtiendra par superposition des solutions correspondant à chaque terme.

Quoique pour une sollicitetion de ce type, lorsque nest un entier strictement positif, il ne soit pas d'usage courant de parler, au

sens strict, de réponse de régime, nous utiliserons ce terme pour désigner

la partie de la solution dépourvue d'exponentielles décroissantes. C'est cette composante qui déterminera le comportement du système lorsque son

temps de réponse sera faible comparé aux durées des phénomènes à étudier. La réponse transitoire, par contre, garde son sens habituel et s'évanouit

lorsque le temps augmente indéfinimento Ce sont les différences entre

les composantes de régime dans le système continu d'une part et le réseau à paramètres localisés d'autre part, qui sont envisagées dans ce rapport.

Un système continu caractérisé par une seule variable

d'espace est considéré conjointement avec un réseau de cellules identiques (R-C) du type "gamma", la première résistance étant en contact avec la source (température de surface). La longueur (1) du système est prise

comme unité de longueur, et comme unité de temps on a choisi la constante du système (N2 Re

= l2rc

=

cte).

1. EQUATIONS DE DEPART

Les transformées de Laplaee des équations régissant la répartition de la température s'éerivent (Réf. 2) :

a) pour 1e système à paramètre;loealisés

=

Y1 (1, s) (l.a) avee

*

b 1 sh (b ~ )

+

2 AZ sh (ZN) eh (b (~ -

2i»

(l.b) b := N arc eh (l.e)

o

~ arg b < 11 (l.d)

A représente l'inverse de la résistanee située entre deux noeuds adjatents et

Z* l 'impédanee située à l'extrémité ( ~

=

0) du réseau.

b) pour 1e système ÇoIi.tinu

F ex> (~ , b)

Y1ex> (~ , s)

=

Y_{1 (1,} s) F ex> ( 1 , b) (2.a)

avee

F _ex> (~, b) "" sh ( b ~)

+

ab Z eh (b ~)

b

=

s 1/2 (2.e)

a représente la conductivité par unité de longueur réduite (a-l

=

NA-l) et Z l'impédance située à l'extrémité ( ~

=

0) de la ligne continue, dORt Z*est le correspondant optimum.

La grandeur Yl(l, s), indépendante de N, qui intervient dans les relations (l.a) et 2.a) est la transformée de Laplace de la sollicita-tion appliquée à l'entrée ( ~

=

1).

On montre sans peine que les expressions (2) peuvent

s'obtenir à partir des expressions (1) en faisant tendre N vers liinfini. Cette relation entre les deux systèmes subsiste pour les transformées

inverses. D'ou Ie choix des indices utilisés. Toutefois, aucune confusion n'étant à craindre, nous avons gardé le même symbole "b" sans indice,

8.

2. CONDITIONS AUX FRONTIERES

10

Condition à lOentrée

La sollicitation

y 1 (1, t) = t n pour t ~ 0

=

0 pour t < 0

est app~i:quée en ~

=

1. La transformée de Laplace est fournie directe-ment pat une table de correspondance (Réf. 3)

Y

1

(1,

s)

n-v

-

=-- sn+l (3)

nest un nombre entier non négatif. En particulier, pour n

=

0 on

retrouve comme sollicitation la fonction échelon-unité et pour n

=

1 la fonction rampeo

20 Condition à l 'extrémité

Seules, les impédances terminales (Z* homologue de Z) vérifiant les conditions suivantes sont envisagées.

La fonction de transfert

YIN ( ~ , s)

=

_Y

l ( 1, s)

1) ne dépend de N que par l 'intermédiaire de b et

paires de b.

En ce qui coneerne Z, la première condition est banale, tandis que la seconde exprime s imp 1ement que la fonction de transfert

YL "" ( E; , s) F"" ( E;

,

b)

Tl "" ( E; , s)

=

Y

=

1 ",,(i, s) RQ) ( 1 b)

est régu1ière au voisinage de s

=

O.

Les deux eonditions précédentes sur Z* peuvent s'exprimer en d'autres termes sous la forme suivante. Les seu1es impédanees

termina1es Z* prises en eonsidération sont ee11es pour 1esque11es i1 existe des fonetions X (E;) telles que

r

utilisant (2 oe)

les cas

v (E;, b)

N FN (1 , b)

Lorsque N devient infini eette re1ation s'éerit en

v (E;, b)

""

F (E;, b)

""

""

X (E;) sr r

=

F (1, b)

""

E r =: 0

- - - =

(40a)

(4.b)

Signa10ns qu'à eette e1asse de terminaisons appartiennent

Z*

=

0 et Z*

=

2/Cs

eorrespofidant respectivement, pour une 1igne continue, à une extrémité parfaitement conductrice et parfaitement iso1éeo Nous envisagerons u1térieurement ces deux cas particu1iers (voir section 60)0

10.

3 0 REPONSE DE REGIME

Comme la fonction V

N ( ~ , b) est régulière au point b = 0 et que b et s s'annullent simultanément, la contribution du pole s

=

0

dans la transformée inverse de (loa) se réduit à :

Y"lrN ( ~, t)

=

= (

n

t

_{. v}

(

~ Rés

_(;n+l.

N n

a

an

( n E r=O st v e 'N (~ n-r t r~ (n-r) , b) • e st) s = 0 , b»)s

₌

0 s

=

0 Pour là suite nous poserons

( a~ \v (b (s» N )

a

sr s = 0 C (~ ) N,r = (5) (6)

En utilisant la formule de Faa di Bruno (Réf. 4) on trouve

k

a

j.;; k 1 1 1

a

b r.

(*)

C ( ~) =

k!

( E E ( II _{(1! --1 )} I. » N,k

_a

_bj

,

R..=l rR, • s=O j=l r

.

a

s

ou la somme en r s'étend à toutes les décompositions de j en sommes d'entiers non négatifs

(*) Dans les calculs qui suivent , tant qu'aucune confusion niest à

craindre, nous écrirons simplement' 'V pour ~ N •

telles que

m

I: R, r:1

=

k. ~=l

La dérivée d v ordre 1 de b par rapport à s s ' exprime en

fonction de quantités connues de la manière suivante. En utilisant la formule de récurrence et en posant 11 vient

ou

db d d R, -2 db

as

R, ds ( ( ) ) db ds1;-2 ds f (b)

=

P R,-l, db ds (b) m = I: i=l

Dans cette dernière

Cl i R,-l I: v=l 1-1, v expression p (b) 1 -1, v ( J.I ) TI (f J.I=l les r .. (r

₌

~J v f (b) r iJ.l (b) ) 1, o • • , m'

,

12.

j

=

1, ••• , \1 ) sont les entiers non négatifs vérifiant simultanément les deux relations

v

r

_rij

₌

1 \1 j

₌

1 v

r

_{j rij}

=

1

-

1

,

j

=

1

m représente le nombre de solutions différentes, et les a

sont des coefficients numériques entiers positifsou nuls.

Dès lors l'expression de C k (~ ) devient N, 1-1 i 1 -1, \1

=

k

! (

k~

_{L j} j=l

a

b

k

( n

1 - - \1 L f P 1 -1,\1 r

) g.»

\1=1 r (8)

ou

00 _j-l a) a j v _{= L}

_n

(2r - u) X ( ~) 2r :-j abj r 0 , (9) r=m u=O

m étant le plus petit nombre ent ier tel que

m ~ j/2

c'est-à-dire

m = j/2 si j est pair

. +1

m =

*

si j est impair

b) la fonction feb) s'obtient à partir de (loc)

soit ce qui donne

-1.

feb) = 2b 2 b s = 4N (sh 2N feb)

=

db ds

=

2 )

L

2N csch au voisinage de l'origine

+

Cl) 1 2r-1 -1 J2. ) r 2 E _{( -1) B} ( (2r) ~

.

N r N r=l

(B =nombre de Bernou11i d'indice r). r

2·r - l

(10)

c) toujours au voisinage de l iorigine,les dérivées successives de feb) intervenant dans les po1ynomes P (b) s'écrivent

t-l,v

=

ou

+1

N 2

J

_r

=

(_1)r et q est Ie plus petit nombre

q _~ co r=q 2r -1 (2r)

,

0 entier lJ ₊ 2 ( TI j=l - 1 tel 1 (2r _

j»

j

1 r N lJ B r que b 2r - lJ -1 ( N ) (11. a) (11.b)

14.

t.·

Après substitution de (9),

na)

et (11) dans l'expression

(8) de C k ( ~ ) on trouve, en remarquant que s et b tendent simu1tané-N,

ment vers zéro,

k-1

=

k

!

+

1: r=l

~,r

x

(~

)

N -2r (12) r (~ _{-K, r}

=

a

pour k < 2)

Les ~ _{-K, r} sont des coefficients numériques dont la

détermination, quoique simp1e en principe, devient fastidieuse lorsque k dépasse la valeur cinq. La substitution des C k ( ~) donnés par (12)

N,

dans (5) fournit la répartition de la température dans 1e réseau, soit

n n-r t ( ~

,

t)

=

,

1: X

(

~ ) Y1rN n • r r =

a

(n-r)

,

_• n k-1

~,r

t n-k

_~-r

( ~ ) +n

,

.

1: 1:

N

2r k~ (n-k)

.

,

(13) k=2 r=l

En particulier on trouve que1 que soit N

C (~)

=

X (~)

N,O ó

(14.a)

C (~ )

N,l

(14.b)

Pour 1e système continu, on peut, pour obtenir la solution, procéder comme pour Ie système à paramètres lDcaHsés et écrire

n n-r t

y. ( ~, t) = n 1:

,

_(n-r)

,

C ( ~

)

l.r co r

.

.

<XI ,r

ou r (b) Cl v C _co,r ( F; ) = ( _r co ) s=O Cl s = r

,

.

X ( F; ) r

Cette dernière égalité étant obtenue directement à partir de (4.b). On peut aussi faire tendre N vers l'infini dans (5). De quelque manière que l'on proc~, il vient finalement

n Y l rco ( F;, t) n~ L r=O

=

n-i: t ( n-r)!

x

r (F;) (15) Pour obtenir Ie flux thermique passant du noeud F; au noeud adjacent F;

+

1

i l suffit de substituer aux fonctions X (F;)

N r

dans les expressions de la température, les différences

W ( F; ')

r

=

X r (F; ) (16)

et pour obtenir Ie flux passant au point F; dans Ie mur continu, de substi-tuer aux fonctions X (

r F; ) leurs dérivées X

,

( F; ). Cela donne r n-r -1 n t A _Y2.rN ( F;' , t)

₌

n! L W ( F;') (n-r)

!

.

r r

=

0 n k-l

+

n~ L L k=2 r=l A tn-k W ( ' ) ~ k.r k-r <, (17) k! (n-k) ! N2r n n-r -1 t a _'Y2rco ( F; , , t) = n! L (n-r) ~. X' r (F; ') (18) r=O

16.

Dans ces re1ations on a écrit

=

~

+

1

2N

afin d'indiquer que la comparaison des flux thermiques se fait aux points situés à mi-distance entre les points nodaux.

4. REPONSE GLOBALE

Par 1e théorème des convo1utions. la réponse globale

y 1N ( ~, t)

=

Yl

rN ( ~, t) + Y ltN (~ ,t) s'obtient en calculant l'intégra1e

t

YiN (~, t)

=

f

( ~ , t-·r)

Y

_1N ( 1, T .. ) dl o

ou glN ( ~ ,t) représente la réponse impu1sionnelle ou fonction de poids du système, à savoir

exp (s t) r

Dans cette expression, les s (r

=

1, 0.0' N

l) sont les N,r

zéros de F

N(l,b(s» non communs à FN ( ~, bes»~ et les fonetions G N,r (~) sont les résidus de VN(b(s» aux poles s

=

s soit

N,r YIN ( ~, t) = G N,r Après n! ( FN ( ~, b) ( ~) ::: _{Rés ( (} FN 1, b) intégration 11 vient Nl n 1: G ( ~ ) 1: r=l N,r 1 =0 ) s=s N,r n- 1 t (n-1 ) . ~. s 1+1 N,r

18. ft NI _e sN,r + _1: G (E; )

.

n+l ) (19) N,r r=l s N,r

On peut montrer que les poles de v

N (b(s» sont réels et négatifs, ce qui se conçoit aisément, puisque physiquement un tel système ne peut être Ie siège de phénomènes oscillatoires ou instables. Dès lors, Ie premier terme de (19) constitue la composante de régime de la température, Ie second la composante transitoire,

y lrN ( ~ , t) = - n ~ G ( E; ) N,r n -: 1 - ( 1 +1) _t _ _ _ s N, r (n - f.)

!

(20) n 1= 0 r=l - (n+l) ( ~, t)

=

n G N,r ( ~) s N,r e s N;r (21)

En identifiant les coefficients des mêmes puissances de t dans les deux expressions de

"J-l rN (E;, t) «13) et (20» on obtient autant de relations entre les _-KA. _{, r} à savoir

1 - 1 1: j

=

1 A 1, j ( 0 ~ 1 ~ n) = G ( E;) N,r - X! (~» -(1+1) s N,r

Par passage à la limite dans (19), (20) et (21) pour N tendant vers l'infini par valeurs entières, on obtient les relations

Y 1r co ( t;,

=

t)

₌

L r=l n co - n~ L ( L G co,r (t; ) 1 =0 r=l co _{- (n+1)} G (t;) s co,r co ,r r=l

-

(

1+l

)

( t;) G co,r s co,r s -(1+1) co e ,r s t co,r ) t n-1

----(n-1) ! (22) (23) (24)

Comme on 1e verra en particu1arisant vN(b), cette dernière

formule fournit un moyen commode de sommer certains types de séries (Réf. 6).

On vérifie que la substitution de (24) dans (22) rend (13). ~

Pour 1e flux thermique on procède comme précédemment et on obtient les formes suivantes

n N1 _{-( 41) n- 1} -1 t A Y2rN ( t; " t) =

-nJ

L L

~,r

(t;

.

) _s ~O r=l N,r (n-1)~ (25) N1 _-(n+1) sN t -1 ( t; " t) n~ ( t;' ) ,r A Y2tN = L H s e r=l N,r N,r (26) n co - (1+1) -1 n- 1 ( t; " t)

n!

L ( L G ( t;') t a _Y2r =

-

s ) co co ,r co ,r (n-1) ! 1 =0 r=l co _-(n+1) s t -1 a _{Y2t co} ( t; " t)

=

n~ L G' ( t;' ) s e co,r r=l co,r co ,r (28) ou on a posé H_N.l.1)r(t;V)

₌

_G ( t; + -) 1 G (E,; ) N,r N N,r (29) (27)

20. ({ ( f ; ) N,r d

=

G (f;) d f; N, r

De même par dérivation de (24) on obtient les X I ( ; )

r

rencontrées précédemment sous forme de séries dont on vérifiera la convergence dans chaque cas particulier.

Xl R. ( f; )

=

E r=l GI _(f;) co,r -(Hl) s co,r (30)

Ö

(E;,t)

lrN

5 • DIFFERENCE RESULTANT DE LA SUBSTITUTION D' UN RESEAU A PARAMETRES LOCALISES A UN SYSTEME CONTINUo

Ecrivons

=

Ö 2rN ( E; I , t)

=

-1

NA Y:2rN (E; I , t)

5.1 Comportement des différences Ö. N ( E;, t)

~r

La combinaison de (13) et (15) donne directement n k-l A t n-k

_~-r

(E; ) k,r = n! I: L k I (n-k) ~ N2r

.

k=2 r=l En particulier pour n

=

0 et n = 1 on a Ö lrN ( E;, t)

=

0 (31)

quel que soit Ie nombre de celluies N, à condition, bien entendu, que la

1 2

comparaison se fasse en des points homologues (E; = 0,

N

'

N'

0.0' I). Autrement dit, non seulement pour la sollicitation du type échelon -unité, mais encore pour la sollicitation du type rampe, la réponse de régime est la même indépendamment du nombre de cellules.

22.

Püur le flux thermique on obtient à partir des relations (17 a et b) Ö 2rN ( ~ " t)

=

n!

+

n!

n n 1: k=2 r=o k-l 1: r=l A. n-k kar t W k_r ( E; I) k

!

(n-k)

~

N2r - 1 (n - r • ) ' (NW r (E;') - X I r (E;'

»

(32)

Ainsi, si on compare les expressions des différences (31) et (32) on constate dans Ö 2rN la présence d lune contribution supplémen-taire provenant de la courbure des fonctions X (~). Le terme

r

N W (~')

r X' _r (E;')

représente en effet la différence entre la pente du segment de droite joignant les points de la courbe X d'abscisses ~ et E;

+

l/N , et la

r

pente de X au point intermédiaire E;

+

1/ 2N.

r

Contrairement à ce qui se passait pour les températures, les flux ne sont plus nécessairement les mêmes quel'que soit N pour les sollications échelon-unité et rampe. En effet, pour ces deux cas OB a respectivement

=

N W (

o E;') Xl o (~I) pour n = 0

et ces quantités ne s'annulleront que si les deux fonctions X

o et Xl ont des dérivées constantes.

Dans le cas général (N ~ 2), on peut réécrire (31) sous la forme n~ n Ö lrN ( ~,t)

=

n-k l: .... t _ _ _ _ k=2 k~ (n-k)

montrant que la différence 6

lrN est de l'ordre de 1/N

2_{, conformément}

à la proposition établie dans Réf. S, puisque l'intervalle entre deux noeuds successifs est égal à l/N. 11 en est de même pour Ie premier terme de

(32) soit (6 ) ,puisque c'est le produit NW

2 qui approche la 2rN I

quantité finie généralement non nulle X ~ lorsque N augmente indéfiniment.

(

=

n l: k=2 n-k t k~ (n-k)!

Quant au second terme de (32) soit ( 62 N) , i l déperidra

r 11

essentiellement de la courbure des fonctions X , plus celle-ci sera

r

accentuée, plus cette contribution ( 62rN) 11 sera importante.

La variation des différences 6

irN ( i = 1,2) est

déterminée par l'allure des fonctions X. On note que l'amplitude

r

et la position des maxima des différences dépendent de to Ainsi,

si on considère 6

lrN comme une fonction continue de ~ à dérivée

continue, (et non seulement comme l'ensemble des valeurs correspondant aux noeuds du réseau), il faudrait en effet, pour que la position des maxima reste invariable que les n-l équations exprimant que la dérivée

de 6

lrN est nulle quel que soit t, k-l

l: r=l

24.

~ soient compatib1es. Ce qui ne sera généra1ement pas·vérifié.

mation

Pour les grandes valeurs de t, on a en première

approxi-o

1rN (F;, t) ~ A2 ! 1 n! 2! (n-2) !

A

₂

,1

n!

'"

₌

• 2! (n-2) !

o

(F; I t) 2rN '

+

(N W (F; ') o 1 N2 1 N2 • X •

x'

_o

1

(F; ). t n-2 N w(F; ') 0 t n-2 ( F ; ' » t n

et le second terme de 0 est nul si la fonction X est constante ou

2~ 0

1inéaire sur l'intervalle (0,1) (c'est le cas (voir section 6.) pour une extrémité parfaitement conductrice ou parfaitement isolée).

Ó

lrN ( ~, t)

ó

2rN ( ~ I ,

Pour les faibles valeurs de t on a approximativement

'"

=

t) =

'"

n-l A E X ( ~ ) r=l n,r , -r n-l E

A

NW ( r=l n,r n-r +n! (NW (F;') r N -2r ~ ') N -2r X' (~'» r

ce qui signifierait que pour t suffisamment petit les expressions de

o

(i

=

1,2) deviendraient indépendantes de t. En pratique toutefois, irN

pour ces petites valeurs de t les différences entre les composantes transitoires pourraient devenir comparab1es aux

et il y aurait donc 1ieu d'en tenir compte.

ê . N voire prépondérantes,

5.2. Calcul numérique des différences Ó irN( ~,t)

Si les expressions (31) et (32) mettent clairement en évidence les facteurs affectant Ie comportement des différences Ó. N

l.r

CL =

1,2), elles sont par contre moins appropriées lorsqu'il s'agit de calculer des valeurs numériques. 11 est alors préférable d'effectuer les différences en utilisant les relations (20) et (25) pour Ie système

à paramètres localisés et (15) et (18) pour le milieu continu. On trouve ainsi n n - R. N t

=

n~ L Dl

,

R. ( ~)

.

_{(n -} R.)~ (33) R.

=

0 Ó 2rN ( ~', t) n n-:R. n~ L N _{( ~')} t

=

_{D2,R. (n -R.)}

_!

(34) R.

=

0 ou on a posé NI -( R.+1) N Dl, _R. ( ~)

=

-

(X R. (~ ) + L G ( ~ ) s ) r~l N,r N,r (35) NI _-(R.+l) DN

( 0

=

-

(X' (~') + L

_~,r

( ~ ') s ) 2, R. R. r=l N,r (36) N

Ce sont ces fonctions DiR. qui tr.s. duisent la quali té de l'approximation résultant de la substitution d'un réseau à paramètres localisés au système continu. Une fois ces fonctions déterminées, on pourra en déduire les différences Ó '. N pour toute valeur de t. Le

lor

problème se ramène donc à la dét erminat ion .. des fonctions X R. ( ~) et

G

N ,r (~) et des poles s N,r de VN (b(s». Nous en donnerons deux exemples à la section suivante.

26.

6. APPLICATION A DEUX TERMINAlSONS PARTICULIERES

CotmD.e i1 est montré ei-après, les deux cas particu1iers - extrémité parfaitement conductrice

et

- extréminé parfaitement isolée

"

donnent des fonctions de transfert qui vérifient les hypothèses exprimées

à la section 2.2.

Dès 10rs la théorie précédente est app1icable et par l'intermédiaire des re1ations (33) et (34) on peut calcu1er directement les différences Ö irN (pour les valeurs numériques, voir Réf. 6).

6.1. Extrémité parfaitement conductrice

Dans ce cas

Z

=

z*

=

0

et la fonction de transfert se réduit à

sh (b ~)

...., _{( b(s»}

₌

N sh b

Cette fonction paire de best déve10ppab1e en série entière

ab~olument convergente, suivant les puissances croiss,antes de b sh( b ~)

sh b =

et les fonetions X ( ~) sont définies par les relations de récurrenee r X ( ~) 0

=

~ (37.a) 2 R. +1 R. -1 X (~ ) ( ~) ~ L m (37.b) X

=

-)\. ~R.+1)~ m=O (2 (~_-m) + 1) ~ En particulier, XR. (0)

=

0 ( R. = 0, 1, 2,

...

) XR. (1)

=

0 ( R. = 1, 2, 3,

...

) X (1)

₌

1 0

Les fonetions X 'R.

(

~

)

qui interviennent dans D 2, N _R.

(voir (36)) s'obtiennent à part ir des précédentes par dérivation :

Xl _{( ~) = 1} 0 (38.a) 2R. R. -1 X' ( ~) X' ( ~) =

S

L m R. (2 R.) ~ (2 (R.-m) +1) I m=O

.

(38.b) Les pö1es de V

N (b (s)) et les résidus eorrespondants

G ( ~) sont donnés par N,r s N,r G N,r (~ ) r1T 2 (2N sin 2N ) = 2N (_1)r+1 sin avee r = 1; 2;

...

,

N-l. sin (r 1T~)

Les fonetions HN (~I):o se déduisent des G (~ ) par

,r N,r

28.

~, r ( ~ I)

=

4N (-1) r+1 sin ( - ) r'IT _N o sin

r'IT

( 2N) • cos (r 'IT f; I)

On possède dès lors tous les é1éments requis pour Ie

N

calcu1 des Di 1 (i

=

1,2).

6.2. Extr.éniites pàdálteniëri't isoLées

Dans ce cas et la fonction de transfert v (b(s» N

=

z

=

00

z*

=

2/es ch(b f; ) chb

est déve1oppab1e en série entière abso1ument convergente au voisinage de 1 I origine. Les fonctions Xi (~) sont ca1culab1es à partir des re1ations

de récurrence

x

( ç;) 0

=

1 (39.a) (39.b) 2 i i-I X ( f;) Xl ( .ç;)

=

L -

1: m (2 1) ~ (2 (i-m» ~ m=O d'oii

x '

( f;)

=

₀ 0 (40.a) 2 i-I i - 1 Xl (f; ) ç; m X' ( f; ) = 1: i (2 i - I ) !. (2 (i -m» I m= 0 • (40.b)

s _N,r

dlou

=

Quant aux po1es de

v

(b .(s)) i1s sont donnés par N 2 2r + 1) ) 2N ( ( ...!... - 2N sin 2 avec r

=

0; 1; 2; ••• N-1

G (

~)

=

2N (_Or sin (2r + 1 'Ir ) • cos (2\+ 1

'Ir~

)

N, r 2N

~,r ( ~I) = 4N (_Or sin (2r + 1 'Ir )

2N sin ( 2r

+

1 ) 4N 'Ir sin ( 2r

+

1 I) 'Ir ~ 2

Ce qui permet la détermination des DN

30.

CONCLUSIONS

Les expressions exactes de la répartition du flux thermique et de la température ont été obtenues par la méthode analogique pour un système monodimensionnel, homogène et fini, sollicité par une fonction d'entrée du type tn, n étant un entier non négatif. Les terminaisons envisagées appartiennent à une classe définie par la relation (4). Les réponses trouvé es sont comparées aux répartitions homologues du système continu.

Les différences entre les températures de régime homologues, sont proportionnelles à l'inverse du carré du nombre de cellules et les coefficients de proportionalité sont explicités. La variation avec la distance dépend essentiellement du type de terminaison par l'intermédiaire des fonctions X R. ( f;) définies en section 1. Pour la fonction rampe (tout comme pour la fonction échelon) ces différences sont nul les en tous les points homologues quel que soit le nombre de celluies du réseau. Les différences entre les flux thermiquepar contre, se composent de deux termes. Le premier est comparable à la différence entre les températures, Ie second dépend de la courbure des fonctions X.9. (f; ) •

Ces différences ou erreurs résultant de la substitution d'un réseau à paramètres localisés au système continu sont réécrites sous une forme susceptible d'une détermination numérique aisée. A titre d'exem-ple, les conditions à l'extrémité traduisant un court-circuit idéal ou une isolation parfaite ont été considérés.

REFERENCES

Réfo 1 - BENOIT André, LABBE Gérard - Analogies thermoélectriques,

Faculté des S~iences Appliquées, Univo de Louvain, Heverlé,

juin.1958.

Réf. 2 - BENOIT André - Accuracy of the one-dimensional analog network

method used to derive heat flux and temperature distribution

from the boundary temperature, Von Karman Institute for Fluid

Dynamics, TN to be published.

Réf. 3 - DOETSCH, Gustav - Introduction à l'utilisation pratique de la

trans format ion de Laplace, Gauthier - Villars, Paris 1959.

Réf. 4 - de la VALLE POUSSIN, Ch.-J. - Cours d'analyse infinitésimale,

Gauthier - Villars, Paris 1954.

Réf. 5 - DOUGLAS, Jim, Jr. - The Error in analogue solutions of heat

conduction problems, Quartely of applied Mathematics, Vol. XIV,

n° 3, pp. 333 - 335, October 1956.

Réf. 6 - BENOIT André, C~OINE Jean-Marie - Numerical values of the

Errors on temperature and heat flux obtained through a

one-dimension analog network from a boundary temperature of the

n

form t ~ Von Karman Institute for Fluid Dynamics, TN to be

Institut von Karman de Dynamique des Fluides,

Octobre

1964.

ERREUR RESULTANT DE LA DETERMINATION DES FLUX

THERMIQUES PAR LA METHODE ANALOGIQUE DANS LE

CAS DES TEMPERATURES SUPERFICIELLES DE LA

FORME tn(n entier, non négat~f) par A.Benoit.

La solution analogique du problème de la

pro-pagation de la chaleur dans un domaine fini,

à une dimension est considérée pour une

tem-pérature de surface pouvant être représentée par un polynome en t.

·anbTJ?wnu lnOl~o un ~ 1J~d aJ1n~IP

'anbT1Ál~u~ apn1? aun ~ 1J~d aunlP sa?1d~p~

xnS1=W sal saw.roJ sal snos sa11Jo? saouaJ?JJ 1P sal 1a sa?J~dwoo ~T10S suol1nloS sa'1 ·a?10s1

1uawa11~JJ~d no aOlJ10 n pUOO 1uawa11~JJ~d ?11W

-?J1Xa 'Jl0A~S ~ SaW~J1Xa sJaTlnOT1J~d s~o sal

1uaUUaT1J~dd~ allanb~l ~ SUOST~U1WJa1 ap as

-S~10 aun Jnod sanua1qo 1UOS anbTwJaQ1 xnlJ np

1a aJn1~J?dwa1 ~l ap sa1o~xa SU01SSaJdxa sa'1

Les expressions exactes de la température et du flux thermique sont obtenues pour une

clas-se de terminaisons à laquelle appartiennent

les cas particuliers extrèmes à savoir,

extré-mité parfaitement conductrice ou parfaitement

isolée. Les solutions sont comparées et l~s

différences écrites sous les formes les mieux adaptées d'une part à une étude analytique, d'autre part à un calcul numérique.

·1 ua awouÁ10d un J~d

a?1uas?JdaJ aJ18 1u~Anod aO~JJns ap aXn1~J~d

-wa1 aun Jnod a?J~PlsUOO 1sa luolsuawlP aun ~

1 1U1J aUl~WOp un su~p Jnal~Qo ~l ap U011~~~d

-OJd ~l ap aW~lqoJd np anbT~ol~u~ uOT1nloS ~~

·1Touag·v Jud(J11~~?u uou 'Jal1 Ua u) u1 aWHO~

V'1 ao Sa~'1aIOI~Hadrrs saHrr~VHadwa~ saa SVo

a'1 SNva 3n0ID0'1~Nü 3aOH~aw V'1 HVd sarr~IWHaH~

xn'1~ saa NOI~VNIWHa~aa V'1 aa ~NV~~ûS8H Hû8HH8

·~961 aJq o 100

'sapTnld sap anbTw~uÁa ap U~WJ~~ UOA 1n111sUI

I.V. K. TN 22

Institut von Karman de Dynamique des Fluides, Octobre

1964.

ERREUR RESULTANT DE LA DETERMINATION DES FLUX

THERMI~UES PAR LA METHODE ANALOGI~UE DANS LE

CAS DES TEMPERATURES SUPERFICIELLES DE LA FORME tn(n entier, non négatlf) par A.Benoit.

La solution analogique du problème de la

pro-pagation de la chaleur dans un domaine fini,

à une d1mension est considérée pour une

tem-pérature de surface pouvant être représentée par un polynome en t.

·anbTJ~wnu TnOT~O un ~ +J~d aJ+n~.p

'anbT+AT~u~ apn+~ aun ~ +J~d aun.p sa~+d~p~

xnaTW saT saW,IOJ sal snos sa+ TJO~ saoUaJ~JJTP

saT +a sa~Jl'!dwoo ~uos sUOT+nTos sa'I ·a~TOs1=

+uawa+Tl'!JJl'!d no aOTJ+onpuoo +uawa+Tl'!JJl'!d ~+TW

-~J+xa 'J10Al'!S ~ saW~J+xa sJaTTnoT+Jl'!d Sl'!O saT

+uauuaT+Jl'!ddl'! aTTanb~T ~ SUOSTl'!UTWJa+ ap as

-Sl'!10 aun Jnod sanua+qo +uos anbTwJaq+ xnTJ np

+a aJn+~J~dwa+ l'!T ap sa+Ol'!xa su01ssaJdxa sa'I

Les express10ns exactes de la température et du flux therm1que sont obtenues pour une

clas-se de termina1sons à laquelle appartiennent les cas particu11ers extrèmes à savoir, extré-mité parfaitement conductrice ou parfaitement isolée. Les solutions sont comparées et les différences écrites sous les formes les mieux adaptées d'une part à une étude analytique,

d'autre part à un calcul numérique.

.+ ua awouA10d un Jl'!d

a,+uas,JdaJ aJ+9 +ul'!Anod aOl'!JJns ap a~n+l'!J~d

-wa+ aun Jnod a~J,PlsUOo +sa luoTsuawTP aun ~

'TUTJ aUT~wop un SUl'!p JnaTl'!qo l'!l ap U01+l'!~l'!d

-OJd l'!T ap aW~lqoJd np anbT~Oll'!Ul'! UOT+nlos l'!'I

·+TouaS·V Jl'!d(JT+l'!B~u uou 'Jal+ua u) u+ ~WHOd

V'I

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sa~~aI~I~HadOS saHO~VHadwa~ saa SVo

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