Rachunek pstwa w3-2012

(1)

1

RACHUNEK

PRAWDOPODOBIEŃSTWA

WYKŁAD 3.

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA.

Zmienną losową X nazywamy funkcję

(praktycznie każdą) przyporządkowującą

zdarzeniom elementarnym liczby

rzeczywiste.

R

X

:

Ω



→

(2)

2

(dokładniej: przeciwobrazy zbiorów borelowskich powinny należeć do σ - ciała zdarzeń S, co w sposób równoważny

można zapisać następująco

{

X

x

}

S

R

(3)

3

Przykłady zmiennych losowych

Dla przestrzeni probabilistycznej – dwa rzuty kostką.

X – suma oczek, (wartości: 2, 3, ..., 12). X – wynik rzutu o większej liczbie

(4)

4

Dla rzutu monetą aż wypadnie orzeł.

X – liczba rzutów monety do wypadnięcia

pierwszego orła, (wartości: 0, 1, ...).

X – numer rzutu w którym wypadł

(5)

5

Dla losowego wyboru dwóch punktów w kole ośrodku O i promieniu R.

X – odległość między wylosowanymi

punktami, (wartości: przedział [0, 2R]).

X – odległość środka odcinka utworzonego

przez wylosowane punkty od punktu O , (wartości: przedział [0, R]).

(6)

6 Dla uproszczenia - zapis P(X < x) oznacza P({ω∈Ω: X(ω) < x}), - zapis P(X ≤ x) oznacza P({ω∈Ω: X(ω) ≤ x}), - zapis P(X = x) oznacza P({ω∈Ω: X(ω) = x}), - zapis P(X > x) oznacza P({ω∈Ω: X(ω) > x}), - zapis P(X ≥ x) oznacza P({ω∈Ω: X(ω) ≥ x}),

(7)

7 zapis P( x1 < X < x2) oznacza P({

ω∈Ω

: x₁ < X(

ω

) < x₂}), - zapis P( x₁

≤

X < x₂) oznacza P({

ω∈Ω

: x1

≤

X(

ω

) < x2}), - zapis P( x1 < X

≤

x2) oznacza P({

ω∈Ω

: x₁ < X(

ω

)

≤

x₂}), - zapis P( x₁

≤

X

≤

x₂) oznacza P({

ω∈Ω

: x1

≤

X(

ω

)

≤

x2}),

(8)

8

Zdarzeniom są przyporządkowane podzbiory zbioru R, musimy tym podzbiorom przyporządkować odpowiadające im prawdopodo-bieństwa. Przyporządkowanie to nazywamy

rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X i oznaczamy PX.

(9)

9

(

)

( )

,

)

(

B

P

X

1

B

R

P

_X

=

−

dla

∈

Β

B(R) - zbiory borelowskie Tak określone PX spełnia aksjomaty

(10)

10 Ω A=X-1(B) R B=X(A) 1 0 X P P(A)=PX(B) PX

(11)

11

Zmienne losowe równe sobie z prawdopodobieństwem 1 będziemy traktować jako nieodróżnialne.

(12)

12

Dystrybuantą zmiennej losowej X

nazywamy funkcję F R:  → R _określoną

wzorem:

(13)

13

Własności dystrybuanty:

a)F jest funkcją niemalejącą,

b)F jest funkcją lewostronnie ciągłą,

(14)

14

d)dystrybuanta zmiennej losowej wyznacza jednoznacznie jej rozkład,

e) P a( ≤ X < b) = F b( ) − F a( ); a < b f) P X( = a) = F a( +) − F a( ); gdzie F a( +)

oznacza granicę prawostronną, (jeśli a jest punktem ciągłości dystrybuanty to

(15)

15

Uwaga

Jeśli funkcja rzeczywista spełnia własności a), b), c) to jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej, jej rozkład jest wyznaczony jednoznacznie co oznacza, że

rozkłady zmiennych losowych

określających taką dystrybuantę mają takie samo prawdopodobieństwo dla wszystkich zbiorów borelowskich.

(16)

16

Przykład.

Poniższe funkcje są dystrybuantami.

-0,5 1 0,5 1 1 -1 -0,5 1

(17)

17

Poniższe funkcje nie są dystrybuantami.

Nie sp. wł. b). Nie sp. wł. a), b), c). Nie sp. wł. a), c).

0,5 1 1 -1 1 1 1 -1 1

(18)

18

Przykład.

Dla jakich wartości A, B, C, D funkcja

       > ≤ + − ≤ ≤ = 2 2 1 ) 2 ( 1 0 ) ( 2 x D x x C x Bx x A x F dla < 1 dla < 0 dla dla

jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej?

(19)

19

A = 0, D = 1 z własności c). Lewostronna ciągłość jest zapewniona. Należy sprawdzić własność a). Aby w przedziałach funkcje były niemalejące, musi być B ≥ 0, C ≤ 0; oprócz tego należy sprawdzić tą własność dla

x = 1 i x = 2.

Dla x = 2, C - dowolne.

Dla x = 1 B ≤ C(2 - 1) + 1, B ≤ 1.

(20)

20

Zmienna losowa jest skokowa (dyskretna) jeśli zbiór wszystkich jej wartości jest

(21)

21

Rozkład zmiennej losowej skokowej często określamy za pomocą funkcji prawdopodobieństwa:

P X( = x_k ) = p_k

(własność:

∑

=1; k > 0 k

k p

p ₎

Liczby p_k nazywamy skokami, a wartości xk punktami skokowymi.

(22)

22

Znając funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej można wyznaczyć jej dystrybuantę

F x p_k k x_k x ( ) = <

∑

oraz jej rozkład prawdopodobieństwa

∑

∈ = ∈ B x k k k p B X P( )

(23)

23

Przykład

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X dana jest w tabeli:

xk 1 2 3

(24)

24

Jej dystrybuanta ma postać

       > ≤ ≤ ≤ = 3 1 3 0 2 0 1 0 ) ( x x x x x F dla < 2 dla ,8 < 1 dla ,2 dla

Zauważmy, że punkty skokowe są punktami nieciągłości dystrybuanty a skoki wyznaczają przyrosty dystrybuanty (jej skoki) w tych punktach.

3 0,2 1 1 2 0,8

(25)

25

Zmienna losowa X o dystrybuancie F jest ciągła jeśli jej dystrybuanta da się przedstawić w postaci

F x f t dt x R

x

( ) = ( ) ∈

(26)

26

gdzie f jest funkcją spełniającą warunki: f x( ) ≥ ; x ∈R; f t dt( ) =

−∞ ∞

∫

0 1

i nazywamy ją gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.

(27)

27

Przykład.

Te funkcje są gęstościami prawdopodobieństwa pewnych zmiennych losowych ciągłych.

1 -1 1 1 2 1 -1 1 1 2

(28)

28

Te funkcje nie są gęstościami prawdopodobieństwa.

1 -2 2 1 1 -1 -1 ₁ 1 1 0,5

(29)

29

Własności zmiennej losowej ciągłej:

a) P X a f x dx F a a ( < ) = ( ) = ( ) −∞

∫

, b) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( a F b F dx x f b X a P b X a P b X a P b X a P b a − = = < < = = < ≤ = ≤ < = ≤ ≤

∫

c) P X b f x dx F b b ( > ) = ( ) = − ( ) ∞

∫

1 _, d) P X( = a) = 0 dla dowolnego, a ∈R;

(brak punktów skokowych),

e) F jest funkcją ciągłą i prawie wszędzie

różniczkowalną F x′( ) = f x( ) (równość zachodzi dla punktów ciągłości gęstości). Wyznaczając gęstość przez różniczkowanie dystrybuanty, w punktach w których F nie jest różniczkowalna można przyjąć, że gęstość jest równa zero.

(30)

30

Przykład.

Wyznaczymy wartości c dla której funkcja

(

]

(

]

   ∉ ∈ = 1 , 0 0 1 , 0 ) ( x x cx x f dla dla

jest gęstością pewnej zmiennej losowej ciągłej?

(31)

31

Aby gęstość była nieujemna i 1 ) ( =

∫

∞ ∞ − dx x f ,

musi być c > 0 i pole odpowiedniego

(32)

32

Dystrybuanta tej zmiennej losowej ma postać dla x∈(−∞ ; 0] ( ) =

∫

0 = 0 ∞ − t d x F x dla x∈(0 ,1] 2 0 0 2 0 ) (x dt tdt x F x = + = _∫ _∫ ∞ − dla x∈(1, ∞] ( ) 0 2 0 1 1 1 0 0 = + + =

_∫

∞ − x dt tdt dt x F

(33)

33 Ostatecznie

(

]

(

]

(

]

     ∞ ∈ ∈ ∞ − ∈ = , 1 1 1 , 0 0 ; 0 ) ( 2 x x x x x F dla dla dla

(34)

34 Obliczymy prawdopodobieństwo

)

75 ,

0

25 ,

0 (

≤

X

≤

P

_.

Sposób I. Za pomocą gęstości

5 , 0 2 ) 75 , 0 25 , 0 ( 0,75 25 , 0 2 75 , 0 25 , 0 = = = ≤ ≤ X

_∫

xdx x P

(35)

35

Sposób II. Za pomocą dystrybuanty

5 , 0 ) 25 , 0 ( ) 75 , 0 ( ) 75 , 0 25 , 0 ( ≤ X ≤ = F − F = P

(36)

36

Twierdzenie Lebesgue'a o rozkładzie dystrybuanty.

Każdą dystrybuantę F można przedstawić w postaci 3 3 2 2 1 1

F

c

F

c

F

c

F

=

+

gdzie 0 , , , 1 ₁ ₂ ₃ 3 2 1 + c + c = c c c ≥ c F₁ - dystrybuanta skokowa, F₂ - dystrybuanta ciągła, F3 - dystrybuanta osobliwa,

(37)

37

Uwagi o rozkładzie funkcji zmiennej losowej.

Jeśli X - skokowa, o funkcji prawdopodobieństwa P(X = xi) = pi,

g - dowolna to funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y = g(X) ma postać:

g(x1) g(x2) ... g(xk)

p1 p2 ... pk

Po uporządkowaniu rosnąco wartości g(xi) i

(38)

38 Dokładniej

(

)

{ }

(

)

{

∑

= } {

∑

= } = = = = =         = = = = = y x g i i y x g i i y x g i i i i i p x X P x X P y X g P y Y P ) ( : ) ( : ) ( : ) ) ( ( ) (

U

(39)

39

Przykład.

X - zmienna losowa skokowa o funkcji prawdopodobieństwa:

-4 -2 -1 0 1 2

0,4 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2

wyznaczymy funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y = sgnX .

(40)

40

sgn(-4) = sgn(-2) = sgn(-1) = -1. sgn(0) = 0.

sgn(1) = sgn(2) = 1.

Zatem funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y jest następująca

-1 0 1

(41)

41

X - dana zmienna losowa ciągła o gęstości f. Y = g(X) g - borelowska,

tzn. g-1(B) ∈B(R) dla B ∈B(R),

(42)

42

1) Jeśli g - ściśle monotoniczna i różniczkowalna w przedziale (a, b) koncentracji X to:

(

)

(

)

(

y

f

h

y

h

'

y

g

=

gdzie h = g-1.

Należy pamiętać o przekształceniu przedziału koncentracji.

(43)

43

Przykład.

Jeśli X ma rozkład o gęstości

   > ≤ = ₋ 0 0 0 ) ( x e x x f _x dla dla 2 − = X Y _, wtedy h(y) =

(

y + 2

)

2 _, h′(y) = 2

(

y + 2

)

_, g(0) = -2, g(∞) = ∞,     − > + − ≤ = ₋ ₊ 2 ) 2 ( 2 2 0 ) ( 2 ) 2 ( x e y x y g y dla dla ,

(44)

44

2) Jeśli g - przedziałami ściśle monotoniczna i

różniczkowalna w przedziale (a, b) koncentracji X to:

(

)

∑

= = k i i i y h y h f y g 1 ' ) ( ) ( ) (

gdzie h_i - funkcje odwrotne do g dla poszczególnych przedziałów,

k - liczba wartości funkcji odwrotnej odpowiadających danemu y.

(45)

45

Przykład.

(46)

46 Przykład. Y = X2, wtedy

( )

0 2 1 2 1 ) ( = − + y > y y f y y f y g ,

(47)

47

W niektórych zagadnieniach wyznaczania rozkładu funkcji zmiennej losowej najpierw wyznaczamy

dystrybuantę rozkładu zmiennej losowej Y = g(X), wg schematu

(Y y) (P g X y) P

(

X g ( y ) y

)

P

y

F_Y( ) = < = ( )< = ∈ −1 (−∞, ) <

następnie jeśli to możliwe, wyznaczamy funkcję prawdopodobieństwa (gdy jest to rozkład

(48)

48

Przykład.

Jeśli X ma rozkład o gęstości

[ ] [ ]     ∈ ∉ = 3 , 0 3 1 3 , 0 0 ) ( x x x f dla dla (rozkład jednostajny na [0, 3])

( )

X Y = max 2, _,

(49)

49 wtedy

(

) (

)

       > ≤ < ≤ = = < = < = 3 y dla 1 3 y 2 dla 3 1 2 y dla 0 ) , 2 max( ) ( y y X P y Y P y F_Y

(50)

50

Nie jest to ani rozkład skokowy ani ciągły. Nie można więc wyznaczyć ani funkcji prawdopodobieństwa ani gęstości.

Jest to rozkład mieszany skokowo - ciągły i zgodnie z twierdzeniem o rozkładzie dystrybuanty powyższą dystrybuantę można przedstawić w postaci

2 2 1 1F c F c F_Y = + gdzie c₁ = 2/3, _  > ≤ = 2 y dla 2 y dla 1 0 ) ( 1 y F _, c2 = 1/3,      > ≤ < ≤ = 3 y dla 3 y dla 2 -y 2 y dla 1 2 0 ) ( 2 y F ,