Elementy analizy wartości ekstremalnych w analizie scenariuszy i pomiarze asymptotycznej zależności

Pełen tekst

(1)Sławomir Śmiech Katedra Statystyki. Elementy analizy wartości ekstremalnych w analizie • • scenarIuszy I• pomIarze asymptotycznej zależności 1. Uwagi. wstępne. Ze wzrostu zmienności na rynkach finansowych w ostatniej dekadzie XX w. wynika, że dotychczas wykorzystywane metody zarządzania ryzykiem okazały się niewystarczające. Większość z nich nie uwzględnia faktu powszechnego występowania tzw. grubych ogonów, asymetrii w rozkładach zmiennych opislUą cych instrumenty finansowe, zakładając np. opisywanie zmiennych przez jednolub wielowymiarowy rozkład normalny. Metody oceny ryzyka, oparte na teorii wartości ekstremalnych (TWE), nie mają tych wad. Najważniejsze twierdzenia tej teorii nie wymagają założenia konkretnych rozkładów zmiennych, a mimo to umożliwiają modelowanie ich ogonów. W artykule przedstawiono pewne elementy analizy jedno- i wielowymiarowych wartości ekstremalnych, które mogą być wykorzystywane w zarządzaniu ryzykiem. Teoria została zilustrowana przykładem, w którym zmienne opisujące zmiany indeksów giełdowych zostały wykorzystane w analizie scenariuszy. Zanalizowano również asymptotyczną zależność pomiędzy tymi zmiennymi.. 2. Jednowymiarowe. rozkłady wartości. ekstremalnych. TWEjako gałąź statystyki opisuje graniczne własności wartości ekstremalnych. (klasyczne) podejście charakteryzuje zachowanie normalizowanych. N~tistarsze.

(2) Sławomir Śmiech. maksimów zmiennych losowych i może być sformułowane w postaci twierdzenia:. następqjącego. 71vierdzellie l [Fisher, Tippett 19281, [Gnedenko 1943]. Niech X" .. ., Xu będą zmiennymi losowymi niezależnymi o takim samym rozkładzie z dystrybuantą F Oznaczmy Mu: = max(X" ... , X,). Niech au' bu będątakimi ciągami, że dla pewnej dystrybuanty G zachodzi:. l. lim? M u -bu sx = G(x), [. /1_ 00. 0.. (1). xER.. 11. Wtedy G jest jedną z dystrybuant typu: Frechet cD (x) = «. {oexp(-x-. U. xsO x>O. ). (2). a>O. WeibulI Ijl (x) a. xsO. = {ex p(-(-x) "). l. a>O. x>O. (3). Gumbel A(x) = exp(-.c'),. xER.. (4). Powyższe. dystrybuanty są nazywane dystrybuantami wartości ekstremalnych. często spotyka się je zapisane w ogólniejszej postaci poprzez tzw.: dystrybuantę wartości ekstremalnych (genemlized extreme vallle. W literaturze uogólnioną. distributioll- GBY):. s. ex p[ - [ I + x fI;,/1,0 (x) =. ex p[ -ex p [. :~ l~. x:~. II. +. l. (5). ;=0. gdzie: x+ = max (x, O).. Przypadek:. S > Oodpowiada rozkładowi. s. Frecheta, gdzie = ~. s< O odpowiada rozkładowi WeibulIa, gdzie S= - ~ s= Oodpowiada rozkładowi Gumbela..

(3) Elementy analizy wafloJci ekstrema lnych .... Modelowanie zachowania normalizowanych maksimów w praktyce realizlue poprzez wykorzystanie maksimów zmiennych IV rozłącznych przedziałach czasu (metody te są nazywane metodami blokowymi). Ponieważ takie modelowanie luawnia pewne ograniczenia, stosuje się podejście alternatywne. W tym podejściu (są to tzw. metody progowe) wartości ekstremalne są definiowane jako te, które przekraczają pewien ustalony wysoki próg u. TWE umożliwia opis dystrybuanty warunkowej przekroczenia (tlle conditio/1al excess distJ'iblllion) zdefiniowanej następująco:. się. F (y). ". =P(X -. us y. IX > u) =. + y) -F(u). F(u. l - F(u). ,. Os y s. X/o' -. u.. (6). gdzie: x r = max{x: F (x) < l},. X - zmienna losowa,. u - zadany próg. Asymptotyczne zachowanie dystrybuanty Fu(y) lum1ue następujące twierdzenie:. 1\vieJ'dzenie 2 [Pickands 1975], [Balkema, de Hann 1974J. Dla bogatej rodziny warunkowa dystrybuanta przekroczenia F"M dla dużych u jest dobrze aproksymowana przez rozkładów. (7). gdzie:. O<.o(y)=11-[3 S l~ 1- l - - - y a. S=O. s.,O. (8). dla O;s Y s (X F -II).. Dystrybuanta 0 •. o (y) jest zwana uogóln ioną dystrybuantą Pareto (geJlerolized PW'elo distJ'iblllion - GDP). Jeśli x zapiszemy jako x = II + y, wtedy GPD może być zapisana w następującej postaci: I. O •. o (x) = l - (l +. sex - u)la). '.. (9).

(4) Sławomir Śmieci,. 3. Wielowymiarowe. rozkłady wartości. ekstremalnych. Podobnie jak IV wypadku jednowymiarowym, wielowymiarowy rozkład ekstremalnych może być opisywany przy użyciu metod blokowych i progowych. Niech (X,. t;), (X2 , J;), ... oznacza ciąg niezależnych wektorów o rozkładzie z dystrybuantą F(x, y). W wypadku opisu dystrybuanty F za pomocą metod blokowych należy oznaczyć: wartości. M,. ,,=max{X,}, .,. ;= 1,/1. My.". =max1,/1 {Y,},. M"=(M".,,,My.J. 1=. Wektor M" jest wektorem, którego składowymi , są maksymalne wartości zmiennych losowych X i Y (osiągnięte niekoniecznie w tym samym momencie). Opis wielowymiarowego rozkładu wartości ekstremalnych jest naj prostszy w wypadku, gdy rozkłady brzegowe są standaryzowanymi rozkładami Frecheta. Standaryzacji tej dokonuje się dzieląc wektor M" przez 11. Rozważa się zatem wektor M /I ' = M .t, II III, M y, /I In). Poniższe twierdzenie podaje możliwość opisu wielowymiarowego rozkładu wartości ekstremalnych w wypadku, gdy n ~ 00. Twierdzenie 3. Niech wektor M'1/ = M'.\',1/ ,M') ', /I), gdzie (K,I f.\i' są niezależne,. będzie miał składowe. brzegowe opisywane standaryzowanym. rozkładem. Frecheta.. Wtedy, jeśli: Pr(M;." < x, M);" < y) ~ G(x, y),. (lO). G(x, y) = exp {-V(x, y)}, x > O, Y > O,. ( 11). to gdzie: I. J. V(x, y) = 2 max (.::., I - lV)dH(W), o IV y. (12). a H jest dystrybuantą spełniającą warunek I. JwdH(w) = 0,5.. (13). o. Dystrybuanty spełniające warunek (II) są nazywane dwuwymiarowymi dystrybuantami wartości ekstremalnych (bivariate extreme value distributions). W odróżnieniu od przypadku jednowymiarowego, gdzie opis jednowymiarowej dystrybuanty ograniczał się do trzech przypadków (Frechet, GUlllbel, Weibull), wielowymiarowy rozkład jest opisywany poprzez możliwe warianty dystrybuanty H. Dowolna dystrybuanta spełniająca warunek (/3) daje kolejną postać funkcji G,.

(5) z czego wynika, że w przypadku wielowymiarowy m nie ma skończonej li czby rodzin charakteryzujących wielowymiarowy rozkład wartości ekstremalnych. W praktyce postać dystrybuanty G jest szczególnym przypadkiem funkcji n ależących do jednej ze znanych rodzin dyst rybuant wartości ekstremalnych. Najpopularniejszą z nich jest rodzina rozkładów logistycznych dana formułą: -1. -1 G(x,y)=exp(-(x"+y")"),. x ,y>O,. aE(O,I).. (14). Za l etą. takiego opisu jest możliwość zaobserwowania i łatwej interpretacji zmiennych. W przypadku, gdy a ~ I, badane zmienne są niezależne, gdy a ---+ 0, występuje przypadek dodatniej zależności pomiędzy zmi ennymi. Innymi rodzinami opisujący m i dyslrybuantę G są: model bi logistyczny, model Dirichleta [Coles 200ł, s.147 1, IV których nie zakłada si ę symetrycznej za leżności pomiędzy badanymi zmiennymi . Opis dystrybuanty dwuwymiarowego rozkładu wartości ekstremalnych z uży ciem metod y progowej sprowadza s ię do następujących etapów. Po pierwsze, znajduje si ę rozkłady brzegowe (metodą progową) dł a dostatecznie wysokich progów u.' /"y' Następnie zmienne X, Y transformuje się w następ1Uący sposób: zależności pomiędzy badaną parą. A. X=-(log. A. Y=-(Iog. -liS}. [ [. { {. 0.,. x. l; (X-u). l-Pr(Y>y) 1+ )' Ą. l -liS} l. -I. l; ( X - u ) '. 1+ .,. l-Pr(X>x). a)'). •. ). ,. (15) -I. ,. ). •. Dzi ęk i. temu otrzymuje s ię wektor ( X, Y) o rozkładzie F z rozkładami brzegowymi mający mi standaryzowane dystrybuanty Frecheta, W końcu do wektora (X, Y)stoslue się twierdzenie 3, gdzie otrzymujemy:. hr, y) '" exp {-V(x, y)} i ostatecznie, ponieważ F(t, y) = F(x,. ( 16). Fet, y), to. y) '" G (x, y) = exp {-vet, y)}, dlax> u" y> u)'.. (17). Wada tej metody polega na tym, że otrzymuje się dystrybuantę opisującą zachowanie wektora (X, Y) jedynie dla war tości przekraczających ustalone progi u" Uj" W kontekście wykorzystania teorii, np. w pomiarze ryzyka, to ograniczeni e wydaje się bardzo istoluc (gdyż np. duża strata ujawniona dla dwóch instrumentów.

(6) Słllwomh'. SII/.iech. x, y równa X + Y nie musi oznaczać, że IV obu wypadkach zos tały przekroczone progi. tlx'. u,).. Alternatywą. do stosowania wyżej przedstawionych metod modelowan ia wielowymiarowego rozkładu wartości ekstremalnych jest użyci e funkcji połącze'l (copulafunction). Funkcje połączeń to dystrybuanty wielowymiarowych rozkła dów jednostajnych. Gdy rozwa ża ny jest wektor (Xl' ... , Xu) o dystrybuancie F, to o ile wszystkie jednowymiarowe rozkłady brzegowe Fl' ... , Fu są ciągłe, wówczas istnieje jedyna funkcja połączelt CF' dla której zachodzi następująca równość (tw. Skalara, 1959): F(xl' ... ,x.,) = Cf'(F(x,), "', F(xu))'. (18). Funkcja połączelt nie zależy od rozkładów brzegowych, zawiera więc wszystkie informacje dotyczące zależności pomiędzy składnikami wektora (X" ... , XJ Możliwość wykorzystania funkcji połączelt w analizie wielowymiarowego rozkładu wartości ekstremalnych w wypadku, gdy rozważane są maksima blokowe', przedstawia następujące twierdzenie: Twierdzenie 4 IDehellvels 19781. Niech MII = (M"1' , ... , M, d' ) = II. = ( .~llax X,. k' k-I. ... . JI. "',. ._max Xd • k ), gdzie (X,. u'. ... ,. k -I. .... m. .. II. X d ) jest wektorem losowym. o rozkładzie F, dystrybllantach brzegowych Fl' ... , F" oraz funkcji Wówczas warunek:. połączenia. C.. (19). zachodzi wtedy i tyl ko wtedy, gdy: - dla każdego j = ł, ... , ci istnieją a),11 . ,bl , 1/ i dystrybuanta graniczna G., takie że: ). l. limP M"p' -bj,U:5 x. = G.(x), VxEP ,,_00 [ aj. II )} - istnieje funkcja. połączenia C~, Cao(Ul' .. 'l lld). (20). taka że: = Hm C" (U l/",. "'1. lly/l) ,. (21). 1/_ 00. I Wykorzystanie funkcji połqczClj w melodach progowych analizy WMlośc i ekstremalnych zawiera np. praca fYamni 20021,.

(7) wartości. o ile powyższe warunki są spełnione, zachodzi G~. równość:. (x" ... ,x,,) = Coo(G.(x.), ... , G/x,,)).. (22). Funkcja połączenia, dla której spełniony jest warunek C(ui, ... , U / N) = = C/(u., ... , UN)' jest zwana funkcją połączenia dla wartości ekstremalnych (extreme value capula). Analogicznie jak w wypadku klasycznego modelowania wielowymiarowej dystrybuanty wartości ekstremalnych, nie istnieje skończona liczba rodzin funkcji połączeń dla wartości ekstremalnych. Podobnie więc modelowanie ogranicza się do pewnych szczególnych przypadków rodzin. Najpopularniejszą rodziną rozważanych funkcji połączeń jest rodzina Gumbela, która w wypadku dwuwymiarowym przyjmuje postać: 1. C(u.,. /.1 2 '. 6) = exp(-(-In u.)& + (-In u2 )&) Ó,. (23). gdzie:. 6 E (l, 00). Jedyny szacowany parametr 6 przyjmuje wartość l, gdy badana para zmiennych jest niezależna i zmierza do nieskończoności dla zmiennych, między którymi zachodzi zależność Y = f(X) , gdzief jest funkcją rosnącą.. 4. Niektóre zastosowania elementów teorii ekstremalnych w pomiarze ryzyka. wartości. Ze względu na gwałtowne (nieprzewidywalne) ruchy występujące na rynkach finansowych, instytucje zarządząjące ryzykiem często stosują analizę scenariuszy (stress tes/ing - testowanie napięć). Analiza scenariuszy polega na identyfikacji możliwego zagrożenia oraz oszacowania prawdopodobieństwa jego wystąpienia. Zarządząjący ryzykiem, stosując testowanie napięć, badąją również skutki wpły wu konkretnego zdarzenia na zmianę wartości portfela, który posiadąją. Analizie scenariuszy pocllegąją zdarzenia występ1uące rzadko i jednocześnie mające bardzo silny wpływ na ceny na rynkach finansowych. Z tego powodu do szacowania prawdopodobietistwa ich wystąpienia nadaje się TWE. Jeśli zmienna losowa X opisuje stratę lub zysk (profit and loss function), to zastosowanie TWE umożliwia znalezienie takiej wartości funkcji X, która jest przekraczana przeciętnie raz w ciągu ustalonego okresu (najczęściej raz na 5, 10, 20 czy 50 lat). Aby obliczyć tę wartość, należy wykorzystać oszacowane paranietry dystrybuanty opisluące maksimum zmiennej losowej (wzór (8»:.

(8) Sławomir Śmiech. x /'. =!I'-n I' -. l. {-IOg(l-p)(l. a log {-Iog( I - p)},. dla. s'" O. dla. S= O. (24). gdzie x, jest wielkością przekraczaną przeciętnie raz na lip jednostek czasu (liczba bloków). Rozkład wielowymiarowych wartości ekstremalnych może służyć do wyznaczenia tzw. obszaru zagrożenia !fai/ure area), który dla przypadku dwuwymiarowego jest zdefiniowany w następujący sposób: k''''2 = {(x~ I' ~x) > X2 ) = J1} • I' 2 E R-" . R'2 ' Pr(MXJ'I > x I' M.I, X1. (25). gdzie: SI = + dla badanych maksimów zmiennej, S2 = - dla badanych minimów zmiennej. Obszar zagrożony jest, z definicji pewnym uogólnieniem na wyższe wymiary wartości zagrożonej (VaR). Prawdopodobieństwo występl!iące w definicji obszaru zagrożenia może być wyznaczone za pomocą funkcji połączeń w następujący sposób: Pr(M.l1' I >x l' M.\"2"2 >x)= 1- Pr(M'1 sx 1)-Pr(M"\"'2 sx) + C(G 1(x)l ' G2(x 2l). (26) 2 x1 2 2 Pomiar zależności pomiędzy instrumentami finansowymi jest podstawowym zagadnieniem w zarządzaniu ryzykiem. Ryzyko portfela w klasycznej teorii jest uzal eżn ione od współczynników korelacji pomiędzy jego składnikami. TWE daje możliwość badania zależności pomiędzy ogonami zmiennych losowych. Jeśli za łoży się, że X i Y są zmiennymi losowymi o rozkładach z dystrybuantami odpowiednio Fx' F y, to można wyznaczyć współczynnik zalei.ności IV górnym ogonie dany wzorem: X = lim Pr{Fx(X»uIF,.(Y»u}.. (27). II-I. W wypadku, gdy X= O, mówimy, ze zmienne X i Y są asymptotyczni e niezależ ne, gdy x> O, zmienne są asymptotycznie za l eżne. Stopielt zależności pomiędzy ogonami zmiennych w wypadku, gdy są one asymptotycznie zależne, może być wyznaczony z wzorów: log Pr{Fx(X) > u, F ,(Y) > lt} X(u) = 2 - - - - - - - - log u. x=. !im X(u) u-I. (28).

(9) wartości. Jeśli opislUe się wielowymiarowy funkcji połącze'l Gumbela, wtedy:. rozkład wartości. ekstremalnych za. pomocą. x= 2 - 2"b.. (29). Współczynnik X przyjmuje wartości z przedziału [O, 11 i jego wartość rośnie wraz ze wzrostem stopnia asymptotycznej zależności pomiędzy badanymi zmiennymi.. 5.. Przykład. Celem. empiryczny. przykładu. jest przedstawienie wyników wykorzystania metod analizy wartoś ci ekstremalnych w analizie scenariuszy i w pomiarze asymptotycznej zależności. Dane użyte w przykładzie to zmiany wartości indeksów gieldowych WIG20 oraz DowJones w okresie 19.08.1997-16.10.2002. Aby ułatwić interpretację wyników, dane zostały zestandaryzowane. Do opisu rozkładu maksymalnych wzrostów i maksymalnych spadków wartości badanych indeksów wykorzystano metody blokowe. Dane zostały arbitralnie podzielone na 21-elementowe rozłączne okresy, które odpowiadają obserwacjom z jednego miesiąca. Za pomocą metody największej wiarygodności oszacowane zostały parametry dystrybuanty wartości ekstremalnych. Wyniki estymacji zawiera tabela I. Tabela l. Wyniki oszHcowania panunell'6w uogólnionej dystrybuanty Parcto dla badanych indeksów Paramelry. Wig20 min. Wig20 max. DowJollcs min. ~l. 0.567. 0,587. 0,4945. 0.562. 1,294. 1,467. 1,402. 1,333. -0,249. -0,t24. ------a - ---- - ---- - Ę. - -----_.-O,t86. DowJoncs. m<lX. ... _-_.. -- ~ -- - ---- _.. -0,317. Źródło: obliczenia wtasllc.. Okazało się, że rozkład. minimów i maksimów badanych zmiennych posiada grube ogony. Rozkład maksymalnych wzrostów i spadków analizowanych indeksów posłuży do wyznaczenia wartości, które są przekraczane maksymalnie raz na 5, 10,20,50 lat. Podstawiając do wzoru (24) oszacowane parametry poszczególnych dystrybuant wartości ekstremalnych, otrzymano wyniki przedstawione IV tabeli 2. Wyniki zawarte w tej tabeli wskazują, jaka jest zależność pomiędzy grubością ogona a wielkością wyznaczonych spadków (wzrostów). Im większa jest wartość bezwzględna parametru opisującego grubość ogona, tym większej straty.

(10) Sławomir Śmiech. (zysku) należy się spodziewać (np. w wypadku indeksu DowJones przeciętnie raz na 10 lat należy się spodziewać wzrostu indeksu o 7,6 odchylenia standardowego). Tabela 2. Maksymalne wzrosty i spadki raz w wy różn ionym okresie Okres. Wig20 min. \vartości. indeks6\\', które zdarzają się. Wig20 max. OowJones min. przecięt ni e. DowJones m<lx. - 5,36 -4,46 6,10 ---_._.._---,5.._-_.._...... ,-,--_._--._._-...--.--_4,62 .. _---_ .. __.._... ,. ----.. _--_._.,...• __ .. -.--..•.--..-----_....--..... ..-_.._,...... 10 -6,47 5,28 -5,19 7,60 .._--,---------- ----------_. --------------. ,.,'.. ,. ~._-_. 20. - 7,88. 6,05. -6,08. 9,58. 50. -10,16. 7,17. - 7,45. 12.96. 1----. Źródło: obliczenia własne.. W celu opisania dwuwymiarowego rozkładu wa rtości ekstremalnych założono, on być modelowany przez funkcję połączeń Gumbela i za pomocą metody najwi ększej wiarygodności oszacowano parametr dla par zmiennych opisuj ącyc h maksymalne wzrosty badanej pary indeksów i jej maksymalne spadki. Otrzymane wyniki zawiera tabela 3.. że może. Tabela 3. Wyniki oszacowania parametru funkcji potączcn ia Gumbela oraz miernika zal eżności w ogonic rozkładu Parametry. Wig20 max , DowJoncs max. Wig20 min, DowJoncs min. 8. 1,1442. t,I381. X. 0,1673. 0, 1613. Źródło: obliczenia własne.. Parametry &i Xwskazują na podobny i bardzo umiarkowany stopiel] asymptotycznej za leżności pomiędzy badanymi zmiennymi. Wyniki pokazują, że brakLue wyraźnej zależności pomiędzy ekstremalnymi zdarzeniami występującymi na giełdzie amerykańskiej i warszawskiej. Oszacowany dwuwymia rowy rozkład wa rtości ekstremalnych posłu ży do wyznaczenia obszaru zagrożonego przy wartości p = 0,01 (oznacza to zdarzen ie, które zdarza się raz na ok. 8 lat i 4 miesiące). Wyznaczone zbiory A~+ol A-o-OI zaprezentowano na rys. l i 2. . ..

(11) n",nli, " wartości. 6,-------------___________________ 5+-~~~------------------------. -----------~~----------- -------. O+----r--~----~---r--~----~--~ o 2 4 6 7 3 5 Minima Wig20. Rys. ł. Obszar zagrożony wyznaczony dla pary minimów badanych indeksów i wartości. /' =0,01 WOJ,,). Źródło: opracowa nie własne.. 8 ,-----------------------------------. 7 -----~ 6. g o. ~. 5. 4. "E. ~ 3. ~ 2~---------------------. o +-----.-----.-----~----~----~~~ 5 6 o 2 3 Maksima Wig20. ". Rys. 2. Obszar zagrożony wyznaczony dla pary minimów badanych indeksów i warlości. p =0,0 I (A;':~,,) Zr6cJło: opracowanie własne..

(12) '1·;\,' 41. 'i. i. ,. i. Sławomir Śnliech. Wykresy obszarów zagrożenia ujawnIają pewne własności badanych par indeksów. Po pierwsze, pokazują niewielką asymptotyczną zależność badanych indeksów (gdyby jedna zmienna była obrazem drugiej poprzez funkcję rosnącą, zbiór wyznaczanych punktów składałby się z dwóch połączonych odcinków (w I ćwiartce) równoległych do osi). Po drugie, wskazqią na znaczące różnice w grubości ogonów badanych par zmiennych (gdyby ogony miały taki sam rozkład, zbiór wyznaczonych punktów powinien być symetryczny względem prostej y = x).. 6. Podsumowanie Metody analizy wartości ekstremalnych przedstawione w artykule mogą być wykorzystane jako narzędzie w testowaniu scenariuszy oraz dąją możliwość szacowania asymptotycznej zależności. Chociaż wyniki zastosowania teorii wydają się bardzo obiecluące IV kontekście zarządzania ryzykiem, wciąż istnieją kierunki, w których teoria powinna się rozwijać. Najważniejszym z nich jest znalezienie metod wyboru "najlepszej" rodziny funkcji połączeń (dystrybuanty wartości ekstremalnych). Literatura. Best. P. 12000], Wartość narażona na ryzyko, Oficyna Ekonomiczna, Kraków. Bouye E [2002], Multiliariate EXlremes al Workfor Portfolio Risk Management, preprint, hllp:/IWlvlv.gloriamundi.org/var/lvps.hlml Coles S.G. [20011, Anlntroduction to Statislical Modelling of Extreme Values, Springer, London. Embreehels P., Lindskog F., MeNeil A. [20011, Modelling Dependence lVith Capulas and Applications to Risk Management, report, ETI-IZ, Zurich, http://www.gloriamundi.org/ var/wps.html JajlIga K 11999], Elemellls of Extreme Value Theory and Same Applications [w:] Klasyfikacja i analiza danyclI. Teoria i zastosowanie, "Taksonomia" 7,. Wrocław.. Romano C. 12002], Applaying Capu la FUllctioll lo Risk Mallagement, Working paper, http://lvww.gloriamundi.org/var/\Vps. ht mI Statyslyczne metody oceny ryzyka IV działalno.iei gospodarczej [1998], red. A. Zcliaś, Wydawnictwo AE w Krakowie, Kraków. Yamai Y., Yoshiba T. 12002], Comparative Analyses of Expected Shorlfall and Value-al-Risk ulIder Market Stress, preprint, wwwJmes.boj.or.jp/engtish/publication.

(13) EleJlIel1. wartości. Elements of Extreme Value Analysls in the Analysis of Scenarios and Measurement of Asymptotlc Relatlonships The incl'casc in variability on financial markels in the lasi dccadc ot' the lwenliclh century showcd that past risk managcment mctl10ds havc provcd insufFicicnt. Most do not lakc inlO accaunt thc com mon occUI'rencc ol' "fal. tails", an as)'mmclry in thc distribution ar variabies that dcscribe financial inslrumcnts by aSSlI lll i ng. for cxmnple, a descriplioll ar vmiablcs by a single Ol' Illulti-dimcnsional norma I distributioll. Risk assc>sment methods bascd on the cxtreme values theory (EVT) do not IWl'e sllch flaws. The main tenets of this theOl"y do not rcquirc thc assumption ot' spccific I'ariable distributions a nd yet stil l penIlit the lllodelling of tails. Thc article presen!s sclected elcments of nn analysis of single and mul ti-dim cnsionn l extrcmc valucs that cnn be lIsed in risk management. The theor)' is illustrntcd llsillg nn cxamplc. in which vll riables deseribi ng changes in stock cxchallgc indiccs flrc uscd in scena rio analysis. Thc nsymptotic relationship among those variabIes is also analyscd..

(14)