Rozwiązywanie układów równań różniczkowych metodą operatorową (sprowadzanie układu równań do równania zwyczajnego rzędu wyższego)

(1)

Rozwiązywanie układów

równań różniczkowych

metodą operatorową

(sprowadzanie układu ...

Autorzy:

Julian Janus

2019

(2)

(1)

(2)

Rozwiązywanie układów równań różniczkowych metodą operatorową (sprowadzanie układu równań do

równania zwyczajnego rzędu wyższego)

Autor: Julian Janus

DEFINICJA

Definicja 1:

Przez układ równań różniczkowychukład równań różniczkowych będziemy rozumieli dwa lub więcej równań zawierających pochodne dwóch lub więcej nieznanych funkcji jednej zmiennej.

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Niech będą funkcjami zmiennej to

jest układem równań różniczkowych o niewiadomych funkcjach .

Przez będziemy oznaczać operator różniczkowania operator różniczkowania - przyporządkowujący funkcji jej funkcję pochodną: Przez będziemy oznaczać -krotne złożenie operatora i

Jeżeli jest operatorem określonym następująco

gdzie -są to dowolne stałe, to dla dowolnej funkcji -krotnie różniczkowalnej mamy:

UWAGA

Uwaga 1:

Składanie operatorów postaci jest przemienne :

,

x

1

x

2

x

3

t,

⎧

⎩

⎨

⎪

+ 2 + −

= 1

x

′′ 1

x

′2

x

1

x

3

+

− + +

= t

x

′′ 2

x

′′1

x

1

x

2

x

′3

2 + − +

x

′′

= 0

3

x

′2

x

′1

x

3

,

x

1

x

2

x

3

D

x(t)

Dx(t) := (t).

x

′

D

k

_k

_D

k

_{x(t) :=}

_x

(k)

_(t).

L

L :=

a

k

D

k

+

a

k−1

D

k−1

+ ⋯ + D +

a

1

a

0

, …,

a

0

a

k

x(t) k

Lx(t) =

a

k

D

k

x(t) +

a

k−1

D

k−1

x(t) + ⋯ + Dx(t) + x(t) =

a

1

a

0

a

k

x

(k)

(t) + ⋯ +

a

1

x

′

(t) + x(t).

a

0

=

+

+ ⋯ + D + ,

=

+

+ ⋯ + D +

L

1

a

k

D

k

a

k−1

D

k−1

a

1

a

0

L

2

b

n

D

n

b

n−1

D

n−1

b

1

b

0

∘

=

∘ .

L

1

L

2

L

2

L

1

(3)

(3) (4) (5) (6)

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Dla operatorów i wyznaczamy złożenia:

stąd wynika, że

Stosując powyższe oznaczenia układ równań ( 1 ) można zapisać następująco:

gdzie :

Omówimy teraz rozwiązywanie układów równań postaci:

gdzie operatory są postaci ( 2 )

Powyższy układ rozwiązuje się podobnie jak układ równań liniowych, z wykorzystaniem wzorów Cramera:

gdzie

Mnożeniu elementów przy liczeniu wyznacznika odpowiada złożenie operatorów. Przy liczeniu wyznaczników najpierw składamy odpowiednie operatory, a następnie wyliczamy wartość tak otrzymanego operatora dla funkcji . Na przykład mnożąc elementy na przekątnej dostajemy :

Pokażemy prawdziwość wzorów ( 4 ) dla . Rozważmy układ równań

Pierwsze równanie układu ( 6 ) obkładamy obustronie operatorem a drugie operatorem i otrzymujemy następujący układ równań:

Uwzględniając fakt, że i po odjęciu tych równań stronami,

dostajemy równanie różniczkowe zwyczajne o stałych współczynnikach odpowiedniego rzędu zmiennej :

=

− D + 1

L

1

D

2

L

2

= D + 2

∘

= (

− D + 1) ∘ (D + 2) =

+ 2

−

− 2D + D + 2 =

+

− D + 2,

L

1

L

2

D

2

D

3

D

2

D

2

D

3

D

2

∘

= (D + 2) ∘ (

− D + 1) =

−

+ D + 2

− 2D + 2 =

+

− D + 2

L

2

L

1

D

2

D

3

D

2

D

2

D

3

D

2

∘

=

∘ .

L

1

L

2

L

2

L

1

⎧

⎩

⎨

L

2111

x

11

+

L

1222

x

22

+

L

2313

x

33

= t

= 1

+

= 0

L

31

x

1

L

32

x

2

L

33

x

3

=

+ 1,

= 2D,

= −1,

L

11

D

2

L

12

L

13

L

21

=

D

2

− 1,

L

22

=

D

2

+ 1,

L

23

= D,

L

31

= −D,

= D,

= 2

+ 1.

L

32

L

33

D

2

⎧

⎩

⎨

⎪

+

+ ⋯ +

= (t)

L

11

x

1

L

12

x

2

L

1n

x

n

f

1

⋮

+

+ ⋯ +

= (t)

L

n1

x

1

L

n2

x

2

L

nn

x

n

f

n

L

ij

W =

x

i

W

i

, i = 1, …, n

i

= det

,

W

i

⎡

⎣

⎢⎢

L

11

⋮

L

n1

…

(t) …

f

1

⋮

(t) …

f

n

L

1n

⋮

L

nn

⎤

⎦

⎥⎥

W = det

⎡

.

⎣

⎢⎢

L

11

⋮

L

n1

…

⋱

…

L

1n

⋮

L

nn

⎤

⎦

⎥⎥

W

i

(t)

f

k

∘ ⋯ ∘

∘

∘ ⋯ ∘

( (t)).

L

nn

L

i+1i+1

L

i−1i−1

L

11

f

i

n = 2

{

L

11

x

1

+

L

12

x

2

= (t)

f

1

+

= (t).

L

21

x

1

L

22

x

2

f

2

L

22

L

12

{

L

22

∘

L

11

x

1

+

L

22

∘

L

12

x

2

=

L

22

f

1

(t)

∘

+

∘

=

(t).

L

12

L

21

x

1

L

12

L

22

x

2

L

12

f

2

∘

=

∘

L

22

L

12

L

12

L

22

x

1

(

22

∘

11

−

12

∘

21

) =

1 22 1

(t) −

12 2

(t).

(4)

Stąd mamy

Analogicznie jeżeli pierwsze równanie układu ( 6 ) obłożymy obustronnie operatorem a drugie i odejmiemy stronami to otrzymamy

Stąd mamy

Zauważmy, że równania charakterystyczne dla obu równań

są takie, same.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 07:18:27

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=1cb33a94250de82c286210d26f909a38