Rozwiązanie ogólne równania quasiliniowego w przypadku funkcji dwóch zmiennych niezależnych

(1)

Rozwiązanie ogólne

równania quasiliniowego w

przypadku funkcji dwóch

zmiennych niezależnych

Autorzy:

Vsevolod Vladimirov

2019

(2)

(1)

(2)

(3)

Rozwiązanie ogólne równania quasiliniowego w przypadku funkcji dwóch zmiennych niezależnych

Autor: Vsevolod Vladimirov

Ponieważ każda powierzchnia całkowa równania

może byc utkana z rozwiązań Skalarne quasiliniowe równanie cząstkowe-( 2 )

to znalezienie rozwiązania ogólnego równania quasiliniowego sprowadza się do scałkowania stowarzyszonego z nim układu dynamicznego.

DEFINICJA

Definicja 1:

Układ

nazywa się postacią charakterystyczną równaniapostacią charakterystyczną równania ( 1 ).

Algorytm uzyskania rozwiązania ogólnego układu jest następujący: 1. Rozwiązując układ ( 2 ), znajdujemy dwie niezależne całki pierwsze

Funkcje te nazywamy charakterystykami.charakterystykami. Sprawdzając, czy otrzymane charakterystyki sa niezależne, stosujemy następujące kryterium:

2. Wybieramy dowolną gładką funkcję dwóch zmiennych , następnie rugując stałe z układu

otrzymujemy równanie opisujące (dowolną) powierzchnię całkową

Należy oczywiście sprawdzić, czy wzór rzeczywiście w sposób niejawny zadaje funkcję , spełniającą równanie. Dla sprawdzenia zrózniczkujmy więc wzór ( 3 ) względem i :

gdzie

jest to pochodna zupełna względem , określa się analogicznie; są to odpowiednio pochodne cząstkowe względem pierwszej i drugiej zmiennej funcji . Pochodne cząstkowe funkcji mają wówczas postać

Podstawiając powyższe wzory do lewej strony równania ( 1 ), otrzymamy:

P(x, y, z) + Q(x, y, z) = R(x, y, z)

z

x

z

y

= P(x, y, z),

= Q(x, y, z),

= R(x, y, z),

d x d t d yd t d zd t

=

= dt

d x

P(x,y,z) Q(x,y,z)dy R(x,y,z)dz

(x, y, z) = ,

(x, y, z) = .

ψ

1

_C

₁

_ψ

2

_C

₂

rank

∂ ( , )_{∂ (x, y, z)}ψ1 ψ2

|

_{(x, y, z) ∈ U}

= 2, gdzie U − zbi

ó

r otwarty w

R

3

.

Φ( , )

z

1

z

2

C

1

,

C

2

Φ( ,

C

1

C

2

) = 0,

ψ

1

(x, y, z) = ,

C

1

ψ

2

(x, y, z) = ,

C

2

Φ[ (x, y, z), (x, y, z)] = 0.

ψ

1

_ψ

2

z(x, y)

x y

0 =

D

x

Φ[ (x, y, z), (x, y, z)] =

ψ

1

ψ

2

Φ

1

( +

ψ

1x

ψ

1z

z

x

) +

Φ

2

( +

ψ

2x

ψ

2z

z

x

) ,

0 =

D

y

Φ[ (x, y, z), (x, y, z)] =

ψ

1

ψ

2

Φ

1

( +

ψ

1y

ψ

1z

z

y

) +

Φ

2

( +

ψ

2y

ψ

2z

z

y

) ,

=

+

D

x _{∂ x}∂ ∂ z_{∂ x} _{∂ z}∂

x D

y

Φ

1

,

Φ

2

Φ

z

= −

,

= −

.

z

x Φ1ψ+ 1 x Φ2ψ2x + Φ1ψ1z Φ2ψ2z

z

y + Φ1ψ1y Φ2ψ2y + Φ1ψ1z Φ2ψ2z

P

x

+ Q = −

y 1(P +Q )+ (P +Q )

.

1 1 2 2 2

(3)

(4) Ponieważ dla spełniają układ ( 2 ) , zatem

Podstawiając je do prawej strony wzoru ( 4 ), otrzymujemy równanie ( 1 ) i to konczy dowód.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 07:33:58

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=965787272d4c23beef4e2fea66785675