Funkcje zmiennych losowych

UWAGI O ROZKŁADZIE FUNKCJI ZMIENNEJ LOSOWEJ.

X - dana zmienna losowa ciągła o gęstości f.

Y = g(X) g - borelowska, tzn. g-1(B) ∈B(R) dla B ∈B(R), Wyznaczyć gęstość g(y) zmiennej losowej Y.

1) Jeśli g - ściśle monotoniczna i różniczkowalna w przedziale (a, b) koncentracji X to:

(

(

)

)

(

)

)

(

y

f

h

y

h

'

y

g

=

gdzie h = g-1.

Należy pamiętać o przekształceniu przedziału koncentracji. Przykład. Y = aX + b, wtedy a a b y f y g( ) 1      − = , Przykład.

Jeśli X ma rozkład o gęstości

   > ≤ = − 0 0 0 ) ( x e x x f _x dla dla 2 − = X Y , wtedy h(y)= y

(

+2

)

2, h′(y)=2

(

y+2

)

, g(0) = -2, g(∞) = ∞,     − > + − ≤ = + − ₂ ) 2 ( 2 2 0 ) ( _{( 2)}2 x e y x y g y dla dla ,

2) Jeśli g - przedziałami ściśle monotoniczna i różniczkowalna w przedziale (a, b) koncentracji X to:

(

)

∑

=

=

k i i i

y

h

y

h

f

y

g

1 '

)

(

)

(

)

(

gdzie hi - funkcje odwrotne do g dla poszczególnych przedziałów,

k - liczba wartości funkcji odwrotnej odpowiadających danemu y.

Przykład. Y = |X|, wtedy g(y)= f

(

−y

)

+ f

( )

y y>0, Przykład. Y = X2, wtedy

(

)

( )

0 2 1 2 1 ) ( = − + y> y y f y y f y g ,

Jeśli X - skokowa, o funkcji prawdopodobieństwa P(X = xi) = pi, g - dowolna to funkcja

prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y = g(X) ma postać:

g(x1) g(x2) ... g(xk)

p1 p2 ... pk

Po uporządkowaniu rosnąco wartości g(xi) i zsumowaniu odpowiednich prawdopodobieństw.

(

)

{ }

(

)

{

∑

= } {

∑

= } = = = =         = = = = = y x g i i y x g i i y x g i i i i i p x X P x X P y X g P y Y P ) ( : ) ( : ) ( : ) ) ( ( ) (

U

Przykład.

X - zmienna losowa skokowa o funkcji prawdopodobieństwa:

-4 -2 -1 0 1 2

0,4 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2

wyznaczymy funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y = sgnX . sgn(-4) = sgn(-2) = sgn(-1) = -1.

sgn(0) = 0.

sgn(1) = sgn(2) = 1.

Zatem funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y jest następująca

-1 0 1

0,6 0,1 0,3

W niektórych zagadnieniach wyznaczania rozkładu funkcji zmiennej losowej najpierw wyznaczamy dystrybuantę rozkładu zmiennej losowej Y = g(X), wg schematu

(

Y y

)

P

(

g X y

)

P

(

X g

(

y

)

y

)

P

y

F_{Y( )}= < = _{( )}< = ∈ −1 ₍−∞_{, )} <

następnie jeśli to możliwe, wyznaczamy funkcję prawdopodobieństwa (gdy jest to rozkład skokowy) lub gęstość (gdy jest to rozkład ciągły).

Przykład. Jeśli X ma rozkład o gęstości

[

]

[

]

    ∈ ∉ = 3 , 0 3 1 3 , 0 0 ) ( x x x f dla dla (rozkład jednostajny na [0, 3])

(

X

)

Y =max 2, , wtedy

₍

₎

₍

₎

      > ≤ < ≤ = < = < = 3 y dla 3 y dla 2 y dla 1 2 3 1 0 ) , 2 max( ) (y PY y P X y y F_Y

Nie jest to ani rozkład skokowy ani ciągły. Nie można więc wyznaczyć ani funkcji prawdopodobieństwa ani gęstości.

Jest to rozkład mieszany skokowo - ciągły i zgodnie z twierdzeniem o rozkładzie dystrybuanty powyższą dystrybuantę można przedstawić w postaci

2 2 1 1F cF c F_Y = + gdzie c1 = 2/3,    > ≤ = 2 y dla 2 y dla 1 0 ) ( 1 y F , c2 = 1/3,      > ≤ < ≤ = 3 y dla 3 y dla 2 -y 2 y dla 1 2 0 ) ( 2 y F ,

Funkcje zmiennych losowych 2 wymiarowych. (X1, X2) - dana zmienna losowa ciągła o gęstości f.

Y = g(X1, X2) g - borelowska, Dystrybuanta tej zmiennej losowej ma postać

( ) 2 1 ) , ( 2 1 2 1 ) , ( ) (y f x x dxdx G y x x g

∫∫

< =

gęstość g(y) wyznaczamy przez różniczkowanie. Przykład. Y = X1⋅X2 , 1 0 / 2 2 1 1 0 / 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 ) , ( ) , ( ) , ( ) (y f x x dxdx f x x dx dx f x x dx dx G x y x y y x x

∫ ∫

∫ ∫

∫∫

∞ ∞ − ∞ − ∞ < ⋅         +         = = wtedy g( y)= _dx x y x f x dx x y x f x

∫

∫

∞ ∞ − + 0 0 ) , ( 1 ) , ( 1 Przykład.

(X1, X2) - zmienna losowa o rozkładzie jednostajnym w kwadracie (0, 1) x (0, 1). Wyznaczyć rozkład pola prostokąta o bokach x1, x2 tzn. zmiennej losowej

Y = X1⋅X2 . ) ln 1 ( 1 1 ) ( ₁ 1 1 / 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 y y dx dx dx dx dx dx y G y y x y x x y x x − =         − = − = =

∫∫

∫∫

∫ ∫

≥ ⋅ < ⋅ dla 0 < y ≤ 1 stąd      < ≤ < − ≤ = y dla y dla y y y dla y G 1 1 1 0 ) ln 1 ( 0 0 ) (

zatem g(y) = -lny dla 0 < y ≤ 1 Przykład. Y = X2/X1 , 1 0 2 2 1 1 0 2 2 1 1 1 ) , ( ) , ( ) (y f x x dx dx f x x dx dx G x y x y

∫ ∫

∫ ∫

∞ ⋅ ∞ − ∞ − ∞ ⋅         +         = wtedy _{g y}

_∫

_{xf x yxdx}

_∫

∞_{xf x yxdx} ∞ − + − = 0 0 ) , ( ) , ( ) ( Przykład.

X1, X2 - niezależne zmienne losowe. X1 - N(0, σ1), X2 - N(0, σ2). Niech 1 1 1 ~ σ X X = , 2 2 2 ~ σ X X = (mają rozkład N(0, 1).

(

2

)

0 2 / ~ 2 / 0 /2 ~ /2 ~ 1 1 2 2 2 2 ) ~ ( ~ 2 2 2 2 y dx e e x dx e e x y g x y x x y x + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − =

∫

∫

∞ − − ∞ − − −

π

π

π

π

π

(rozkład Cauchy'ego)

i korzystając funkcji liniowej od zmiennej losowej

2 1 ~ σ σ Y Y = mamy

              + = ₂ 2 1 2 1 2 1 1 ) ( σ σ σ σ π y y g Przykład. Y = X1 + X2 , 1 2 2 1 1 ) , ( ) (y f x x dx dx G x y

∫ ∫

∞ ∞ − − ∞ −         = wtedy g( y)=

∫

f x y xdx

∫

f y x xdx ∞ ∞ − ∞ ∞ − − = − ) ( , ) , ( Uwaga.

Jeśli X1, X2 - niezależne zmienne losowe to gęstość sumy wyraża się splotem gęstości brzegowych (p. dalej). Przykład. Y = X1 - X2 , wtedy

g

( y

)

=

∫

f x x y dx

∫

f x y xdx ∞ ∞ − ∞ ∞ − − = − ) ( , ) , (

Suma niezależnych zmiennych losowych. Własności:

1) X, Y niezależne skokowe zmienne losowe o funkcjach prawdopodobieństwa P(X = xi), P(Y = yj); wtedy funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X + Y wyraża się wzorem:

P(Z = zk) = ∑ P(X = xi)P(Y = zk - xj); (zk = xi + yj)

2) X, Y niezależne ciągłe zmienne losowe o gęstościach f1 i f2 ; wtedy gęstość zmiennej losowej X + Y wyraża się wzorem:

dt t f t x f dt t x f t f x f( )

∫

1( ) 2( )

∫

1( ) 2( ) ∞ ∞ − ∞ ∞ − − = − =

(splot gęstości składników).

Funkcje zmiennych losowych n - wymiarowych. Przykład.

System składa się n układów z których każdy ma czas bezawaryjnej pracy określony rozkładem wykładniczym Xi o parametrze ai niezależnym od pozostałych układów. Wyznaczyć rozkład bezawaryjnego czasu pracy całego systemu (system działa jeśli pracuje chociaż jeden układ).

Y = X1 + X2 + X3 + ....+ Xn, Przez indukcję pokazuje się, że Y ma rozkład o gęstości:

= ) ( y g

_{( )}

(

)

∑

∏

∏

= ≠ = − = − − − n j n j k k k j y a n i i n a a e a j 1 1 1 1 1 dla y > 0

wtedy G( y)=

_{( )}

(

)

∑

∏

∏

= ≠ = − = − − − − n j n j k k k j y a n i i n a a e a j 1 1 1 1 1 1

Otrzymany rozkład nazywamy uogólnionym rozkładem Erlanga n - tego rzędu Tn.

∑

∑

= = =       = n k k n k i n a T E T E 1 1 1 ) (

∑

∑

= = =       = n k k n k i n a T D T D 1 2 1 2 2 1 ) ( gdy a1 = a2 = ... = an =λ to = ) ( y g

(

1

,

)

0

)!

1

(

)

(

1

>

−

=

−

− −

t

t

n

P

e

n

t

t n

λ

λ

λ

λ

λ dla y > 0 gdzie P(n-1, λt) jest rozkładem Poissona.

Przykład. Y = min(X1 , X2 ) ) , ( ) ( ) ( ) (y F₁ y F₂ y F y y G = + − wtedy g( y)= _{f y f y}

_∫

y _{f y xdx}

_∫

y _{f x ydx} ∞ − ∞ − − − + ( ) ( , ) ( , ) ) ( 2 1 Uwaga.

Jeśli X1, X2 - niezależne zmienne losowe to: ) ( ) ( ) ( ) ( ) (y F₁ y F₂ y F₁ y F₂ y G = + − ⋅

=

)

( y

g

f₁(y)(1−F₂(y))+ f₂(y)(1−F₁(y))

Jeśli X1, X2 - niezależne zmienne losowe o takim samym rozkładzie to: )) ( 2 )( ( ) (y F y F y G = − wtedy

g

( y

)

=

2f (y)(1−F (y)) Przykład. Y = max(X1 , X2 ) ) , ( ) (y F y y G = wtedy g( y)=

_∫

y _{f y xdx}

_∫

y _{f x ydx} ∞ − ∞ − + ( , ) ) , ( Uwaga.

Jeśli X1, X2 - niezależne zmienne losowe o takim samym rozkładzie to: ) ( ) (y F2 y G = wtedy

g

( y

)

=

2f (y)F (y) Przykład.

Jeśli X1, X2, …, Xn - niezależne zmienne losowe o dystrybuantach F1, F2, …, Fn, wtedy zmienna losowa a) Y = max(X1 , X2,…, Xn) ma rozkład o dystrybuancie ) ( ... ) ( ) ( ) , ,...., , ( ) ) ,..., , (max( ) ( ) ( 2 1 2 1 2 1 y F y F y F y X y X y X P y X X X P y Y P y G n n n ⋅ ⋅ ⋅ = = < < < = < = < =

Np. gdy X1, X2, …, Xn mają niezależne rozkłady jednostajne na przedziale (0, 1), to      > ≤ < ≤ = 1 dla 1 1 0 dla 0 dla 0 ) ( y y y y y G n

Gęstość tego rozkładu wyraża się wzorem

   < < ≥ ≤ = ₋ 1 0 dla 1 0 dla 0 ) ( ₁ y ny y oraz y y f _n b) Y = min(X1 , X2,…, Xn) ma rozkład o dystrybuancie

[

(1 ( )) (1 ( )) ... (1 ( ))

]

1 ) , ,...., , ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 2 1 2 1 y F y F y F y X y X y X P y Y P y Y P y G n n − ⋅ ⋅ − ⋅ − − = = ≥ ≥ ≥ − = ≥ − = < =

Np. gdy X1, X2, …, Xn mają niezależne rozkłady jednostajne na przedziale (0, 1), to

     > ≤ < − − ≤ = 1 dla 1 1 0 dla ) 1 ( 1 0 dla 0 ) ( y y y y y G n

Gęstość tego rozkładu wyraża się wzorem

   < < − ≥ ≤ = ₋ 1 0 dla ) 1 ( 1 0 dla 0 ) ( 1 y y n y oraz y y f _n

Rozkłady funkcji od rozkładu normalnego. (X1 , X2 , X3 ,...., Xn) - rozkład normalny.

Y = g(X1 , X2 , X3 ,...., Xn), należy wyznaczyć rozkład Y. Przykład. Y = a1X1 + a2X2 + a3X3 +....+ a3Xn + b n = 2 2 2 2 ) ( 2 1 ) ( y y m y y e y g σ π σ − − = gdzie: my = a1m1 + a2m2 + b, 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 σ σ σ σ σ_y =a +a + a a r ,

Przez indukcję można pokazać, że dla dowolnego n Y ma rozkład normalny o parametrach: my = a1m1 + a2m2 + ... +anmn + b,

∑

∑

< + = j i j i ij j i i i y a σ a a rσ σ σ2 2 2 2 , Przykład. X1 , ..., Xn - niezależne, o rozkładzie N(0, 1). Y_n=X₁2+ +X_n2

.... ma rozkład chi kwadrat

N n∈        ≤ >       Γ = − − 0 0 0 2 2 ) ( 2 2 1 2 x x n e y y f n y n EX = n; D2X = 2n

Przykład.

X - N(m, σ), Y = eX

Ma rozkład logarytmiczno-normalny.

Nazwa pochodzi stąd, że X = lnY ma rozkład normalny.

ZADANIA

Zadanie 1

Wyznaczyć rozkład sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Poissona z parametrami λ1, λ2.

(odp. Jest to rozkład Poissona z parametrem λ1 + λ2) Zadanie 2

Wyznaczyć rozkład różnicy dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym z parametrem a.

(odp. Jest to rozkład Laplace'a: _{( )} 2

y a ae y g − = ) Zadanie 3

System składa się z 2 układów z których każdy ma czas bezawaryjnej pracy określony rozkładem wykładniczym Xi o parametrze ai niezależnym od drugiego układu. Wyznaczyć rozkład bezawaryjnego czasu pracy całego systemu (system działa jeśli oba układy pracują). Y = min(X1 , X2 )

Odp. Jest to rozkład wykładniczy o parametrze a1 + a2. Zadanie 4

System składa się z 2 układów, czas włączenia tych układów ma rozkład wykładniczy Xi o parametrze ai niezależnym od drugiego układu. System zaczyna działać dopiero gdy włączą się oba układy. Wyznaczyć rozkład czasu rozpoczęcia pracy całego systemu. Y = max(X1 , X2 ). (odp. ( )= 1 1

(

1− 2

)

+ 2 2

(

1− 1

)

>0 − − − − _{e a e e y} e a y g ay a y ay ay

Nie jest to rozkład wykładniczy) Zadanie 5

Wyznaczyć gęstość rozkładu logarytmiczno-normalnego.

(odp. 0 2 1 ) ( 2 2 2 ) (ln ≥ = − − y e y y g m y σ π σ ) Zadanie 6

Wykonujemy niezależnie pomiar oporności R oraz prądu I (znamy błędy względne a R DR R= = δ , b I DI I= =

δ ). Następnie na tej podstawie chcemy ocenić poziom napięcia U = I⋅R, oraz wartość mocy P = I2R.

(odp. Y = (U, P) = T(R, I) gdzie _      =           ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = IR I R I I P R P I U R U T 2 2 ,       + + + + = _{2 2 3 2 2 2 4 2} 2 3 2 2 2 2 2 2 ) 4 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( R I b a R I b a R I b a R I b a K_Y , 2 2 2 2 2 2 4 2 b a b a b a + + + = ρ ) Zadanie 7

Przy równoległym łączeniu ogniw prąd w obwodzie określony jest wzorem:

n

W

R

E

I

+

=

E - siła elektromotoryczna ogniwa, W - jego opór wewnętrzny, n - ilość ogniw, R - opór zewnętrzny.

Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję prądu jeśli E, R, W są niezależne i dane są ich wartości oczekiwane oraz odchylenia standardowe.

Zadanie 8

X, Y - niezależne zmienne losowe o rozkładzie określonym funkcją prawdopodobieństwa P(X = 0) = 1/2, P(X = 1) = 3/8, P(X = 2) = 1/8,

Wyznacz funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X + Y.

Zadanie 9

a) X, Y - niezależne zmienne losowe o rozkładzie jednostajnym w [0, 1].

Wyznacz gęstość zmiennej losowej X + Y. Wyznacz parametry tej zmiennej losowej. b) X, Y, Z - niezależne zmienne losowe o rozkładzie jednostajnym w [0, 1].

Wyznacz gęstość zmiennej losowej X + Y + Z. Wyznacz parametry tej zmiennej losowej. Zadanie wykonaj stosując splot gęstości a wynik sprawdź za pomocą funkcji charakterystycznych.

Naszkicuj i porównaj wykresy gęstości zmiennych losowych

X, X + Y, X + Y + Z.

Zauważ, że gdy rośnie liczba rozpatrywanych składników, wykres gęstości staje się podobny do krzywej Gaussa.

Zadanie 10

X - zmienna losowa odpowiadająca mierzonej wielkości (zakładamy, że ma rozkład jednostajny w [0, 8]), Y - niezależna od X zmienna losowa opisująca błąd pomiaru (zakładamy, że ma rozkład normalny N(0, 1)).

Wyznacz gęstość zmiennej losowej odpowiadającej wynikowi pomiaru U = X + Y. Wyznacz parametry tej zmiennej losowej.

Zadanie wykonaj stosując splot gęstości a wynik sprawdź za pomocą funkcji charakterystycznych.

Naszkicuj wykres gęstości zmiennej losowej X + Y.