Ruch okresowy

http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html

Wykład FIZYKA I

9. Ruch drgający swobodny

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Katedra Optyki i Fotoniki

Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska

RUCH DRGAJĄCY

 Drganie (ruch drgający) – ruch (lub zmiana stanu), który charakteryzuje się powtarzalnością w czasie wielkości fizycznych, określających ten ruch lub stan (np. położenie, prędkość).

 Drganie okresowe (periodyczne) – powtarzanie zachodzi zawsze po tym samym czasie _{T, zwanym okresem.}

 Drganie [okresowe] harmoniczne – położenie ciała opisuje funkcja sinus (bądź kosinus):

 

t



A





t







x

sin

są również funkcjami harmonicznymi!

 

t



A







t







v

cos

 

t

A

sin



t



x

(

t

)

DRGANIA HARMONICZNE

 Przypomnienie:

Druga zasada dynamiki Newtona:

m

F

dt

x

d

a





 Ruch harmoniczny to taki, dla którego:

Siła jest proporcjonalna do wychylenia (z położenia równowagi) i przeciwnie do niego skierowana (prawo Hooke’a). _{F - siła harmoniczna}

x

k

F









 Ogólne równanie różniczkowe drgań harmonicznych:

   

x

t

x

 

t

dt

t

x

d













 Wykładniczy sposób zapisu rozwiązania równania drgań harmonicznych:

 

t



A



i





t









DRGANIA HARMONICZNE

 Wielkości opisujące ruch harmoniczny prosty (drgania harmoniczne):

 

t



A





t







x

sin

- A jest amplitudą drgań (maksymalną zmianą względem położenia

równowagi);

- (_t+_{) to faza drgań (mierzona w radianach bądź stopniach);} -  ₌₂_{/T to częstość kołowa (pulsacja) (w radianach na sekundę);} -  to faza początkowa.

T







2

- Częstotliwość drgań: (Hz – herc)





2

1





T

f

DRGANIA HARMONICZNE - PRZYKŁADY



Wahadło matematyczne:

Punkt materialny, zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici;



sin

g

g







l

s









g

g

dt

d

l

dt

s

d

_

_

_

_

_

sin

g

l

T



2



DRGANIA HARMONICZNE - PRZYKŁADY



Wahadło fizyczne:

Ciało doskonale sztywne, które pod działaniem własnego ciężaru waha się dookoła osi poziomej, nie przechodzącej przez środek ciężkości ciała;

mgL

I

T



2



DRGANIA HARMONICZNE - PRZYKŁADY



Sprężyna:

F



x

k

F









 

t

x

m

k

dt

x

d

_

_

m

k

T



2



x



DRGANIA HARMONICZNE - PRZYKŁADY



Obwód LC:

0





U

U

_

_

₀

dt

dI

L

C

q

dt

dq

I



0

1





q

LC

dt

q

d

LC

T



2



SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH

 Zasada superpozycji: Jeżeli ciało podlega jednocześnie dwóm drganiom, to jego wychylenie jest sumą wychyleń, wynikających z każdego ruchu.

 Składanie drgań harmonicznych, odbywających się wzdłuż jednej prostej:

1) przypadek dwóch ruchów harmonicznych, odbywających się z jednakową częstością :





1

1



A

cos



t





SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH

gdzie:

Wypadkowa jest drganiem z tą samą częstością!





x

x

A

t

x







cos











cos

2













A

A

A

A

A

cos

cos

sin

sin











A

A

A

A

tg







 Amplituda drgania wypadkowego zależy od różnicy początkowych faz (₂-₁) drgań składowych. Jeśli ta różnica nie zmienia się z upływem czasu, to takie drgania synchroniczne nazywamy koherentnymi.

SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH





cos

2













A

A

A

A

A

• Różnica faz drgań składowych równa się zeru albo całkowitej wielokrotności 2:











k



2

_k



₀

_,

₁

_,

₂

_,...

Maksymalna amplituda drgań jest sumą amplitud drgań składowych.

SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH





cos

2













A

A

A

A

A

• Różnica faz drgań składowych równa się nieparzystej wielokrotności :

,...

2

,

1

,

0



k

Maksymalna amplituda drgań jest różnicą amplitud drgań składowych.



2

1



1

2













SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH

 Przypadek dwóch ruchów harmonicznych, odbywających się z różną częstotliwością: wypadkowa jest prostym drganiem harmonicznym tylko wtedy, gdy stosunek obu częstotliwości można wyrazić liczbą wymierną.

 Przypadek dwóch ruchów harmonicznych (o jednakowej amplitudzie), których częstości różnią się nieznacznie: dudnienia:

 









 

t

t

A

t

A

t

A

x











cos

2

cos

2

cos

cos











 













SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH

 Jeśli różnica faz _2(t)-_{1(t) drgań składowych zmienia się z upływem} czasu w sposób dowolny, to amplituda drgań wypadkowych zmienia się z upływem czasu i nie ma sensu w ogóle mówić o składaniu amplitud. Jest to tzw. niekoherentne składanie drgań.

 Drgania typu:

nazywamy modulowanymi.

 

t

A

 

t



t

 

t



x



cos







1) modulowana faza (częstość) – FM:

A



const



 

t





const

max

A

dt

ANALIZA HARMONICZNA

 Analiza harmoniczna – to sposób na przedstawienie złożonych drgań modulowanych w postaci szeregu prostych drgań harmonicznych.

 G. Fourier: dowolne drganie złożone można przedstawić jako sumę prostych drgań harmonicznych o wielokrotnościach pewnej podstawowej częstości kątowej :

 

_











n

t

A

t

x

sin





W ogólnym przypadku, liczba wyrazów w szeregu Fouriera jest nieskończona (możemy wtedy przejść do całek zamiast sum), ale istnieją takie drgania, dla których szeregi Fouriera nie zawierają pewnych wyrazów.

SKŁADANIE PROSTOPADŁYCH

DRGAŃ HARMONICZNYCH

 Załóżmy, że punkt materialny uczestniczy jednocześnie w dwóch drganiach harmonicznych, odbywających się z jednakowymi częstościami

 w dwóch kierunkach wzajemnie prostopadłych:

 

t

A



t



x



sin







 

t

A

_y



t

_y



SKŁADANIE PROSTOPADŁYCH

DRGAŃ HARMONICZNYCH

1) Początkowe fazy obu drgań są jednakowe:

Można tak ustawić odczyt czasu, żeby były równe zeru:

0





x





Dzieląc stronami:

 

_x

A

A

x

y



 

t

A



t



x



sin







y

 

t



A

sin





t







SKŁADANIE PROSTOPADŁYCH

DRGAŃ HARMONICZNYCH

2) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa



:

Dzieląc stronami: - linia prosta

 

t

A



t



x



sin







y

 

t



A

sin





t

















 

x

A

A

x

y





SKŁADANIE PROSTOPADŁYCH

DRGAŃ HARMONICZNYCH

3) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa



/2:

I ostatecznie: - elipsa

 

t

A



t



x



sin







y

 

t



A

sin





t







_x

 

_t



_A

_cos

 



_t

_y

 

_t

_A

 

_t

sin





1





A

y

A

x

SKŁADANIE PROSTOPADŁYCH

DRGAŃ HARMONICZNYCH

4) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa 3



/2 :

I ostatecznie: - elipsa

 

t

A



t



x



sin







y

 

t



A

sin





t







Wtedy:

x

 

t





A

cos

 



t

y

 

t



A

sin

 



t

1





A

y

A

x

SKŁADANIE PROSTOPADŁYCH

DRGAŃ HARMONICZNYCH



Inne różnice faz

– również elipsy, ale o osiach nie pokrywających się z osiami układu współrzędnych.

 W przypadku ogólnym – dowolne częstości, amplitudy, fazy – mamy do czynienia z tzw. figurami Lissajous.