Charakterystyka stabilności przepływu, ze zmiennym profilem prędkości, płynu o skończonym przewodnictwie elektrycznym w polu magnetycznym

I STOSOWANA 3, 9 (1971)

C H AR AK TE R YSTYK A ST ABI L N O Ś CI P R Z E P Ł YWU ,  Z E Z M I E N N YM P R O F I L E M P R Ę D K O Ś C I, P Ł YN U  O S K O Ń C Z O N YM P R Z E WO D N I C T WI E

E L E K T R YC Z N YM W  P O L U  M AG N E T YC Z N YM

Z BIG N IEW  K Ł O S (WARSZAWA)

Badaniu zagadnienia stabilnoś ci przepł ywu równoległ ego ze zmiennym profilem prę d-koś ci (przepł yw ś cinają cy) poś wię conych był o wiele prac analizują cych tak bezdysy-patywne [1, 2, 3], jak i dysypatywne [4] ukł ady hydrodynamiczne. Zagadnienie to był o także badane dla ukł adów magnetohydrodynamicznych. D la hydrodynamicznego, bezdysypatywnego, warstwowego przepł ywu nieś ciś liweg o dostatecznym warunkiem sta-bilnoś ci jest speł nienie w cał ym obszarze przepł ywu nierównoś ci J(z) > 1/4 (gdzie / (z) =

=  liczba Richardsona dla danego przepł ywu). Okazał o się  przy tym (porównaj [2]), że moduł y urojonych prę dkoś ci fazowych dowolnych modów niestabilnych zawarte są  w pół -kolu, którego prom ień okreś lony jest przez granice zmian wartoś ci prę dkoś ci przepł y-wu U(z).

W ram ach m agn etohydrodyn am iki zagadnienia stabilnoś ci przepł ywu warstwowego był y rozważ ane przede wszystkim dla ukł adów bezdysypatywnych w jednorodnym [5, 6, 7], jak i niejednorodnym zewnę trznym polu magnetycznym. Szczególnie rozlegle badano niestabilność przepł ywu ze schodkową  funkcją  profilu prę dkoś ci, tzw. niestabilność Kel-vina- H elmholtza [5, 7].

AG RAVAL [8], dla bezdysypatywnego przepł ywu z cią gł ym profilem prę dkoś ci U(z) i gę stoś ci Q(Z) znalazł , że prę dkoś ci zespolone modów niestabilnych również leżą  w pewnym pół kolu, analogicznie jak dla przepł ywu hydrodynamicznego, przy czym promień tego pół kola zredukowany jest przez wpł yw zewnę

trznego pola magnetycznego. Przy polu ma-gnetycznym speł niają cym w cał ym obszarze przepł ywu warun ek: A > (Umax—Umin)/ 2

(gdzie A — liczba Alfvena dla przepł ywu), przepł yw pozostaje stabilny dla dowolnych liczb Richardsona.

Pewną  charakterystykę  przepł ywu typu ś cinają cego podał  WIELICHOW [9], rozważ ając asymptotyczne rozwią zania równ ań przepł ywu z uwzglę dnieniem lepkoś ci i skoń czonej przewodnoś ci elektrycznej (dla duż ej magnetycznej i hydrodynamicznej liczby Reynoldsa). Analizę  modów niestabilnych przeprowadził  WIELICH OW dla nieskoń czonej przewodnoś ci elektrycznej.

W przypadku przepł ywu pł ynu o skoń czony m przewodnictwie elektrycznym w zew-nę trznym polu magnetycznym — pł yn dyfunduje poprzez linie sił  pola burzą c tym samym

Interesują ce jest jakie wł asnoś ci posiadają mody niestabilne dla przepł

ywu ze skoń-

czonym przewodnictwem elektrycznym i jak pole magnetyczne zmienia kryterium sta-bilnoś ci takiego przepł ywu.

Poniż ej rozpatrzymy przepł yw ze zmiennym profilem prę dkoś c

i pł ynu nielepkiego

i nieś ciś liweg

o o skoń czony

m przewodnictwie elektrycznym w zewnę trzny

m jednorodnym

polu magnetycznym. Zał oż ymy przy tym, że przepł

yw jest ograniczony dwiema równole-gł ymi, sztywnymi pł aszczyznami o doskonał ym przewodnictwie elektrycznym.

Magnetohydrodynamiczne równania przepł ywu pł ynu nieś ciś liwego

, nielepkiego o skoń-czonym przewodnictwie elektrycznym mają postać

= 0;

m.

4^+ (uV)H  =  H xVu- Vx \ - £— VXH  L

dt

 \ _Ana J

gdzie u — wektor prę dkoś c

i przepł ywu; H  — wektor pola magnetycznego; p — ciś nienie,

X —•  wersor sił

y grawitacyjnej; g — przyspieszenie grawitacyjne; a — przewodnictwo elek-tryczne, jM — przenikalność magnetyczna.

D o rozważ ań ustalimy kartezjań sk

i ukł ad współ rzę dnych x, y, z, kierując oś x zgodnie

z zewnę trzny

m jednorodnym polem magnetycznym  H

. Przyjmiemy również, że kierunek

prę dkoś c

i przepł ywu niezaburzonego jest zgodny z  H

, a jej wartość zmienna w kierunku

prostopadł ym do przepł ywu, tzn.J U  =  [U

(z), 0, 0]. P onadto zakł adany, że gę stoś ć

,

ciś nienie, jak i przewodnictwo elektryczne przepł ywu niezaburzonego, są zmienne wzdł uż

a  = a

(z

)-W celu zbadania stabilnoś ci tak okreś lonego przepł ywu posł uż ymy się teorią liniową.

Zał oż ymy

, że w wyniku zaburzeń wartoś ci parametrów przepł ywu ustalonego doznał y

mał ych przyrostów, mianowicie

(2) u *= U

- fu ', H  =   H

+ h ' , p=Po+p', Q=Qo+Q',

przy czym, ponieważ parametry przepł

ywu niezaburzonego są jedynie funkcją z, zaburze-n ie / ' dowolywu niezaburzonego są jedynie funkcją z, zaburze-nego parametru w rozł oż eywu niezaburzonego są jedynie funkcją z, zaburze-niu ywu niezaburzonego są jedynie funkcją z, zaburze-na mody ywu niezaburzonego są jedynie funkcją z, zaburze-normalywu niezaburzonego są jedynie funkcją z, zaburze-ne ma postać

(3)  / ' =  / (z)exp [i(k

x+k

y- k

 et)],

gdzie k

, k

 — skł adowe wektora falowego (rzeczywiste), zaś c jest prę dkoś ci

ą fazową

zaburzenia (w ogólnoś ci zespoloną ). W ramach analizy liniowej znak czę ś c

i urojonej prę

d-koś ci okreś la nam narastanie (Imc > 0) lub tł umienie (Imc < 0) zaburzenia.

Podstawiając do ukł adu równań (1) wyraż enia (2) i linearyzują c, otrzymujemy ukł ad

równań na wielkoś ci zaburzeń parametrów przepł ywu, przy czym poszukujemy rozwią zań

w postaci (3). Po przekształ ceniach i wyeliminowaniu róż nych niewiadomych otrzymujemy

(por. [4, 9]) dla skł adowej u'

 zaburzenia prę dkoś c

i przepł ywu i h'

 — pola magnetycznego

(4)

gdzie

P o wprowadzeniu nowej zmiennej w = U'JW , W  = UQ—c i przejś ciu do wielkoś

ci bez-wymiarowych

h* — z

 W * — r* —  - i — n* —  Ł o

• "O  ^ c  Ue  gc

/ c*, A:*, fe*, D * =  d(k, kx, ky, D),

gdzie Uc, Qc, d — odpowiednie wielkoś ci charakterystyczne dla prę dkoś ci przepł ywu,

gę stoś ci i dł ugoś ci (w dalszym cią gu opuszczać bę dziemy gwiazdki przy wielkoś ciach bezwy-miarowych), równania (4) przybiorą  postać 7,2

gA

(D

~k

)h =  "

— K

Stabilność ukł adu opisanego równaniam i badać bę dziemy przy konkretnych warunkach brzegowych. Przyjmiemy, że przepł yw ograniczony jest dwiema sztywnymi, wzajemnie równoległ ymi pł aszczyznami o doskonał ym przewodnictwie elektrycznym, poł oż onymi symetrycznie wzglę dem pł aszczyzny xy (tzn. z =  ±d) przyję tego ukł adu kartezjanskiego. Tak wię c, na granicy znikać muszą  skł adowe normalne zaburzeń prę dkoś ci i pola magne-pycznego. Otrzymujemy stą d, że n a granicy (w jednostkach bezwymiarowych przy z — ±1)

(6) w =  0; h =  0.

Jak wpom niano wyż ej dla modów niestabilnych urojona czę ść ct zespolonej prę dkoś ci

fazowej zaburzenia jest dodatn ia. Aby scharakteryzować pewne wł aś ciwoś ci tych modów, pomnóż my równanie (5)i przez w (w — sprzę ż ona wartość do w) i scał kujmy stronami

+ 1 + 1 + 1 (7) _ f A2 ew(D2 - k2 )hdz = f eW 2 [\ Dw\2 +k2 \ w\2 ]dz+ J G(Dg)\ w\2 dz, - 1  - 1  - 1 gdzie I •  I oznacza moduł  danej wartoś ci.

Wykorzystują c równanie (5)2 jak i warunki (6), cał kę

 z lewej strony równania (7) prze-kształ cimy nastę pują co:

+ 1 + 1 J A2Q\ v(D2- k2)hdz =  -  /  A2Q[\ Dw\2+k2\ w\2 ]dz-- 1  ]dz-- 1 + i +1 -  /  A2 S[iS- k 2 \ S\2 ]\ (D2 - k2 )h\2 dz+ f A2 Q\ D[S{D2 ~k2 )h}\2 dz, - t  - 1 gdzie S= W I(Rmkx\ W \ 2 .

Równanie (7) przyjmuje wię c ostateczną  postać

+1 + 1 -  J A2 Q[iS- k2 \ S\2 ]\ (D2 ~k2 )h\2 dz+ J A2 e\ D[S{D2 - k2 )h]\2 dz = =  f Q[A2 - W2 ][\ Dw\2 +k2 \ w\2 ]dz-  j G^- ^ 1 x

f j

U wzglę dniają c, że W — U—c= (U—cr)—ki, z równ an ia (8) po przyrównaniu jego

czę ś ci urojonych otrzymamy zależ ność

(9) J

D la modów niestabilnych cf > 0, a wię c wyraż enie w nawiasie klamrowym' 1

 równ an ia (9) jest dodatnie w cał ym obszarze przepł ywu; a zatem dla tych m odów czę ść rzeczywista prę dkoś ci fazowej winna być ograniczona warunkiem

Umln<cr< Umax,

gdzie i7r a ln — minimalna, zaś UmS uK — maksymalna wartość prę dkoś ci przepł

ywu w prze-dziale ograniczają cym przepł yw —1  < z <  + 1 . Powyż sze ograniczenie n a cr

 jest iden-tyczne, jak w przypadku przepł ywu pł ynu o nieskoń czonym przewodnictwie elektrycznym [8, 9], jak i w przypadku przepł ywu hydrodynamicznego [2].

Porównują c czę ś ci rzeczywiste równania (8) otrzymujemy z kolei zwią zek

+ 1 _p +1 \

+

J

=  f

[A

- (U- c

)

+cf][\ Dw\

+k

\ w\

]dz+ j G~{D

)\ w\

dz.

D la modów niestabilnych (ą  > 0) lewa stron a równoś ci (10) jest dodatn ia. W przypadku przepł ywu gdzie DQ < 0 (wzrost gę stoś ci zgodnie ze zwrotem sił y grawitacyjnej) drugi

czł on po prawej stronie równoś ci (10) jest również dodatni. Z nak pierwszego czł onu pra-wej strony, przy ustalonym profilu prę dkoś ci U(z), zależy od wartoś ci liczby Alfvena, jak i od prę dkoś ci fazowej m odów niestabilnych. Czł on ten bę dzie dodatni dla modów o duż ych prę dkoś ciach n arastan ia ct > (UmStX— Umin), a wię c równość (10) dopuszcza

istnienie tych m odów przy dowolnej wartoś ci liczby Alfvena. Wynika stą d, że w przypadku skoń czonej przewodnoś ci elektrycznej, zewnę trzne pole magnetyczne nie może w peł ni zabezpieczyć przepł ywu przed wystą pieniem niestabilnoś ci. Przy doskonał ym przewodnic-twie elektrycznym równanie (10) sprowadza się  do równania dyskutowanego przez Agra-wala [8] (lewa stron a staje się  równa zeru) i wtedy wyraź nie widać, że pole magnetyczne może stabilizować przepł yw.

Peł na charakterystyka m odów niestabilnych sprowadza się  do dokł adnego zbada-nia równań (5), co jest równoznaczne z badaniem problemu wł asnego dla operatora linio-wego czwartego rzę du o zmiennych współ czynnikach. Wiadomo, że jest to problem bardzo trudny.

Z badamy wię c powyż sze równania w pewnym granicznym przypadku, mianowicie dla sł abego pola magnetycznego A - 4 1 i dobrej przewodnoś ci elektrycznej R,„ > 1 przy zaburzeniach o duż ej liczbie falowej k > 1.

W tym granicznym przypadku równania (5) upraszczają  się  w wyniku dopuszczalnego przyję cia, że A2 D2 h <ś A2 k2 h oraz D2 h/ R,„ <^ k2 h/ Rm  (przyjmujemy bowiem dla ma-ł ych zaburzeń ma (przyjmujemy bowiem dla ma-ł ość ich pochodnych), do postaci k2

O D

 **"'

a nastę pnie podstawiamy t o wyraż enie do pierwszego z równań (11), przy czym wprowa-dzamy nową  zmienną  zdefiniowaną  jako

speł niają cą  identyczne warunki brzegowe, tzn. F(— 1) =  F(- \ - 1) =  0. Tak uzyskane równanie mnoż ymy stronam i przez Fi cał kujemy w przedziale ograniczonoś ci przepł ywu (—1, + 1) . W rezultacie otrzymujemy zależ ność .. + 1 , •   + i

j

W[\ DF\

+k

\ F\

]dz+-

 f D(

DU)\ F\

dz+

(13) gdzie

(14)

Ponieważ dla modów niestabilnych ct > 0, pierwszy skł adnik w nawiasie klamrowym

równania (13) jest dodatni, to (przyjmują c, że DU ^ 0 w cał ym obszarze przepł ywu) przy speł nieniu warunku

w cał ym obszarze przepł ywu, mody niestabilne wystę pować nie mogą . Oczywiś cie t ak jest w granicznym przypadku A - ^ 1, Rm > 1, k > 1. Warunek (15) ł

atwo przechodzi w wa-runki stabilnoś ci przepł ywu uzyskane poprzednio. Przy A = 0 warunek (15) redukuje się do kryterium stabilnoś ci w przepł ywie hydrodynamicznym [1, 2, 5]. N atom iast przy zał o-ż eniu Rm - •  oo warunek (15) sprowadza się  do uzyskanego przez Agravala kryterium przy

sł abym polu magnetycznym.

Analizują c (15) widzimy, że wpł yw sł abego pola magnetycznego jest stabilizują cy, tzn. stabilność przepł ywu może być oczekiwana przy liczbach R ichardson a mniejszych niż 1/4. N a stabilność wpł ywa także wielkość M, która zależy również od prę dkoś ci n arastan ia zaburzenia c,.

k2

D la modów niestabilnych o bardzo duż ych prę dkoś ciach n arastan ia ą  $> waru-nek (15) przybiera postać identyczną , jak w przypadku nieskoń czonego przewodnictwa elektrycznego.

Z postaci zależ noś ci M(z) okreś lonej przez (14) wynika, że dla danego m odu niestabil-nego charakteryzowanego przez k, cr, ct (przy zał oż eniu DU =^ 0; Rm = const w cał ym

obszarze przepł ywu), SMJdz — 0 w punkcie rezonansowym zo(— 1 < zQ < + 1

) — okreś-lonym przez warunek U(z0) =  cr (prę dkość fazowa m odu równ a się  prę dkoś ci przepł ywu

w tym punkcie). W punkcie tym M(z) przybiera wartość minimalną  (82 M/ dz2

 > 0) w ob-/  k2

  T1

szarże przepł ywu równą  Mmin = 11 - \  I . Widać, że dla dowolnych m

odów niesta-\  CikxRm I

bilnych Mmin(Ci) < 1, przy czym Mmin osią ga wartoś ci wię ksze dla m odów o duż ych prę

d-koś ciach n arastan ia c; > k 2

fkxRm, natom iast mniejsze dla m odów o mał ych prę dkoś ciach

narastania. Aby mody niestabilne wystą pić nie mogł y, nierówność (15) winna być speł nio-n a w cał ym obszarze przepł ywu (równio-nież w punio-nkcie z0); widać wobec tego, że skoń czone

przewodnictwo ogranicza stabilizują cy wpł yw pola magnetycznego  ( Mm i n < 1) n a m ody

Reasumują c powyż sze stwierdzamy, że skoń czona wartość przewodnictwa elektrycz-nego w przepł ywie równoległ ym modyfikuje warunki stabilnoś ci tego przepł ywu.

D la rnodów niestabilnych, których propagacja jest dopuszczalna, czę ść rzeczywista prę dkoś ci fazowej winna być ograniczona warunkiem Umlu < cr < UmBX. Warunek ten

jest identyczny, jak w przypadku przepł ywu z doskonał ym przewodnictwem elektrycznym czy też przepł ywu hydrodynamicznego.

Zewnę trzne pole magnetyczne nie może zabezpieczyć w peł ni przepł ywu z dowolnym profilem prę dkoś ci U(z) przed wystą pieniem niestabilnoś ci, gdyż przy dowolnej wartoś ci liczby Alfvena dopuszczalna jest propagacja modów niestabilnych o dostatecznie duż ej prę dkoś ci n arastan ia ct > (Umax—Umia).

P rzeprowadzona analiza przypadku ze sł abym zewnę trznym polem magnetycznym A < 1 i dobrą  przewodnoś cią  elektryczną  R,„ > 1, pokazał a, że dla modów o duż ej liczbie falowej k > 1 pole magnetyczne wykazuje efekt stabilizują cy przepł yw typu ś cinają cego. U zyskane bowiem kryterium (15) pokazuje, że przepł yw może być stabilny przy liczbie Richardsona mniejszej niż 1/4. Literatura cytowana w tekś cie 1. J. W. MILES, J. Fluid Mech., 10 (1961), 496. 2. L. N . HOWARD, J. Fluid Mech., 10 (1961), 509. 3. P . G . DRAZIN , L. N . HOWARD, Hydrodynatnic stability of parallel flow of invisced fluid, Advances in Applied Mechanics, 9, (1966). 4. R. BETCHOV, W. O. CRIMINALS, Stability of Parallel Flows, New York- London 1967. 5. S. CHANDRASEKHAR, Hydrodynatnic and Hydromagnetic Stability, Oxford 1961. 6. A. KEN T, Stability of laminar magnetofluid flow along a parallel magnetic field, J. Plasma Physics, 4 (1968), 543. 7. R. A. GERWIN, Rev. and Phys., 40 (1968), 652. 8. S. C. AORAVAL, C. S. AGRAVAL, Hydromagnetic stability of heterogenous shear flow, J. Phys. Soc. Japan, 1, 27, (1969).

9. E . I I . BEJIHXOB, ycmounmocmb njtocKOio nya3euneea menemtn udea/ iino npoeodmą eu otcuÓKocmu « npo-MazHunmoM noAe, 5K.3.T.<t>., A, 36 (1959).

P e 3 IO M e

XAPAKTEPH CTH KA YC T O n ^ H BO C T H  T E ^ E H H fl C IIEPEM EH H LIM n P 04> H H E M CKOPOCTEfl H H flK O C T H  C KOH E^IH OH  3JIEKTPOnPOBOflH OCTLK)

B M ATH H TH OM n O JI E

B paSoTe H3y^aeTCH VCTOIFHIBOCTB TeieH H a co C^BUTOM npoBOflflmeS »HflKocTH BO BHeumeM ofliio-poflHOM MarHHTHOM nojie. H 3 ypaBHeimft MamHTHOH rHflpoflHHaiMHKH nony^ieHo ycnoBHe ffrca

TejIŁHOH MaCTH (J)a30B0H CKOpOCTH HeyCTOlfaHBŁDC B03MymeHHH. PaCCMOTpeH CJiyraH CO CJia6bIM HHTHbiM nojieM H xopom en npoBOflHiwocTBiOj / HIE Koioporo nojryqeHO flocTaio^Ho ycjioBHe ycTOHiHBocTH

A F LU ID  WITH  F IN ITE ELECTRICAL CON D U CTIVITY I N  A M AG N ETIC F IELD The problem of stability of dissipative shear- flow of a fluid with finite electrical conductivity is investi- gated in the presence of applied uniform magnetic field. Starting from the magneto hydrodynamic equa-tions, the condition for the real part of the complex phase velocity of instability modes is obtained. The analysis is also carried for the case of weak magnetic field and very high electrical conductivity. I n such a case the sufficient condition for stability has been formulated.

ZAKŁAD  G EOF IZYKI PAN WARSZAWA