Zmienne stanu

(1)

ANALIZA SCHEMATÓW BLOKOWYCH OPIS UKŁADÓW ZA POMOCĄ ZMIENNYCH STANU

Zadanie 1 (Zmienne stanów i schematy blokowe układów)

Problem:

Wyznaczyć transmitancję od u do y układu:

Rozwiązanie:

(2)

2) Łączymy szeregowo G1 i G2 :

3) Łączymy równolegle H1 i 1/G2:

4) Przesuwamy węzeł przed blok H1+1/G2:

(3)

6) Upraszczamy połączenie równoległe po prawej stronie:

7) Upraszczamy sprzężenie zwrotne:

8) Łączymy szeregowo pozostałe dwa układy:

Po podstawieniu poszczególnych transmitancji do wzoru otrzymamy transmitancje wypadkową:

1

2

3

2

1

2 )

(

₄ ₃ ₂ 2

+

=

s

G

(4)

Zadanie 2 (Zmienne stanów i schematy blokowe układów)

Problem:

Napisać równanie stanu i równania wyjścia dla zmiennych stanu z rysunku:

Rozwiązanie:











−

⋅

+

=

−

⋅

=

+

⋅

=

+

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

)

(

4

1 )

(

)

(

1 )

(

1

2

1

3 3 1 4 4 2 4 2 2 3 1 1 1 2 4 4 2 1

x

u

s

x

u

G

x

s

x

H

x

s

x

H

x

s

x

G

x

(1)













+

⋅

−

=

⋅

⇒

−

=

⋅

+

⋅

+

=

⋅

=

⋅

=

⋅

u

x

s

x

u

x

s

x

s

x

s

x

s

4 3 4 3 4 4 4 2 3 1 2 4 1

4

2

1

(2) ) ( ) ( 4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 ) ( 4 3 4 4 2 3 1 2 4 1 t u t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x + ⋅ − − = + = = ⋅ = (3)

(5)

Równanie stanu: =             4 3 2 1 x x x x & & & & * 4 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 4 4 4 3 4 4 4 2 1 A               − − +             4 3 2 1 x x x x

{

u

B

*

1

0

0 













(4) Równanie wyjścia: 4 2 1 x x x u D x C y= ⋅ + ⋅ = + + (5)

[

]

            ⋅ = 4 3 2 1 1 0 1 1 x x x x y (6)

Przykłady przekształcania transmitancji na zmienne stanu

Metoda bezpośrednia

Przykład 1

_{Równanie zmiennych stanu}

[ ] [ ] [ ] [

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

y

x

u

x

y

u

x

u

x

⋅

+

⋅

−

=

+

−

=

⋅

+

⋅

−

=









+

−

=

• • •

1

1 1 1 1

]

) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( ) ( ) ( 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 ) ( s E s s U s E s E s s E s s E s U s E s s U s E s Y s E s Y s s U s U s Y s s s s s s s s G ⋅ − = ⋅ + =     + ⋅ = = + = = = + = + = ⋅ + + =

Mnożąc licznik i mianownik transmitancji przez s-n otrzymamy n n n n n n

s

a

s

a

s

a

s

b

s

b

s

b

s

U

s

Y

s

G

₋ ₋ ₋ − − − − −

+

=

0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

...

1 ...

)

(

)

(

)

(

prz

y czym Y(s) i U(s) są odpowiednio transformatą Laplace’a odpowiedzi i wymuszenia.

W zależności mamy:

)

(

)

...

(

)

(

1 ₀ 1 1 1

s

b

s

b

s

E

s

b

s

Y

n n n − − − −

+

=

przy czym n n n

s

a

s

a

s

a

s

U

s

E

₋ ₋ ₋ −

+

=

0 1 1 1 1

...

1 )

(

)

(

Zależność możemy również zapisać w postaci:

)

(

)

...

(

)

(

)

(

1 ₀ 1 1 1

s

a

s

a

s

E

s

a

s

U

s

E

n n n − − − −

+

−

=

(6)

•

x

x1 E(s) s-1 E(s) U(s) Y(s) -1 ∫

Przykład 2

[

]

[

]

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2

)

(

)

(

)

(

)

(

1 )

(

)

(

)

(

1 )

(

)

(

3 )

(

2

3

2 )

(

)

(

)

(

3

2 )

(

)

(

3

2 )

(

1 )

(

)

(

)

(

1

3

2

1

3

2 )

(

)

(

1

3

2 )

(

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

⋅

−

⋅

−

=

+

⋅

=

⇒

=

+

⋅

+

⋅

=

+

⋅

=

+

=

+

=

+

=

+

=

⋅

+

=

+

=

s

E

s

E

s

U

s

E

s

E

s

U

s

E

s

U

s

E

s

E

s

E

s

Y

s

E

s

Y

s

E

s

Y

s

U

s

U

s

Y

s

U

s

Y

s

G

D C

Równanie zmiennych stanu – W następnych przykładach nie będzie one wyprowadzone.

[ ]

[

]

[ ] [ ]

u

x

y

u

x

u

x

y

x

⋅

+













⋅

=

⋅









+













⋅













−

=













+

=

+

−

=

+

=

• • • •

0

2

3

1

0

1

0

2

3

2

2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 B A

(7)

2 E(s) s-1 E(s) s-2 E(s) U(s) _Y(s) ∫ ∫ 2 •

x

1 •

x

3 -1 -1

Przykład 3

[

]

[

]

3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 3 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2

)

(

60 )

(

47 )

(

12 )

(

)

(

60

47

12

1 )

(

)

(

5

4 )

(

)

(

)

(

5

4 )

(

60

47

12

1 )

(

)

(

)

(

60

47

12

1

5

4

60

47

12

1

5

4 )

(

)

(

60

47

12

1

5

4

60

35

5

12

7

1

5

4 )

5 )(

12

4

3 (

1

5

4 )

5 )(

4 )(

3 (

1

5

4 )

(

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

⋅

−

⋅

−

⋅

−

=

+

⋅

=

+

⋅

=

+

=

+

=

+

=

⋅

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

s

E

s

E

s

E

s

U

s

E

s

E

s

U

s

E

s

Y

s

E

s

Y

s

U

s

U

s

Y

s

U

s

Y

s

G

-47 5 -12 -60 4 U(s) E(s) E(s) s-1 E(s) s-2 E(s) s-3 ∫ ∫ ∫ Y(s)

(8)

Przykład 4 Problem:

Układ jednowymiarowy o schemacie ogólnym przedstawionym na rysunku 1., o transmitancji G(s) opisać równaniami stanu i równaniami wyjścia. Narysować schemat blokowy wynikający z obliczeń zmiennych stanów.

Schemat układu jednowymiarowego o wejściach r=1 , wyjściach m=1 i o n=3 równaniach stanu •

x

∫

t )

y(t)

u(t)

A

B

C

Rys.1Schemat ogólny układu _{Transmitancja G(s) to stosunek}

transmitancji sygnału wyjściowego Y(s) do transmitancji sygnału sterującego U(s). Rozwiązanie:

( )

_{( )}

1

2

1

3

2 3 2

+

=

s

U

s

Y

s

G

(1)

Mnożymy licznik i mianownik transmitancji G(s) przez odwrotność najwyższej potęgi w mianowniku

( )

3 3 1 1 2 3 2

1

2

1

3

s s

s

G

+

=

(2)

( )

_{( )}

3 2 3 2

1

2

1

2

1

2

1

3 s

s

U

s

Y

s

G

+

=

(3) Wprowadzamy zmienną E(s) i _{przekształcając równanie (3)}

otrzymujemy poniższą zależność

( )

3 2 3 2

1

2

1

3

1

2

1

2 s

s

Y

s

U

s

E

+

=

+

=

(4) Równania (5) i (6) otrzymujemy przez wymnożenie stronami równania (4)

( )

2

( )

1 2

( )

1₂

( )

1₃ s s E s s E s s E s E s U = + + + (5)

( )

3 ( )

1 ( )

1

₂

2 ( )

1

₃

s

E

s

E

s

E

s

Y

=

+

(6)

Przekształcając równanie (5) otrzymujemy:

( )

( ) ( )

1 2

( )

1

( )

1 :2 2 ₂ ₃ s s E s s E s s E s U s E = − − − (7)

( )

₂

( )

1₃ 2 1 1 1 2 1 s s E s s E s s E s U s E = − − − (8)

(9)

Na podstawie równania (8) wyznaczamy równania stanu w postaci wektorowej: 2 1

1x

x

•

=

(9) 3 2 1x x• = (10) • x E W równaniach (9),(10),(11) występują poniższe podstawienia:

( )

s = 3

( )

s 1 x2 x3 E _s = • =

( )

s 1 1 x1 x2 E _s _s = • =

( )

s

1 1 1

x

1

E

_s _s _s

=

( )

3 2 1 3 2 1 2 1 2 1 x x x s U x• = − − −

( )

s U x x x x 2 1 2 1 2 1 3 2 1 3 =− − − + • (11) Równanie stanu w postaci wektorowo-macierzowej:

( )

s U x x x x x x ⋅           +           ⋅           − − − =             • • • 2 1 3 2 1 2 1 2 1 3 2 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 (12)

Macierz stanu o wymiarach n x n (13)           − − − = 2 1 2 1 ₁ 1 0 0 0 1 0 A (13)           = 2 1 0 0 B (14) Macierz sterowania o wymiarach n x r (14)

Równanie stanu w uproszczonej postaci:

( )

t Ax

( )

t Bu

( )

t x• = + (15) Równanie wyjścia (16) powstało po podstawieniu do równania (6) następujących wyrażeń:

( )

s

1

x

3

E

_s

=

( )

s

1 1

x

2

E

_s _s

=

( )

s

1 1 1

x

1

E

_s _s _s

=

Równanie wyjścia powstało po przekształceniu równania (6): 3 2 1

3

2 x

x

y

=

+

(16)

Równanie wyjścia w postaci macierzowej:

[

]

U

( )

s x x x y + ⋅           ⋅ = 2 1 3 0 3 2 1 (17)

[

2 1 3

]

= C (18) 0 = D (19)

Macierz wyjścia o wymiarach m x n

Równanie wyjścia w uproszczonej postaci:

y(t)=Cx(t) (20)

Stała macierz transformacji o wymiarach m x r

(10)

ys.2 Schemat blokowy układu regulacji spełniający równania stanu i wyjścia dla transmitancji G(s).