Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie (pdf),

(1)

Elektrodynamika

Część 9

Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie

Ryszard Tanaś

Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

(2)

Spis treści

10 Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie 3 10.1 Wprowadzenie potencjałów . . . 3

(3)

10 Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie 10.1 Wprowadzenie potencjałów

10.1.1 Potencjały skalarny i wektorowy

(i) ∇ · E = 1

0 ρ, (iii) ∇ × E = −

∂B ∂t ,

(ii) ∇ · B = 0, (iv) ∇ × B = µ₀J + µ₀₀ ∂E_∂t ,

     równania Maxwella

(4)

(i) ∇ · E = 1

0 ρ, (iii) ∇ × E = −

∂B ∂t ,

(ii) ∇ · B = 0, (iv) ∇ × B = µ₀J + µ₀₀ ∂E_∂t ,

(5)

(i) ∇ · E = 1

0 ρ, (iii) ∇ × E = −

∂B ∂t ,

(ii) ∇ · B = 0, (iv) ∇ × B = µ₀J + µ₀₀ ∂E_∂t ,

Jakie są pola E(r, t) i B(r, t) jeśli znamy ρ(r, t) i J (r, t)?

(6)

(i) ∇ · E = 1

0 ρ, (iii) ∇ × E = −

∂B ∂t ,

(ii) ∇ · B = 0, (iv) ∇ × B = µ₀J + µ₀₀ ∂E_∂t ,

Jakie są pola E(r, t) i B(r, t) jeśli znamy ρ(r, t) i J (r, t)?

B = ∇ × A

∇ × E = − ∂

(7)

∇ × E + ∂A

(8)

∇ × E + ∂A

∂t = 0

E + ∂A

(9)

∇ × E + ∂A ∂t = 0 E + ∂A ∂t = −∇V E = −∇V − ∂A ∂t

(10)

∇ × E + ∂A ∂t = 0 E + ∂A ∂t = −∇V E = −∇V − ∂A ∂t ∆V + ∂ ∂t(∇ · A) = − 1 ₀ ρ z (i)

(11)

∇ × E + ∂A ∂t = 0 E + ∂A ∂t = −∇V E = −∇V − ∂A ∂t ∆V + ∂ ∂t(∇ · A) = − 1 ₀ ρ z (i) ∇ × (∇ × A) = µ₀J − µ₀₀∇ ∂V ∂t ! − µ₀₀ ∂ 2_A ∂t2 z (iv)

(12)

∇ × E + ∂A ∂t = 0 E + ∂A ∂t = −∇V E = −∇V − ∂A ∂t ∆V + ∂ ∂t(∇ · A) = − 1 ₀ ρ z (i) ∇ × (∇ × A) = µ₀J − µ₀₀∇ ∂V ∂t ! − µ₀₀ ∂ 2_A ∂t2 z (iv)

(13)

∆A − µ₀₀ ∂ 2_A ∂t2 − ∇ ∇ · A + µ00 ∂V ∂t = −µ0J 10.1.2 Przekształcenia cechowania

Możemy narzucić dodatkowe warunki na potencjały, które nie zmienią pól E i B.

(14)

(15)

A0 = A + α, V 0 = V + β zmieniamy potencjały

(16)

Możemy narzucić dodatkowe warunki na potencjały, które nie zmienią pól E i B. A0 = A + α, V 0 = V + β zmieniamy potencjały ∇ × α = 0 ⇒ α = ∇λ ∇β + ∂α ∂t = 0 ⇒ ∇ β + ∂λ ∂t !

= 0 nawias nie zależy

(17)

β = −∂λ

(18)

β = −∂λ ∂t + k(t), k(t) można włączyć do λ A0 = A + ∇λ V 0 = V − ∂λ_∂t      przekształcenia cechowania

(19)

10.1.3 Cechowanie Coulomba i cechowanie Lorentza

(20)

10.1.3 Cechowanie Coulomba i cechowanie Lorentza

∇ · A = 0 cechowanie Coulomba

∆V = − 1

(21)

10.1.3 Cechowanie Coulomba i cechowanie Lorentza ∇ · A = 0 cechowanie Coulomba ∆V = − 1 ₀ ρ równanie Poissona V (r, t) = 1 4π₀ Z ρ(r0, t) R dτ rozwiązanie gdy V = 0 w nieskończoności

(22)

10.1.3 Cechowanie Coulomba i cechowanie Lorentza ∇ · A = 0 cechowanie Coulomba ∆V = − 1 ₀ ρ równanie Poissona V (r, t) = 1 4π₀ Z ρ(r0, t) R dτ rozwiązanie gdy V = 0 w nieskończoności ∆A − µ₀₀ ∂ 2_A ∂t2 = −µ0J + µ00∇ ∂V ∂t !

(23)

10.1.3 Cechowanie Coulomba i cechowanie Lorentza ∇ · A = 0 cechowanie Coulomba ∆V = − 1 ₀ ρ równanie Poissona V (r, t) = 1 4π₀ Z ρ(r0, t) R dτ rozwiązanie gdy V = 0 w nieskończoności ∆A − µ₀₀ ∂ 2_A ∂t2 = −µ0J + µ00∇ ∂V ∂t !

(24)

∇ · A = −µ₀₀ ∂V

(25)

∇ · A = −µ₀₀ ∂V

∂t cechowanie Lorentza

∆A − µ₀₀ ∂

2_A

(26)

∇ · A = −µ₀₀ ∂V ∂t cechowanie Lorentza ∆A − µ₀₀ ∂ 2_A ∂t2 = −µ0J ∆V − µ₀₀ ∂ 2_V ∂t2 = − 1 ₀ ρ

(27)

∇ · A = −µ₀₀ ∂V ∂t cechowanie Lorentza ∆A − µ₀₀ ∂ 2_A ∂t2 = −µ0J ∆V − µ₀₀ ∂ 2_V ∂t2 = − 1 ₀ ρ ∆ − µ₀₀ ∂ 2 ∂t2 ≡ dalambercjan

(28)

∇ · A = −µ₀₀ ∂V ∂t cechowanie Lorentza ∆A − µ₀₀ ∂ 2_A ∂t2 = −µ0J ∆V − µ₀₀ ∂ 2_V ∂t2 = − 1 ₀ ρ ∆ − µ₀₀ ∂ 2 ∂t2 ≡ dalambercjan (i) _{V = −} 1 ₀ ρ (ii) _{A = −µ}₀J niejednorodne równania falowe

(29)

10.2 Rozkłady ciągłe 10.2.1 Potencjały opóźnione P r r′ R dτ′ θ′ ∆V = − 1

(30)

10.2 Rozkłady ciągłe 10.2.1 Potencjały opóźnione P r r′ R dτ′ θ′ ∆V = − 1

₀ ρ, ∆A = −µ0J dla pól statycznych

V (r) = 1 4π₀ Z ρ(r0) R dτ 0 , A(r) = µ0 4π Z J (r0) R dτ 0

(31)

„Wieści” elektromagnetyczne rozchodzą się z prędkością światła!

t_r ≡ t − R

(32)

„Wieści” elektromagnetyczne rozchodzą się z prędkością światła! t_r ≡ t − R c czas opóźniony V (r, t) = 1 4π₀ Z ρ(r0, t r) R dτ 0 A(r, t) = µ0 4π Z J (r0, t r) R dτ 0 potencjały opóźnione

(33)

(34)

Czy wzory te są poprawne?

∇V = 1 4π₀ Z " (∇ρ) 1 R + ρ∇ 1 R # dτ0

(35)

∇ρ = ˙ρ∇t_r = −1

(36)

∇ρ = ˙ρ∇t_r = −1 c ρ∇R˙ ∇R = ˆR, ∇ 1 R = − ˆ R R2

(37)

∇ρ = ˙ρ∇t_r = −1 c ρ∇R˙ ∇R = ˆR, ∇ 1 R = − ˆ R R2 ∇V = 1 4π₀ Z " −ρ˙ c ˆ R R − ρ ˆ R R2 # dτ0

(38)

∇ρ = ˙ρ∇t_r = −1 c ρ∇R˙ ∇R = ˆR, ∇ 1 R = − ˆ R R2 ∇V = 1 4π₀ Z " −ρ˙ c ˆ R R − ρ ˆ R R2 # dτ0 ∆V = 1 4π₀ Z    −1 c   ˆ R R · (∇ ˙ρ) + ˙ρ∇ · ˆ R R !  −   ˆ R R2 · (∇ρ) + ρ∇ · ˆ R R2 !     dτ0

(39)

∇ ˙ρ = −1

cρ∇R = −¨ 1

(40)

∇ ˙ρ = −1 cρ∇R = −¨ 1 cρ ˆ¨R ∇ · Rˆ R ! = 1 R2 , ∇ · ˆ R R2 ! = 4πδ3(R)

(41)

∇ ˙ρ = −1 cρ∇R = −¨ 1 cρ ˆ¨R ∇ · Rˆ R ! = 1 R2 , ∇ · ˆ R R2 ! = 4πδ3(R) ∆V = 1 4π₀ Z 1 c2 ¨ ρ R − 4πρδ 3 (R) dτ0 = 1 c2 ∂2V ∂t2 − 1 ₀ ρ(r, t)

(42)

∇ ˙ρ = −1 cρ∇R = −¨ 1 cρ ˆ¨R ∇ · Rˆ R ! = 1 R2 , ∇ · ˆ R R2 ! = 4πδ3(R) ∆V = 1 4π₀ Z 1 c2 ¨ ρ R − 4πρδ 3 (R) dτ0 = 1 c2 ∂2V ∂t2 − 1 ₀ ρ(r, t) ∆V − 1 c2 ∂2V ∂t2 = − 1 ₀ ρ(r, t)

(43)

∇ ˙ρ = −1 cρ∇R = −¨ 1 cρ ˆ¨R ∇ · Rˆ R ! = 1 R2 , ∇ · ˆ R R2 ! = 4πδ3(R) ∆V = 1 4π₀ Z 1 c2 ¨ ρ R − 4πρδ 3 (R) dτ0 = 1 c2 ∂2V ∂t2 − 1 ₀ ρ(r, t) ∆V − 1 c2 ∂2V ∂t2 = − 1 ₀ ρ(r, t)