Algebra
Geometria Analityczna w Przestrzeni
Aleksander Denisiuk
denisjuk@pjwstk.edu.pl
Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku
ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk
Geometria Analityczna w Przestrzeni
Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem
http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Afiniczny układ współrz ˛ednych w przestrzeni
• Wybierzmy dowolny punkt O, pocz ˛atek układu
• Przez ten punkt poprowad´zmy trzy niekomplanarne proste:
Ox, Oy, Oz, osie współrz ˛ednych
• Płaszczyzny współrz ˛ednych Oxy, Oxz, Oyz
• Na osiach wyznaczymy niezerowe wektory: odpowiednio
e1, e2, e3 —baz ˛e.
• Dla ka˙zdego punktu A wektor −→OA ma jednoznaczne przedstawienie −−→OX = xe1 + ye2 + ze3
◦ liczby x, y, z —współrz ˛edne punktu A
• układ jest prawym (dodatnim), je˙zeli (e1e2e3) > 0
• układ jest lewym (ujemnym), je˙zeli (e1e2e3) < 0
Układ współrz ˛ednych kartezja ´nskich
• Układ współrz ˛ednych nazywa si ˛e kartezja ´nskim, je˙zeli
◦ osie s ˛a wzajemnie prostopadłe
◦ wektory e1, e2, e3 s ˛a jednostkowe (maj ˛a jednostkow ˛a
długo´s´c).
• Dalej w prezentacji prawie zawsze układ b ˛edzie prawym kartezja ´nskim układem
• Dla wektorów bazy układu kartezja ´nskiego czasami stosuje si ˛e oznaczenia i, j, k
Podział odcinka w danym stosunku
• Dane s ˛a dwa punkty A1(x1, y1, z1) oraz A2(x2, y2, z2)
• Znale´z´c punkt A(x, y, z), który dzieli odcinek A1A2
w stosunku λ1 : λ2 ◦ λ2−−→A1A − λ1−−→AA2 = 0 ◦ −→OA = λ2−−→OA1+λ1−−→OA2 λ1+λ2 ◦ x = λ2x1+λ1x2 λ1+λ2 , y = λ2y1+λ1y2 λ1+λ2 , z = λ2z1+λ1z2 λ1+λ2 .
Odległo´s´c mi ˛edzy punktami
• Dane s ˛a dwa punkty A1(x1, y1, z1) oraz A2(x2, y2, z2)
◦ |A1A2|2 = −−−→A1A22 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
• wzory s ˛a prawidłowe tylko w układzie kartezja ´nskim
Pole trójk ˛
ata
• Dane s ˛a trzy punkty A1(x1, y1, 0), A2(x2, y2, 0) oraz
A3(x3, y3, 0) ◦ −−−→A1A2 × −−−→A1A3 = x2 − x1 y2 − y2 x3 − x1 y3 − y1 k ◦ P(A1A2A3) = 12 x2 − x1 y2 − y2 x3 − x1 y3 − y1
Obj ˛eto´s´c czworo´scianu
• Dane s ˛a cztery punkty A1(x1, y1, z1), A2(x2, y2, z2),
A3(x3, y3, z3) oraz A4(x4, y4, z4) ◦ P(A1A2A3) = 16 x2 − x1 y2 − y2 z2 − z1 x3 − x1 y3 − y1 z2 − z1 x4 − x1 y4 − y1 z4 − z1 Algebra – p. 8/25
Równanie powierzchni
• f(x, y, z) = 0 równanie niejawne • x = f1(u, v), y = f2(u, v), z = f3(u, v) równanie parametryczne ◦ Sfera (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2 ◦ Walec: • x = R cos u y = R sin u, z = v • x2 + y2 = R2Równanie krzywej
• ( f1(x, y, z) = 0, f2(x, y, z) = 0 równanie niejawne • x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t) równanie parametryczne ◦ Okr ˛ag ( (x − a1)2 + (y − b1)2 + (z − c1)2 − R21 = 0, (x − a2)2 + (y − b2)2 + (z − c2)2 − R22 = 0.• Punkty przeci ˛ecia — rozwi ˛azania układów równa ´n
Zmiana układu współrz ˛ednych
• Niech dane b ˛ed ˛a dwa ogólne układy współrz ˛ednych:
(O, e1, e2, e3) oraz (O′, e′1, e′2, e′3)
• Punkt A ma współrz ˛edne (x, y, z) wzgl ˛edem jednego układu oraz (z′, y′, z′) wzgl ˛edem drugiego.
• Wektory (e1, e2, e3) maj ˛a jednoznaczne rozło˙zenie po
bazie (e′1, e′2, e′3): e1 = a11e′1 + a12e′2 + a13e′3, e2 = a21e′1 + a22e′2 + a23e′3, e2 = a31e′1 + a32e′2 + a33e′3.
• Punkt O w nowym układzie ma współrz ˛edne (x0, y0, z0).
• Wówczas x′ = a11x + a21y + a31z + x0, y′ = a12x + a22y + a32z + y0, z′ = a13x + a23y + a33z + z0.
Zmiana kartezja ´nskiego układu współrz ˛ednych
• Je˙zeli obydwa układy s ˛a kartezja ´nskie, to współczynniki aij
spełniaj ˛a warunki a211 + a212 + a213 = 1, a11a21 + a12a22 + a13a23 = 0, a221 + a222 + a223 = 1, a11a31 + a12a32 + a13a33 = 0, a231 + a232 + a233 = 1, a21a31 + a22a32 + a23a33 = 0. • I odwrotnie Algebra – p. 12/25
Równanie płaszczyzny
• Niech dany b ˛edzie kartezja ´nski układ współrz ˛ednych.
• Niech A(x0, y0, z0) b ˛edzie punktem na płaszczy´znie.
• Niech n = (n1, n2, n3) b ˛edzie wektorem, prostopadłym do
płaszczyzny
• Wtedy ka˙zdy punkt płaszczyzny spełnia równanie
n1(x − x0) + n2(y − y0) + n3(z − z0) = 0
• W ka˙zdem układzie współrz ˛ednych równanie płaszczyzny jest liniowe: ax + by + cz + d = 0
• Odwrotnie: ka˙zde liniowe równanie (a2 + b2 + c2 6= 0) okre´sla pł ˛aszczyzn ˛e.
Poło˙zenie wzgl ˛edem układu współrz ˛ednych
• a = b = 0 — równoległa do Oxy (zgadza si ˛e przy d = 0).
• b = c = 0 — równoległa do Oyz (zgadza si ˛e przy d = 0).
• a = c = 0 — równoległa do Oxz (zgadza si ˛e przy d = 0).
• a = 0, b 6= 0, c 6= 0 — równoległa do Ox (przechodzi przez
Ox przy d = 0).
• a 6= 0, b = 0, c 6= 0 — równoległa do Oy (przechodzi przez
Oy przy d = 0).
• a 6= 0, b 6= 0, c = 0 — równoległa do Oz (przechodzi przez
Oz przy d = 0).
• d = 0 — przechodzi przez pocz ˛atek układu współrz ˛ednych
• d 6= 0 ⇒ αx + βy + zγ = 1
Równanie normalne płaszczyzny
• Punkt A0(x0, y0, z0) nale˙zy do płaszczyzny ⇐⇒
ax0 + by0 + cz0 + d = 0
• Niech punkt nie nale˙zy do płaszczyzny.
◦ Niech A1(x1, y1, z1) b ˛edzie podstaw ˛a prostopadłej,
poprowadzonej z A0 na płaszczyzn ˛e
◦ ax0 + by0 + cz0 + d =
a(x0 − x1) + b(y0 − y1) + c(z0 − z1) + d = n ·−−−→A1A0 = ±|n|δ,
• n = (a, b, c) jest normal ˛a do płaszczyzny
• δ jest odległo´sci ˛a płaszczyzny od punktu
◦ ax0 + by0 + cz0 + d ma znak plus po jednej stronie od
płaszczyzny i minus — po drugiej
◦ δ = |ax0+by0+cz0+d|
√
a2+b2+c2
Wzjaemne poło˙zenie dwóch płaszczyzn
• Niech dane b ˛ed ˛a dwie płaszczyzny:
a1x + b1y + c1z + d1 = 0 oraz a2x + b2y + c2z + d2 = 0
• Płaszczyzny s ˛a równoległe (lub si ˛e pokrywaj ˛a) ⇐⇒
a1 a2 = b1 b2 = c1 c2 • Płaszczyzny s ˛a prostopadłe ⇐⇒ a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0
• Niech θ b ˛edzie k ˛atem mi ˛edzy płaszczyznami. Wtedy
cos θ = √ a1a2+b1b2+c1c2 a2 1+b 2 1+c 2 1 √ a2 2+b 2 2+c 2 2 Algebra – p. 16/25
Wzjaemne poło˙zenie trzech płaszczyzn
• Niech dane b ˛ed ˛a trzy płaszczyzny: a1x + b1y + c1 + d1 = 0,
a2x + b2y + c2 + d2 = 0 oraz a3x + b3y + c3 + d3 = 0
• Płaszczyzny maj ˛a jeden wspólny punkt ⇐⇒ a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 6= 0 • je˙zeli a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 = 0, to płaszczyzny s ˛a równowegłe do niektórej prostej.
Równanie prostej
• Prosta jest przeci ˛eciem dwóch płaszczyzn (
a1x + b1y + c1z + d1 = 0
a2x + b2y + c2z + d2 = 0
(1)
• Niech dany b ˛edzie punkt A0(x0, y0, z0) na prostej, oraz
niezerowy wektor e = (k, l, m), równoległy prostej. Wtedy dla dowolnego punktu A(x, y, z) wektory e oraz −−→A0A b ˛ed ˛a
równoległe: ◦ x−x0 k = y−y0 l = z−z0
m — równanie kanoniczne prostej
◦ równanie kanoniczne jest szczególowym przypadkiem równania 1
◦ równanie kanoniczne nie jest okre´slono jednoznacznie
• Równanie prostej ma tak ˛a posta´c w dowolnym afinicznym układzie współrz ˛ednych
Równanie parametryczne prostej
• x−x0 k = y−y0 l = z−z0 m • x = x0 + kt, y = y0 + lt, z = z0 + mt.Poło˙zenie prostej wzgl ˛edem układu współrz ˛ednych
• x = x0 + kt, y = y0 + lt, z = z0 + mt.◦ k = 0 — równoległa do płaszczyzny Oyz
◦ l = 0 — równoległa do płaszczyzny Oxz
◦ m = 0 — równoległa do płaszczyzny Oxy
◦ k = l = 0 — równoległa do Osi Oz
◦ k = m = 0 — równoległa do Osi Oy
◦ l = m = 0 — równoległa do Osi Ox
Wzajemne poło˙zenie prostej i płaszczyzny
• ax + by + cz + d = 0 • x−x0 k = y−y0 l = z−z0 m ◦ równoległe ⇐⇒ ak + bl + cm = 0• je˙zeli ponadto ax0 + by0 + cz0 + d = 0, to prosta le˙zy
na płaszczy´znie ◦ prostopadłe ⇐⇒ ka = bl = mc • ( a1x + b2y + c1z + d1 = 0, a2x + b2y + c2z + d2 = 0, ◦ k = b1 c1 b2 c2 , l = − a1 c1 a2 c2 , m = a1 b1 a2 b2 .
Wzajemne poło˙zenie dwóch prostych
• x−x0 k = y−y0 l = z−z0 m • x−x′0 k′ = y−y′ 0 l′ = z−z′ 0 m′ ◦ równoległe ⇐⇒ kk′ = ll′ = mm′ • je˙zeli ponadto x0−x′0 k′ = y0−y0′ l′ = z0−z0′ m′ , to proste si ˛e pokrywaj ˛a • prostopadłe ⇐⇒ kk′ + ll′ + mm′ = 0 • k ˛at mi ˛edzy prostymi: cos θ = √ kk′ + ll′ + mm′ k2 + l2 + m2√k′2 + l′2 + m′2 Algebra – p. 22/25Podstawowe zadania na prost ˛
a i płasczyzn ˛e
• Płaszczyzna przechodz ˛aca przez punkt (x0, y0, z0):
a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0
• Prosta przechodz ˛aca przez punkt (x0, y0, z0): x−x0 k = y−y0 l = z−z0 m
• Prosta przechodz ˛aca przez dwa punkty (x0, y0, z0)
oraz (x1, y1, z1): xx−x0 1−x0 = y−y0 y1−y0 = z−z0 z1−z0
• Płaszczyzna przechodz ˛aca przez trzy punkty (x0, y0, z0),
(x1, y1, z1) oraz (x2, y2, z2): x − x0 y − y0 z − z0 x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0 x2 − x0 y2 − y0 z2 − z0 = 0
Podstawowe zadania na prost ˛
a i płasczyzn ˛e, cd
• Płaszczyzna przechodz ˛aca przez punkt (x0, y0, z0)
i równoległa do danej płaszczyzny ax + by + cz + d = 0:
a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0
• Prosta przechodz ˛aca przez punkt (x0, y0, z0) i równoległa do
danej prostej x−x′0 k = y−y′ 0 l = z−z′ 0 m : x−x0 k = y−y0 l = z−z0 m
• Prosta przechodz ˛aca przez punkt (x0, y0, z0) i prostopadła
do danej płaszczyzny ax + by + c + d = 0: x−x0 a = y−y0 b = z−z0 c
• Płaszczyzna przechodz ˛aca punkt (x0, y0, z0) i prostopadła
do danej prostej x−x′0 k = y−y′ 0 l = z−z′ 0 m : k(x − x0) + l(y − y0) + m(z − z0) = 0 Algebra – p. 24/25
Płaszczyzna rónoległa do dwóch prostych
• Płaszczyzna przechodz ˛aca przez punkt (x0, y0, z0)
i równoległa do danych prostych x−x′0
k1 = y−y′ 0 l1 = z−z′ 0 m1 oraz x−x′′ 0 k2 = y−y′′ 0 l2 = z−z′′ 0 m2 : (x − x0) l1 m1 l2 m2 − (y − y0) k1 m1 k2 m2 + (z − z0) k1 l1 k2 l2 = 0 czyli x − x0 y − y0 z − z0 k1 l1 m1 k2 l2 m2 = 0