• Nie Znaleziono Wyników

Geometria analityczna 3W

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Geometria analityczna 3W"

Copied!
25
0
0

Pełen tekst

(1)

Algebra

Geometria Analityczna w Przestrzeni

Aleksander Denisiuk

denisjuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

(2)

Geometria Analityczna w Przestrzeni

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/

(3)

Afiniczny układ współrz ˛ednych w przestrzeni

• Wybierzmy dowolny punkt O, pocz ˛atek układu

• Przez ten punkt poprowad´zmy trzy niekomplanarne proste:

Ox, Oy, Oz, osie współrz ˛ednych

• Płaszczyzny współrz ˛ednych Oxy, Oxz, Oyz

• Na osiach wyznaczymy niezerowe wektory: odpowiednio

e1, e2, e3 —baz ˛e.

• Dla ka˙zdego punktu A wektor −→OA ma jednoznaczne przedstawienie −−→OX = xe1 + ye2 + ze3

◦ liczby x, y, z —współrz ˛edne punktu A

• układ jest prawym (dodatnim), je˙zeli (e1e2e3) > 0

• układ jest lewym (ujemnym), je˙zeli (e1e2e3) < 0

(4)

Układ współrz ˛ednych kartezja ´nskich

• Układ współrz ˛ednych nazywa si ˛e kartezja ´nskim, je˙zeli

◦ osie s ˛a wzajemnie prostopadłe

◦ wektory e1, e2, e3 s ˛a jednostkowe (maj ˛a jednostkow ˛a

długo´s´c).

• Dalej w prezentacji prawie zawsze układ b ˛edzie prawym kartezja ´nskim układem

• Dla wektorów bazy układu kartezja ´nskiego czasami stosuje si ˛e oznaczenia i, j, k

(5)

Podział odcinka w danym stosunku

• Dane s ˛a dwa punkty A1(x1, y1, z1) oraz A2(x2, y2, z2)

• Znale´z´c punkt A(x, y, z), który dzieli odcinek A1A2

w stosunku λ1 : λ2 ◦ λ2−−→A1A − λ1−−→AA2 = 0 ◦ −→OA = λ2−−→OA1+λ1−−→OA2 λ1+λ2 ◦ x = λ2x1+λ1x2 λ1+λ2 , y = λ2y1+λ1y2 λ1+λ2 , z = λ2z1+λ1z2 λ1+λ2 .

(6)

Odległo´s´c mi ˛edzy punktami

• Dane s ˛a dwa punkty A1(x1, y1, z1) oraz A2(x2, y2, z2)

|A1A2|2 = −−−→A1A22 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2

• wzory s ˛a prawidłowe tylko w układzie kartezja ´nskim

(7)

Pole trójk ˛

ata

• Dane s ˛a trzy punkty A1(x1, y1, 0), A2(x2, y2, 0) oraz

A3(x3, y3, 0) ◦ −−−→A1A2 × −−−→A1A3 = x2 − x1 y2 − y2 x3 − x1 y3 − y1 k ◦ P(A1A2A3) = 12 x2 − x1 y2 − y2 x3 − x1 y3 − y1

(8)

Obj ˛eto´s´c czworo´scianu

• Dane s ˛a cztery punkty A1(x1, y1, z1), A2(x2, y2, z2),

A3(x3, y3, z3) oraz A4(x4, y4, z4) ◦ P(A1A2A3) = 16 x2 − x1 y2 − y2 z2 − z1 x3 − x1 y3 − y1 z2 − z1 x4 − x1 y4 − y1 z4 − z1 Algebra – p. 8/25

(9)

Równanie powierzchni

• f(x, y, z) = 0 równanie niejawne •      x = f1(u, v), y = f2(u, v), z = f3(u, v) równanie parametryczne ◦ Sfera (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2 ◦ Walec: •      x = R cos u y = R sin u, z = v • x2 + y2 = R2

(10)

Równanie krzywej

• ( f1(x, y, z) = 0, f2(x, y, z) = 0 równanie niejawne •      x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t) równanie parametryczne ◦ Okr ˛ag ( (x − a1)2 + (y − b1)2 + (z − c1)2 − R21 = 0, (x − a2)2 + (y − b2)2 + (z − c2)2 − R22 = 0.

• Punkty przeci ˛ecia — rozwi ˛azania układów równa ´n

(11)

Zmiana układu współrz ˛ednych

• Niech dane b ˛ed ˛a dwa ogólne układy współrz ˛ednych:

(O, e1, e2, e3) oraz (O′, e′1, e′2, e′3)

• Punkt A ma współrz ˛edne (x, y, z) wzgl ˛edem jednego układu oraz (z′, y′, z′) wzgl ˛edem drugiego.

• Wektory (e1, e2, e3) maj ˛a jednoznaczne rozło˙zenie po

bazie (e′1, e′2, e′3):      e1 = a11e′1 + a12e′2 + a13e′3, e2 = a21e′1 + a22e′2 + a23e′3, e2 = a31e′1 + a32e′2 + a33e′3.

• Punkt O w nowym układzie ma współrz ˛edne (x0, y0, z0).

• Wówczas      x′ = a11x + a21y + a31z + x0, y′ = a12x + a22y + a32z + y0, z′ = a13x + a23y + a33z + z0.

(12)

Zmiana kartezja ´nskiego układu współrz ˛ednych

• Je˙zeli obydwa układy s ˛a kartezja ´nskie, to współczynniki aij

spełniaj ˛a warunki      a211 + a212 + a213 = 1, a11a21 + a12a22 + a13a23 = 0, a221 + a222 + a223 = 1, a11a31 + a12a32 + a13a33 = 0, a231 + a232 + a233 = 1, a21a31 + a22a32 + a23a33 = 0. • I odwrotnie Algebra – p. 12/25

(13)

Równanie płaszczyzny

• Niech dany b ˛edzie kartezja ´nski układ współrz ˛ednych.

• Niech A(x0, y0, z0) b ˛edzie punktem na płaszczy´znie.

• Niech n = (n1, n2, n3) b ˛edzie wektorem, prostopadłym do

płaszczyzny

• Wtedy ka˙zdy punkt płaszczyzny spełnia równanie

n1(x − x0) + n2(y − y0) + n3(z − z0) = 0

• W ka˙zdem układzie współrz ˛ednych równanie płaszczyzny jest liniowe: ax + by + cz + d = 0

• Odwrotnie: ka˙zde liniowe równanie (a2 + b2 + c2 6= 0) okre´sla pł ˛aszczyzn ˛e.

(14)

Poło˙zenie wzgl ˛edem układu współrz ˛ednych

• a = b = 0 — równoległa do Oxy (zgadza si ˛e przy d = 0).

• b = c = 0 — równoległa do Oyz (zgadza si ˛e przy d = 0).

• a = c = 0 — równoległa do Oxz (zgadza si ˛e przy d = 0).

• a = 0, b 6= 0, c 6= 0 — równoległa do Ox (przechodzi przez

Ox przy d = 0).

• a 6= 0, b = 0, c 6= 0 — równoległa do Oy (przechodzi przez

Oy przy d = 0).

• a 6= 0, b 6= 0, c = 0 — równoległa do Oz (przechodzi przez

Oz przy d = 0).

• d = 0 — przechodzi przez pocz ˛atek układu współrz ˛ednych

• d 6= 0 ⇒ αx + βy + zγ = 1

(15)

Równanie normalne płaszczyzny

• Punkt A0(x0, y0, z0) nale˙zy do płaszczyzny ⇐⇒

ax0 + by0 + cz0 + d = 0

• Niech punkt nie nale˙zy do płaszczyzny.

◦ Niech A1(x1, y1, z1) b ˛edzie podstaw ˛a prostopadłej,

poprowadzonej z A0 na płaszczyzn ˛e

◦ ax0 + by0 + cz0 + d =

a(x0 − x1) + b(y0 − y1) + c(z0 − z1) + d = n ·−−−→A1A0 = ±|n|δ,

• n = (a, b, c) jest normal ˛a do płaszczyzny

• δ jest odległo´sci ˛a płaszczyzny od punktu

◦ ax0 + by0 + cz0 + d ma znak plus po jednej stronie od

płaszczyzny i minus — po drugiej

◦ δ = |ax0+by0+cz0+d|

a2+b2+c2

(16)

Wzjaemne poło˙zenie dwóch płaszczyzn

• Niech dane b ˛ed ˛a dwie płaszczyzny:

a1x + b1y + c1z + d1 = 0 oraz a2x + b2y + c2z + d2 = 0

• Płaszczyzny s ˛a równoległe (lub si ˛e pokrywaj ˛a) ⇐⇒

a1 a2 = b1 b2 = c1 c2 • Płaszczyzny s ˛a prostopadłe ⇐⇒ a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

• Niech θ b ˛edzie k ˛atem mi ˛edzy płaszczyznami. Wtedy

cos θ = √ a1a2+b1b2+c1c2 a2 1+b 2 1+c 2 1 √ a2 2+b 2 2+c 2 2 Algebra – p. 16/25

(17)

Wzjaemne poło˙zenie trzech płaszczyzn

• Niech dane b ˛ed ˛a trzy płaszczyzny: a1x + b1y + c1 + d1 = 0,

a2x + b2y + c2 + d2 = 0 oraz a3x + b3y + c3 + d3 = 0

• Płaszczyzny maj ˛a jeden wspólny punkt ⇐⇒ a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 6= 0 • je˙zeli a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 = 0, to płaszczyzny s ˛a równowegłe do niektórej prostej.

(18)

Równanie prostej

• Prosta jest przeci ˛eciem dwóch płaszczyzn (

a1x + b1y + c1z + d1 = 0

a2x + b2y + c2z + d2 = 0

(1)

• Niech dany b ˛edzie punkt A0(x0, y0, z0) na prostej, oraz

niezerowy wektor e = (k, l, m), równoległy prostej. Wtedy dla dowolnego punktu A(x, y, z) wektory e oraz −−→A0A b ˛ed ˛a

równoległe: ◦ x−x0 k = y−y0 l = z−z0

m — równanie kanoniczne prostej

◦ równanie kanoniczne jest szczególowym przypadkiem równania 1

◦ równanie kanoniczne nie jest okre´slono jednoznacznie

• Równanie prostej ma tak ˛a posta´c w dowolnym afinicznym układzie współrz ˛ednych

(19)

Równanie parametryczne prostej

• x−x0 k = y−y0 l = z−z0 m •      x = x0 + kt, y = y0 + lt, z = z0 + mt.

(20)

Poło˙zenie prostej wzgl ˛edem układu współrz ˛ednych

•      x = x0 + kt, y = y0 + lt, z = z0 + mt.

◦ k = 0 — równoległa do płaszczyzny Oyz

◦ l = 0 — równoległa do płaszczyzny Oxz

◦ m = 0 — równoległa do płaszczyzny Oxy

◦ k = l = 0 — równoległa do Osi Oz

◦ k = m = 0 — równoległa do Osi Oy

◦ l = m = 0 — równoległa do Osi Ox

(21)

Wzajemne poło˙zenie prostej i płaszczyzny

• ax + by + cz + d = 0 • x−x0 k = y−y0 l = z−z0 m ◦ równoległe ⇐⇒ ak + bl + cm = 0

• je˙zeli ponadto ax0 + by0 + cz0 + d = 0, to prosta le˙zy

na płaszczy´znie ◦ prostopadłe ⇐⇒ ka = bl = mc • ( a1x + b2y + c1z + d1 = 0, a2x + b2y + c2z + d2 = 0, ◦ k = b1 c1 b2 c2 , l = − a1 c1 a2 c2 , m = a1 b1 a2 b2 .

(22)

Wzajemne poło˙zenie dwóch prostych

• x−x0 k = y−y0 l = z−z0 m • x−x′0 k′ = y−y′ 0 l′ = z−z′ 0 m′ ◦ równoległe ⇐⇒ kk′ = ll′ = mm′ • je˙zeli ponadto x0−x′0 k′ = y0−y0′ l′ = z0−z0′ m′ , to proste si ˛e pokrywaj ˛a • prostopadłe ⇐⇒ kk′ + ll′ + mm′ = 0 • k ˛at mi ˛edzy prostymi: cos θ = kk′ + ll′ + mm′ k2 + l2 + m2√k′2 + l′2 + m′2 Algebra – p. 22/25

(23)

Podstawowe zadania na prost ˛

a i płasczyzn ˛e

• Płaszczyzna przechodz ˛aca przez punkt (x0, y0, z0):

a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0

• Prosta przechodz ˛aca przez punkt (x0, y0, z0): x−x0 k = y−y0 l = z−z0 m

• Prosta przechodz ˛aca przez dwa punkty (x0, y0, z0)

oraz (x1, y1, z1): xx−x0 1−x0 = y−y0 y1−y0 = z−z0 z1−z0

• Płaszczyzna przechodz ˛aca przez trzy punkty (x0, y0, z0),

(x1, y1, z1) oraz (x2, y2, z2): x − x0 y − y0 z − z0 x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0 x2 − x0 y2 − y0 z2 − z0 = 0

(24)

Podstawowe zadania na prost ˛

a i płasczyzn ˛e, cd

• Płaszczyzna przechodz ˛aca przez punkt (x0, y0, z0)

i równoległa do danej płaszczyzny ax + by + cz + d = 0:

a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0

• Prosta przechodz ˛aca przez punkt (x0, y0, z0) i równoległa do

danej prostej x−x′0 k = y−y′ 0 l = z−z′ 0 m : x−x0 k = y−y0 l = z−z0 m

• Prosta przechodz ˛aca przez punkt (x0, y0, z0) i prostopadła

do danej płaszczyzny ax + by + c + d = 0: x−x0 a = y−y0 b = z−z0 c

• Płaszczyzna przechodz ˛aca punkt (x0, y0, z0) i prostopadła

do danej prostej x−x′0 k = y−y′ 0 l = z−z′ 0 m : k(x − x0) + l(y − y0) + m(z − z0) = 0 Algebra – p. 24/25

(25)

Płaszczyzna rónoległa do dwóch prostych

• Płaszczyzna przechodz ˛aca przez punkt (x0, y0, z0)

i równoległa do danych prostych x−x′0

k1 = y−y′ 0 l1 = z−z′ 0 m1 oraz x−x′′ 0 k2 = y−y′′ 0 l2 = z−z′′ 0 m2 : (x − x0) l1 m1 l2 m2 − (y − y0) k1 m1 k2 m2 + (z − z0) k1 l1 k2 l2 = 0 czyli x − x0 y − y0 z − z0 k1 l1 m1 k2 l2 m2 = 0

Cytaty

Powiązane dokumenty

RDF Schema Wprowadzenie RDF Semantic Web Składnia Kontenery Kolekcje RDFS DCMI RDFa Microdata JSON-LD ✔ Rozszerzenie RDF. ✔ Zawiera język do opisania zestawów predykatów

JQuery Wprowadzenie Dostęp Modyfikacjia Łańcuch 2 / 23 Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod

je˙zeli serwer nie rozpoznał metody ˙z ˛ adania, on zwraca kod odpowiedzi 501 (Not implemented). je˙zeli serwer rozpoznał metod ˛e, ale one nie mo˙ze zosta´c zastosowana do

[r]

Znajdź równanie parametryczne krzywej, którą tworzy punkt okręgu o promieniu r, toczącego się bez. poślizgu wzdłuż

Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/.

Znajdź kąt między przekątnymi płaszczyzn Oxy oraz Oyz kartezjańskiego układu współrzędnych.. Udowodnij, że ABCD jest równole- głobokiem i znajdź

Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/..