• Nie Znaleziono Wyników

Analiza konstrukcji prętowo-tarczowych metodą elementów skończonych

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Analiza konstrukcji prętowo-tarczowych metodą elementów skończonych"

Copied!
10
0
0

Pełen tekst

(1)

M E C H AN I KA TEORETYCZNA 1 STOSOWANA 2, 19 (1981)

ANALIZA KON STRU KCJI PRĘ TOWO- TARCZOWYCH  METOD Ą ELEMEN TÓW SKOŃ CZON YCH

E U G E N I U SZ R U  S I Ń  S K I ( WR O C Ł AW)

1. Wstę p

W metodzie elementów skoń czonych, jak wiadom o, istotną  sprawą  jest wyznaczenie macierzy sztywnoś ci, za pomocą  której wyraża się  sił y uogólnione w wę zł ach w funkcji przemieszczeń wę zł owych. W konstrukcjach prę towo- tarczowych wystę pują  elementy prę towe i tarczowe. Z n an e są  w postaci jawnej macierze sztywnoś ci zarówno prę ta, ja k i tarczy, które został y omówione m.in. w [1], [2], ..., [9]. D la przeprowadzen ia analizy konstrukcji prę towo- tarczowej i skrócenia czasu liczenia n a E M C , celowe jest okreś lenie w postaci jawnej macierzy sztywnoś ci elementu prę towo- tarczowego. P ozwoli to bez-poś rednio podzielić konstrukcję  tylko n a elementy prę towo- tarczowe.

2. Okreś lenie macierzy sztywnoś ci elementu prostoką tnego prę towo- tarczowego

Istnieją  dwie drogi okreś lenia macierzy sztywnoś ci n a drodze energetycznej lub też, jak to czyni się  w niniejszej pracy, metodą  superpozycji, polegają cej n a zł oż eniu macierzy sztywnoś ci ramownicy skł adają cej się  z 4 prę tów i macierzy sztywnoś ci samej tarczy (rys. 1). M acierz sztywnoś ci elementu prę towo- tarczowego wyraża się  równ an iem (2.1.)

Rys. 1. Prostoką tny element prę towo- tarczowy. gdzie: [&,] — macierz sztywnoś ci ramownicy prę towej,

[kt] — macierz sztywnoś ci elementu tarczy.

P rostoką tny element tarczy poł ą czony jest z dowolnymi elem entam i prę towym i n, p, r, s wzdł uż krawę dzi tarczy w sposób cią gł y (rys. 1). P rzy form uł owaniu funkcji kształ tu

(2)

254 E . RUSIŃ SKI

tarczy, w celu zapewnienia cią gł oś ci poł ą czenia prę tów z tarczą , przyjmuje się  jednakowe przem ieszczen ia dla tarczy i prę tów w miejscu poł ą czenia.

2.1. Macierz sztywnoś ci prostoką tnego elementu tarczy. Przedstawiony na rys. 2 typowy ele-m e n t prostoką tn y o wę zł ach i,  j , k, I nutnego elementu tarczy. Przedstawiony na rys. 2 typowy ele-merowanych odwrotnie do ruchu wskazówek

Rys. 2. Prostoką tny element tarczy.

zegara, m a począ tek ukł adu współ rzę dnych w wę ź le i. M acierz sztywnoś ci takiego elementu m a p o st ać : (2.1.1.) [kt] =  — 12(1 - v2 ) Zl z2  -Z3 = zs  -z4 46 a 46 a 26 a 2a ~b HO Z- l

}d- 3.)

2a a 6 —- ( 1- v) , z6 4 = a 3 2 3 4o (1- 3.) zs (1+ v) ^ 4 26 \  (1 a - +6 ( 1 -1 , 3 3 2 - , )

0

3 1

- {(1- 3.)

zs 1( 1+ , ) , 4 3 -3 3

T

(l- 3») 1 y (1- 3)0 z6 2 1 - 1 ( 1 - 3 . ) ft 3 z*

Wyprowadzen ie m acierzy sztywnoś ci prostoką tnego elementu tarczy dla ukł adu współ rzę dn ych w ś rodku cię ż koś ci został o przedstawione w pracach [2 i 4].

2.2. Macierz sztywnoś ci ramownicy jednoobwodowej. Rozważ ana ramownica jest zbudowana z czterech prę tów (n, p, r i s) poł ą czonych ze sobą  sztywno (rys. 3). M acierz sztywnoś ci [kr] takiej ram own icy jest zbudowan a z macierzy sztywnoś ci [k] poszczególnych elementów

(3)

AN ALI Z A KON STRU KCJI PRĘ TOWO- TARCZOWYCH 255

macierzy sztywnoś ci prę ta obustronnie utwierdzonego przedstawiono m ię dzy in n ym i w pracach [1], [4], [5], [6], [8]. M acierze sztywnoś ci przykł adowego prę ta  „ « " m a p o st a ć :

Rys. 3. Ramownica prostoką tna jednoobwodowa. (2.2.1.) a 0 12ET,. a3 S 0 6E7,„ a2 4EJ-Zn a Y EF„ a 0 0 EF „ a M 0 12E / , „ a3 0 0 12E /r„ a3 0 6E / , „ a2 a 0 6EJZH a2 4E /I n a

Transformację poszczególnych macierzy sztywnoś ci prę tów (2.2.1.) przedstawić m oż na zależ noś cią (2.2.2.) ... [km ] =  [C]T  [km ]' [C] gdzie:

[C] — macierz transformacji z ukł adu globalnego ram ownicy do u kł a d u lokaln ego prę ta o wymiarze (3 x 3),

[C ]T

 — macierz tran spon owan a macierzy transformacji. M acierz tran sform acji m a postać cos/ 3 sin/ 3 0 — sin/ ? cos/ ? 0 0 0 1 0

o

(2.2.3) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos/ S sin £ 0 0 0 - sin / 3 cos/ 3 0 0 0 0 0 0 1

(4)

256 E . RU SIŃ SKI

W tym przypadku ką t /S przyjmuje dwie wartoś ci (rys. 3), zależ nie od poł oż enia prę ta w ramownicy, 0° lub 90°. Uwzglę dniają c (2.2.1) i (2.2.2) oraz dokonują c przekształ ceń macierz sztywnoś ci ramownicy (rys. 3) przedstawić moż na w postaci

(2.2.4) [kr] = [k"l [kj-0 • ] j] l] [k [k [k i- jl j- f] k- jl 0 0 [kf_ k] [kp k- ki [k[-k] [k [/< [k i - I 0 k — I '- ; ] ,]

„/ "

„k" gdzie: elementy [&,- _;] są  podmacierzami kwadratowymi o wymiarach (3 x 3). Podmacierze te wyznaczono w postaci jawnej i przykł adowo wynoszą : a b3 b2 0 \ 2J, F, 'a3  b 4 ( - ^ L + ^ a b (2.2.5) a 0 -12/Zj 0 0 12/,„ a3 6/z„

n

i\ 0 0 a2 2J2n

e l

*

2

0

gdzie a i b, Jz, F oznaczają  odpowiednio: długoś ci prę tów, moment bezwł adnoś

ci na zgi-nanie i pole przekroju prę ta.

2.3. M acierz sztywnoś ci elementu prostoką tnego prę towo- tarczowego.  P o o kreś len iu m a c ier zy sztywnoś ci prostoką tnego elementu tarczy (2.1.14) oraz macierzy sztywnoś ci ramownicy (2.2.4) przeprowadzono dodawanie dwóch macierzy według (1). Dodawanie to nie jest wykonywane wprost, gdyż macierz opisana równaniem (2.1.14) jest o wymiarze (8x8) i w tej macierzy wystę pują  tylko przemieszczenia ux,uy~w każ dym wę ź le. N atomiast w wę

z-łach, ramownicy oprócz przemieszczeń liniowych ux, uy wystę puje obrót a.z wzglę dem

osi z. D latego też do wę złów tarczy wprowadza się  dodatkowo zerowy pozorny obrót

a!z = 0 wzglę dem osi z, w wyniku czego uzyskuje się  macierz sztywnoś ci tarczy o wymiarze

(12 x 12). Po przekształ ceniach i dodaniu obu macierzy otrzymano w jawnej postaci macierz sztywnoś ci elementu prostoką tnego prę towo- tarczowego (tabl. 1).

(5)

AN ALIZA KONSTRUKCJI PRCTOWO- TARCZOWYCH

3. Macierz sztywnoś ci elementu trójką tnego prę towo- tarczowego

257

Postę pują c podobnie jak wyż ej wyznacza się  macierz sztywnoś ci elementu trójką tnego, składają cego się  z tarczy poł ą czonej na swoich krawę dziach w ogólnym przypadku z trzema dowolnymi prę tami (rys. 4).

Rys. 4. Trójką tny element prę towo- tarczowy.

Kolejność numeracji wę złów jest przeciwna do ruchu wskazówek zegara: i—j—k. Grubość tarczy jest stał a i wynosi t. Ukł ad współ rzę dnych lokalnych jest zaczepiony w wę ź le. Rozważa się  pł aski stan naprę ż eń. Stan przemieszczeń wewną trz elementu jest podobny jak w elemencie prostoką tnym (rozdz. 2). Wyznaczoną  w ten sposób macierz sztywnoś ci elementu trójką tnego prę towotarczowego zamieszczono w tablicy 2.

4. Program PRTA

Przedstawiono obliczenia konstrukcji z podział em na elementy prę towo- tarczowe, wg metody elementów skoń czonych, został  zaprogramowany na maszynę  cyfrową , pod nazwą  PRTA. Program ten napisano w ję zyku F ORTRAN  1900 i uruchomiono go na maszynie cyfrowej serii ODRA 1300. Obliczenia moż na prowadzić dla dowolnych kon-strukcji pł askich obcią ż onych w pł aszczyź nie, skł adają cych się  z elementów:

— prę towo- tarczowych (prostoką tnych i trójką tnych), — prę towych (ramy pł askie),

—•  tarczowych (prostoką tnych i trójką tnych).

Prę ty o stał ym przekroju, w poł ą czeniu z tarczą  stanowią  jej uż ebrowanie lub wzmocnienie brzegów. Obcią ż enie zewnę trzne musi być przykł adane w wę zł ach elementu.

W danych do programu należy podać wielkoś ci geometryczne prę tów, tarcz i obcią ż eń zewnę trznych. Jako wyniki otrzymuje się  przemieszczenia poszczególnych wę zł ów kon-strukcji, siły wewnę trzne w prę tach i tarczach. Ponadto otrzymuje się  naprę ż enia pocho-dzą ce od momentu gną cego og, ś ciskają ce lub rozcią gają ce ac i sumaryczne crsum —w prę

-tach, odkształ cenia bezwzglę dne ex, sy, yxy oraz naprę ż enia as, cry i xxy — w tarczach.

Ograniczenia programu stanowi ogólna liczba elementów m < 300, co wynika z po-jemnoś ci pamię ci operacyjnej maszyny serii ODRA 1300. Jednak jest ona zupeł nie wystarczają ca dla celów praktycznych.

(6)

258 E. RU SIŃ SKI

5. Przykł ad liczbowy

"W celu sprawdzen ia poprawn oś ci dział ań program u wykon an o szereg obliczeń testują -cych. U zyskan e wyniki obliczenia prostych, konstrukcji prę towo- tarczowych porównywano z wyn ikam i otrzym an ym i m etodam i analitycznymi [10, 11, 12]. P orównanie to wykazał o, że ju ż przy podziale na niewielką  liczbę  elementów uzyskuje się  dobrą  zgodność z wynikami otrzym an ym i z rozwią zań analitycznych. P rzeprowadzono przykł

adowo obliczenia kon-strukcji prę towo- tarczowej obcią ż onej czterema sił ami skupionymi (rys. 5). Konstrukcję

1=1.0

Rys. 5. Przykł ad konstrukcji prę towo- tarczowej: a) ukł ad obcią ż eń, b) rozkł ad naprę ż eń stycznych. MES — metoda elementów skoń czonych, A„ — rozwią zanie ś cisł e.

podzielon o n a dwa prostoką tn e elementy prę towo- tarczowe (Tablica 1) zawierają ca p o 4 wę zł y każ dy, w elementach tych wystę pują  tylko 2 prę ty n a przeciwległ ych bokach . Wartoś ci n aprę ż eń w prę tach omawianej konstrukcji (rys. 5) wedł ug rozwią zania [10] wyn oszą :

P

(T4 =  — or, =  a6 =  — o3 =   —, a2 =  <r5 =  0,

a m aksym aln a bezwzglę dna wartość naprę ż eń stycznych p V , =  0, 42—

N at o m iast wartoś ci naprę ż eń, uzyskane przy wykorzystaniu omawianej macierzy sztywnoś ci w M E S wyn oszą :

P P a4 =  - o - j =  <r6 =   - 03 =  0,80 — , or2 =  - <xs =   0 , 0 4 -A A a m aksym aln e n aprę ż en ie styczne

a x =  0,

43^-N ajwię kszy bł ą d uzyskanych wyników wystę puje w prę tach n r 1, 3 i wynosi 20%, ale obliczenia wg [10] dają  w t ym przypadku zawyż one wartoś ci. M ianowicie zakł ada się , że w wę zł ach przył oż enia sił  (rys. 5), obcią ż enie to jest przenoszone tylko przez prę ty, a w rzeczywistoś ci czę ść obcią ż enia przenosi tarcza co uwzglę dniono w przedstawionej pracy, kt ó ra jest sztywno poł ą czona z prę tam i. N atom iast w prę cie n r 2 wynosi 4%, a dla

(7)

ANALIZA KONSTRUKCJI PRĘ TOWO- TARCZOWYCH 259

naprę ż eń stycznych 1%. Należy przypuszczać, że przy zwię kszaniu liczby elementów, na którą  podzielono konstrukcję , otrzymane wyniki bę dą  jeszcze bliż sze rozwią zaniu dokł adnemu.

Reasumują c stwierdza się , że przeprowadzenie analizy wytrzymał oś ciowej konstrukcji o elementach prę towo- tarczowych, z uwzglę dnieniem macierzy sztywnoś ci (tab. 1 i 2), pozwala w znaczny sposób skrócić efektywny czas liczenia oraz mniejszą  pamię ć EM C.

Literatura cytowana w tekś cie

1. J. S. PRZEMIENIECKI, Theory of Matrix Structural Analysis, McG raw — H ill 1968.

2. O. C. ZIENKIEWICZ, The Finite Element Method in Structural and Continuum Mechanics, M cG raw — H ill 1967.

3. J. H . AUGYRIS, Energy Theorems and Structural Analysis, Aircraft Eng. 26,1954, 27,1955. 4. C H . MASSONNET, G . D EPREZ, R. MAQUOL, R. MXJLLER, G . FON DER, Calcul des structures sur ordinateur,

Tome I, Analyse matricielle des structures. Paris 1972.

5. G . RAKOWSKI, Metoda elementów skoń czonych w mechanice budowli, Inż ynieria i Budownictwo, n r 2,1971.

6. E. RUSIŃ SKI

, J. TEISSEYRE, Die Berechnungs methaden mit Torsionsmoment helasteten raumlichen Stab-tragwerke, Politechnika Wrocł awska, IKiEM , Komunikat nr 238,1977.

7. J. SZMELTER, S. DOBROCIŃ SKI, Zastosowanie metody elementów skoń czonych do tworzenia macierzy sztywnoś ci elementu pł yty. Biuletyn WAT, nr 4, 200, 1969 r.

8. J. SZMELTER, M. D ACKO, S. PYRAK, Analiza statyczna przestrzennych ukł adów prę towych metodą

 ele-mentów skoń czonych, Poradnik Konstruktora nr 7,1972.

9. O. C. ZIENKIEWICZ, Metoda elementów skoń czonych, Arkady Warszawa 1972. 10. Z. BRZOSKA, Statyka i statecznoś ć konstrukcji PWN , Warszawa 1965.

11. S. TIMOSHENKO, S. WOINOSKY—•  KRIEG ER, Teoria pł yt i powł ok, Arkady, Warszawa 1962. 12. Z. KACZKOWSKI, Pł yty, obliczenia statyczne, Arkady, Warszawa 1968.

P e 3 IO M e

AHAJIH3 CTEPJKHE- CKJIAJiyATOft KOHCTPyKH,HH C n OM Om tK) METOflA KOHE^HBIX 3JIEMEH TOB IIpeflCTaB.neH iweTOfl pacieT a JIK>6ŁIX crep^H e- cKJiafl^aTbix KOHcrpyKi;HH

3JieMeHT0B. IIpHBefleHbi B HBHOM BHfle iwaipimbi H<ecTKoCTH npH MoyroJibH oro H ipeyroJiŁ H oro ciep>Kne-CKJiaflqaToro an eM eim c Tpeiwst creneHHMH CBo6oflbi. B crepHCHe- CKnaffiaTOM ojieiHeirre y^ł ieH a jim6aH (Jiopiwa ce^emra; Kawfloro crrep>KHn:. OnpeflejieH ti Tanwe MaipH aBi >KeCTi<ocTH npHMoyrojn>Hoft CKJiaflKH H paMHOH KOHCTpyKi(HHj cociosH ueft H3 4 cTepwH eii. IIporpaMMa  P R T A H anacaH a Ha H3biKe  « t O P T P A H 1900 H TecTHpoBaHa Ha i(HdppoBOH BbumcjiHTeJibHOH iwaiiiKHe OJI.PA 1300. Pa6oTa

npHAtepoiw.

S u m m  a r y

AN  AN ALYSIS OF TH E ROD - SH IELD  CON STRU CTION S BY TH E F I N I TE ELEM EN T M E T H O D

The way of calculating any rod- shield construction by the finite element method is shown in the paper. The rigidity matrix of the rod- shield construction elements of a rectangular an d triangular shape with three degrees of freedom is given. I n a rod- shield element any shape of the rod cross- section may be applied.

(8)

260 E . RUSIŃ SKI

The rigidity matrix of a rectangular shield and of a four bars frame is also given in the paper. The PRTA programme was writen in the F OR TR AN  1900 language and was tested on the OD RA 1300 computer. The paper is illustrated with an example.

POLITECHNIKA WROCŁAWSKA

(9)

Fn 12IH , a b3 l  "l kr ,] -  Ex t 8(1 - v) 12/Zn F5 «3  ' b  + " * S t T46 2a ~l  12(1 - vz ) L a b

(1- ,)]

t I" 4b a ~2  12(1 v2 ) L a b J t V2b 2a 12(1— v2 ) L a b t r 4a 2b "4  12( 1- i- 2 ) I b ]  a

(1- ,)]

( - vj

Ci) Zj =  1 ( 1 — V) I

0- '

i£(x v } |_ o a j {ny

V

y /  64,, /2, \ \   a2  ' b j Y rt / ( l- 3v) 8( 1- v2 ) 0 jr _ 12/8p a ' ó3  '  " ' M u J

m

\ n 1 — • n i p 11 a  i nr prę ta elementu ( ^ ) nr wę zła elementu

Tablica 1. Macierz sztywnoś ci prostoką tnego elementu prę towo- tarczowego ?(l- 3v) 8(1  - v2 ) 12/ z, m, a3   "= 6/2„ rt2 ; 8(1 - v) 124,, Ą «3   ' i 0 c2 2/z„ a 6hP b% «% a2 4

( V

+

- T)

r

2 ? 8 ( 1- x) 0 b3 8 ( 1 - v 2 ) 6 4P 62 124P / ^ 63  ' 0 '  " J 8(1  - x ) 2 0 *(l- 3v) 8(1  - v2 ) b 0 f 8(1 - v) F, \ 2IZr b a3

/

0

o

0 b2

o

2IZV b b2 64, a2 \  b a j 124, „, b3 / (l- 3v) 8( 1- 0 6/,, b2 *i 2 8(1- 1.) 0 Fr 1  " 2 a

ta- *)

8(1  - v2 ) 0 Ff 124, a  i3 r(l- 3») 8(1 - v2 ) 0 r 8( 1- K ) 2 0 / ( I - 3V) 8 ( 1  —v2 ) 124r a3 a2 8( 1- v) 124, J7. , _, a3  A 64, b%

o

24S 0 0 0 0 64, a2 24, a 64, ft2 64, a2 \ a +  b)

(10)

a

d

2

 = a

2

+b

2

abt

A,=

2(1 - v

2

)

/ I l- v

=

 A

2

[ — +

\  a2 e2 = 1 F F • Tu - I p ~a~ ~d 7* Fp 12/z d3 es  -t* 6 *~ en < m ~-r

- ,] =

 EX

124

b a

7'

J d '• + •

b

\ 2I2p V+1 lab

Tablica 2. M acierz sztywnoś ci trójką tnego elementu prę towo- tarczowego

fl TA2 ab 0 A^ 1- V lab

124. l- v

e*.

T

2a2 2 /z - 1 a2

a d

R \ llZr l- v lb2 \ - v 2ab_ 6/ r, ft2 124 V *

64

1- V - ^2 -  A2 ~b~ ab d2 "X* e4

A

2

_

0

2 4

d

-6LZp d2 4 T _(-  __".

Cytaty

Powiązane dokumenty

W krajach Unii Europejskiej zauważa się tendencję do przyznawa- nia placówkom szkolnictwa wyższego większej autonomii programowej (Raport Eudrydice, Kluczowe problemy edukacji

Literaturoznawczy autobiografizm coraz wyraźniej ugruntowuje dzisiaj swoją pozycję, bo też ,,człowiek bez biografii&#34; ustępuje miejsca „człowiekowi z biografią&#34;,

Nie należy więc z góry przekreślać możliwości zastosowania danego typu elementu (poprawnie sformułowanego), a raczej wszechstronnie przebadać jego zachowanie.

wirowania kulek wokół osi łożyska i ruch obrotowy kulek wokół własnej osi wywołuje powstanie dwóch sił: odśrodkowej i żyroskopowej. Obie te siły znacząco

6 przedstawiono porównanie wyników obliczeń numerycznych uzyskanych w niniejszej pracy (zaciemnione punkty) z rezultatami opublikowanymi w [1] dla modelowej

Wyprowadzono zależności, pozwalające obliczyć sztywność więzi obrotowej (rotacyjnej) elementów skończonych wmiejscu pojawienia się rysy.. Wyniki analiz numerycznych,

Zgodnie z teorią eliminatorów drgań, w miejsce pierwotnej postaci drgań (dotyczy samego frezu), pojawiły się postacie drgań o częstotliwości niższej (ok. 34 Hz) – dotyczy to

w MRS analiza stabilności: prosta – von Neumanna, dla MES nieco trudniej w jednokrokowych schematach– każdy krok czasowy można zapisać