VI Festiwal Nauki i Sztuki (pdf)

(1)

VI Festiwal Nauki i Sztuki

na Wydziale Fizyki UAM

Informatyka

kwantowa

Ryszard Tanaś

http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas

(2)

Spis treści

1 Rozwój komputerów 4

1.1 Początki . . . 4

1.2 Obwody scalone — miniaturyzacja . . . 5

1.3 „Prawo Moore’a” . . . 5

1.4 Zasada Landauera . . . 9

2 Bit 11

2.1 Orzeł czy reszka? . . . 11

2.2 Definicja . . . 12

2.3 Entropia Shannona . . . 13

2.4 Zapisywanie (kodowanie) informacji . . 14

(3)

3 Kubit (qubit) 37

3.1 Definicja . . . 37

3.2 Sfera Blocha . . . 39

3.3 Reguła Feynmana . . . 79

3.4 Kwantowe, czyli nielogiczne bramki

lo-giczne . . . 96

3.5 Rejestry kwantowe . . . 105

3.6 Stany splątane . . . 110

4 Algorytmy kwantowe 120

4.1 Kwantowa faktoryzacja . . . 121

4.2 Komputer kwantowy liczy już do 15! . . 126

(4)

1 Rozwój komputerów 1.1 Początki

ENIAC, luty 1946

(Electronic Numerical

Integrator and Computer) 17468 lamp elektronowych 5000 dodawań/s

357 mnożeń/s 175 kW energii

(5)

1.2 Obwody scalone — miniaturyzacja Komputery stają się coraz

mniejsze

szybsze

(6)

1.3 „Prawo Moore’a” 1970 1980 1990 2000 2010 102 104 106 108 1010 40048008 8080 8086 286 386 486 PentiumPentium II

Pentium IIIPentium 4 Itanium 2

Lata

Tranzystorów/chip

(7)

1990 1995 2000 2005 2010 2015 2020 101 102 103 Lata Rozmiary bramki [nm]

Rozmiary elementów obwodu scalonego (SIA Roadmap 2000/2001)

(8)

Jak długo „prawo Moore’a” będzie jeszcze obowiązywać?

(9)

Obecna technologia to 0.13 µm = 130 nm Przygotowana jest już technologia 90 nm

Już obecnie na jedną bramkę logiczną potrzeba mniej niż 1000 elektronów.

(10)

(11)

Czy istnieją fizyczne granice miniaturyzacji?

Przewiduje się, że około roku 2020 technologia zejdzie do rozmiarów, przy których niezbędne jest

uwzględnienie praw fizyki obowiązujących w mikroświecie, czyli mechaniki kwantowej.

(12)

Earth Simulator marzec 2002, Yokohama 5120 procesorów, 0.15µm 500 MHz NEC 640 węzłów po 8 CPU 40 TFLOPS, tera = 1012 wysokość szafy 2m miniaturyzacja?

(13)

1.4 Zasada Landauera

Rolf Landauer (1927-1999)

Wymazanie jednego bitu informacji wymaga straty energii (wydzielenia ciepła) o wartości co najmniej kT ln 2

(14)

2 Bit

(15)

2 Bit

(16)

2 Bit

(17)

2 Bit

(18)

2 Bit

(19)

2 Bit

(20)

2 Bit

(21)

2 Bit

(22)

2 Bit

(23)

2 Bit

2.1 Orzeł czy reszka?

Rzut monetą pozwala wybrać losowo jedną z dwóch wykluczających się możliwości:

(24)

2 Bit

(25)

2 Bit

orzeł

(26)

2 Bit

orzeł

albo reszka.

Kiedy poznajemy wynik rzutu monetą uzyskujemy

(27)

2.2 Definicja

Niech A będzie zdarzeniem losowym, które występuje z prawdopodobieństwem P (A) (w przypadku rzutu

monetą P (A) = 1/2). Jeśli dowiadujemy się, że takie zdarzenie nastąpiło, to uzyskujemy

I(A) = log₂ 1 P (A) = log2 1 1 2 = log₂ 2 = 1 bitów informacji.

(28)

2.2 Definicja

Niech A będzie zdarzeniem losowym, które występuje z prawdopodobieństwem P (A) (w przypadku rzutu

monetą P (A) = 1/2). Jeśli dowiadujemy się, że takie zdarzenie nastąpiło, to uzyskujemy

I(A) = log₂ 1 P (A) = log2 1 1 2 = log₂ 2 = 1 bitów informacji.

Jeden bit to ilość informacji jaką uzyskujemy kiedy zachodzi jedna z dwóch alternatywnych, jednakowo prawdopodobnych możliwości.

(29)

2.3 Entropia Shannona

Claude E. Shannon (1916-2001) Twórca matematycznych podstaw informatyki H = X i P (A_i) log₂ 1 P (A_i) = − X i P (A_i) log₂ P (A_i)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

2.4 Zapisywanie (kodowanie) informacji

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

0

0 · 27 1 · 26 1 · 25 0 · 24 1 · 23 1 · 22 0 · 21 0 · 20

108 l

(65)

0

1

0

1

0

0 · 27 1 · 26 1 · 25 0 · 24 1 · 23 1 · 22 0 · 21 0 · 20

108 l

Układając monety możemy (teoretycznie) zapisać dowolną informację.

(66)

(67)

(68)

(69)

Słowo bit zapisane w ten sposób

Bardzo kosztowny i bardzo wolny zapis informacji!

Jedna litera = 1 bajt = 8 bitów = 8 ¿ Pamięć mojego komputera:

(70)

(71)

2.5 Operacje na bitach — bramki logiczne 2.5.1 Bramki jednobitowe

? ? ?

(72)

(73)

(74)

2.5.2 Bramki dwubitowe

?

? ? ?

(75)

?

? ?

(76)

0

(77)

0

(78)

1

(79)

1

(80)

0

(81)

0

(82)

1

(83)

1

(84)

0

(85)

0

(86)

1

(87)

1

(88)

0

0 CN OT

0 0

(89)

0

1 CN OT

0 1

(90)

1

0 CN OT

1 1

(91)

1

1 CN OT

1 0

(92)

3 Kubit (qubit) 3.1 Definicja

Klasyczny bit może przyjmować tylko dwie wartości {0, 1} ({orzeł,reszka}, {TAK,NIE}).

Układ znajduje się albo w stanie 0 (orzeł,TAK) albo w stanie 1 (reszka,NIE).

(93)

Kwantowym odpowiednikiem klasycznego bitu jest

dowolny układ dwustanowy: dwa poziomy atomu, spin połówkowy, foton o dwóch wzajemnie ortogonalnych stanach polaryzacji, itp.

(94)

Kwantowym odpowiednikiem klasycznego bitu jest

dowolny układ dwustanowy: dwa poziomy atomu, spin połówkowy, foton o dwóch wzajemnie ortogonalnych stanach polaryzacji, itp.

(95)

Weźmy układ kwantowy o stanach |0i i |1i.

(96)

Kubit (qubit) to dowolna superpozycja tychże stanów |Ψi = A₀|0i + A₁|1i

(97)

(98)

h0|A∗₀ + h1|A∗₁ =hΨ|

(99)

h0|A∗₀ + h1|A∗₁ =hΨ|

hΨ|Ψi = |A₀|2 + |A1|2 = 1

h0|0i = h1|1i = 1 h0|1i = h1|0i = 0

(100)

h0|A∗₀ + h1|A∗₁ =hΨ|

hΨ|Ψi = |A₀|2 + |A1|2 = 1

h0|0i = h1|1i = 1 h0|1i = h1|0i = 0

Kubit reprezentuje obydwa stany:

stan |0i z amplitudą A₀ stan |1i z amplitudą A₁

(101)

h0|A∗₀ + h1|A∗₁ =hΨ|

hΨ|Ψi = |A₀|2 + |A1|2 = 1

h0|0i = h1|1i = 1 h0|1i = h1|0i = 0

Kubit reprezentuje obydwa stany:

stan |0i z amplitudą A₀ stan |1i z amplitudą A₁

Pomiar w bazie {|0i, |1i} daje:

stan |0i z prawdopodobieństwem |A₀|2 stan |1i z prawdopodobieństwem |A₁|2

(102)

3.2 Sfera Blocha

Kubitem jest np. spin połówkowy, który w stałym polu magnetycznym może ustawić się zgodnie z kierunkiem pola lub przeciwnie do tego kierunku. Mamy więc dwa stany |↑i i |↓i, które możemy też nazwać |0i i |1i.

Ewolucja takiego spinu to ruch jego końca po sferze o jednostkowym promieniu, zwanej sferą Blocha.

(103)

3.2 Sfera Blocha

Ale nie tylko spin połówkowy, ale dowolny kubit może graficznie być reprezentowany jako punkt na takiej

sferze. Ewolucja kubitu to ruch punktu po sferze Blocha.

(104)

3.2 Sfera Blocha

Ale nie tylko spin połówkowy, ale dowolny kubit może graficznie być reprezentowany jako punkt na takiej

sferze. Ewolucja kubitu to ruch punktu po sferze Blocha.

(105)

x _y z

(106)

θ

(113)

Przyjęliśmy tutaj następującą konwencję dotyczącą

(114)

kolorowania kubitów:

(115)

kolorowania kubitów:

• Każdy kubit (punkt na sferze) ma własny kolor

• Dwa ortogonalne kubity (punkty na antypodach) mają kolory dopełniające (ich zmieszanie daje kolor biały lub odcień szarości)

(116)

Kubit jest „kwantową monetą”, której stan ewoluując w czasie reprezentuje jednocześnie orła i reszkę, 0 i 1.

(117)

Kubit jest „kwantową monetą”, której stan ewoluując w czasie reprezentuje jednocześnie orła i reszkę, 0 i 1. Podobnie jak koziołkująca w powietrzu moneta,

dopóki nie spadnie na ziemię, reprezentuje zarówno orła jak i reszkę.

(118)

Dopiero pomiar w określonej bazie zmusza ją do wyboru jednej z dwóch możliwości.

(119)

Wybór bazy określa jaki stan będziemy mierzyli, ale w każdej bazie mamy tylko dwie alternatywne możliwości.

(120)

Wybór bazy określa jaki stan będziemy mierzyli, ale w każdej bazie mamy tylko dwie alternatywne możliwości.

Kwantowe monety różnią się jednak od monet klasycznych!

(121)

50 % 50 % 1 0 1 0 Płytka światłodzieląca

(122)

50 % 50 % 1 0 1 0

(123)

50 % 50 % 1 0 1 0

z prawdopodobieństwem 50% zostanie zarejestrowany przez detektor 0. . .

(124)

50 % 50 % 1 0 1 0

(125)

50 % 50 % 1 0 1 0

(126)

50 % 50 % 1 0 1 0

(127)

50 % 50 % 1 0 1 0

(128)

0

1

1 0

(129)

0

1

1 0

Policzmy klasycznie prawdopodobieństwo zarejestrowania fotonu przez detektor 0 Foton padający drogą 0 · · ·

(130)

0

1

1 0

. . . przechodzi przez płytkę z prawdopodobieństwem

1

(131)

0

1

1 0

. . . przechodzi przez drugą płytkę i dociera do detektora z prawdopodobieństwem

1 2 ·

1

(132)

0

1

1 0

Ale jest też druga droga.

Foton odbija się od pierwszej płytki. . .

1 2 · 1 2 + 1 2 · · · ·

(133)

0

1

1 0

. . . i od drugiej płytki. Całkowite prawdopodobieństwo wynosi więc: 1 2 · 1 2 + 1 2 · 1 2 = 1 2

(134)

0

1

1 0

(135)

0 1 1 0 1 2 · · ·

(136)

0 1 1 0 1 2 · 1 2 + · · ·

(137)

0 1 1 0 1 2 · 1 2 + 1 2 · · · ·

(138)

0 1 1 0 1 2 · 1 2 + 1 2 · 1 2 = 1 2

(139)

0

1

1 0

(140)

0

1

1 0

foton padający drogą 0 trafia z prawdopodobieństwem 100% do detektora 1. . .

(141)

0

1

1 0

(142)

0

1

1 0

. . . trafia na pewno do detektora 0

(143)

Co się dzieje?

Złożenie dwóch płytek światłodzielących, z których każda daje wynik losowy (jak rzut monetą) dało w rezultacie wynik absolutnie pewny!

(144)

Co się dzieje?

Foton jest kubitem,

(145)

Co się dzieje?

Foton jest kubitem,

a płytka światłodzieląca jest bramką kwantową!

(146)

Co się dzieje?

Foton jest kubitem,

a płytka światłodzieląca jest bramką kwantową!

Kwantowe monety różnią się od klasycznych!

(147)

(148)

(149)

(150)

(151)

(152)

|0i

(153)

i √

2(|0i − i|1i)

|0i

(154)

i √ 2(|0i − i|1i) |0i √1 2(|0i + i|1i) |1i

(155)

3.3 Reguła Feynmana

W mechanice kwantowej dodają się amplitudy a nie prawdopodobieństwa.

Richard P. Feynman (1918-1988)

Tam na dole jest jeszcze dużo miejsca!

W 1982 r. Feynman pokazał, że nie da się symulować efektywnie procesów kwantowych na komputerach

(156)

0

1

1 0

Foton padający drogą 0 jest kubitem w stanie |0i

(157)

0

1

1 0

Przejście przez pierwszą płytkę:

1 √

(158)

0 1 1 0 Zmiana fazy: eiθ √ 2 · · ·

(159)

0

1

1 0

Przejście przez drugą płytkę:

eiθ √ 2 · 1 √ 2 · · ·

(160)

0

1

1 0

Dodajemy druga drogę. Odbicie na pierwszej płytce:

1 √ 2 · eiθ √ 2 + i √ 2 · · ·

(161)

0 1 1 0 I znowu odbicie: 1 √ 2 · eiθ √ 2 + i √ 2 · i √ 2 = 1 2(e iθ _{− 1)}

(162)

Amplituda stanu |0i w detektorze 0 jest równa

A₀ = 1 2(e

(163)

A₀ = 1 2(e

iθ _{− 1)}

Prawdopodobieństwo zarejestrowania w detektorze 0 fotonu, który wpadł drogą 0 do interferometru wynosi więc: P0 = 1 2(e iθ _{− 1)} 2 = 1 2(1 − cos θ)

(164)

A₀ = 1 2(e

iθ _{− 1)}

(165)

A₀ = 1 2(e

iθ _{− 1)}

Dla θ = 0 prawdopodobieństwo to jest równe zero.

(166)

A₀ = 1 2(e

iθ _{− 1)}

Dla θ = 0 prawdopodobieństwo to jest równe zero.

Foton nigdy nie trafi do detektora 0!

Zmieniając fazę θ możemy dowolnie zmieniać prawdopodobieństwo.

(167)

0

1

1 0

Teraz detektor 1.

(168)

0

1

1 0

Przejście przez pierwszą płytkę:

1 √

(169)

0 1 1 0 Zmiana fazy: eiθ √ 2 · · ·

(170)

0 1 1 0 Odbicie: eiθ √ 2 · i √ 2 · · ·

(171)

0

1

1 0

I druga droga. Odbicie:

eiθ √ 2 · i √ 2 + i √ 2 · · ·

(172)

0 1 1 0 Przejście: eiθ √ 2 · i √ 2 + i √ 2 · 1 √ 2 = i 2(e iθ _{+ 1)}

(173)

A₁ = i 2(e

iθ

(174)

A₁ = i 2(e

iθ

+ 1)

Prawdopodobieństwo zarejestrowania w detektorze 1 fotonu, który wpadł drogą 0 do interferometru wynosi więc: P₁ = i 2(e iθ + 1) 2 = 1 2(1 + cos θ)

(175)

A₁ = i 2(e

iθ

+ 1)

Dla θ = 0 prawdopodobieństwo to jest równe jeden.

(176)

A₁ = i 2(e

iθ

+ 1)

Dla θ = 0 prawdopodobieństwo to jest równe jeden.

Foton zawsze trafi do detektora 1!

Interferometr Macha-Zehndera dziala jak bramka logiczna N OT .

(177)

Skoro cały interferometr to bramka logiczna N OT , to jedna płytka światłodzieląca to √N OT !

√

N OT · √N OT = N OT

√

(178)

Interferencja kwantowa pozwala uzyskać operacje „logiczne” niedostępne w informatyce klasycznej

(179)

Czy takie nielogiczne bramki logiczne mogą się do czegoś przydać?

(180)

Czy takie nielogiczne bramki logiczne mogą się do czegoś przydać?

(181)

3.4 Kwantowe, czyli nielogiczne bramki logiczne

(182)

(183)

(184)

a|0i + b|1i _θ a|0i + beiθ|1i

(185)

|0i _H √1

2(|0i + |1i)

(186)

|1i _H √1

(187)

|0i √_{N OT} 1+i

2 |0i +

1−i

(188)

|1i √_{N OT} 1−i

2 |0i +

1+i

(189)

|Ψi _U |Ψ0i

(190)

3.5 Rejestry kwantowe

Rzucając dwie monety możemy uzyskać cztery różne rezultaty:

(191)

(192)

(193)

(194)

(195)

Co możemy zapisać:

00 = 0

01 = 1

10 = 2

11 = 3

(196)

Co możemy zapisać:

00 = 0

01 = 1

10 = 2

11 = 3

Dla kubitów wygląda to tak:

|00i = |0i

|01i = |1i

|10i = |2i

|11i = |3i

(197)

Ale kubity mogą być w stanie superpozycji, i nasz dwukubitowy rejestr może wyglądać tak

(198)

(199)

albo tak

(200)

W pierwszym przypadku mamy stan kwantowy |Ψi = √1 2 |0i + |1i ⊗ 1 √ 2 |0i + |1i