W2. Zasada równowagi kinetostatycznej Plik

(1)

(2)

Zasada równowagi kinetostatycznej.

z

y

x

Rys. 5.12

0 v

P

B

_m

a

tor

tor Rys. 5.12

Równanie ruchu dla dowolnego punktu o masie m poruszającego się po torze (rys.5.12) ma postać:

m a

 

P

gdzie:

P

_i i n









1 wypadkowa sił działających na punkt.

Równaniu ruchu możemy nadać prostszą postać przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę. Otrzymamy wówczas:





(3)

Oznaczmy odpowiednio:

B

   

m a

tzw. siła bezwładności (siła fikcyjna),

B m a

  

wartość siły bezwładności. Zapiszemy, więc odpowiednio:

P B

  0

(5.11)

(5.11) to tzw. zasada równowagi kinetostatycznej opisującej ruch punktu materialnego (Zasada d’Alamberta).

Z równania (5.11) wynika, że w każdej chwili suma geometryczna sił prawdziwych działających na punkt materialny ( ) oraz sił bezwładności

(4)

Przechodząc z równania (5.11) na zapis skalarny:

P

B

P

B

P

B

x x y y z z























0

(5.12)

Wprowadzamy zatem wszystkie siły prawdziwe działajace na

punkt materialny, dodając do tych sił siły fikcyjne i uważamy ,

że wówczas ten układ sił pozostaje w równowadze statycznej,

ale ponieważ odbywa się ruch, to równowagę tę nazywamy

kinetostatyczna.

Zasadą równowagi kinetostatycznej można opisywać zjawisko

ruchu punktu materialnego, bryły lub układu brył.

(5)

Przykład.

Opisujemy zjawisko ruchu masy poruszającej się po płaskiej chropowatej powierzchni.

Zgodnie z przyjętym układem odniesienia równania ruchu będą miały postać: , Rys. 5.13

G

x

y

N

T

_P

m



















P

N

0 y

m

T

G

x

m



(6)

Rys. 5.14

a

G

x

y

N

T

_P

B

(7)

Wektor pędu i popędu układu sił

k

Q

j

Q

i

Q

v

m

Q

_S





_S



_Sx





_Sy





_Sz



(2.7) x y z L 0 Rys.2.4 Q_S Q_SX Q_SY Q_SZ

Wektor pędu punktu s pokazany na rys 2.4 można zapisać jako:























S Sz S Sy S Sx

z

m

Q

y

m

Q

x

m

Q



(2.9)

 

2

 

2

 

2 Sz Sy Sx S

Q





(2.8)

Wartość wektora pędu masy wyznaczymy z wzoru:

gdzie

1 kg

m

s











(8)

Wektor popędu (impulsu) sił

Weźmy pod uwagę punkt s którego równania ruchu są następujące







n 1 i i S

P

a

m

Traktując przyspieszenie jako pierwszą pochodną wektora prędkości, tzn.:

dt

v

d

a

S S



(2.10) (2.11) równanie (2.10) przyjmie teraz następującą postać:

(9)

po pomnożeniu przez dt będzie:

(2.13) gdzie:

m dv



_S - elementarny wektor pędu środka masy,

P dt

_i



- elementarny wektor popędu (impulsu) wszystkich sił zewnętrznych.

Jeżeli teraz scałkujemy obustronnie równanie (2.13) czyli:

(10)

i po scałkowaniu dostajemy:



v



S

m



_S(1)



_S(0)



gdzie:

m v



_S( )1



Q

_S( )1

m v



_S( )0



Q

_S( )0









t 0 n 1 i i

dt

P

S

- tzw. wektor popędu (impulsu) wszystkich sił zewnętrznych.

Równanie (2.14) po uwzględnieniu powyższego możemy napisać w postaci:

S

Q

_S(1)



_S(0)



(2.15) Wektor pędu w czasie t [s]

(11)

W równaniu (2.15) mamy:

Q

_S( )1



Q

_S( )0 - przyrost wektora pędu

S

- wektor popędu sił zewnętrznych.

Równanie (2.15) rzutujemy na osie przyjętego układu odniesienia i dostajemy:





















































   t _n i iz z z t z S t S t _n i iy y y t y S t S t _n i ix x x t x S t S

dt

P

S

Q

z

m

z

m

dt

P

S

Q

y

m

y

m

dt

P

S

Q

x

m

x

m

0 1 ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( 0 1 ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( 0 1 ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) (



(2.16)

(12)

Równania (2.16) określają zmianę pędu punktu w czasie, na odpowiednim kierunku.

Jednostką impulsu w układzie SI jest

_{1 N s}







Jeżeli zdarzyłoby się tak, iż impuls sił zewnętrznych wynosiłby:

S

P dt

_i i n t











1 0

0

to wówczas:

m v



_S( )1

 

m v

_S( )0



0

Czyli:

m v



_S



Q



const

(2.17) (2.17) jest to tzw. zasada zachowania pędu .