Wyznacznik macierzy
-definicja i własności
Autorzy:
Agnieszka Kowalik
Definicja 1: Definicja wyznacznika
Definicja 1: Definicja wyznacznika
Z każdą macierzą kwadratową związana jest liczba (rzeczywista lub zespolona) nazywana wyznacznikiem macierzy wyznacznikiem macierzy , oznaczana symbolem
. Wyznacznik definiujemy indukcyjnie, w następujący sposób: 1. jeżeli macierz jest stopnia , to :: 2. jeżeli macierz jest stopnia , gdzie , to
gdzie
oznacza podmacierz stopnia otrzymaną z macierzy poprzez skreślenie -tego wiersza oraz pierwszej kolumny.
Wyznacznik macierzy będziemy również oznaczać, stosując następujący zapis:
Warto zapamiętać, że wyznaczniki liczymy tylkotylko dla macierzy kwadratowych.
PRZYKŁAD
Przykład 1:
Przykład 1:
Zgodnie z definicją, wyznacznikiem macierzy składającej się z jednego elementu jest wartość tego elementu, tj.
A
A
detA
A = ( )
a
111
detA =
a
11;
A = ( )
a
ijn
n > 1
detA = det
=
(−1
det
,
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
a
11a
21…
a
n1a
12a
22…
a
n2…
…
⋱
…
a
1na
2n…
a
nn⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
∑
n i=1)
i+1a
i1A
i1A
i1n − 1
A
i
detA =
.
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a
11a
21…
a
n1a
12a
22…
a
n2…
…
⋱
…
a
1na
2n…
a
nn∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
det(7) = 7
| − 27| = −27.
PRZYKŁAD
Przykład 2:
Przykład 2:
Obliczmy wyznacznik macierzy stopnia 2. Niech zatem
Zgodnie z definicją obliczamy
W przypadku obliczania wyznaczników macierzy stopnia 2 można zastosować prostszą metodę mnożenia .
PRZYKŁAD
Przykład 3:
Przykład 3:
Zajmijmy się następnie obliczeniem wyznacznika macierzy stopnia 3. Mamy daną macierz
Mamy:
Obliczamy:
skąd ostatecznie
W przypadku obliczania wyznaczników macierzy stopnia 3 można zastosować prostszą metodę tzw.
A = (
2
3
−1
2
) .
detA = det (
2
) = (−1
⋅ 2 ⋅ 2 + (−1
⋅ 3 ⋅ (−1) = 7.
3
−1
2
)
1+1)
2+1A =
⎛
.
⎝
⎜
−1
2
3
3
1
2
0
1
0
⎞
⎠
⎟
detA = det
⎛
= (−1
⋅ 2 ⋅ det
+ (−1
⋅ (−1) ⋅ det
+ (−1
⋅ 3 ⋅
.
⎝
⎜
−1
2
3
3
1
2
0
1
0
⎞
⎠
⎟
)
1+1A
11)
2+1A
21)
3+1A
31det
A
11= det (
1
2
1
0
) = −2,
det
A
21= det (
3
2
0
0
) = 0,
det
A
31= det (
3
1
0
1
) = 3,
detA = (−1 ⋅ 2 ⋅ (−2) + (−1 ⋅ (−1) ⋅ 0 + (−1 ⋅ 3 ⋅ 3 = −4 + 9 = 5.
)
2)
3)
41. Jeżeli macierz zawiera wiersz (kolumnę) składającą się z samych zer, to
2. Jeżeli zamienimy miejscami dwa wiersze (kolumny) macierzy , to wyznacznik zmieni znak na przeciwny; 3. Jeżeli macierz zawiera dwa jednakowe wiersze (kolumny), to ;
4. Jeżeli do każdego z elementów pewnego wiersza (kolumny) macierzy dodamy pomnożone przez tę samą liczbę odpowiednie elementy innego wiersza (kolumny) tej macierzy (tj. dodajemy elementy leżące w tych samych kolumnach (wierszach)), to wyznacznik macierzy nie zmieni się.
Ogólnie, wyznacznik macierzy nie zmieni się, jeżeli do pewnego wiersza (kolumny) tej macierzy dodamy kombinację liniową innych wierszy (kolumn) macierzy ;
5. Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny) macierzy pomnożymy przez liczbę , to wyznacznik otrzymanej macierzy będzie równy ;
6. Transpozycja macierzy nie zmienia jej wyznacznika, tj. ; 7. Jeżeli macierze i są tych samych stopni, to
(prawo Cauchy'egoprawo Cauchy'ego).
A
detA = 0;
A
A
detA = 0
A
A
A
A
A
α
α ⋅ detA
A
detA = detA
TA B
PRZYKŁAD
Przykład 4:
Przykład 4:
Obliczmy wyznacznik macierzy
Mamy:
skąd
i dalej analogicznie
,
skąd ostatecznie otrzymujemy
Powyższy przykład ilustruje następujące
TWIERDZENIE
Twierdzenie 2: Wyznacznik macierzy trójkątnej
Twierdzenie 2: Wyznacznik macierzy trójkątnej
Wyznacznik macierzy trójkątnej równy jest iloczynowi wyrazów leżących na głównej przekątnej.
Jest to podstawowy fakt z teorii macierzy, wyznaczników i układów równań liniowych. Stanowi on podstawę dla tzw. metody Gaussa.
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
A =
.
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
1
0
0
0
0
2
2
0
0
0
3
3
3
0
0
4
4
4
4
0
5
5
5
5
5
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
detA = (−1
)
1+1⋅ 1 ⋅ det
,
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
2
0
0
0
3
3
0
0
4
4
4
0
5
5
5
5
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
detA = (−1
)
1+1⋅ 1 ⋅ (−1
)
2+2⋅ 2 ⋅ det
⎛
= …
⎝
⎜
3
0
0
4
4
0
5
5
5
⎞
⎠
⎟
… = (−1
)
1+1⋅ 1 ⋅ (−1
)
2+2⋅ 2 ⋅ (−1
)
3+3⋅ 3 ⋅ det (
4
) =
0
5
5
(−1
)
1+1⋅ 1 ⋅ (−1
)
2+2⋅ 2 ⋅ (−1
)
3+3⋅ 3 ⋅ (−1
)
4+4⋅ 4 ⋅ (−1
)
5+5⋅ 5
det
= 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120.
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
1
0
0
0
0
2
2
0
0
0
3
3
3
0
0
4
4
4
4
0
5
5
5
5
5
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=461438f6a488621526c2982f4fe058b0