• Nie Znaleziono Wyników

Wyznacznik macierzy - definicja i własności

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Wyznacznik macierzy - definicja i własności"

Copied!
6
0
0

Pełen tekst

(1)

Wyznacznik macierzy

-definicja i własności

Autorzy:

Agnieszka Kowalik

(2)

Definicja 1: Definicja wyznacznika

Definicja 1: Definicja wyznacznika

Z każdą macierzą kwadratową związana jest liczba (rzeczywista lub zespolona) nazywana wyznacznikiem macierzy wyznacznikiem macierzy , oznaczana symbolem

. Wyznacznik definiujemy indukcyjnie, w następujący sposób: 1. jeżeli macierz jest stopnia , to :: 2. jeżeli macierz jest stopnia , gdzie , to

gdzie

oznacza podmacierz stopnia otrzymaną z macierzy poprzez skreślenie -tego wiersza oraz pierwszej kolumny.

Wyznacznik macierzy będziemy również oznaczać, stosując następujący zapis:

Warto zapamiętać, że wyznaczniki liczymy tylkotylko dla macierzy kwadratowych.

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Zgodnie z definicją, wyznacznikiem macierzy składającej się z jednego elementu jest wartość tego elementu, tj.

A

A

detA

A = ( )

a

11

1

detA =

a

11

;

A = ( )

a

ij

n

n > 1

detA = det

=

(−1

det

,

a

11

a

21

a

n1

a

12

a

22

a

n2

a

1n

a

2n

a

nn

n i=1

)

i+1

a

i1

A

i1

A

i1

n − 1

A

i

detA =

.

a

11

a

21

a

n1

a

12

a

22

a

n2

a

1n

a

2n

a

nn

det(7) = 7

| − 27| = −27.

(3)

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Obliczmy wyznacznik macierzy stopnia 2. Niech zatem

Zgodnie z definicją obliczamy

W przypadku obliczania wyznaczników macierzy stopnia 2 można zastosować prostszą metodę mnożenia .

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Przykład 3:

Zajmijmy się następnie obliczeniem wyznacznika macierzy stopnia 3. Mamy daną macierz

Mamy:

Obliczamy:

skąd ostatecznie

W przypadku obliczania wyznaczników macierzy stopnia 3 można zastosować prostszą metodę tzw.

A = (

2

3

−1

2

) .

detA = det (

2

) = (−1

⋅ 2 ⋅ 2 + (−1

⋅ 3 ⋅ (−1) = 7.

3

−1

2

)

1+1

)

2+1

A =

.

−1

2

3

3

1

2

0

1

0

detA = det

= (−1

⋅ 2 ⋅ det

+ (−1

⋅ (−1) ⋅ det

+ (−1

⋅ 3 ⋅

.

−1

2

3

3

1

2

0

1

0

)

1+1

A

11

)

2+1

A

21

)

3+1

A

31

det

A

11

= det (

1

2

1

0

) = −2,

det

A

21

= det (

3

2

0

0

) = 0,

det

A

31

= det (

3

1

0

1

) = 3,

detA = (−1 ⋅ 2 ⋅ (−2) + (−1 ⋅ (−1) ⋅ 0 + (−1 ⋅ 3 ⋅ 3 = −4 + 9 = 5.

)

2

)

3

)

4

(4)

1. Jeżeli macierz zawiera wiersz (kolumnę) składającą się z samych zer, to

2. Jeżeli zamienimy miejscami dwa wiersze (kolumny) macierzy , to wyznacznik zmieni znak na przeciwny; 3. Jeżeli macierz zawiera dwa jednakowe wiersze (kolumny), to ;

4. Jeżeli do każdego z elementów pewnego wiersza (kolumny) macierzy dodamy pomnożone przez tę samą liczbę odpowiednie elementy innego wiersza (kolumny) tej macierzy (tj. dodajemy elementy leżące w tych samych kolumnach (wierszach)), to wyznacznik macierzy nie zmieni się.

Ogólnie, wyznacznik macierzy nie zmieni się, jeżeli do pewnego wiersza (kolumny) tej macierzy dodamy kombinację liniową innych wierszy (kolumn) macierzy ;

5. Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny) macierzy pomnożymy przez liczbę , to wyznacznik otrzymanej macierzy będzie równy ;

6. Transpozycja macierzy nie zmienia jej wyznacznika, tj. ; 7. Jeżeli macierze i są tych samych stopni, to

(prawo Cauchy'egoprawo Cauchy'ego).

A

detA = 0;

A

A

detA = 0

A

A

A

A

A

α

α ⋅ detA

A

detA = detA

T

A B

(5)

PRZYKŁAD

Przykład 4:

Przykład 4:

Obliczmy wyznacznik macierzy

Mamy:

skąd

i dalej analogicznie

,

skąd ostatecznie otrzymujemy

Powyższy przykład ilustruje następujące

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2: Wyznacznik macierzy trójkątnej

Twierdzenie 2: Wyznacznik macierzy trójkątnej

Wyznacznik macierzy trójkątnej równy jest iloczynowi wyrazów leżących na głównej przekątnej.

Jest to podstawowy fakt z teorii macierzy, wyznaczników i układów równań liniowych. Stanowi on podstawę dla tzw. metody Gaussa.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

A =

.

1

0

0

0

0

2

2

0

0

0

3

3

3

0

0

4

4

4

4

0

5

5

5

5

5

detA = (−1

)

1+1

⋅ 1 ⋅ det

,

2

0

0

0

3

3

0

0

4

4

4

0

5

5

5

5

detA = (−1

)

1+1

⋅ 1 ⋅ (−1

)

2+2

⋅ 2 ⋅ det

= …

3

0

0

4

4

0

5

5

5

… = (−1

)

1+1

⋅ 1 ⋅ (−1

)

2+2

⋅ 2 ⋅ (−1

)

3+3

⋅ 3 ⋅ det (

4

) =

0

5

5

(−1

)

1+1

⋅ 1 ⋅ (−1

)

2+2

⋅ 2 ⋅ (−1

)

3+3

⋅ 3 ⋅ (−1

)

4+4

⋅ 4 ⋅ (−1

)

5+5

⋅ 5

det

= 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120.

1

0

0

0

0

2

2

0

0

0

3

3

3

0

0

4

4

4

4

0

5

5

5

5

5

(6)

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=461438f6a488621526c2982f4fe058b0

Cytaty

Powiązane dokumenty

Z twierdzenia 1 wyprowadzonego w poprzednim paragrafie wiemy, że macierz G może być nieosobliwa, a tym samym układ (2) może mieć dokładnie jedno rozwiązanie również

Pojęcie wyznacznika macierzy (lub przekształcenia liniowego reprezentowanego przez macierz) definiuje się tylko dla macierzy

Algebra macierzy Geoinformacja Kolokwium przykładowe.

Mając to pojęcie możemy wypowiedzieć następujące twierdzenie, które pozwala nam wyznaczać macierz odwrotną przy pomocy operacji elementarnych:..

wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,listopad 2012 1

--- Twierdzenie 1. Największa liczba liniowo niezależnych wierszy , jak również największa liczba liniowo niezależnych kolumn macierzy równa się rzędowi tej macierzy.

 Wyznacznik macierzy kwadratowej, której elementy pewnej kolumny (pewnego wiersza) są sumami dwóch składników jest równy sumie wyznaczników macierzy, w których elementy tej

Jeżeli do elementów pewnego wiersza macierzy A do zostaną dodane elementy innej kolumny pomnożone przez pewną stała, to wyznacznik macierzy A pozostanie