Asymptota ukośna wykresu funkcji

(1)

Asymptota ukośna wykresu

funkcji

Autorzy:

Katarzyna Czyżewska

(2)

Asymptota ukośna wykresu funkcji

Autor: Katarzyna Czyżewska

DEFINICJA

Definicja 1: Asymptota ukośna lewostronna

Prosta jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji , jeżeli jest zbiorem nieograniczonym od dołu oraz granica różnicy wartości funkcji i funkcji liniowej w jest równa zero

.

DEFINICJA

Definicja 2: Asymptota ukośna prawostronna

Prosta jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji , jeżeli jest zbiorem nieograniczonym od góry oraz granica różnicy wartości funkcji i funkcji liniowej w jest równa zero

.

UWAGA

Uwaga 1:

Jeżeli prosta jest jednocześnie asymptotą ukośną lewo i prawostronną, to nazywamy ją asymptotą obustronną wykresu funkcji .

Jeżeli współczynnik kierunkowy asymptoty ukośnej jest równy zero , to asymptotę ukośną nazywamy asymptotą poziomą.

Komentarz Komentarz

Z definicji Asymptota ukośna prawostronna wynika, że wykres funkcji wraz ze wzrostem argumentów coraz bardziej zbliża się do asymptoty. Z definicji Asymptota ukośna lewostronna wynika, że wykres funkcji dla argumentów zmierzających do coraz bardziej zbliża się do asymptoty.

Zauważamy również, że asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej, dlatego też, jeżeli okaże się, że istnieje asymptota pozioma lewo lub prawostronna wykresu funkcji, to nie badamy już istnienia asymptoty ukośnej.

Rysunek 1: Wykres funkcji prostej będącej asymptotą ukośną lewo- i prawostronną.

y = ax + b

y = f(x)

D

f

f(x)

(ax + b) −∞

(

lim

x→−∞

[f(x) − (ax + b)] = 0)

y = ax + b

y = f(x)

D

f

f(x)

(ax + b) +∞

(

lim

x→∞

[f(x) − (ax + b)] = 0)

y = ax + b

f(x)

(a = 0)

y = b

−∞

(3)

Rys. 1 przedstawia wykres funkcji, dla którego prosta o równaniu jest asymptotą ukośną lewostronną, a prosta o równaniu jest asymptotą ukośną prawostronną. Rzeczywiście dla ciągu argumentów zmierzających do różnica pomiędzy wartościami badanej funkcji, a wartościami funkcji liniowej dąży do zera. Analogicznie dla ciągu argumentów zmierzających do + różnica pomiędzy wartościami badanej funkcji, a wartościami funkcji liniowej dąży do zera.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: o współczynnikach asymptoty ukośnej lewostronnej

o współczynnikach asymptoty ukośnej lewostronnej

Jeżeli jest zbiorem nieograniczonym od dołu, to prosta jest asymptotą ukośną lewostronną wtedy i tylko

wtedy, gdy oraz i granice te są właściwe.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

Twierdzenie 2: o współczynnikach asymptoty ukośnej prawostronnej

o współczynnikach asymptoty ukośnej prawostronnej

Jeżeli jest zbiorem nieograniczonym od góry, to prosta jest asymptotą ukośną prawostronną wtedy i tylko wtedy, gdy oraz i granice te są właściwe.

WNIOSEK

Wniosek 1:

Aby zbadać, czy istnieje asymptota pozioma lewo lub prawostronna wykresu funkcji , badamy, czy dziedzina funkcji jest zbiorem nieograniczonym od dołu lub od góry, a następnie, czy granice lub są właściwe. Jeżeli tak jest, to prosta jest asymptotą poziomą lewostronną, a prosta asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji.

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Wyznacz asymptoty ukośne wykresu funkcji . Rozwiązanie:

Wyznaczamy dziedzinę funkcji . Dziedzina funkcji jest zbiorem nieograniczonym od dołu i od góry. Badamy, czy istnieje asymptota pozioma lewo i prawostronna wykresu funkcji

Obydwie granice są właściwe, a zatem prosta jest asymptotą poziomą obustronną. Istnienie asymptoty poziomej obustronnej wyklucza istnienie innej asymptoty ukośnej.

y = −x + 1/2

y = x − 1/2

−∞

y = −x + 1/2

∞

y = x − 1/2

D

f

y = ax + b

a = lim

x→−∞ f(x)x

b =

lim

x→−∞

[f(x) − ax]

D

f

y = ax + b

a = lim

x→∞f(x)_x

b =

lim

x→∞

[f(x) − ax]

f(x)

lim

x→−∞

lim

x→∞

f(x)

y =

lim

x→−∞

f(x)

y =

lim

x→∞

f(x)

f(x) =

x x−1

= R ∖ {1}

D

f

=

= [

] = 1,

=

= [

] = 1.

lim

x→−∞ _x−1x

lim

x→−∞ _{x(1− )}x1 x 1 1−0

lim

x→+∞ _x−1x

lim

x→+∞ _{x(1− )}x1 x 1 1−0

y = 1

(4)

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Wyznacz asymptoty ukośne wykresu funkcji Rozwiązanie:

Wyznaczamy dziedzinę funkcji , która jest zbiorem nieograniczonym od dołu i od góry. Badamy istnienie asymptot poziomych lewo i prawostronnej

i .

Obydwie granice są niewłaściwe, a zatem nie istnieją asymptoty poziome.

Badamy istnienie asymptot ukośnych lewo i prawostronnej licząc odpowiednie granice oraz

Widzimy zatem, że współczynnik kierunkowy a równy jest dla asymptoty prawostronnej i dla asymptoty lewostronnej. Obliczamy wartości współczynników dla obydwu asymptot

oraz

Obydwie granice są właściwe, a zatem prosta jest asymptotą ukośną prawostronną, a prosta jest asymptotą ukośną lewostronną.

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Wyznaczamy dziedzinę funkcji , która jest zbiorem nieograniczonym od góry i od dołu. Badamy, czy istnieją asymptoty poziome lewo i prawostronna licząc odpowiednie granice

oraz

Obydwie granice są właściwe, a zatem prosta jest asymptotą poziomą prawostronną, a prosta jest asymptotą poziomą lewostronną. Istnienie asymptot poziomych wyklucza istnienie innych asymptot ukośnych.

f(x) =

_√

− −

x

−−−

2

− 1

.

= (−∞, −1] ∪ [1, ∞)

D

f

= +∞

lim

x→−∞

√

− −

x

−−−

2

− 1

lim

x→+∞

√

x

− −

−−−

2

− 1

= +∞

=

= 1

lim

x→∞ x−1 2 √ x

lim

x→∞ x 1−1 x2 √ x

=

= −1.

lim

x→−∞ x−1 2 √ x

lim

x→−∞ |x| 1−1 x2 √ x

lim

x→∞ −x 1−1 x2 √ x

1 −1

b

(

− x) =

(

− x) ⋅

=

= [ ] = 0

lim

x→∞

√

− −

x

−−−

2

− 1

lim

x→∞

√

− −

x

−−−

2

− 1

x−1+x 2 √ +x −1 x2 √

lim

x→∞ x−1− 2 _x2 +x −1 x2 √ −1∞

(

+ x) =

(

+ x) ⋅

=

= [ ] = 0.

lim

x→−∞

√

− −

x

−−−

2

− 1

lim

x→−∞

√

− −

x

−−−

2

− 1

x−1−x 2 √ −x −1 x2 √

lim

x→−∞ x−1− 2 _x2 −x −1 x2 √ −1∞

y = x

y = −x

f(x) =

x−3 −9 x2 √

= (−∞, −3) ∪ (3, ∞)

D

f

=

= 1

lim

x→+∞ _√x−3_x2₋₉

lim

x→+∞ x(1− )3 x x 1−9 x2 √

=

= −1.

lim

x→−∞ _√x−3_x2₋₉

lim

x→−∞ x(1− )3 x |x| 1−9 x2 √

lim

x→−∞ x(1− )3 x −x 1−9 x2 √

y = 1

y = −1

(5)

PRZYKŁAD

Przykład 4:

Wyznaczamy dziedzinę funkcji , która jest zbiorem nieograniczonym tylko od góry. Badamy istnienie asymptoty poziomej prawostronnej (ze względu na postać dziedziny)

W celu obliczenia ostatniej granicy dokonujemy podstawienia i wyznaczamy granicę

. A zatem , czyli prosta jest asymptotą poziomą prawostronną. Istnienie asymptoty poziomej prawostronnej wyklucza istnienie innej asymptoty ukośnej.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 05:04:27

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=4dca25d11c175144a1e23777aed7bcdd