Rozkład funkcji wymiernej na sumę wielomianu i ułamka wymiernego. Rozkład wielomianu na czynniki

(1)

Rozkład funkcji wymiernej

na sumę wielomianu i

ułamka wymiernego.

Rozkład wielomianu na

czynniki

Autorzy:

Tomasz Drwięga

2019

(2)

(1)

Definicja 1: Funkcja wymierna

Funkcję nazywamy funkcją wymiernąfunkcją wymierną , jeśli i są wielomianami dowolnego stopnia.

Jeśli stopień wielomianu jest mniejszy niż stopień wielomianu to funkcję nazywamy funkcją wymiernąfunkcją wymierną właściwą (ułamkiem wymiernym)

właściwą (ułamkiem wymiernym) .

Zauważmy, że każdą funkcję wymierną niewłaściwą (tj. ) można przedstawić jako sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej poprzez wykonanie dzielenia wielomianów z resztą.

Kilka przykładów pozwoli nam się zapoznać z technikami przekształcania funkcji wymiernej niewłaściwej na sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej.

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przedstawić podaną funkcję wymierną w postaci sumy wielomianu i ułamka wymiernego

Przekształcając wzór funkcji, otrzymujemy

Szukana postać funkcji, to wielomian i ułamek wymierny

W(x) =

P(x)_Q(x)

P(x) Q(x)

P(x)

Q(x),

W(x)

st. P(x) ≥ st. Q(x)

f(x) =

x4+3 −1_x2

.

+5 x2

f(x) =

x

4

+ 3 − 1

_{+ 5}

x

2

x

2

=

+

=

( + 5) − 2 − 1

x

2

_x

2

_x

2

+ 5

x

2

x

2

−2 − 1

x

2

+ 5

x

2

=

x

2

+

−2( + 5) + 9

x

2

=

− 2 +

.

+ 5

x

2

x

2

_x

2

9 _{+ 5}

− 2

x

2 9

_.

+5 x2

(3)

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Zapisz funkcję wymierną w postaci sumy wielomianu i ułamka wymiernego

Funkcję wymierną właściwą otrzymamy, wykonując dzielenie z resztą wielomianów

Stąd

f(x) =

x8

.

+1 x3

( )

x

8

− −

x

8

_x

5

−

−−−−−−

−

−x

5

+

x

5

_x

2

−

−−−−

−

x

2

: ( + 1) =

x

3

_x

5

−

_x

2

f(x) =

x

5

−

_x

2

+



 





wielomian

.

x2 +1 x3

 

 



ułamek wymierny

(4)

(2)

(3)

(4) Przedstawić podaną funkcję w postaci sumy wielomianu i ułamka wymiernego

Rozwiązanie: Rozwiązanie:

Przekształcamy wzór funkcji, stosując w liczniku dopełnienie algebraiczne tak, aby nie zmienić jego wartości, a jedynie zmienić tylko jego postać

Identyczny wynik otrzymamy, wykonując dzielenie pisemne wielomianów

A zatem szukany rozkład to

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1: o rozkładzie wielomianu na czynniki

Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można przedstawić jako iloczyn czynników i

, gdzie wielomiany są nierozkładalne (tzn. mają zaś nazywają się krotnościami tych czynników. Wówczas wielomian dla ma postać:

oraz Liczby nazywamy wówczas krotnościami pierwiastków , ponieważ czynnik liniowy pojawia się w rozkładzie wielomianu na czynniki krotnie:

f(x) =

x3+3x−9

.

+2x+5 x2

f(x) =

x

3

+ 3x − 9

_{+ 2x + 5}

x

2

=

x( + 2x + 5) − 2 − 2x − 9

x

2

_x

2

+ 2x + 5

x

2

= x +

−2 − 2x − 9

x

2

_{+ 2x + 5}

= x +

=

x

2

−2( + 2x + 5) + 2x + 1

x

2

+ 2x + 5

x

2

= x − 2 +

2x + 1

_{+ 2x + 5}

.

x

2

( + 3x − 9)

x

3

− − 2 − 5x

x

3

_x

2

−

−−−−−−−−−−−

−

−2 − 2x − 9

x

2

2 + 4x + 10

x

2

−

−−−−−−−−−

−

2x + 1

: ( + 2x + 5) = x − 2

x

2

f(x) =

x − 2

_{ }

_{ }

_

+

wielomian

.

2x+1 +2x+5 x2



 





ułamek wymierny

(x − a

i

)

ki

( + x +

x

2

_b

_i

_c

_i

₎

li

x

2

+ x +

b

_i

c

_i

Δ

_i

< 0)

k

_i

, ∈ N ∪ {0}

l

_i

≠ 0

a

n

W(x) =

a

n

x

n

+

a

n−1

x

n−1

+ ⋯ + x + =

a

1

a

0

= (x −

a

n

a

1

)

k1

(x −

a

2

)

k2

…(x −

a

r

)

kr

( + x +

x

2

b

1

c

1

)

l1

…( + x +

x

2

b

s

c

s

)

ls

+ + ⋯ + + 2( + ⋯ + ) = n.

k

1

k

2

k

r

l

1

l

s

k

1

, , …,

k

2

k

r

, , …,

a

1

a

2

a

r

(x − )

a

i

k

i

−

(x −

a

i

)

ki

.

(5)

(6)

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Rozłóżmy wielomian na czynniki, jeśli

Wielomian rozłożymy na czynniki stosując metodę grupowania wyrazów

PRZYKŁAD

Przykład 4:

Rozłóżmy na czynniki wielomian

Skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia. Przekształcając wzór wielomianu , otrzymujemy

gdzie obie zapisane w nawiasach funkcje kwadratowe są nierozkładalne (w obu przypadkach ich ). Zatem jest to szukany rozkład wielomianu , gdyż jest to iloczyn złożony jedynie z czynników liniowych lub kwadratowych, o delcie ujemnej, w pewnych potęgach (tutaj oba te czynniki mają krotności pojedyncze).

PRZYKŁAD

Przykład 5:

Rozłóżmy wielomian na czynniki, jeśli

Zróbmy podstawienie czyli . Korzystając z własności funkcji kwadratowej

, otrzymujemy, że oraz . Nie chodzi tu jednak o wyliczenie pierwiastków wielomianu, których nasz wielomian oczywiście nie ma, a jedynie o zamianę sumy na iloczyn.

Stąd mamy postać iloczynową

Wracając do podstawienia mamy szukany rozkład wielomianu na czynniki

R(x)

R(x) =

x

3

+ − x − 1.

_x

2

R(x)

R(x) =

x

3

+ − x − 1

_x

2

_{= (x + 1) − (x + 1) = (x + 1)( − 1) =}

_x

2

_x

2

= (x + 1)(x + 1)(x − 1) = (x + 1 (x − 1).

)

2

P(x) =

x

4

+ 1.

P(x),

P(x) =

x

4

+ 1 = ( + 2 + 1) − 2 = ( + 1 − 2 =

_x

4

_x

2

_x

2

_x

2

₎

2

_x

2

= ( + 1 − ( x = ( + 1 −

x

2

₎

2

_{√ )}

₂

2

_x

2

_√

₂

x)( + 1 +

_x

2

_√

₂

x),

Δ < 0

P(x)

Q(x)

Q(x) = 2 + 20 + 18.

x

4

_x

2

= t ≥ 0

x

2

_{Q(t) = 2 + 20t + 18}

_t

2

(Δ = − 4ac, =

b

2

_t

₁ −b− Δ√

, =

)

2a

t

2 −b+ Δ2a√

t

1

= −1

t

2

= −9

Q(t) = 2 + 20t + 18 = 2(t + 1)(t + 9).

t

2

Q(x)

Q(x) = 2( + 1)( + 9).

x

2

_x

2

(6)

(7) Rozłóż wielomian na czynniki, jeśli

Rozwiązanie: Rozwiązanie:

Zauważmy, że , a zatem z twierdzenia wielomian jest podzielny przed dwumian . Dzieląc z resztą wielomiany, bądź stosując schemat Hornera, otrzymujemy

Przekształcając wzór wielomianu , mamy

Jest to szukany rozkład wielomianu ponieważ wyróżniki (tzn. ) obu funkcji kwadratowych: i

są mniejsze od zera. Nasz wielomian ma jeden czynnik liniowy w krotności podwójnej oraz dwa czynniki kwadratowe nierozkładalne, każdy z nich o pojedynczej krotności.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 16:20:58

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=4ab60352f939d5853d875bc4a5dc6efe