Einige grundlagen für die anwendung quadratischer mittelwertrechner bei seegangs-versuchen

(1)

Einige Grundlagen für die Anwendung quadratisdier

Mittelwertrethner bei Seegangsversudien

1.

('ber 't1iifT'4wweguiigen. das ('herkommen nn Wasser und

igl. in tin regeinialligein seegang kunnen rItetìo w ¡e jilter soi-then erg.tng selbst nur \X ahr heinitdikritsau--agrn gemat3it werden. l)abei spielt die \'ariani. der Koordinateder Bewegung groLle Bulle. Bezeithnet man die Bewegungskoordinate1(, eine i.tiíàlligr Funktion tier Zeit t

igt. mit t t. -o gilt für

Varianz

in,, (tI F

(sui

F t))

F: .-- E2

x(t)}

.

Im folgenden wird immer vorausgesetzt. daß idi bei t (t) tito einlTt stationaren zu1lligen Vorgang handelt. Bei einem -oiditm st F

f (t (ii)

. insbesondere audi <Jer Mittelwert

F (ti tinti tile Varianz ni,, (t). unabhangig von der Zeit t.

Ferner

rd audi immer E t (t))

O angenommen. Dies

kann till rth eine geeignete Nullpunktsversthiebung in jedrn Fall utilit errrit+mt trtIen. Unter diesen Vorau tziingt'n kann um tue \ driattz

tn,,

E t2(t)}

itsthrjtlten werden.

Rei likanntem m, könnrn u. a. folgende Aussagen über

ii i.lr egting s. (t) gematlit werden:

abrs'heuttlitIikrit. ¿lail s. ti einen himstmntnttrn '

eri t1 nitlit

li reitet

'1 V. is.

2irmt

.thejn1jthkrjt_ ibill s. ; gritßere Werte ¿ui annimmt

V. i'

q.lni,: ti)

2.irti,

11

\\ ahrst-htiiilit4ikeit. dall uit' Amplitutkn a s.on t (t) einen

be--tinimien \ -rt a1 nitlit ùbt'rstlireiten siehe Bild I

(a 1 d1) I P1

14 (itt ai)

IIi

Ingo krajjii.r. Iiamhiurg

it

q (n-i,,; t1) . (la)

V. ahr.olirinitt4ikt-it. ibili lie \nitltttmden a 'on t (tj griil.br

ai-V. '4 Iii,, a ) - 2)

I) Ls kcmtin sin-h dabei a in itt' Taachbe t'egli HQ

Punkres dei Sehmfies.

die eiispreciit'tiden (

kette't oder fleschtett dein

2) E )) ¿ I bedeuiiei tite niathematische krti'artuitçt der hi

qesehuetJCen Klammern siehendevi Vunkttr. der:ufdIllt)eq Va leu

\ahrscheinilithkeit. daß riipiituden aus einem Intervall

a, a a.. auftreten:

V. (a1<a<a..l

t.titll,,

q-,(m; a1.a

(2t \I itteiw eri ier p° 'o grutßten Ampi it uden O < p < i flOt

a a > a,

k1 (pi j nl,, q (m,,:

I)abei ij-t

I

IO

j 2m.,

/ in

p

V. alir-t+ieinliu4iste Ampiitud von t (t):

=

(3h(

Er-artt1ngsw eri di-r jeweils größten Ampi t Lilie aus n knipi i-t uden

E {a,,.s. 1 - k. (n) I'm,, = q (rn,; n) . (3e)

Wahr-dieiniiu+icter Wert der größten Am1tlittitie aus n-Ampli-tt,drn:

= k

(n) j/m, - q'1 (m0 n)

Tabellen füt- kt (p). k (n) unii k (n) smi z ¡I ¡n tier rlwit von Bartadi (1959) zu finden).

Vttr..tehend,' Zusammenstellung zeigt, daß man mit

Iliik der

Varianzen m, tier Sehiffshewegungt'n auf redit einfarht- Wrie

eine gatize Reihe von Größen bestimmen kaiin. mit tienen man da° eeirrhalten (das letztiidi von den S'hifTsttt-vst'gtingt-n.

wo-t-tinter Wege hiZw. W inLet unti deren A bleit un gen -r '.t anden wenden. ahihngt) eines -hifT- tharøkteriieren kanti Hinzu kommt, daß audi m,, selbst au \lesstingen relativ .'infa+t

ti. i'

sogar du reh a ti toma ti sib arbei t en tir R t'eh en w en k e. i t'- t Ut tilt werden kann.

2.

Für die arianz on t (t) bestehen fttigentie Be-,i.'hijttgeii

E{}

Çs.?fis.ds.

1t) bedeutet dabei die Verteilung-iltt4mte von s. F.5 hantleit -iti

tin-i i-jilt- Niirniaiverteiliing N t), j rn,,)

-t2 (t1)

E {x lint (S)

II

- -'- - s. t 1 i t la hi- i s. t't-tlT it.i iene unit-r t len or

liegen-riheiteri tiitgitilit- Rt-alisationeii des zufälligen

Pro-tiler t'-I inmrtmt.'n Lei tt

-F. Iiii s. ii dt

--d statt m0 ene Große R = 2m,) eerwendei (3a)

(2)

Zur Bestituimung von m0 aus einer Messung von x (t) ist

keine der Beziehungen (4), (5) und (6) unmittelbar _geeignet: t (i) in (4) hngt selbat von m0 ab. Das für (5) notwendige En' -.emble verscthiedener Realisationen von z (t)

Ist für n-'

'udier und audi für n < - meist nidit verfügbar. Sdiuießlidi

kann man audi nidit -- um (6) zu beredinen- -- z (t) ber eine

iinendlidi lange Zeit messen. Aus mehreren Gründen muß T sogar oft relativ kurz gewählt werden: erstens, weil man _in der Wirklidikeit z (t) meist nur über relatiy kurze Zeit_nut ge-nügend guter Näherung als stationär annehmen darfund

zwei-tens, weil bisher Integrierwerke zur automatisdien Berr'dinung von quadratischen Mittelwerten nur (kir nicht zu große Inte-grierzeiten T zur Verfugung stehen.

Ber.chnet man den Mittelwert von z2 (t) über _{eine Zeit} so wird man im allgemeinen für verschiedene solche /eitabsdinitte T (vgl. Bild 2 verschiedene Werte für

o i

h1I' 455(t)

- _{_______________}

Jeder nio+i (7), d. h. jeder in Wirklichkeit_{berechnete Wert}

rl _{t0 ist eine Schätzung von m0}_{- tm etwa- über die}

Ge-Luigke.it einer solchen Schätzung _{aussagen zu können. isird} nadusten Abschnitt die Streuung O von t0 berechnet.

3.

I)ie Varianz _{von ti0 ist (der Index k wird im folgenden} useggelassen):

= E {(a, - m1,)2}

E {t') - rn02

- (9)

Für E kann man schreiben (vgl. (;Ieidiung (7)):

E (t'

_El

'

) z' (ti) dt1 I

'

₍₁₂₎_dts} I,

- E

(t

x'(t) dt1 dt}

z(t1) _z(t2) Yl ; -- v t

L -

-r j/m0 )/m0

Da z (t) als stationär vorausgesetzt worden ist, kann man Gleichung (10) umformen, indem man L t1 t setzt und

die Iniegrationsgrenzen entsprechend verändert (vgl. Bild 3).

Bild -4

E {k}

klAn I;.

= hrn

n n

T i

o T kx' (t) dt E (y

v2} =

¡

2i j'lt/(t)

'2 exp y1t

2(1 --.'

1

T

if

1101

dt.

₍₈₎

+

djih2,

(13)

2(1q')

2(1 .q') T n

Die Reredunung dieses integrals läßt sidu

_{mit Hilfe von}

folgt daraus _{Integraltafeln (z. B. Gröbner-Hofreiter (1957))}

leicht durch-führen. Man erhält:

E

T fTmodt m0. (8a) _{oder auch}

E{ytv2) = I + 2q'(r)

(13a)

E (z(ti) x(t2)

- m0' + 2R'(z) -

_iI3Io) l

f

(t) dt (7)

i

I

= 2x (m,,'

R' (t evp

- t&)

i

1

L)) i [ 2 (rn,! R' (t halten (der links stehende Index k weist dabei auf einzelne (rn,1 (x'(t1) +

"('&) - 2R (t L) X)11) x(l)))J

_tI2

teitabadinitte hin).

Mit den Beziehungen

r T T R (t1

L)

1 (t)

ifild 2 m0

( (r) ist der Korrelationskoeffizient _{von z (te) und X (It))} zufällige Variable, Ihr Mittelwert ist

sowie mil Gleidiung (12) ergibt sich für Gleichung

_(lit:

i; lZt1) a'(t.)

dt1 dt _(IO)

Sctuustet't'urilk Bd 13 - 1555 - Heft 65 _{- 56}

-4) Rit1 t,)

ist die Aufokui'aroanzfuiiktton_{von X(Ib}

4

Die Indizierung der Zeit t dient dabei lediglich zur 'nter-

.

scheidung der beiden Integrationsvariablen.

Mit der Verteilung'didite f(z_{(t1). z (12)) der} zweidimensio-nalen zufälligen Variablen (i_{(ti). z (t&) gilt fur den Integran'}

den von (10)

E {z'(ti) z'(t2)

f f x'(t1) x2(t.

f (z(t1),x (t.)) dz (ti) dx(t.) . ₍₁₁₎ Mit E {x'(t1)

_{E x'(t.)}

E z'(t1) z' (t2)} R (t --- L) 4)

findet man di _{Verteilungadidite von (x(t1). z (12)) (siehe z H.}

Schmetterer (1956), Seite 102):

(3)

man nni+t (131.

_{-itiert, ett,tt man}

T ,

:11..?;

T2

Íu

2Rin)dr.lt1

(II)

t, - o t1 I

f ti r tirri er't'n '.ummantIen dr. Intrgran.I.'n ergilt -d

T

'i

ni,2 dT dt ru2 j

r

F ir irrt zwriien Surnntanden findet man. _{rnn man tite ¡nt.'}

ratt iifnlgr .ertutht und nI.*'r I

integriert

T i

ITI iii .it

Rit tJi

dt

'

R2(T) dt. t - t I t li _t, _{- T} -? ri 'F T) di (T

ri dt

-'J'!

n H2n dr.

_{(I 4bj} o

B. irr letzten nifortitung wurde daon Gebraudi gema.3tr.

daß H t %rnrnetrl"rh tinti tH1 TI

rhieftn rtr'tri'.'h

tt-I u trr Benutzung turn (111. (I ia) und (1 1h) erhalt man für

,li-' mug 9)

ii R (Y) dr

o

I)

ti,

t.! dut' ittt'iiiuit1.

tin ii,

al.. Funktion der mie (ito-i (mitt 1rLiz.'ut 'F ..o

'I,' r

_{\ utokotariarizfunktiun R IT)}

ton t i gegeben

4.

I (.l.'n-Iititug I 5 _{ttritrr atj'-ttt'rtrn zu knnnrn. nuuß dir}

.ti t.. tdi mt uifuirikt io H I T I bekannt ..ein

znrrti .k

und

f irI1

i 'i''

halten ge/rig!. daß ritan die

Autokotarsanizfunk-i. ri,iturlu.+ut'ni '.'egau,g bitt ton t+uufT'..bewrgungrn in ..ol, fi. 'mi r.'rht gut durrk,

H I T) nt,, e rf r..,, t I

anntuhrrn kann 'i.' halen auc+, 58 ''er!paare (fi. (u,), die auf G ru. -i tim Tr.'.uingr'n ..r-'r..chirdrnirr regänge in- -tinim! wirr-tient .1, t.'r,.ffennludir Bild zeigt dur' Mittrltterte t on ri und

t _a' _{f't,nktion let kennzeii4inendrni WelI.'nhrihe.}

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ii mari dru

_{uiirurk )1uj in Cleud'uung (ISt run.} _o

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T) (e ""° r'u (ml 'r) dr

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d einige _{"itere GI jeder izrii+1net. lie hei} 'ndrn T- r'rt,'n t ernaeiula'.'.igl.mtr kleìn tt tr

IUTQ lviteQral2 tm'ttrujen dit 'air«?cio n'un '-r (857k hr'ntilrt

Bild 4

Bf's.,r naher auf die (;le.+1ung (171 rin-gegam nor+i rinIge uber due Parameter ni und tui,, der .\

funktion (16) ge.agt. ri, kann al.. die Frequenz ter w. 'len. in deren \an+uhar..,+uaft .Ia.. _{.ergangi..prktrw...groI3t}

crU' annimmt.

u hängt on tier L nrrgelmaßigkeit des S'.'ganugo ab' l

1)unung itt ti kl.'in, hei indee groß. Da bei einer 1)unung der grußte Teil .1er Energie huuig tí.n F:lenìrntarwellen grnßer l.ànge beigetragen wird. i'! in di»ein Fall audii'. meist klei

ncr al.. bei t'ifler Wjntfee l)c Verhltni.. u ii

tt rd drhalli

nidit i'hr «rark ..u-hw-anken. Braudihare Werte ..inuj

« it

(1,1

lais 0.3. 'wtzt man tie in Gleidiung 17) ein, "EI ergibt tufi

0.71 bi» 0,725

fil,,.

)'uT

Glrii'hung _{I 7a) zigr. daß die Streuung der iia"ii (leidiung} )7) beredineten (2,-Werte um to größer wird jr. kleiner die Mrß- bzw. Integrierzeit i't und e kleiner a itt Fr"ti're» en! sprid'ut dujr+1at,.. un"rrer ortti'Ilung. (,eiztq'rr". ! ?u4iUu.1li

üherra',u'hn'nd - J.' kleiner (L i'.t. in einem netto engn'ren l3rreidi

ist die F:nergie des Seegangt um (lie Frequenz I,, kiaui.,'ntrìrrt

Men erwartr'n. daß in einem ..uln'hen Fall der naturluifie Ses'

gang regelmäßigen Wellen tie! ähnlin+1er i..t ai» wenn Spektrum breit ist, In der 'Fat hat man bei Rerhanittung einer I)ünung, hei der u klein i»t, eher lent Findrun'k rrg.'lrnaßigrr Wellen al» bel Wjnd»re, fur tite it+i grnßere u ene ergeben j Gleidiuing I ¡ Ta) ergibt alto, daß die treuung tun (a,, tini

größer wird, js' mehr tier Srs'gang rn'gelniäßigen Wellen chu lieb ist. Anderrr..ejt.. it ilie t(rn,unington ti,, fuir rr'iielmaßigr \ ellen glria+u \ull. (Es itt in dicitem I-all ri,, m,. è a mit

a _{rilenamplitude.)}

F)iese ti+ieinbare E)ikrr'panz laßt «idi leid'.t aiifklaren Es wird dzit folgende aus zw e, harninni..ilien kn.unpranentrn

br'-«tehn'ndn' cIl,» betîaihtet

(t) à roe (w, nu) t ä t-i.. ¿ut., 'tt'i) t

-mn.+1 einer ¿'infto'hen L 'niufornining karin _{nian dfiir auth "direi'} lien

(t) 2 a i-os \tot ros t'i,, t

-Bild S zeugt zwei I3eitpielr die..er F uriktion, In einem liegeit

lue _{f'requienzen der I.r'idrn} _{I-larmoni..(+,n'n} _{dja'ht lnei..ammen}

I knalogue zut einieni «dnmalrn ps'ktrum. im anderen i..i ihr \b'.tand größer (Analogie zu einem breiten Spektrum) Man rrkenint lr'jafit, daß der über da" /.einintet'tali T gr'hildete 'lit telwr'rt vrin jt I in dem dem "r+imalen 5pektriim ent..pret+en din fall (811.1 Sa) t n'i -tärker ton dem rin4itigen eri ni à2

mtl.. in dem dem }'reitn'n _{jtekt rum rnt.li r"dirnnln'n l'ali}

(Hull 1ii

SI t krinn QP:e)jJt . u'-clt'ni. da)! 'a qietmPt dem Ab,'tqtid ihr

Ah:ietn."iva't'rtp de Fsavrqicspqktris.ns 121. bs dt'nrn dU' Spekfr&-cltchf dt.' H'aitfe Ihre., Mmu,ri"uaI.t-rrte an'uivnmf n kane de-nlnrilh auch uts Mrj fur dIe Rrcufe des .cpektrunta au fge'joßt i'erdesu

Suttit?.,trrhnik Bd 13 195a HeltSS

Q _"t

(4)

o' a _A,,

i

r

j

u

r'I.. ii r, riti r)-Bild 'ta Bild Sb G

t-R R1 T H. tt,

idiei R i it [izw, R, (t) dir }"ourmertranfiirntatunIr-i r

-, -tod. F'ur rile k r, irri alaui.'u tiri' Fir,,

R, ti

n

t'"

geauiit \on (;leinmung _{ISt ama'-ga'henii, kianrr} t

1)111! gant gleid't me er. oberi gezeugt irorderi u-t, r' _{lr,-'.tìtti irr'}

r

5'

i un a ui _{ulrm limoher ( ;esagtt'n prak t -thin \ ritzel) ziehen ni}

Linnen, l-t t- not endig, die \ erteilung ¿titi it. _{iii kt'uritii .} F III

sie zu ermitteln, wiril fiuigrnrlr' f' har'rlegu rig ange-r.' i? F r- -i

ziIrIirii%t angenommen. daU n v'mt' inandir ir I '(t,iri .' -atmonen nn (t) zu einer /,eml 11 bekannt «triti "re t'rtl.'ii tui,

. . . . x, bczu-irhrieu. l),armiut Latin u-rut' "di.miirir-,r

it, titi) lii., 1)rreuImneI roerrlrn ('.gl. ( ,l,'iijmung t 5 i)

Mo _{(1 8}

n

-I

Pa tite x ririrmal nafi N Ii, ni '.cri.'mlt iirl. r-t

In

--I) li,

m0 iii

einer y2Verteilming mit "t' r F reI}iu'is' r tilt'', _.i

-trait (i.'hr

i,. B, S'luni,'tivrer I t4) li,.' 'I. _r _{tiri tIer}

¡iI(a) J ,.'ri

_{ir i,iIl.ri i}

r"n Funktionen inil die Vrrhaltni--e

_{iar grund.}

'i, il'.

hei dir'rn cinlarhen R.'i'pirl.

e berieht

nalogie' r _{Rei Clitelo zufälligen Vor} - i riant .-rl,81t filflht in t'inerti l-,,ttnimteir

r¿tilt _I nielir I,ifarniautnnq'n über dru Funkiion-t-rlauf

'ri ,+imtilriì ";aektrum. Je no-hr Informationen

er-la-iii gt'narar'r a trI talarr ¿au, ti tint- '-taII'tI-t+i.

F n naeh,,t.-hen,lrr 'l'airelle -mdai l Ri'ipu'I einige _{ene 'inn}

n, rit,, in Mhangmgkemt

_{on 1' und u zuaniriìr'ngrtt'llt}

't'-i, r fe dabei u a 11.2 angen'oImnwn r Tm 5 Ii) 15 20 seX 301) 001) Oui) 1200 n. I 0.13 0.09:1 0.075 n .065 -0.3 _0.Of,i 0.044 n_039 0,059 0.042 0.034 ii 020

i)ta' bi-t'rigr'n Au-!rihrungr'n rIme.te _Aht.'hiiittr _bi'trc-tîen

cirre ganz -.peziel le I' 'rn der Ailtoko%_{armanzfunk lion ('.gl. ( ;.}

Filling (16,). I). ft. .me griten nur fur _{iii,+ir zufallige Viirgángr',}

,rrrm Spo'ktrurn duri'Ii die Frau rlt'rtra ii-ftiriii ¡«rit'

_viii

_{lti gill}

ir rrntiheri erda'n kann. Bru _{iirgdngrr1 lutti amurran} _prLtr.'n

i-' /it ers,mrlrn. 'laU ii4i gegeniilurr ticit hier gezirga'nrrm F 'tige

r r.r''n kiuui" gritii.Iatzlii+it'ii _{nilrrungr-u ergehen. I aul}

niait tI,itrri auf genaue quarmimtait'..' I'.rgrbni--r'

_{rrt It't, Liiiui litai)}

r' folgt 'orgehen:

\Tan näiiert rl _'.rrgrbezte r

... mr

i'''-- anni ru u-i nr.a4i rece i

l rr'r'rr 'I i

(5)

1)e'.halh müssen wenn der Umfang n der Gleidung (18) ziigruiide liegenden Stithprobe der bei Gleidiung (7) benutzten lnirrirrzeit T äquivalent ist - die Verteilungen für die nadi dr tritirn Methoden bererhncten Werte t, gleith etii. 1ns hesiirilrre Intl--rn dann audi die Varianzen on t0 in beiden Fälleii gleidi gruß -riti.

I )it

_folgitihn

_{t ntrr.udiungen brdi ranken sidi auf den} Fall. Ial) tIti Autoko%arianzfunktion von t) dir durt+i

Giri-I f grgrben.t Forni hat. Für (;IeIr+Iung (I 7a karin man da tin t tith sdueiluen

ktm

E m,)2 (21)

uT

(.l.iu1ìetzen '.un Gicidiung (20) und (21h) ergibt:

2v v

I

nidi

t .leühung (7) he-tintirnten Werte _{sind inuner}

Lt

..)tidt %ertrilt wir dir nadi Gleidiung (18) bestimmten Wrrt. rnli die Beziehung (22) gilt. Für beide Fälle handelt r- -n. srnfl man -lati lt1 die Variable betraditri

ritti eine erteilung luit y Freiheitsgraden. 6.

In Iiesem A1ti4i;iitt wrrden einige Beispiele für die

Anwen-lung _{Irr obrit rinrtnruditen Zuanirnrnhänge gebradit. Zu}

nidi-

-oil gezeigt eri.lrn, w ir mau

_{dir (erìauigkeit}

eine-itIr

henil _{.l.ii3iung (7) bestimmten M,ertes beurteilen}

Jfii

lit Kil1 i i-t die Vertrili.ingsdiihte von

-

eingezeidi-.t

\l

t

'

ttilt auth W

/

lit

. V

(12 und WX2>X

=u2

:

<y2}

=

Hild V Fr,ibe,tsqrad

j:

a (22)

gesdirieben werden. Gleidiung (23) besagt: Die Wahrst4iein lichkeit, (laß rn, von dem in den geschwungenen Klammern steheritlen Bereich überdeckt wird, ist . Wenn man

t griU

wühlt (Z. ft. OE9S oder 0.99), so ist es fast sicher, daß der B' reitfi tieni wirklichen W ert von d.

i. m,

iiherde

t. I'r

angegebene Bereich heißt Kondenzhereidi zum Konfüieriz-niveau i. Er laßt idi nach folgendem Shenia Indi ernititrin

- Bestinirnung cinei Konfidrnzbereidies für ni

I. Bestimme , (mit Hilfe von Gleichung (7) bzw. 'lutent

M ittelwertrediner).

2.

Hrrrdinr

die Zahl der Freiheitsgrade niath (,lei

tiiung (22).

IlT

V 2

k

(T i-t gegeben, tz tiniti k hänìgen vom Spektrum alt.

_ir

(2 I l't kiininen. wenn ein nicht vorliegt, auf I runi iiii

F:rfahrunigrn gesefiätzt werden.)

3 _{W hle ein Konlidenznirau (1 und bestimme au- Tafeln}

der 1.Verteilung fur r und i (lie W crie stimi u.' _und

V _{(siche Anhang).}

Ii. _{Berechnen efltsprr(4iend Gleichung (23)} _tIeni

Kiinildemiz-bereich fur m,

Er ist ein Maß für Genauigkeit der

Schaizung von rn0

Als nadistes wird gezeigt. it nian das uererhulten zwei,-r

Schiffe auf Grund von erten vergleichen kann. FT. -d1 -idi z. B. um folgendes Problem handeln: Zwei ihilTr hdl,n unter-sdiiedlidien Sliantdiarakter. Werden datlurt+i

dir \ rrtikat

bes, Ii leunigungen ini }it arid L 4 uni orde ri n I it 1, i n

(luth? Beide Sdiifle werden mit Bevdileunigiiiigsme.-er,i an der interetsiereuìden Stelle und mit Mittelwertbilduern

au-gerüstet. 5ir fahren so nahe nebeneinander, wie t-- ail-heitsgründen zu vertreten ist, auf Paralklkurs durit _ituiri'gi'l inaUtgen Seegang Auf einem Schiff wirti (.1,1, auf ti.'ni anile

ren Jl, gemessen (bzw aus den Me-ungeni der He-hiruiu, gungen bestimmt) Im allgemeinen w uil pt,, _e ciit F geht nun um die Frage, ob dieser Lntrrsdiied_{zufällig i-i} I Ii

oh er aus der Streuung von und folgt) od,'r -t'inc sadie an denti _{rrsdiicdrnen Spantdiarakter liegt}

_iii

_uit

Sprache der muatheinatisdien Statistik au-gedrückt. _{hautIrit: n} sidi hierbei uni die Prüfung des ITntersdiiedes _{der Varian.zen} zweier unabhangigerM _{Normalverteilungen} _bei _{hrk atintin} Mittelwerten (siehe z. B. Sdimn-tterer l95). 5. 137).

Im folgenden wird davon Gebrauch gemnadit. _tial)

_{dur l,)u}

tient F 1 n

in turn 'i,, bzw. tlnu nah einer em t'il ung Thu / ni

nut n bzw. ni Freiheitsgraden teririlte zufallige \ ariatIr Is'. deuten, nach der sogenannten F-Verteilung

_{mit (n. ti}

Frei-hrit'graden verteilt ist

- .

_Vto

lin

_{urliegendrn }all werden die (,roßeri}

_und

tu

-betrachtet sit. Mini], wie oben gezeigt w orden -r, itch

m,,11

v, mit y , bzw - y11 Freiheitsgraden terteilt.

/.iuriadist wirtl nun angenommen, daß der SpnitJiaraktrn

irr

I,,iti,',u _{iiilfe keinen Finii itß auf die H-»-ebleunigungeni}

hat

\uIIIi' j.tthee

F. -,iii al-il m n,,1 m, gelten und

man enliait

Sct ttrdk Rd ti 1966

(6)

I'

o3i einer F-Verteilung nut v ,,, "u) Fret) - r aiim

"lit der Annahme giridier Meli- bzw. Inlrr

' rzett '1

- "t+iIe und w iii fur beide i+iiflr glrit'iii--

ergang-r litil urau-gertzt werden ilari. liefert Gleii1uiig 22 in

F alten die gkid'ie ¡ahi

Villi

Frrilieit-grali'ri

y

- il ti un fuilgende ('luerlegung au-genutzt w erden

ti tite Ii'. 1ltlthe-.' tfl, nu,, rit'htig ist'. ist r- unw ihr teli. dali '.tark on I aliweiht. 'enn t.. tite". aher

lii.

un litan ititirhnirii, laß die \ullh pothr'.e flr.di i't. d.h.

railer

t,ii Finfluili auf dir intrrr.'.irrendt"n

i-t

l3t'i.ftirl fur tine F'-\ erteilung ir gilt tinter -r \ ullh pothe-.' in, ni,,4 i n dem Bild

't» -t'kiraftiert. dim Sii grwahlt Vliid. daLl die t. tiaLl F &,, in einen tIieer Brreidw \ullh'. pttthre rit+iulg it. gieit+i (L iVI. rnfl

atibli. t .- unwahr.eliririliu'h. tlaß F in ritten

B

'e falli

fut e. tiie

trotzdem. VO lehnt man tite

aIt i)ie a}irVtheiniiu'hkrit. sieh tiabti zu irren \tillh',1iithrsr alizulehnen.

titwohi -ir rii3itig

isti.

.,.Ieii3i ut Man nennt ule..haII, IL audi Irrtum-wahr

Ir

t t iiiati fur F it etnen ' er!. der zw i,.t'hen die

falli, bedeutet dir nx

nidht. daLl dir

ware, ist

iir

irfniehr w ir folgt zu 'Iml I' reidu nido 8145. 11111 rlflCfl ertitueilrn

't i-, -tu II W,, und ni,, mil großer \ ah r.ehriniidi

''n.

lIn sell r

r t"iig

roLterit J' w ¡rif tier iiut-i'}traftin'rte Brrriu+i

uhf 7

In in einrnu oli'lit'tt F all

rin grolierer I nter

untI 411,11 brstt'lii, w urde F' mit großer iii einen ufer -dirti f tu-rien iler,it'he fallen. kleiner der I iiirr-diied zw -thin ni,,. unti

''r muLl 1 -4111. urn thti fest-tu'Ilen ¿u kittuteit u'"t ¡ti ruo'itl ".i-hritia zii-aniiiieni,iefalJt = Irrsiluiede u 'sei u W er

--n. rilter

/

rt ahle cuir irrtuiiisw ahr».u+iejnli&'hkejt it Iiit.

tabellen der F erteilung fur y. v und t siehe Aiihaiigt

I. Beredint- F'

ii,

und prtift-. lt -' -:

F> F

I-t ihm», der Fall. wird die Ii'. pothese ni,,

Ini nun folgenden letzten Bei-piel still gr die f.niphndl ¡dkeit des '

u-rgleiu-iisVerfahru-W er tt Verfte'.-ert werden kann, wen n n ieht usi r

oh oberhaupt ein I titrr.ehied lie-tehi. sinider ankoninit, ft"-tzu'.trl!rti, iii tier eine ii-W eri

andere.

,'.wi-i ¡nl ubrigt'n gleii4ir ".t'fiiflr

'intl

a3iltngeruianipfungsanlitgeti ausgerustet wut

Mr-sung der Roliw inkt'l lizw. ihrer uluadrat ii i.rrpruft w erden. tilt tile +ìhingerdäm fr

ist al- (lie Anlage A oder ob kein we-zw isdirn tien heulen nlageru besteht

i),,,

Vim -nlagr B geringer

i-t al.

tIti' tn '\ tiL -idierheit aiu-gesu1iltt--eii werden,

E. mugen ihr unter gc.'igtletrn B'di 'r - ''IP' W erte fi,, unui it,, fur 'beide duutT Voli

Jage B lies-er i-t, muli tier w irk I tite qti

iii,,1 kleiner -tutu a1'. ni,, /.unadtsi wird dull die \iillhu pothese ni,, in,,1, gilt. F.- i-t

.ieheinhieh, dali F stark on i altwe,tìit,

liii

turhiegenden Fall kann dur-r F'rst-trllur s'harft werden: W eon il e \ il lii. 1)0tFik(' g' .eheinlid'i. daß F' ti,, _U,, tul gruuLlrr al»

-gen Von I' nat'lI tier anderen riIu' ii W chu-h k

Lt ¡n nm h ir r un lier Iit& ¡eh t Igl ii lei heu

-cri

ILiid it

Rihni H zeigt die unter \ tiraiissrtzung tirr \ titule F -\ erteilung. In ihr \ u'rieulutiu -! F

uidß lie ahr.t4îeiniii+tkeii F dt '.1 it klein wahlt, darin ist t' utuw il,

-nu'. F u u,, in huit --bralfi.

\tihlli

JtttthrVr riu+tttg i-t W uturi r-

-tna n tin-hal lu lie \ ill 1h pttt lust tilt tinti ut,, ' ni _.. ti ii utiLI ihr -%iil,igt- 1h ti

Irr 'I

't,) _{thu --lreitulj,-likrut}

- -i

_{laht.'i ¡u tiri-il, u-t}

(7)

--iet udii großer i-t al m,, wirkt sidi also áhnliu4i au ecu . rgrößerurig von T. In beiden Fälkn wird die Null

nil

''i kleineren Abweidiungen âbgekhnt.

lt . r t . H (1959) Statistusd'o- Methuden zur Untersuchung

der Hewegungen eines Schiffes im Seegang Sthiffstedinik. Band 6. S i bis 6 und 85 bis 92.

Blackmann, R H. undJ W. Tukey 1958): The

mea-surement of power spekira Dover Publications. New York H end a t. J (1958) Principles and applications of random

noise theory. John Wiley & Sons. New York.

G r o b n e r W , _{und N Hot re i t e r (1957)} _{integraltafel} 2 Auflage Springer-Verlag, Wien und lnnsbru&

K e i 1 (1 _{11964) Cber die Bestimmung von Spektren des}

See-gangs und der SduifTsbewegungen Sd'titTstedinik. Band 11. S 141 bis 149

S t h nu t' t te r e r. L 1956) _{Mathematische Statistik}

Sprtn-g.i -Verlag, Wien.

V'iin.'asr'nsky. A. I. undG A FirsoffU9S7):

Sta-tistical analysis of duta concerning rolling of ships Proc

Symp. on the Behaviour of Ships in a Seaway, Wageningen

a a A1 H1 1 Bezeithn ungen Amptituden voti x (t) siehe Bild i; Amplituden hai moniacher Schwingungen bezeichnet (als Index) zwei verschiedene SchuTe bzw Sctutingerdamptiingsaniagen

Erwarlungswert von

(Eingegarizen anu 14. Mai I%)

Sdiritttum

1hIa!' ).W. '.)I4

r lichte von

F i 'arcable. die ru.i. der F-Verteilur.r CCI iSt

F . F unteres bzw oberes Quantil von F k als Index, dient zur Bezeichnung von s bzw

k1 I I Koeffizienten. die von abhangen

k Konstante

rn, Varianz Con s. Mittelwert von a,,

n Zahl

N im. n) Norrnalverteillcng mit Mittel x und Streuung o p Wahr'wheinlictikeut in .

R () oder R - t,) Autokovar ianzfunktion von x)t)

R wird von Bartsch i1959 statt m, verwendet IR 2m,,)

S im) Speklraldici'ute des Energiespektrums von xii)

Zei tkoord i nate

T 7,ettintervall

Wiirscheini)t,'tikeit dai) eintritt x (t) Rea egungskoordinate

y llilfssariable

o Parameter eines Seegangsspektrums bzw der dazugehörenden Autokovarianztunktion Lrrtumsaahrsdieinlichkeit

çi Konftdenzniveau

a statistische Schatzung von m,

F'reiheftsgrade der z'- bzw. F- Verteilung Autokorrelationskoetttzient

Streuung von a Varianz von a,,

q I .I Funktion von

z' zufallige Variable, die nach rifler ' -Verteilung verteilt Ist

unteres bzw. oberea Quntll von

'

K reist req uenz

ot Parameter eines Seegiingaapektrums bzw der rløzui-gehörenden Autokuvarurnzfunkticrn

w

oktoren zur Bestimmung von Koni,denzin(enolien fur d'e Varianz u, s'oe noch N (O, V') rertertien

- Zufoiltqroßen

w(

j-,

,<m <

'rnhang I

a

ai

w

r

- 61 -

Sduif?stedmik Bd 13- 1986 - Bett 06

(8)

:ahrt-Vr1ag,fl

Kurt Wegìdel, H ,v-den nur teStei. uoedter * uur I!p Zu o. Unteres Quanta F. .nhang Z

re _iurt,tC E _{de: f- Verleiiung}

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Freheitsqraden

SCHIFFSTECUNLK

Forsthungshefte für Sc*iHTbu und

_{SthIimssthioenbu}

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Hamburg ii, Stubbenhu io. tel. Sa -Nr. 3648I

_{- Si ri ftr I Lu ng}

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