11. 2. OSTROSŁUPY
Ostrosłupy
ściana boczna - trójkąt
podstawa ostrosłupa - dowolny wielokąt
Wysokość ostrosłupa H – odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z płaszczyzną podstawy, prostopadły do podstawy
Czworościan - ostrosłup trójkątny ( podstawą tego ostrosłupa jest trójkąt).
Ostrosłup prawidłowy – ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.
Wzory na pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa:
b p c
P
P
P
=
+
V
=
P
p⋅
H
3
1
H ·Kąty w ostrosłupie
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
α – kąt płaski przy wierzchołku
α β – kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy γ – kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy δ – kąt miedzy sąsiednimi ścianami bocznymi
δ
γ β
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
α – kąt między krawędzią boczną, a krawędzią podstawy β – kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy γ – kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy δ – kąt miedzy sąsiednimi ścianami bocznymi
δ
γ α β
Ostrosłup prawidłowy czworokątny – ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat, a ściany
boczne są
trójkątami równoramiennymi.
a
– krawędź podstawyb
- krawędź boczna 1h
- wysokość ściany bocznejH
– wysokość ostrosłupad
– przekątna podstawyd
=
a
2
Wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego:
1 2
2
1
4
a
h
a
P
c=
+
⋅
⋅
Wzór na objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego:
V
=
a
2⋅
H
3
1
b H 1h
0,5d 0,5a aPrzykład 11.2.1. Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego utworzony przez
płaszczyznę przechodzącą przez dwie krawędzie boczne i przekątna podstawy jest
trójkątem prostokątnym o polu 18
cm
2. Oblicz pole powierzchni całkowitej
i objętość ostrosłupa.
Rozwiązanie
Komentarz
Dane: Szukane: Wzory:
2
18cm
P
=
P
c=
?
2 1
2
1
4
a
h
a
P
c=
+
⋅
⋅
α
=
90
°
V
=
?
V
=
a
2⋅
H
3
1
d
=
a
2
P
=
b
2 Analiza zadania.Przy obliczaniu objętości ostrosłupa wykorzystujemy wzór
V
=
P
p⋅
H
3
1
. PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest kwadrat, to
P
p=
a
2 , zatemV
=
a
2⋅
H
3
1
.
Pisząc wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wykorzystujemy
wzór
P
c=
P
p+
P
b . PoniewaŜP
p=
a
2 oraz powierzchnię boczną tworzą cztery trójkąty równoramienne o podstawiea
i wysokości 1h
,zatem 1 2
2
1
4
a
h
a
P
c=
+
⋅
⋅
W obliczeniach wykorzystujemy równieŜ wzór na przekątną kwadratu
d
=
a
2
.
Przekrojem ostrosłupa jest trójkąt prostokątny ADF o przyprostokątnych b. Zatem pole tego trójkątaP
=
b
2 2b
P
=
2
3
2
9
18
18
2=
⋅
=
=
=
b
b
Obliczamy b( ) ( ) ( )
2
3
18
2
:
/
36
2
2
18
18
2
18
18
2 2 2 2 2 2 2 2 2=
=
=
=
+
=
+
=
+
a
a
a
a
a
d
b
b
Korzystając z twierdzenie Pitagorasa obliczamy długość podstawy ostrosłupa.
Wykorzystujemy wzór
d
=
a
2
(
)
( )
2 2 2 2 2 218
2
2
5
,
0
=
+
=
+
a
H
b
d
H
Korzystając z twierdzenie Pitagorasa obliczamy wysokość ostrosłupa. Wykorzystujemy wzór
d
=
a
2
3
9
18
18
4
18
2
18
4
2
2 2 2 2=
−
=
=
⋅
+
=
+
H
H
H
a
H
(
)
( )
2
6
3
2
6
9
2
54
4
54
4
18
4
72
18
4
18
18
2
2
3
5
,
0
1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1=
⋅
=
=
=
−
=
=
+
=
+
=
+
h
h
h
h
h
b
a
h
Korzystając z twierdzenie Pitagorasa obliczamy wysokość ściany bocznej ostrosłupa. 2 1 2
3
18
18
3
4
9
18
12
9
18
2
6
3
2
3
2
18
2
1
4
cm
h
a
a
P
c+
=
⋅
+
=
+
=
=
⋅
⋅
+
=
⋅
⋅
+
=
3 218
3
18
3
1
3
1
cm
H
a
V
=
⋅
=
⋅
⋅
=
ObliczamyV
i cP
Przykład 11.2.2. Dach wieŜy ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego
czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 3,6 m. Ściana boczna tego
ostrosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem
70 . Ile sztuk dachówek naleŜy kupić,
°
aby pokryć ten dach , wiedząc ,Ŝe do pokrycia 1
m potrzebne są 22 dachówki.
2Rozwiązanie
Komentarz
Dane: Szukane:
m
a
=
3
,
6
x – ilość dachówek
°
=
70
α
22
1
m
2−
dachówki
Wzory:
12
1
4
a
h
P
b=
⋅
⋅
Analiza zadania.Powierzchnię boczną tworzą cztery trójkąty równoramienne o podstawie
a
i wysokościh
1,zatem 1
2
1
4
a
h
P
b=
⋅
⋅
1 18
,
1
70
cos
5
,
0
cos
h
h
a
=
°
=
α
26
,
5
3420
,
0
8
,
1
8
,
1
3420
,
0
1 1≈
=
=
h
h
Obliczamy wysokość ściany bocznej 1
h
Wykorzystujemy definicję kosinusa:
stokatna
przeciwpro
y_α
katna_ prz
przyprosto
cosα
=
Z zawierających przybliŜone wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy wartość
cos
70
°
2 12
3
,
6
5
,
26
37
,
872
2
1
4
a
h
m
P
b=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
Obliczamy powierzchnię dachu.22
1
m
2−
dachówki
x
m
2−
872
,
37
dachówek
184
,
833
872
,
37
22
⋅
=
=
x
Odp. : NaleŜy kupić 834 dachówek.
Obliczamy ilość dachówek potrzebnych na pokrycie dachu. W tym celu układamy proporcję.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny – ostrosłup, którego podstawą jest trójkąt równoboczny, a
ściany boczne są
trójkątami równoramiennymi.
a
– krawędź podstawyb
- krawędź boczna 1h
- wysokość ściany bocznejH
– wysokość ostrosłupah
– wysokość podstawy2
3
a
h
=
r
– promień okręgu wpisanego w podstawęr
h
3
1
=
6
3
a
r
=
R
– promień okręgu opisanego na podstawieR
h
3
2
=
3
3
a
R
=
Wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego:
1 2
2
1
3
4
3
h
a
a
P
c=
+
⋅
⋅
Wzór na objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego:
V
=
⋅
a
⋅
H
4
3
3
1
2 b 1h
H r h R aPrzykład 11.2.3. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna tworzy z podstawą
kąt
30 . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa, jeśli krawędź
°
podstawy wynosi 6.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Przy obliczaniu objętości ostrosłupa wykorzystujemy wzór
V
=
P
p⋅
H
3
1
. PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny , to
4
3
2a
P
p=
, zatemH
a
V
=
⋅
⋅
4
3
3
1
2 .Pisząc wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wykorzystujemy
Dane: Szukane: Wzory:
6
=
a
V
=
?
V
=
⋅
a
⋅
H
4
3
3
1
2°
=
30
α
P
c=
?
1 22
1
3
4
3
h
a
a
P
c=
+
⋅
⋅
6
3
a
r
=
3
3
a
R
=
4
3
2a
P
p=
oraz powierzchnię boczną tworzą trzy trójkąty równoramienne o podstawiea
i wysokościh
1,zatem
1 2
2
1
3
4
3
h
a
a
P
c=
+
⋅
⋅
.
W obliczeniach wykorzystamy równieŜ wzory na promień okręgu wpisanego w podstawę:
6
3
a
r
=
oraz na promień okręgu opisanego na podstawie:3
3
a
R
=
3
3
30
a
H
tg
R
H
tg
=
°
=
α
2
3
:
/
6
3
3
2
3
3
3
3
6
3
3
=
=
=
=
H
H
H
H
Obliczamy wysokość ostrosłupa H.
Korzystamy z definicji tangensa:
α
α
α
_
_
_
_
przy
katna
przyprosto
naprzeciw
katna
przyprosto
tg
=
Wykorzystujemy równieŜ wzór3
3
a
R
=
Obliczamy wysokość ściany bocznej ostrosłupa 1
h
.Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.
Wykorzystujemy równieŜ wzór:
6
3
a
r
=
7
4
3
4
6
3
6
2
6
3
1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1=
+
=
+
=
+
=
+
=
h
h
h
a
h
H
r
h
3
6
2
3
3
2
12
3
36
2
4
3
6
3
1
4
3
3
1
2 2=
⋅
=
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
a
H
V
7
9
3
9
7
3
3
4
3
36
7
6
2
1
3
4
3
6
2
1
3
4
3
2 1 2+
=
⋅
+
=
=
⋅
⋅
⋅
+
=
⋅
⋅
+
=
a
a
h
P
c ObliczamyV
i cP
Czworościan foremny – ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi.
a
– krawędź czworościanuH
– wysokość czworościanu3
6
a
H
=
h
– wysokość ściany2
3
a
h
=
r
– promień okręgu wpisanego w ścianęr
h
3
1
=
6
3
a
r
=
R
– promień okręgu opisanego na ścianieR
h
3
2
=
3
3
a
R
=
Wzór na pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego:
4
3
4
2a
P
c=
⋅
Wzór na objętość czworościanu foremnego:
V
=
⋅
a
⋅
H
4
3
3
1
2 ah
H r h R aPrzykład 11.2.4. Pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego jest równe
23
36
cm
. Oblicz objętość tego czworościanu.
Rozwiązanie
Komentarz
Dane: Szukane:
23
36
cm
P
c=
V
=
?
Wzory:
4
3
4
2a
P
c=
⋅
V
=
⋅
a
⋅
H
4
3
3
1
23
6
a
H
=
Analiza zadania.
Przy obliczaniu objętości czworościanu wykorzystujemy wzór
V
=
P
p⋅
H
3
1
. PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny , to
4
3
2a
P
p=
, zatemV
=
⋅
a
⋅
H
4
3
3
1
2 .Powierzchnię całkowitą czworościanu foremnego stanowią cztery trójkąty równoboczne. Zatem
4
3
4
2a
P
c=
⋅
WykaŜemy, Ŝe wysokość czworościanu foremnego jest równa
3
6
a
H
=
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wzoru na promień okręgu opisanego na
podstawie:
3
3
a
R
=
3
6
9
6
9
3
3
3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a
H
a
H
a
a
H
a
a
H
a
R
H
=
=
−
=
=
+
=
+
6
36
3
:
/
3
3
36
4
3
4
2 2 2=
=
=
⋅
=
a
a
a
a
P
c Wykorzystując wzór4
3
4
2a
P
c=
⋅
,
obliczamy długość krawędzi czworościanua.
6
2
3
6
6
3
6
=
=
=
a
H
Obliczamy wysokość czworościanu foremnego wykorzystując wzór
3
6
a
H
=
.2
18
2
9
6
18
6
6
2
3
3
6
2
12
3
36
6
2
4
3
6
3
1
4
3
3
1
2 2=
⋅
=
=
=
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
a
H
V
Obliczamy objętość czworościanu
Przykład 11.2.5. Oblicz cosinus kąta , jaki tworzą dwie ściany czworościanu foremnego
Rozwiązanie
Komentarz
Szukane : Wzory:
?
cos
α
=
2
3
a
h
=
6
3
a
r
=
Analiza zadania.W zadaniu wykorzystamy wzory na wysokość ściany czworościanu foremnego:
2
3
a
h
=
oraz promień okręgu wpisanego w ścianę :6
3
a
r
=
3
1
3
2
6
3
2
3
6
3
cos
=
=
=
⋅
=
a
a
a
a
h
r
α
Obliczamy
cos
α
, korzystamy z definicji kosinusa:stokatna
przeciwpro
y_α
katna_ prz
przyprosto
cosα
=
Ostrosłup prawidłowy sześciokątny – ostrosłup, którego podstawą jest sześciokąt foremny,
a ściany boczne
są trójkątami równoramiennymi.
a
– krawędź podstawyb
- krawędź boczna 1h
- wysokość ściany bocznejH
– wysokość ostrosłupar
– promień okręgu wpisanego w podstawę2
3
a
r
=
R
– promień okręgu opisanego na podstawieR
=
a
Wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego
:
12
2
1
6
4
3
6
a
a
h
P
c=
⋅
+
⋅
⋅
Wzór na objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego:
V
=
⋅
⋅
a
⋅
H
4
3
6
3
1
2 b H 1h
r R aPrzykład 11.2.6. Oblicz pole powierzchni i objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego,
w którym wysokość ściany bocznej wynosi 9, natomiast róŜnica między polem koła
opisanego na podstawie tego ostrosłupa, a polem koła wpisanego w jego podstawę
wynosi
8 .
π
Rozwiązanie
Komentarz
Dane : Szukane:
9
1=
h
P
c=
?
π
8
=
−
w oP
P
V
=
?
Wzory:
1 22
1
6
4
3
6
a
a
h
P
c=
⋅
+
⋅
⋅
H
a
V
=
⋅
⋅
⋅
4
3
6
3
1
2 2R
P
o=
π
P
w=
π
r
22
3
a
r
=
R
=
a
Analiza zadania.Przy obliczaniu objętości ostrosłupa wykorzystujemy wzór
V
=
P
p⋅
H
3
1
. PoniewaŜ podstawą ostrosłupa jest sześciokąt foremny, to
6
3
6
2a
P
p=
⋅
, zatemV
=
⋅
⋅
a
⋅
H
4
3
6
3
1
2 .Pisząc wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wykorzystujemy wzór
P
c=
P
p+
P
b . PoniewaŜ6
3
6
2a
P
p=
⋅
oraz powierzchnię boczną tworzy sześć trójkątów równoramiennych o podstawiea
i wysokości 1h
,zatem 1 2
2
1
6
4
3
6
a
a
h
P
c=
⋅
+
⋅
⋅
W obliczeniach wykorzystamy równieŜ wzory na promień okręgu wpisanego w podstawę
2
3
a
r
=
, promień okręgu opisanego na podstawieR
=
a
oraz wzór na pole kołaP
=
π
r
2π
8
=
−
w oP
P
π
π
π
π
R
2−
r
2=
8
/
:
8
2
3
2 2=
−
a
a
2
4
32
32
3
4
4
/
8
4
3
2 2 2 2 2=
=
=
−
⋅
=
−
a
a
a
a
a
a
Obliczamy długość krawędzi podstawy a.
Wykorzystujemy wzory :
2
3
a
r
=
ia
R
=
2 1 2 2
h
r
H
+
=
( )
57
24
81
6
2
81
81
2
3
2
4
9
2
3
2 2 2 2 2 2 2 2=
−
=
−
=
=
⋅
+
=
+
H
H
H
H
a
H
Obliczamy wysokość ostrosłupa. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.
Wykorzystujemy wzór
2
3
a
r
=
( )
19
48
19
9
16
57
3
16
57
4
3
32
2
57
4
3
2
4
6
3
1
4
3
6
3
1
2 2=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
a
H
V
( )
2
108
3
48
2
108
3
8
6
2
36
3
4
3
32
6
9
2
4
2
1
6
4
3
2
4
6
2
1
6
4
3
6
2 1 2+
=
=
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
=
=
⋅
⋅
+
⋅
=
a
a
h
P
c ObliczamyV
i cP
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 11.2.1. (4pkt.) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
prawidłowego czworokątnego wiedząc, Ŝe jego ściana boczna jest nachylona do
podstawy pod kątem
45 i krawędź podstawy ma długość
°
10
cm
.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie wysokości ostrosłupa.
1
2 Podanie wysokości ściany bocznej.
1
3 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa.
1
4 Podanie objętości ostrosłupa.
1
Ćwiczenie 11.2.2. (5pkt.) W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna długości
cm
24
jest nachylona do podstawy pod kątem
30 . Oblicz pole powierzchni
°
całkowitej i objętość ostrosłupa.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie wysokości ostrosłupa.
1
2 Podanie wysokości ściany bocznej.
1
3 Podanie długości krawędzi podstawy.
1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa.
1
5 Podanie objętości ostrosłupa.
1
Ćwiczenie 11.2.3. (2pkt.) Oblicz objętość czworościanu foremnego, wiedząc, Ŝe jego
wysokość wynosi
6
6
cm .
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie długości krawędzi czworościanu.
1
2 Podanie objętości czworościanu.
1
Ćwiczenie 11.2.4. (5pkt.)
Przekrojem ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną
przechodzącą przez najdłuŜszą przekątną podstawy i krawędzie boczne jest trójkątem
prostokątnym o polu 36. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego
ostrosłupa.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie długości krawędzi podstawy.
1
2 Podanie wysokości ostrosłupa.
1
3 Podanie wysokości ściany bocznej.
1
4 Podanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa.
