1.8. PRZEDZIAŁY LICZBOWE
Przedziały liczbowe
Nazwa zbioru Oznaczenie
Warunek, które spełniają liczby naleŜące do zbioru Ilustracja graficzna Przedział otwarty
( )
a,
b
a
<
x
<
b
Przedział domkniętyb
a,
a
≤
x
≤
b
Przedział prawostronnie domknięty(
a,
b
a
<
x
≤
b
Przedział lewostronnie domkniętya,
b
)
a
≤
x
<
b
(
a
,
+∞
)
x
>
a
Przedziały nieograniczone otwarte(
−
∞
,
a
)
x
<
a
)
∞
+
,
a
x
≥
a
Przedziały nieograniczone domknięte(
−
∞
,
a
x≤aPrzykład 1.8.1. Rozwiązania nierówności przedstaw na osi liczbowej i zapisz za pomocą
przedziału
a)
−
1
≤
x
<
2
;
b)
x
>
5
Rozwiązanie
Komentarz
a)
−
1
≤
x
<
2
;
x
∈
−
1
,
2
)
Rozwiązanie nierówności przedstawiamy na osi liczbowej.
Nierówność zapisujemy za pomocą przedziału.
b)
x
>
5
(
+∞
)
∈
5
,
x
Rozwiązanie nierówności przedstawiamy na osi liczbowej.
Nierówność zapisujemy za pomocą przedziału.
Przykład 1.8.2. Opisz za pomocą nierówności oraz zaznacz na osi liczbowej przedział:
a)
x
∈
−
3
,
2
b)
x
∈
(
−
∞
,
1
Rozwiązanie
Komentarz
a)
x
∈
−
3
,
2
−
3
≤
x
≤
2
Opisujemy przedział za pomocą nierówności. Przedział zaznaczamy na osi liczbowej.b)
x
∈
(
−
∞
,
1
x
≤
1
Opisujemy przedział za pomocą nierówności.Przykład 1.8.3. Wypisz wszystkie liczby całkowite naleŜące do przedziału
−
1
,
3
)
Rozwiązanie
Komentarz
Odp.: -1, 0,1,2
Rozwiązaniem zadania są wszystkie liczbycałkowite mniejsze od 3 i niemniejsze od –1.
Przykład 1.8.4. Zapisz jako przedział zbiór liczb rzeczywistych:
a) dodatnich
b) nieujemnych.
Rozwiązanie
Komentarz
a) zbiór liczb rzeczywistych dodatnich
Odp.:
(
0
,
+∞
)
0
nie jest liczbą ani dodatnią ani ujemną.b) zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych
Odp.:
0
,
+
∞
)
Liczby nieujemne to liczby dodatnie oraz zero.
Przykład 1.8.5. Wykonaj działania
A
∪
B
;
A
∩
B
;
A
\
B
;
B
\
A
jeśli:a)
A
=
( )
1
,
3
B
=
(
−
∞
,
2
)
Rozwiązanie
Komentarz
a)
A
=
( )
1
,
3
B
=
(
−
∞
,
2
)
Zaznaczamy przedziały na osi liczbowej.(
−
∞
,
3
)
=
∪
B
A
Wyznaczamy sumę („wszystko”) przedziałów
( )
1
,
2
=
∩
B
A
Wyznaczamy iloczyn ( część wspólną) przedziałów)
3
,
2
\
B
=
A
Wyznaczamy róŜnicęA \
B
.
Ze zbioru A „ wyrzucamy ”te liczby , które naleŜą do zbioru B.
2 nie naleŜy do zbioru B, więc jej „nie wyrzucamy”.
(
,
1
\
A
=
−
∞
B
Wyznaczamy róŜnicę
B \
A
.
Ze zbioru B „ wyrzucamy ”te liczby , które naleŜą do zbioru A.
1 nie naleŜy do zbioru A, więc jej „nie wyrzucamy”.
b)
A
=
−
1
,
2
B
=
2
,
+
∞
)
Rozwiązanie
Komentarz
b)
A
=
−
1
,
2
B
=
2
,
+
∞
)
Zaznaczamy przedziały na osi liczbowej.)
∞
+
−
=
∪
B
1
,
A
Wyznaczamy sumę („wszystko”) przedziałów
{ }
2
=
∩
B
A
Wyznaczamy iloczyn ( część wspólną) przedziałów.2 naleŜy do zbioru A i do zbioru B, zatem naleŜy do części wspólnej tych zbiorów.
)
2
,
1
\
B
=
−
A
Wyznaczamy róŜnicęA \
B
.
Ze zbioru A „ wyrzucamy ”te liczby , które naleŜą do zbioru B.
(
+∞
)
=
2
,
\ A
B
Wyznaczamy róŜnicę
B \
A
.
Ze zbioru B „ wyrzucamy ”te liczby , które naleŜą do zbioru A.
2 naleŜy do zbioru A, więc ją „wyrzucamy”
c)
A
=
(
−
2
,
0
B
=
1
,
3
)
Rozwiązanie
Komentarz
c)
A
=
(
−
2
,
0
B
=
1
,
3
)
Zaznaczamy przedziały na osi liczbowej.)
(
−
2
,
0
∪
1
,
3
=
∪
B
A
Wyznaczamy sumę („wszystko”) przedziałów
∅
=
∩
B
A
Wyznaczamy iloczyn ( część wspólną) przedziałów.Przedziały nie mają części wspólnej. Przedziały są rozłączne.
(
2
,
0
\
B
=
−
A
Wyznaczamy róŜnicęA \
B
.
)
3
,
1
\
A
=
B
Wyznaczamy róŜnicęB \
A
.
Przykład 1.8.6. Dane są zbiory
{
∈
:
−
3
≤
<
4
}
=
x
R
x
A
{
∈
:
2
≤
≤
8
}
=
x
R
x
B
{
∈
:
5
<
<
7
}
=
x
R
x
D
Wyznacz zbiór
B
\
(
A
∪
D
)
Rozwiązanie
Komentarz
{
∈
:
−
3
≤
<
4
}
=
−
3
,
4
)
=
x
R
x
A
{
∈
:
2
≤
≤
8
}
=
2
,
8
=
x
R
x
B
{
∈
:
5
<
<
7
} ( )
=
5
,
7
=
x
R
x
D
Zbiory A,B,D zapisujemy jako przedziały.
) ( )
5
,
7
4
,
3
∪
−
=
∪
D
A
Wykonujemy działanieA
∪
D
. Na osi liczbowej zaznaczamy przedziały A i D(
)
4
,
5
7
,
8
\
A
∪
D
=
∪
B
Wykonujemy działanie
B
\
(
A
∪
D
)
Na osi liczbowej zaznaczamy przedziały
D
A
∪
iB
Ze zbioru B „ wyrzucamy ”te liczby , które naleŜą do zbioru
A
∪
D
ĆWICZENIA
Ć
wiczenie 1.8.1. (2pkt.) Narysowany przedział zapisz symbolicznie i za pomocą nierówności
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Zapisanie przedziału symbolicznie
1
Ć
wiczenie 1.8.2. (4pkt.) Wykonaj działania
A
∪
B
;
A
∩
B
;
A
\
B
;
B
\
A
jeśli(
−
∞
,
3
)
=
A
B
=
2
,
4
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 PodanieA
∪
B
1
2 PodanieA
∩
B
1
3 PodanieA \
B
1
4 PodanieB \
A
1
Ć
wiczenie 1.8.3. (5pkt.) Wyznacz zbiór
(
D
/
B
)
∪
A
,jeśli
{
∈
:
−
4
≤
<
5
}
=
x
R
x
A
{
∈
:
0
≤
≤
7
}
=
x
R
x
B
{
∈
:
−
1
<
<
8
}
=
x
R
x
D
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Zapisanie zbioru A jako przedział.
1
2 Zapisanie zbioru B jako przedział.
1
3 Zapisanie zbioru D jako przedział.
1
4 Wyznaczenie zbioru