Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. Definicje i twierdzenia.

Rachunek różniczkowy

funkcji jednej zmiennej

Definicja. Zał. że , . Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie nazywamy odwzorowanie określone równaniem

( )

: , f a b → : , ϕ

(

a b x₀ ∈ ,

( ) { }

\ x0 →

)

f x₀

)

a b

( )

( ) (

0 0 x x x f x x − − ϕ = f .

( )

( )

( ) ( )

(

) ( )

h x f h x x f x x 0 0 0 lim 0 − + = ′ → ϕ x 0 f x h 0 0 _=lim → x x f x f x xlim0 − − =

→ nazywamy pochodną w punkcie f x0;

( )

( ) ( )

(

) ( )

h x f h x f x x x f x f x f h x x 0 0 0 0 0 0 lim lim 0 − + = − − = ′ − − _→ →

− nazywamy pochodną lewostronną w punkcie x0;

( )

( ) ( )

(

) ( )

h x f h x f x x x f x f x f h x x 0 0 0 0 0 0 lim lim 0 − + = − − = ′ _{+ +} → →

+ nazywamy pochodną prawostronną w punkcie x0.

Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna f x0, gdy f ′

( )

x istnieje i jest skończona.

Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna na f

(

a,b

)

, gdy jest różniczkowalna w .

]

)

)

)

( )ab

x∈∀, f x0

Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna na

[

, gdy jest różniczkowalna w oraz pochodne jednostronne w punktach istnieją i są skończone.

f a b, f x₀∈

(

a,b

b a,

Definicja. Zał. że jest różniczkowalna. Funkcję, która każdemu punktowi przyporządkowuje nazywamy pochodną funkcji .

( )

: , f a b →

( )

x f ′

( )

a b x∈ , f

Mówimy, że f : ,

( )

a b → jest pochodną, jeśli istnieje F a b: ,

( )

→ taka, że _{( )}f

( )

x F

( )

x .

b a

x∈ ,∀ = ′

Twierdzenie. Jeżeli funkcja f : ,

( )

a b → jest różniczkowalna wx₀∈

(

a,b , to jest ciągła w f x₀. Twierdzenie. Jeżeli f g a b, : ,

( )

→ są różniczkowalne wx₀∈

(

a,b . Wtedy:

(1) h= f +g jest funkcją różniczkowalną w x₀ i h′

( )

x₀ = f′

( )

x₀ +g′

( )

x₀ ; (2) h = f −g jest funkcją różniczkowalną w x₀ i h′

( )

x₀ = f′

( )

x₀ −g′

( )

x₀ ;

(3) h = f ⋅g jest funkcją różniczkowalną w x₀ i h′

( )

x₀ = f′

( ) ( ) ( ) ( )

x₀ ⋅g x₀ + f x₀ ⋅g′ x₀ ; (4)

g f

=

h i g

( )

x₀ ≠0 jest funkcją różniczkowalną w x₀ i

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

(

)

2 0 0 0 0 0 0 x g x g x f x g x f x h′ = ′ ⋅ − ⋅ ′ .

Twierdzenie. Funkcja jest różniczkowalna w i istnieje

taka, że i jest ciągła w oraz .

( )

: , f a b → x 0 x

(

f x

( )

x c f′ =

(

)

0 +c x x− 0 ⇔ ϕ

( )

: ,a b ϕ →

)

0 x −

( )

x₀ =0 ϕ ϕ ₀ ( ),

( )

)

( )(

x a b∈∀ f x = + x x

Twierdzenie. Zał. że , , , , jest

różniczkowalna w , a w . Wtedy jest różniczkowalna w oraz .

( )

: , f a b → g f x

(

₀

( )

(

f x0

)

′

( )

a b x₀∈ ,

)

h=

( ) (

a b c d f , ⊂ , f g

)

g c d: ,

( )

→ 0 x f 0 x

( )

0

( )

0 h x′ = f x′ ⋅g

Twierdzenie. Zał. że jest różnowartościowa, ciągła i różniczkowalna w ,

. Wtedy jest różniczkowalna w oraz .

( )

: , f a b → 1 −

( )

a b x₀∈ ,

( )

x₀ ≠0 f f y₀ = f

(

x₀

)

(

( )

)

(

( )

)

1 0 0 1 − − _y ′ _{= f′ x} f 1

Definicja. Zał. że f A: → ,x0∈A. Wtedy:

(1) funkcja posiada maksimum lokalne w f x₀, gdy ;

( _, )

( )

( )

0 0 0 0 x f x f x x A x ∀ ≤ ∃ + − ∩ ∈ > δ δ δ

(2) funkcja ma ścisłe maksimum lokalne w f x0, gdy _{0 ( , ) { }\}

( )

( )

0 ;

0 0 0 x f x f x x x A x ∀ < ∃ + − ∩ ∈ > δ δ δ

(3) funkcja posiada minimum lokalne w f x0, gdy _{0 ( , )}

( )

( )

0 ;

0 0 x f x f x x A x ∀ ≥ ∃ + − ∩ ∈ > δ δ δ

(4) funkcja ma ścisłe maksimum lokalne w f x₀, gdy .

( _, ) { }_\

( )

( )

0 0 0 0 0 x f x f x x x A x ∀ > ∃ + − ∩ ∈ > δ δ δ

Twierdzenie. Zał. że jest różniczkowalna na . Wtedy, jeżeli przyjmuje ekstremum lokalne w , to .

[ ]

: , f a b →

( )

a b x₀∈ ,

(

a,b

)

)

)

)

)

)

)

)

f

( )

₀ =0 ′ x f

Twierdzenie Rolle’a. Zał. że jest ciągła i różniczkowalna na oraz .

Wtedy .

[ ]

: , f a b →

(

a,b f

( )

a = f

( )

b ( )_,

( )

0 0 0 = ′ ∃ ∈ab f x x

Twierdzenie Lagrange’a. Zał. że jest ciągła i różniczkowalna na

(

. Wtedy .

[ ]

: , f a b → a,b ( )ab f

( )(

c b a

)

f

( ) ( )

b f a c∈ ,∃ ′ − = −

Twierdzenie Cauchy’ego. Zał. że są ciągłe i różniczkowalne na . Wtedy .

[ ]

, : , f g a b →

) ( )

(

a

) ( )

f′ c

(

a,b ( )ab

(

f

( ) ( )

b f a

) ( )

g c g

(

b g c∈ ,∃ − ′ = −

Twierdzenie. Zał. że f : ,

[ ]

a b → jest ciągła i różniczkowalna na

(

a,b . Wtedy: (1) jest niemalejąca na f

( )

, _{( )}

( )

0; . ′ ≥ ∀ ⇔ ∈ f c b a b a c

(2) jest rosnąca na f

(

a b, , gdy ;

( ).

( )

0 c a b∈∀ f c′ > (3) jest nierosnąca na f

( )

; ( )

( )

0 , . ′ ≤ ∀ ⇔ ∈ f c b a b a c

(4) jest malejąca na f

(

a b, , gdy .

( ).

( )

0

c a b∈∀ f c′ <

Twierdzenie. Jeżeli jest różniczkowalna, to ma własność Darobux, tzn. .

( )

: , f a b → (x∃1,x2) f′

( )

x = y f ′ ( )ab y (f( ) ( )x f x )x x x1,2∀∈ , ∈ ′ ∀1, ′ 2 ∈

Reguła d’Hospitala. Zał. że , są różniczkowalne na oraz

. Jeżeli li oraz +∞ ≤ < ≤ ∞ − a b

( )

li . x symbol f x nieozn → →   =    

( )

, : , f g a b →

( )

ag x =

(

a,b ( ), ′

( )

≠0 ∀ ∈ab g x x xma m

( )

( )

lim , to x a→ f x A g x ′ = ∈ ′

( )

( )

A a x→ lim x g x f _{= .}

Twierdzenie. Zał. że jest ciągiem funkcji różniczkowalnych, ,

oraz . Jeżeli jest funkcją ciągłą oraz

(

jest jednostajnie zbieżny do ,

to jest różniczkowalna oraz .

( )

f_{n n} n n∀∈ f′

[ ]

: , n f a b → n n f f   ′    

[ ]

: , f a b →

[ ]

: , g a b → f f_n → f ′_n

)

_n lim →∞ f [ ],

( )

( )

x a b∈∀ f x′ =g x

(

n

)

limn→∞ ′ = 2

Wniosek. Zał. że jest różniczkowalna są ciągłe oraz , zbiega jednostajnie do u a , to jest różniczkowalna oraz

[ ]

: , n f a b → f_n′: ,

[ ]

a b →

( )

( )

1 n n n s n f x = =

∑

∑

∞ = ′ 1 n n f : ,b

[ ]

→ s ∀ s x

( )

=u x

( )

, x a b∈ ′ , .

( )

_∑

∞ = = ′    1 n x f_n′

( )

x

∑

∞ =    1 n n f

Twierdzenie. Szeregi

∑

,

∑

mają ten sam promień zbieżności , oraz . ∞ =0 n n nx a −1 n nx na ∞ = − 1 1 n n nx na r ( )

∑

∑

∞ = ∞ = − ∈ = ′       ∀ 1 0 , n n n n r r x a x

Definicja. Zał. że jest różniczkowalna w . Jeżeli posiada pochodną w , to pochodną tę nazywamy pochodną drugiego rzędu w i oznaczamy

( )

: , f a b →

( )

0 x f ′ x₀ 0 x

( )

(

( )

)

( )

0 0 0 0 x x f x f ′′ = ′ ′ ′

( )

a,b _{( )} f b a x∈ ,∀ 0 lim x x f x f x x − − ′ = →

( )

x ′′

. Mówimy, że funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna na , gdy istnieje i jest skończona.

Zał. że oraz jest n-krotnie różniczkowalna na . Jeżeli istnieje pochodna funkcji w , to pochodną tę nazywamy pochodną rzędu w , oraz

.

( )

: , , f a b → n∈ (n f

( )

₌

(

( )

_{( )}

)

′ 0 0 f x x n

)

)

)

f 0 x

( )

a b x, , 0∈

(

a b,

(

n+1

)

) 0 x ( +1) f n

Definicja. Mówimy, że funkcja jest klasy na

(

, jeżeli jest określona i ciągła na

( )

.

( )

: , f a b → n C a,b _f( )n b a,

Mówimy, że funkcja f : ,

( )

a b → jest klasy _C∞ (jest „gładka”) na

(

_a,b , gdy jest klasy .

n∀∈ f

n

C

Twierdzenie Leibniza. Jeżeli są funkcjami klasy C , to oraz

,

(

)

.

( )

, : , f g a b →

)

( )n

_{( )}

f g⋅ x = n

( )

x n C g f g f + , ⋅ ∈

(

_{f +g}

)

( )n

_{( )}

_{x = f} ( )n

_{( )}

_{x +g}( )n

₍

_x ( )

( )

( ) 0 n n n i n f x g i =   ⋅    

∑

Twierdzenie Taylora. Zał. że f :

(

α β,

)

→ jest klasy Cn+1. Wtedy

( ) ( )

( )

( )

(

)

( )( )

( )

( )( )

( )

_{( )}

(

) (

)

1 1 2 , , , 1! ! 1! ( + + ∈ ∈ − + − + + − ′ + = ∃ ∀ n n n n b a c b a n b a c f a b n a f a b a f a f b f β α _2! ) _{− +} f ′′a a b …+ .

Definicja. Ustalmy a∈

(

α,β . Wtedy

( )

)

( ) ( )

( )

(

)

( )

( ) ( )

( ) ( )

_{( )}

(

) (

)

( ) 1 1 , , , ( ) ! 1 ! n n n n n n x c a x P x _{R x a} f a f c f x x a x a x a n n α β + + ∈∀ ∈∃ = _1! − + +… − + + − f a f a + ′ . n

R to n-ta reszta Taylora w postaci Lagrange’a. Wtedy

( )

(

,

)

0 lim = − → n n a x _{x a} a x R . 3

Jeżeli we wzorze Taylora podstawimy a=0 to otrzymamy wzór MacLaurina

( )

( )

( )

( )

( )

( )

,0 ! 2 0 0 0 _{f x} f _x2 _{R x} f x f = + ′ + ′′ +…+ + _n ! x n f n n _.

Twierdzenie. Jeżeli oraz i

, to

(

)

1 , : , n f g α β _{→ ∈}C +

( )

( )

( )

_{a f}( )

_{( )}

_{a g}

_{( )}

_{a g}( )

_{( )}

_a f _=…= n _{=0= =…=} n ( +1)

_{( )}

_{a ≠0} g n ( )

( )

( )

_{( )}

1 1 n n f x f a g x g a + + = lim x a→ .

Definicja. Zał. że f : ,

( )

a b → ∈C∞,x₀∈

( )

a b, .

( )

+ ′

( )(

−

)

+…+ ( )n

( )(

−

)

n +…

x x n x f x x x f x f 0 ₀ 0 0 0 ! 0 x

nazywamy szeregiem Taylora (dla funkcji względem środka f ).

Twierdzenie. Jeżeli lim _n

(

, ₀

)

0, to

n→∞R x x =

( )

( )

( ) (

0

)

0 0 ! i i i f x f x x x i ∞ = =

∑

− .

Definicja. Zał. że . Mówimy, że jest funkcją analityczną, gdy jest równa sumie swojego szeregu MacLaurina.

( )

(

: , , 0 ,

f a b → ∈C∞ ∈ a b

)

)

f f

Twierdzenie. Jeżeli f : ,

( )

a b _{→ ∈}C∞, 0,x_∈

(

a b, oraz

( ) ( )

_{( )}

0 0, n M∃ ∀ ∀> ∈t x n∈ f t ≤M, to jest funkcją analityczną. f

Twierdzenie. Jeżeli rozwija się w szereg MacLaurina, to istnieje tylko jedno takie rozwinięcie. f Twierdzenie. Jeżeli jest różniczkowalna na oraz i zmienia znak przechodząc przez , to posiada ekstremum lokalne w .

( )

: , f a b → 0 f

(

a,b 0 x

)

)

)

)

)

)

)

)

( )

a b x₀ ∈ , f ′ x

Definicja. Zał. że . Mówimy, że ma punkt przegięcia w , gdy taka, że:

( )

2

(

0 : , , , f a b → ∈C x ∈ a b f x₀ 0 > ∃ δ (1) na przedziale leży nad styczną do wykresu w punkcie

, a na przedziale

(

leży pod ;

(

x0 −δ, x0

( )(

x0 x−x0 ′ f

)

(

g

( )

x = f

( )

x0 + f

)

x0, x0 +δ

)

f f g x0

(2) albo zachodzi sytuacja odwrotna.

Twierdzenie. Zał. że : ,

( )

, 0

(

, oraz . Wtedy:

n

f a b → ∈C x ∈ a b

( )

( )1

( )

0 0 0

n

f x′ =…= f − x =

(1) jeżeli n=2k i f( )

( )

x0 <0, to posiada maksimum lokalne w ;

n

f x₀

(2) jeżeli n=2k i f( )

( )

x0 >0, to posiada minimum lokalne w ;

n _f

0 x

(3) jeżeli n= k2 +1 i f ′

(

x₀ dowolna, to posiada punkt przegięcia w f x₀. Twierdzenie. Zał. że _{f : ,}

( )

_{a b → ∈C c}2_{, ∈}

(

_{a b,} . Wtedy:

(1) jeżeli , to krzywa jest dla pewnego otoczenia punktu c położona powyżej

stycznej do tej krzywej w punkcie (a więc skierowana wypukłością w dół);

( )

>0 ′′ c

f y= f

( )

x

(

c,f

( )

c

(2) jeżeli , to krzywa jest dla pewnego otoczenia punktu c położona poniżej

stycznej do tej krzywej w punkcie (a więc skierowana wypukłością w górę).

( )

<0 ′′ c

f y= f

( )

x

(

c,f

( )

c