z. 120 Transport 2018
Daniel Kubek
Katedra Systemów Transportowych, Politechnika Krakowska, Wydział Inżynierii Lądowej
CHARAKTERYSTYKA WIELOKRYTERIALNEGO
PROBLEMU WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW
Z ELASTYCZNYMI OKNAMI CZASOWYMI
Rękopis dostarczono: kwiecień 2018
Streszczenie: Celem artykułu jest zdefiniowanie modelu dla popularnego i ważnego zagadnienia
planowania tras pojazdom w mieście. Zaproponowany model został sformułowany w postaci wielokryterialnej, w którym dodatkowo uwzględniono wsteczne przepływy towarów oraz elastyczne okna obsługi klientów. Podstawową charakterystykę oraz użyteczność modelu przeanalizowano w oparciu liczne eksperymenty obliczeniowe. Dane do eksperymentów bazują na rzeczywistej sieci drogowej miasta Krakowa.
Słowa kluczowe: problem planowania tras pojazdom z elastycznymi oknami obsługi, optymalizacja
wielokryterialna, miejska dystrybucja towarów
1.WSTĘP
Problematyka układania trasy pojazdowi jest problemem podejmowanym w literaturze już od XIX wieku, gdzie pierwszą definicję zagadnienia przedstawił W.R. Hamilton. Uogólnieniem problemu komiwojażera jest zagadnienie wyznaczania tras flocie pojazdów, którego celem jest odnalezienie optymalnej trasy dla dowolnej liczby pojazdów [1,5]. W polskiej literaturze problem ten znany jest również pod pojęciami: problem marszrutyzacji pojazdów, zagadnienie układania tras pojazdom, problem trasowania pojazdów lub zagadnienie wyznaczania planów przewozów (ang. Vehicle Routing Problem – dalej VRP). Dystrybucja towarów w tym zagadnieniu polega na świadczeniu usług transportowych klientom poprzez rozwożenie towarów zgodnie z ich zgłoszonym zapotrzebowaniem - tak zwanym popytem na towary. Usługi transportowe są realizowane przez flotę pojazdów, które poruszają się po sieci drogowej oraz rozpoczynają i kończą swoje trasy w bazie zwanej magazynem. Celem zadania VRP jest odnalezienie trasy dla każdego pojazdu tak, aby całkowity koszt, zazwyczaj dystans, był najmniejszy.
Jednym z rekomendowanych rozwiązań przez odpowiednie jednostki Unii Europejskiej, czy USA jest wprowadzanie do procesu planowania transportu przez podmioty realizujące transport w mieście, narzędzi zawierających metody optymalizujące trasy pojazdów [3,7]. Propozycja zastosowania optymalizacji tras pojazdom w logistyce miejskiej, może znaleźć swoje uzasadnienie we względnie niskich kosztach wdrożenia i implementacji oraz
w znaczącej poprawie funkcjonowania i jakości transportu towarów w mieście. W raporcie Wydziału Mobilności i Transportu UE zestawiono kilkanaście rekomendacji i oceniono je pod względem wpływu ekonomicznego, środowiskowego, na zdrowie człowieka, określono stosunek jakości efektów rozwiązania do poniesionych nakładów wdrożenia oraz dla jakich wielkości miast dane rozwiązanie jest odpowiednie. Rozwiązania tego typu mogą dać dobre efekty poprawy jakości powietrza, zmniejszenia emisji gazów cieplarnianych oraz zmniejszenia emisji hałasu. Możliwe jest uzyskanie bardzo dobrych efektów w kwestii oddziaływania dystrybucji towarów na zdrowie i bezpieczeństwo człowieka. Zaleca się aby planowanie transportu w oparciu o optymalizację marszrut pojazdów było stosowane w metropoliach europejskich (powyżej 3 mln mieszkańców) oraz w dużych miastach (pow. 0,5 mln mieszkańców). Dodatkowo stosunek jakości efektów rozwiązania do kosztów implementacji został określony jako dobry [7].
Stąd biorąc pod uwagę powyższe kwestie, zasadnym wydaje się być prowadzenie badań w kierunku rozwoju modeli i metod optymalizacyjnych dla zagadnień planowania przewozu. Celem badawczym artykułu jest zdefiniowanie matematycznego modelu jednej z odmian problemu VRP – zagadnienia planowania tras pojazdów uwzględniającego elastyczne okna czasowe oraz przepływy wsteczne towarów (ang. Pickup and Delivery Vehicle Routing Problem with Soft Time Windows – dalej PDVRPTW). Dodatkowym celem pracy jest prezentacja charakterystyki i poziomu użyteczności zaprezentowanego modelu.
2. DETERMINISTYCZNY PROBLEM WYZNACZANIA
TRAS POJAZDÓW UWZGLĘDNIAJĄCY ELASTYCZNE
OKNA CZASOWE ORAZ PRZEPŁYWY WSTECZNE
TOWARÓW
2.1. SPECYFIKA I ZAŁOŻENIA OGÓLNE PROBLEMU
W celu poprawnego sformułowania matematycznego modelu rozważanego problemu przyjęto następujące założenia dla problemu PDVRPTW:
1. Model jest dedykowany do wyznaczania tras pojazdów na terenach miejskich, którego popyt i ewentualna podaż na usługi dystrybucyjne dotyczy towarów o nie-wielkich rozmiarach (tzw. paczki lub przesyłki kurierskie),
2. Celem procesu optymalizacyjnego jest wyznaczenie tras pojazdów mając na uwadze następujące kryteria:
a. łączny czas operacyjnego pojazdów (tylko czas poruszania się pojazdów w sieci drogowej),
b. łączny dystans zrealizowany przez wszystkie pojazdy,
c. łączny czas wcześniejszego rozpoczęcia obsługi klienta przez kierowcę, d. łączny czas opóźnionego rozpoczęcia obsługi klienta przez kierowcę.
3. Wielokryterialność modelu zostanie zrealizowana poprzez zastosowanie kryterium zbiorczego, które będzie sumą ważoną znormalizowanych kryteriów cząstkowych, 4. Istnieje możliwość uwzględnienia przepływów wstecznych towarów w miastach, 5. Obsługiwani klienci wymagają obsługi transportowej w wyznaczonym interwale
czasowym, tzw. oknie czasowym,
6. Istnieje możliwość wcześniejszej/późniejszej obsługi klienta, wiąże się to z ponoszeniem przez firmę dodatkowych, np. kosztów lub obniżenie jakości obsługi, 7. Obsługiwany towar jest opisany przez jedną cechę - jednostkę ładunkową (lub
jednostkę zunifikowaną),
8. Wykorzystywane pojazdy charakteryzują się podobną pojemnością wyrażoną przez cechę towaru,
9. Kierowcy i pojazdy rozpoczynają i kończą swoją pracę w tym samym punkcie. Wprowadzenie czterech kryteriów przy poszukiwaniu rozwiązania optymalnego było zdeterminowane przez charakterystykę procesu transportu towarów w miastach. W związku z tym, że zmienność czasu przejazdu w sieci drogowej jest duża, nie zawsze musi istnieć korelacja pomiędzy czasem przejazdu a długością danego odcinka. Stąd model uwzględnia minimalizację obu kryteriów. Kryteria minimalizacji czasu wcześniejszego/późniejszego przyjazdu wynikają z warunków rzeczywistej realizacji dystrybucji przesyłek kurierskich. Założenie sztywnych okien czasowych jest właściwe tylko w symulacjach komputerowych, w rzeczywistości kurier może przyjechać do klienta wcześniej lub później. Nie zawsze wpłynie to na realizację dalszych przesyłek (trasa nadal jest kontynuowana), tylko na wizerunek firmy, poziom satysfakcji klienta i poziom świadczonych usług. Z tego powodu założenie o tzw. elastycznych okien czasowych jest bliższe rzeczywistości (założenia 5 i 6). Przyjęcie takich warunków determinuje dodanie tych dwóch kryteriów do funkcji kryterialnej, w celu właściwego sterowania kierunkiem poszukiwania rozwiązania w przestrzeni rozwiązań dopuszczalnych.
Obecnie w towarowym systemie miasta można zaobserwować trend odbierania paczek/przesyłek od klientów bezpośrednio przez kurierów. W usługach tych kurier odwiedza klientów, od których odbiera paczkę, co tworzy wsteczny (rewersyjny) przepływ towaru w stosunku do klasycznej dystrybucji towarów. W proponowanym modelu założono, że zbieranie towarów od klientów będzie odbywać się równolegle z rozwożeniem towarów. Zatem dany klient może charakteryzować się popytem na towary (przepływ towarów w przód) i/lub może charakteryzować się podażą na towary (przepływ towarów wstecz).
Obsługiwany towar nie jest sprecyzowany, co do ilości asortymentowej. Charakterystyka towaru może być opisana poprzez jedną cechę: masę, objętość, ilość lub jednostkę ładunkową. Oznacza to, że obsługiwane towary nie muszą być jednorodne asortymentowo. W przesyłkach kurierskich, zazwyczaj, operuje się jednostką ładunkową, która posiada dopuszczalną, maksymalna masę, np. paczka do 20kg. W ten sposób można operować wielotowarowym przepływem. Pominięcie innych cech towarów tj. wymiary nie powoduje niewłaściwego opisu procesu, ponieważ możliwe jest sprowadzanie wielu cech do jednej zastępczej (np. paczka, karton, itd.).
Ostatni warunek zakłada, że struktura systemu dystrybucji jest zcentralizowana, którego centrum jest baza logistyczna, magazyn lub centrum dystrybucji towarów. Wszystkie trasy pojazdów muszą rozpocząć się i zakończyć w tym samym miejscu.
Powyższe ogólne założenia były podstawą do sformułowania matematycznego deterministycznego modelu dla problemu PDVRPTW. Na podstawie sformułowanego modelu matematycznego przeprowadzono charakterystykę założeń.
2.2. CZTEROKRYTERIALNE SFORMUŁOWANIE PROBLEMU
Dany jest skierowany graf ܩ, zdefiniowany przez uporządkowaną parę: ܩ ൌ ۃܸǡ ۄ gdzie: ܣ ൌ ሼሺ݅ǡ ݆ሻǣ ݅ ് ݆ ר ݅ǡ ݆ א ܸ ൈ ܸሽ oznacza zbiór skierowanych łuków grafu, o interpretacji bezpośredniego połączenia pomiędzy węzłami sieci drogowej, wyrażonej poprzez najkrótszą ścieżką pomiędzy ሺ݅ǡ ݆ሻ. Zbiór ܣ przyjmuje wartości określone binarnym odwzorowaniem na iloczynie kartezjańskim takie, że: ߞǣ ܸ ൈ ܸ ՜ ሼͲǡͳሽ, gdzie wielkość ߞሺ݅ǡ ݆ሻ ൌ ͳǡ ݅ǡ ݆ א ܸ, gdy między węzłami ሺ݅ǡ ݆ሻ występuje najkrótsza ścieżka, w przeciwnym wypadku wielkość ߞሺ݅ǡ ݆ሻ ൌ Ͳǡ ݅ǡ ݆ א ܸǣ݅ ൌ ݆. Oznacza to, że zbiór połączeń ܣ zapisany w postaci macierzy incydencji będzie macierzą pełną z zerami na przekątnej diagonalnej. Wobec czego, graf ܩ jest grafem pełnym, co warunkuje istnienie cyklu Hamiltona [10]. Jest to podstawowa zaleta takiego sformułowania.
Każdemu łukowi ሺ݅ǡ ݆ሻ ze zbioru ܣ przyporządkowano koszt w postaci macierzy: ܶܶ ൌ ൣݐݐ൧, przy czym ݐݐ Ͳǡ ሺ݅ǡ ݆ሻ א ܣǡ który reprezentuje czas przejazdu na połączeniu ሺ݅ǡ ݆ሻǤ Dodatkowo każdemu łukowi ሺ݅ǡ ݆ሻ ze zbioru ܣ przyporządkowano koszt w postaci macierzy: ܦܦ ൌ ൣ݀݀൧, przy czym ݀݀ Ͳǡ ሺ݅ǡ ݆ሻ א ܣktóra definiuje odległość pomiędzy wierzchołkami ሺ݅ǡ ݆ሻ.
Magazyn posiada flotę ܭ homogenicznych pojazdów, które posiadają ładowność maksymalną wyrażoną przez ܳ. Pozostałe wierzchołki grafu ܸൌ ܸ ך ሼͳሽsą utożsamiane ze zbiorem klientów, którzy wymagają obsługi transportowej w postaci dostarczenia oraz/lub odebrania pewnej ilości towarów. Każdy wierzchołek݅ א ܸcharakteryzuje się nieujemnym popytem na towary ݀ ൌ ሾ݀ሿǡ nieujemną podażą na towary ݏ ൌ ሾݏሿ oraz nieujemnym czasem obsługi ݏݐ ൌ ሾݏݐሿ. Dla magazynu zakłada się, że ݀ଵൌ ݏଵൌ ݏݐଵൌ Ͳ.
Każdy wierzchołek posiada przypisane okno czasowe obsługi: ሾ݁ǡ ݈ሿǡ ݅ א ܸ, oznaczający interwał czasowy, w którym klient musi być obsłużony. Wartości ሾ݁ǡ ݈ሿ oznaczają, odpowiednio, najwcześniejszy oraz najpóźniejszy możliwy czas rozpoczęcia obsługi transportowej. Zbiór okien czasowych obsługi można zdefiniować poprzez:
ܹܶ ൌ ሾݐݓሿ ൌ ۃሾ݁ଵǡ ݈ଵሿǡ ǥ ǡ ሾ݁ǡ ݈ሿǡ ǥ ǡ ሾ݁ǡ ݈ሿۄǤ Dodatkowo zakłada się możliwość zaakceptowania przez klienta wcześniejszego lub późniejszego rozpoczęcia obsługi, innego niż wynika to z wartości par zbioru ܹܶ, jednakże fakt ten jest obarczony ponoszeniem dodatkowego kosztu. Możliwość wcześniejszego/późniejszego przyjazdu do klienta jest ograniczona rozszerzonym oknem czasowym wyrażonym przez zbiór:
ܹ͓ܶൌ ൣݐݓ
͓൧ ൌ ۃሾ݁ଵ͓ǡ ݈ଵ͓ሿǡ ǥ ǡ ൣ͓݁ǡ ݈͓൧ǡ ǥ ǡ ሾ͓݁ǡ ݈͓ሿۄ, przy założeniu, że: ͓݁ ݁ר ݈ ݈͓Ǥ Zakłada się, że okno czasowe magazynu przyjmuje wartości: ሾ݁ଵǡ ݈ଵሿ ൌ ሾ݁ଵ͓ǡ ݈ଵ͓ሿ ൌ ሾܧǡ ܮሿǡ gdzie ܧ i ܮ oznaczają odpowiednio najwcześniejszy możliwy wyjazd pojazdów z magazynu i najpóźniejszy możliwy powrót pojazdów do magazynu.
Wierzchołek - magazyn ܸ ൌ ͳzostanie przedefiniowany w następujący sposób: będzie funkcjonować jako wierzchołek startowy tzn. wszystkie łuki "wchodzące" do ܸଵzostaną usunięte. Dodatkowo zostaną utworzone wirtualne wierzchołki w liczbie równej liczbie pojazdów, czyli: ܸൌ ܸ ሼܸାଵǡ ܸାଶǡ ǥ ǡ ܸାሽ, które będą pełniły rolę magazynów
powrotnych dla każdego z pojazdów indywidualnie. Do każdego z wirtualnych wierzchołków zostaną przypisane łuki "wchodzące" do wierzchołka ܸଵ. Dzięki takiej operacji każdy pojazd rozpocznie trasę w wierzchołku ܸଵ, a zakończy ją we własnym wirtualnym magazynie powrotnym. W analogiczny sposób zastały rozszerzone macierze odległości ܦܦ ՜ ܦܦ oraz macierze czasów przejazdów ܶܶ ՜ ܶܶ. Nowy, powiększony graf można zapisać, jako: ܩൌ ۃܸǡ ܣۄ gdzie ܣ jest zbiorem łuków powiększonym zgodnie z opisem powyżej.
Problem wyznaczania tras pojazdów PDVRPTW został sformułowany w postaci programowania całkowitoliczbowego (ang. Mixed Integer Programming) i bazuje on na badaniach przedstawione w pracach [2,6,8,9] oraz na pracach własnych autora [4]:
Model problemu wyznaczania tras pojazdów uwzględniający elastyczne okna czasowe i przepływy wsteczne towarów z założeniem stałej liczby pojazdów zawiera zmienne decyzyjne:
ݔא ሼͲǡͳሽ - zmienna binarna określająca, czy dany łuk ሺ݅ǡ ݆ሻ znajduje się w rozwiązaniu, ݂݀ Ͳ - zmienna określająca ilość towaru rozwożonego, znajdującego się w pojeździe
przejeżdżającego przez łuk ሺ݅ǡ ݆ሻ- przepływ towarów w przód,
ݏ݂ Ͳ - zmienna określająca ilość towaru zbieranego, znajdującego się w pojeździe przejeżdżającego przez łuk ሺ݅ǡ ݆ሻ - przepływ wsteczny,
ݐܽ Ͳ - oznacza czas przyjazdu pojazdu do i-tego klienta - jest to moment rozpoczęcia obsługi klienta,
݂ Ͳ- wartość i-tego kryterium cząstkowego wielokryterialnej funkcji celu,
ܨ Ͳ - znormalizowana wartość i-tego kryterium cząstkowego funkcji celu, obliczana przez normalizację min-max: ܨൌ
ିி
ிೌೣିி
ǡ ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡͶ, gdzie: ܨ - oznacza wartość minimalną, jaką może przyjąć funkcja danego kryterium cząstkowego, odpowiednio dla: czasu, odległości, czasu oczekiwania oraz czasu opóźnienia; ܨ௫ - oznacza wartość maksymalną, jaką może przyjąć funkcja danego kryterium cząstkowego, odpowiednio dla: czasu, odległości, czasu oczekiwania oraz czasu opóźnienia.
Funkcja kryterialna jest sumą znormalizowanych, cząstkowych kryteriów, której zapis przedstawia się następująco:
ሺܯ െ ܸܴܲሻǣ ݉݅݊ி
σସୀଵ߱ή ܨ (1)
Ograniczenia wynikające z kryteriów cząstkowych:
݂ଵ σሺǡሻא಼ݔή ݐݐ (2)
݂ଶ σሺǡሻא಼ݔή ݀݀ (3)
݂ଷ σאሺ݁െ ݐܽሻା (4) ݂ସ σ୧אౙሺݐܽെ ୧ሻା (5) Ograniczenia definiujące poprawność przepływu:
σאݔൌ ͳǡ ݆ א ܸך ሼͳሽ (6) σאೖ̳ሼଵሽݔൌ ͳǡ ݅ א ܸ (7) σאݔൌ ܭ (8) Ograniczenia pojemnościowe: σאೖ݂݀െ σאೖ݂݀ൌ ݀ǡ ݅ א ܸ (9) σאೖݏ݂െ σאೖݏ݂ൌ ݏǡ ݅ א ܸ (10) ݂݀ ݏ݂ ܳ ή ݔǡ ሺ݅ǡ ݆ሻ א ܣ (11)
Ograniczenia związanie z oknami czasowymi: ݐܽ ݏݐ ݐݐെ ݐܽെ ൫ͳ െ ݔ൯ ή ݉ͳ Ͳǡ ݅ א ܸǢ݆ א ܸ̳ሼͳሽǢ ݅ ് ݆ (12) ݐܽ ݏݐ ݐݐെ ݐܽെ ൫ݔെ ͳ൯ ή ݉ʹ Ͳǡ ݅ א ܸǢ݆ א ܸ̳ሼͳሽǢ ݅ ് ݆ (13) ͓݁ ݐܽ ݈͓ǡ ݅ א ܸ (14) Natura zmiennych: ݔא ሼͲǡͳሽǡ ሺ݅ǡ ݆ሻ א ܣ (15) ݂݀א Թାǡ ሺ݅ǡ ݆ሻ א ܣ (16) ݏ݂א Թାǡ ሺ݅ǡ ݆ሻ א ܣ (17) ݐܽא Թାǡ ݅ א ܸ (18) ݂א Թାǡ ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡͶ (19) ܨא ሾͲǡͳሿǡ ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡͶ (20) Zgodnie z założeniami, celem problemu ሺܯ െ ܸܴܲሻ jest minimalizacja czterech pod-kryteriów: łącznego czasu, łącznego dystansu, łącznego czasu dla zbyt wczesnego przyjazdu pojazdów do klientów oraz łącznego czasu dla zbyt późnego przyjazdu pojazdów do klientów. Ograniczenia od (2) do (5) wyrażają sposób realizacji w procesie optymalizacji poszczególnych kryteriów cząstkowych, czyli:
1. Pierwsze kryterium cząstkowe - minimalizacja łącznego operacyjnego czasu poruszania się pojazdów w sieci (2),
2. Drugie kryterium cząstkowe - minimalizacja pokonanego dystansu przez wszystkie pojazdy (3),
3. Trzecie kryterium cząstkowe - minimalizacja łącznego czasu oczekiwania u klientów. Kryterium to ma na celu zminimalizowanie czasu oczekiwania kierowców u klientów na otwarcie się okna czasowego obsługi (4),
4. Czwarte kryterium cząstkowe - minimalizacja łącznego czasu opóźnionej obsługi klienta przez kierowcę. Czas opóźnienia można interpretować, jako abstrakcyjną karę dla firmy transportowej, w związku z nieobsłużeniem klienta w preferowanym czasie obsługi. Im większy będzie łączny czas opóźnienia, tym poziom usług realizacji danej trasy będzie mniejszy (5).
Poszczególne wagi kryteriów cząstkowych ߱ można sformułować w postaci zbioru: ȳ ൌ ሼ߱ǣ σସୀଵ߱ൌ ͳ ר ߱ Ͳǡ ݅ ൌ ͳǡ ǥ ǡͶሽ. Taki warunek zagwarantuje wypukłość funkcji kryterialnej, a zatem również pareto-optymalność otrzymanego rozwiązania.
Poprawność przejazdu pojazdów w sieci zapewniają ograniczenia (6) - (7). Użycie w rozwiązaniu K-tej liczby pojazdów gwarantuje ograniczenie (8). Właściwy przepływ towarów zapewniają ograniczenia: (9) - przepływ towarów w przód (popyt) oraz (10) - przepływ towarów w tył. Na każdym etapie wyznaczanej trasy pojazdów, pojemność nie może zostać przekroczona, co przedstawia nierówność (11). Ograniczenia związane z oknami czasowymi zostały zapisane przy użyciu tzw. "dużej liczby". Takie sformułowanie umożliwia czasową aktywację i dezaktywację ograniczenia (12) oraz (13), w zależności od bieżącego rozwiązania metody optymalizacyjnej. Oba ograniczenia powstały dla zapewnienia, że nie powstaną wirtualne czasy oczekiwania w wierzchołkach sieci, podczas realizacji trasy. Formalnie takie ograniczenia można zapisać w postaci jednej równości jednak, mając na uwadze charakterystykę procesu optymalizacji, właściwszym jest zastąpienie ograniczenia równościowego, dwoma nierównościami, które wyrażają to samo. Macierze ۻ ൌ ൣ݉ͳ൧ oraz ۻ ൌ ൣ݉ʹ൧ zawierają tzw. "duże liczby” dla każdego połączenia ሺ݅ǡ ݆ሻ. Ograniczenie (14) zakłada, że czas przyjazdu do dowolnego wierzchołka sieci znajduje się w granicach elastycznego okna czasowego. Ostatnie
ograniczenia wskazują na charakterystykę zmiennych oraz ich zakres zmienności w przestrzeni poszukiwań.
3. CHARAKTERYSTYKA I ANALIZA UŻYTECZNOŚCI
MODELU
3.1. ANALIZA ZMIENNOŚCI WAG MODELU
W celu dokonania przeglądu jak wartości wag wpływają na jakość rozwiązania, obliczono wszystkie możliwe wariacje podczas wybierania 4 elementów ze dyskretyzowanego zbioru potencjalnych wartości wag z zakresu [0;1] z krokiem 0,1. Z ponad 14 tys. wariacji wybrano 266, których suma elementów w dała wartość równą 1 (zgodnie z założeniem 6).
Z uwagi na fakt, że liczba wag ze zbioru ȳ jest równa cztery, analiza sprowadza się do zbadania czterowymiarowej przestrzeni, co wizualnie nie jest możliwe do przedstawienia. Z tego powodu, analizę wykonano korzystając z metody porównywania parami wykorzystując wykresy punktowe. Wyniki analizy przedstawia rysunek 1, gdzie na osiach pionowych są wartości poszczególnych kryteriów, a na osiach poziomych wartości poszczególnych wag kryteriów.
Analizując rysunek 1 można wyciągnąć następujące wnioski (niektóre dość intuicyjne): 1. Optymalizacja problemu, zdefiniowanego w postaci jednokryterialnej, może
prowadzić pogorszenia pozostałych parametrów rozwiązania (nie uwzględnionych pierwotnie w modelu),
2. Przeszukiwanie przestrzeni rozwiązań mając na uwadze tylko kryteria: ݂ଷோǡ ݂ସோ
lub rozważanie ich z dużym poziomem ważności może prowadzić do uzyskiwania rozwiązania o wysokim koszcie czasu i dystansu. Świadczy o tym duże rozproszenie danych na wykresach: w pierwszym, drugim wierszu i w trzeciej, czwartej kolumnie (dalej skrótowy zapis: wykresy {1,2} x {3,4}),
3. Pomimo zwiększania wartości wagi ߱ଵ, na rzecz wagi ߱ଶ i odwrotnie, można
zauważyć trend zmniejszania wartości obu korespondujących funkcji kryterialnych (wykresy: {1,2} x {1,2}). Istnieje korelacja pomiędzy czasem trwania tras, a długością tras - dla analizowanego przypadku współczynnik determinacji wyniósł: ܴଶൌ ͺǡͳΨ. Jednak jak pokazują dalsze analizy (tabela 1) potraktowanie ich jako kryteriów skorelowanych byłyby błędne.
4. Przeszukiwanie przestrzeni rozwiązań bez rozważania kryteriów ݂ଷோǡ ݂ସோ
prowadzi do rozwiązania, w którym obsługa klienta rozpocznie się poza wyznaczonym sztywnym oknem czasowym (wykresy: {3,4} x {1,2}).
Sposób doboru wag kryteriów zawsze jest subiektywny i jest zdeterminowany w głównej mierze przez wiedzę i preferencję decydenta procesu planistycznego. Dla celów porównawczych określono wektor ષ, którego wartości zostały ustalone w oparciu o poprzednie badania Autora [4]. Badania te dotyczyło preferencji planistów transportu
w trakcie procesu decyzyjnego. Dla modelu ሺܯ െ ܸܴܲሻ przyjęto, że elementami zbioru wag kryteriów będą wartości: ષכൌ ሼͲǡ͵ͷǢ ͲǡͳʹͷǢ ͲǡʹͷǢ Ͳǡͳʹͷሽ. Na rysunku 1
przedstawiono rozwiązanie dla takich wartości wag - czerwony punkt w kształcie kwadratu. Zaprezentowane rozwiązanie dowodzi, że wiedza ekspercka planistów transportu umożliwia otrzymanie rozwiązania w analizie wielokryterialnej dobrej jakości. Świadczy o tym dość bliskie położenie punktów w poszczególnych kryteriach względem rozwiązań optymalnych dla każdego z kryteriów cząstkowych z osobna (wykresy na przekątnej).
Rys.1 Wykresy punktowe wartości kryteriów cząstkowych w zależności od wartości wag kryteriów dla modelu (M-VRP)
W kolejnym etapie analiz sprawdzono jakie jest odniesienie otrzymanego rozwiązania dla zadanych wartości wag ષכ do innych możliwych zestawów wag. Tablica 1 zawiera
porównanie rozwiązania przy przyjęciu wektora ષכ, z wartościami rozwiązania
wielokryterialnego idealnego oraz poszczególnych rozwiązań jednokryterialnych. Poprzez rozwiązanie idealne rozumiane jest rozwiązanie, którego poszczególne wartości kryteriów cząstkowych odpowiadają wartościom rozwiązań dla kryteriów z osobna (optymalizacja jednokryterialna). Zazwyczaj punkt ten nie jest osiągalny, ma on jedynie charakter punktu odniesienia (szczególnie jest to wykorzystywane w programowaniu celowym). Koszty rozwiązań jednokryterialnych określono następująco: spośród zbioru rozwiązań z poprzedniej analizy wybrano rozwiązania, których wartości były najmniejsze ze względu na dane kryterium.
Tablica 1
Porównanie wartości wag kryteriów w rozwiązaniem idealnym.
Odniesienie - punkt idealny Optimum - ݂ଵோ Optimum - ݂ ଶோ Optimum - ݂ଷோ Optimum -݂ ସோ Ω Czas [min] 50,7 50,7 70,2 105,9 108,5 57,1 Długość [m] 24 646,5 33 702,1 24 646,5 54 116,7 52 007,1 30 717,3 Oczekiwanie [min] 0,0 167,6 169,5 0,0 165,6 11,4 Opóźnienie [min] 0,0 51,2 139,1 179,7 0,0 20,9 Liczba tras [-] 1 3 3 3 3 1
Przyjęte wartości wag dla danego kryterium cząstkowego tworzą kompromis pomiędzy wszystkimi celami funkcji. Jak można zaobserwować, opis ważności kryteriów uzyskany od osób zajmujących się na co dzień planowaniem transportu umożliwia zdefiniowanie wektora wag, który daje dobrej jakości rozwiązanie. Sformułowanie "dobrej jakości" jest oczywiście oceną subiektywną, jednak jak można zauważyć, otrzymane rozwiązanie jest tylko o kilkanaście procent gorsze od punktu idealnego, który może nie być rozwiązaniem dopuszczalnym.
Powyższa analiza ponownie potwierdza właściwość problemów VRP - w odniesieniu do rzeczywistych procesów ukierunkowanie się na jeden cel może powodować zwiększanie sie kosztów w innych elementach procesu. Przedstawione wnioski w dość ogólny sposób wyznaczają zależności pomiędzy kryteriami cząstkowymi. Jednak, co najistotniejsze, dowodzą zasadność przyjęcia założenia wielokryterialności modelu VRP.
3.2. UŻYTECZNOŚĆ MODELU
Przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych bardzo ważnym elementem jest informacja o użyteczności danego modelu. W problematyce VRP wyraża się ją przede wszystkim poprzez czas optymalizacji, który jest silnie uzależniony od wielkości rozważanego problemu, ale nie tylko. Analizę wpływu wybranych parametrów modelu na czas obliczeń wykonano na sieci drogowej Krakowa (centrum miasta). Dla losowo wybranych zbiorów klientów został sprawdzony czas wykonywania optymalizacji w zależności od liczebności klientów oraz liczby pojazdów. Liczebność klientów została wybrana z przedziału ሾʹͲǢ ͺͲሿ z krokiem co 5, co daje 13 przypadków. Lokalizacja klientów została wygenerowana losowo, przyjmując, że umiejscowienie ich w sieci jest na łukach grafu. Przypisanie to zostało wykonane przez utworzenie dodatkowych, wirtualnych wierzchołków grafu, które dzielą oryginalne łuki grafu na równe części. I tak dla przykładu, jeśli analizowany jest przykład z 80 klientami w rozważanym obszarze, to graf reprezentujący ten przypadek będzie składał się z 331 wierzchołków (251 sieci drogowej plus 80 wirtualnych klientów) oraz z 644 łuków (564 łuków sieci drogowej plus 80 dodatkowych łuków).
Dla każdego z przypadków wygenerowano losowo charakterystyki klientów. Czas pracy magazynu to: ሾܧǡ ܮሿ ൌ ሾǢ ʹͳሿǡ w tych godzinach pojazdy mogą wyjeżdżać
i powracać do magazynu. Pojazdy posiadają ładowność 1000 kg. W każdym zbiorze klientów można wyznaczyć maksymalnie 5 tras.
Przyjmując powyższe założenia, wygenerowano 65 przykładów testowych (13 przypadków liczebności klientów * 5 tras). Zbieżność algorytmu optymalizującego programu CPLEX 12.5 została wyznaczona przez dwa warunki: pierwszy, osiągnięcie względnej różnicy 1% pomiędzy najlepszym rozwiązaniem całkowitoliczbowym w węźle drzewa decyzyjnego algorytmu, a bieżącym rozwiązaniem; drugi warunek, maksymalny czas obliczeń to 5 min. Wyniki symulacji przedstawiono na poniższych wykresach. Jeśli algorytm osiągnął maksymalny czas, punkty na wykresie mają przypisaną wartość 300 sekund. Z kolei, jeśli algorytm po 5 minutach obliczeń nie odnalazł rozwiązania całkowitoliczbowego, wartości na wykresach zostały pominięte.
W tabeli 2 zaprezentowano uzyskane wyniki.
Tablica 2
Średni czas optymalizacji w zależności od liczby klientów i zakładanej liczby tras.
Czas optymalizacji [s]
Liczba tras K=1 K=2 K=3 K=4 K=5 Średnia [s]
Liczba klie ntó w 20 6,77 0,49 0,37 0,24 0,18 4,68 25 2,71 0,71 0,72 0,54 0,55 5,04 30 1,33 4,56 0,76 0,71 0,89 6,37 35 9,80 2,40 2,02 1,07 1,37 8,61 40 6,67 30,90 14,51 2,49 1,94 16,09 45 - 51,54 3,83 3,57 3,59 21,51 50 - 55,15 39,77 55,42 4,51 40,97 55 - 133,60 143,79 8,91 65,36 81,33 60 - 82,93 84,83 9,12 8,90 49,15 65 - 19,13 17,66 95,87 52,44 50,02 70 - 199,97 19,74 128,57 17,57 87,17 75 - - 156,31 156,79 14,08 100,54 80 - - 300,02 172,38 156,45 177,21 Średnia 49,90
4. PODSUMOWANIE I DALSZE KIERUNKI BADAŃ
W artykule zaprezentowano czterokryterialny model dla problemu wyznaczania tras pojazdów. Model zakłada występowanie elastycznych okien czasowych obsługi klientów oraz uwzględnia przepływy wsteczne towarów, dzięki czemu potencjalna stosowalność i uniwersalność jest większa. Dla zbioru klientów mniejszych niż 80, zaprezentowany model można rozwiązać przy pomocy dokładnych metod optymalizacyjnych. Biorąc pod uwagę często występującą rejonizację obszaru miejskiego w dystrybucji towarów przez firmy kurierskie, informacja ta może mieć dość istotne znaczenie dla użyteczności zaproponowanego modelu. Dodatkowo prosta implementacja wielokryterialności nie spowodował istotnego wzrostu złożoności algorytmicznej modelu, a jak pokazały analizy,cecha ta może być atrakcyjna dla przedsiębiorców oraz klientów firm transportowych ze względu na poprawę jakości planu dostaw. Innym ważnym wnioskiem jest to, że popularnie przyjmowanie, w optymalizacji wielokryterialnej, czasu przejazdu i dystansu, jako kryteriów skorelowanych i w konsekwencji odrzucanie jednego z nich, może przynieść niepożądane konsekwencje zwiększające koszty. Wynika to z wysokiej zmienności wartości czasu przejazdu w sieci drogowej miasta.
Dalsze prace badawcze powinny być ukierunkowane na zwiększenie efektywności obliczeniowej algorytmów optymalizujących (zastosowanie heurystyki). Drugim ważnym kierunkiem powinny być badania obejmujące implementację metod wielokryterialnych w optymalizacji modelu, tak aby decydent miał możliwość wyboru alternatywnego rozwiązania ze zbioru rozwiązań Pareto.
Bibliografia
1. Dantzig G., Ramser J.: The truck dispatching problem. Management Science, nr 6, 1959, s. 80-91. 2. Figliozzi M.A.: The time-dependent vehicle routing problem with time windows: Benchmark problems,
an efficient solution algorithm, and solution characteristics, Transportation Research Part E, nr 48, 2012, s. 616–636.
3. Giuliano G., O’Brien T., Dablanc L., Holliday K.: NCFRP REPORT 23: Synthesis of Freight Research in Urban Transportation Planning, Waszyngton, 2013.
4. Kubek D.: Optymalizacja typu "robust" tras przewozu ładunków na obszarach miejskich, Rozprawa doktorska, Politechnika Krakowska 2016.
5. M. Balinski M., R. Quandt, "On an integer program for a delivery problem," Operations Research, nr 12, 1964, s. 300-304.
6. Malandraki C., Daskin M.S.: Time-dependent vehicle routing problems: formulations, properties and heuristics algorithms, Transportation Science, nr 26(3), 1992, s. 185 - 200.
7. MDS Transmodal Limited, "Study on urban freight transport - final report," 2012.
8. Subramanian A., Uchoa E., Och L.S.: New Lower Bounds for the Vehicle Routing Problem with Simultaneous Pickup and Delivery, Experimental Algorithms, Lecture Notes in Computer Science, nr 6049, 2010, s. 276-287.
9. Toth P., Vigo D.: Vehicle Routing. Problems, methods and applications. Wyd. 2, Philadelphia: SIAM, 2014.
10. Wojciechowsk J., Pieńkosz K.: Grafy i sieci. Warszawa: PWN, 2013.
THE CHARACTERISTICS OF MULTICRITERIA VEHICLE ROUTING PROBLEM WITH SOFT TIME WINDOWS
Summary: The article aims to define a model for a popular and important issue of vehicle routes planning in
urban areas. The proposed model has been formulated in a multi-criteria form, which additionally takes into account reverse of good flows and soft time windows. The basic characteristics and usability of the model were analysed by numerous computational experiments. The data for experiments were based on the actual road network of the city of Krakow.
Keywords: vehicle routing problem with soft time windows, multicriteria optimisation, urban freight
