MATEMATYKA UBEZPIECZENIOWA POMOCNICZE WZORY i = 1 + i (m) m !m − 1,
k(t) = k(0)eδt, gdzie δ = log(1 + i)
d = i i + 1 d(m) = i (m) 1 + i(m)m • ¨ a∞ = 1 d. • a∞ = 1 i. • ¨ a(m)∞ = 1 d(m) • a(m)∞ = 1 i(m) • (I ¨a)∞ = 1 d2 • (Ia)∞ = 1 id. • ¨ an = 1 − vn d ; • an = 1 − vn i ; • ¨ a(m)n = 1 − v n d(m) ; • a(m)n = 1 − v n i(m) 1
2 POMOCNICZE WZORY ¯ a∞ = 1 δ. ¯ an = 1 δ(1 − e −δn ). s|tqx =s+tqx−sqx =spx−s+tpx; tp[x]+s = s+tpx spx , tq[x]+s = s|tqx spx s+tpx =spx tp[x]+s s|tqx =spx tq[x]+s, kpx = px k−1 Y i=1 p[x]+i. ˚ex = Z ∞ 0 t pxdt. µ[x]+t= fx(t) 1 − Fx(t) = − 1 tpx d(tpx) dt P(Kx = k) =k|1qx ex = ∞ X k=1 kpx. • Rozkład de Moivre’a µt= 1 ω − t, 0 ¬ t ¬ ω. • Rozkład Gompertza µt = Bct, t > 0, gdzie B > 0 i c > 1. • Rozkład Makehama µt = A + Bct, t > 0, gdzie B > 0 i c > 1 oraz A −B. • Rozkład Weibulla µt = ktn, t 0, gdzie k > 0, n > 0.
MATEMATYKA UBEZPIECZENIOWA 3 HJP tpx = x+tp0 xp0 tp[x]+u =tpx+u (*) µ[x]+t = µx+t. (**) tpx = exp − Z x+t x µudu HA kpx = x+kp0 xp0 p[x]+k = px+k kpx= pxpx+1. . . px+k−1. HU n+upx = (1 − u)npx+ u ·n+1px, 0 ¬ u < 1, n = 0, 1, 2, . . . . upx = 1 − uqx, uqx = uqx. HCFM µ[x]+n+u = µ[x]+n, 0 ¬ u < 1. µ[x]+n+u = µ[x]+n = − log p[x]+n, 0 ¬ u < 1, n = 0, 1, 2, . . . . upx = (px)u, uqx = 1 − (px)u. HB
1−uq[x]+n+u = (1 − u)q[x]+n, 0 ¬ u < 1, n = 0, 1, 2, . . . .
upx = px u + (1 − u)px , uqx = uqx u + (1 − u)px .