Cezary Kaczmarek, Badanie stabilnosci solitonu w swiatłowodzie o dużej dwójłomności przy pobudzeniu super-GaussemPolitechnika Warszawska, Instytut Systemów Elektronicznych

2003

Poznañskie Warsztaty Telekomunikacyjne

Poznañ 11-12 grudnia 2003

mgr inĪ. Cezary Kaczmarek Politechnika Warszawska

Instytut Systemów Elektronicznych ul. Nowowiejska 15/19, 00-665 Warszawa

BADANIE STABILNO

ĝCI SOLITONU W ĝWIATŁOWODZIE O DUĩEJ

DWÓJŁOMNO

ĝCI PRZY POBUDZENIU IMPULSEM W KSZTAŁCIE

FUNKCJI SUPER-GAUSS

Streszczenie: W artykule przedstawiono wyniki analizy numerycznej propagacji solitonu w Ğwiatłowodzie o duĪej dwójłomnoĞci dla impulsu początkowego w kształcie funkcji Super-Gauss. PrzyjĊto, Īe impuls wejĞciowy spolaryzowany jest liniowo i wprowadzony doĞwiatłowodu pod kątem 45°°°° do jego osi polaryzacyjnych. AnalizĊ numeryczną przeprowadzono rozwiązując numerycznie parĊ sprzĊĪonych Nieliniowych RównaĔ Schrödingera przy uĪyciu Zmodyfikowanej Widmowej Metody Dwukrokowej.

1. WPROWADZENIE

DwójłomnoĞü optyczna Ğwiatłowodu cylindrycznego wyraĪająca siĊ zaleĪnoĞcią współczynnika załamania Ğwiatła od stanu polaryzacji propagującej fali Ğwietlnej jest cechą charakterystyczną kaĪdego realnie istniejącego Ğwiatłowodu. Wynika ona z odstĊpstwa struktury Ğwiatłowodu rzeczywistego od idealnej struktury falowodu o symetrii cylindrycznej oraz z anizotropii materiału włókna. DwójłomnoĞü Ğwiatłowodu powoduje, ze liniowo spolaryzowane pole elektryczne wprowadzone do jednomodowego Ğwiatłowodu rzeczywistego rozkłada siĊ na dwie składowe ortogonalne, pomiĊdzy którymi zachodzą przypadkowe sprzĊĪenia prowadzące do niekontrolowanej zmiany stanu polaryzacji wzdłuĪ włókna. Aby uzyskaü moĪliwoĞü kontroli stanu polaryzacji naleĪy albo zredukowaü do zera dwójłomnoĞü Ğwiatłowodu (czyli uzyskaü idealnie izotropowy falowód cylindryczny), albo znacznie ją powiĊkszyü wprowadzając elementy anizotropii w celu uzyskania Ğwiatłowodu utrzymującego (przenoszącego) polaryzacjĊ [1,2,3,4].

ĝwiatłowody przenoszące polaryzacjĊ moĪna podzieliü na Ğwiatłowody o duĪej i o malej dwójłomnoĞci. ĝwiatłowody o duĪej dwójłomnoĞci HB (highly birefringent) posiadają wyróĪnioną parĊ wzajemnie ortogonalnych osi symetrii (osi dwójłomnoĞci), wzdłuĪ których spolaryzowane są dwie składowe ortogonalne modu podstawowego, które mogą rozchodziü siĊ dla dowolnej długoĞci fali, ale z dwiema roĪnymi prĊdkoĞciami fazowymi. JeĪeli kierunek polaryzacji wejĞciowego pola elektrycznego (kierunek polaryzacji impulsu wejĞciowego) pokrywa siĊ z jedną z tych dwóch osi, to kierunek polaryzacji zostanie zachowany wzdłuĪ całej długoĞci Ğwiatłowodu (Ğwiatłowód przenosi polaryzacjĊ).

W artykule analizuje siĊ propagacjĊ impulsu o kształcie funkcji Super-Gauss, gdy impuls wejĞciowy jest spolaryzowany liniowo pod katem 45° do osi dwójłomnoĞci jednomodowego Ğwiatłowodu dwójłomnego HB, co oznacza, ze obie ortogonalnie spolaryzowane składowe impulsu zostają pobudzone w jednakowym stopniu.

2. MODEL MATEMATYCZNY ZJAWISKA

Rozchodzenie siĊ solitonów w stratnym, nieliniowym, jednomodowymĞwiatłowodzie o wysokiej dwójłomnoĞci opisuje siĊ przy pomocy pary SprzĊĪonych Nieliniowych RównaĔ Schrödingera[1,2,3]

u i u v B u u u u i Γ τ τ δ ξ ∂ +¨©§ + ¸¹· =− ∂ + ¸¸¹ · ¨¨© § ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 1 (1) v i v u B v v v v i Γ τ τ δ ξ ∂ +¨©§ + ¸¹· =− ∂ + ¸¸¹ · ¨¨© § ∂ ∂ − ∂ ∂ 2 2 2 2 2 1 (2) gdzie u , v są znormalizowanymi amplitudami

odpowiednio wzdłuĪ osi x , y,

x A T NU u 2 1 2 2 0 ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § = = β γ y A T NV v 2 1 2 2 0 ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § = = β γ

(T₀ ≈0.574T_FWHM dla impulsu w kształcie funkcji Super-Gauss, β₂ jest dyspersją prĊdkoĞci grupowej), γ współczynnikiem nieliniowoĞci, ξ i τ są odpowiednio znormalizowaną długoĞcią i znormalizowanym czasem.

2 0 2 T zβ ξ = 0 1 0 T z t T T β τ = = − gdzie 2 1 1 1 y x β β β = + .

B to parametr skroĞnej modulacji fazy (B=2 3 dla Ğwiatłowodu liniowo dwójłomnego), δ reguluje niedopasowanie prĊdkoĞci grupowych miĊdzy dwoma

składnikami polaryzacji, Γ jest parametrem tłumienia Ğwiatłowodu wyraĪonym jako

2 2 0 2 β α Γ = T

gdzieα to współczynnik absorpcji w

[

1km

]

.

SprzĊĪone Nieliniowe Równania Schrödingera rozwiązuje siĊ numerycznie stosując Zmodyfikowaną Widmową MetodĊ Dwukrokową. UĪycie metody numerycznej jest zalecane, poniewaĪ analityczne rozwiązanie SprzĊĪonych Nieliniowych RównaĔ Schrödingera dla warunków początkowych w postaci

( )

_¸¸ ¹ · ¨ ¨ © § − = 2 exp cos , 0 4 τ θ τ A u (3)

( )

_¸¸ ¹ · ¨ ¨ © § − = 2 exp sin , 0 4 τ θ τ A v (4)

jest trudne do uzyskania.

3. METODA OBLICZENIOWA

Zmodyfikowana Widmowa Metoda Dwukrokowa ma fizyczne uzasadnienie. Jej idea oparta jest na oddzielnym rozpatrywaniu wpływu nieliniowoĞci i dyspersji na krótkim odcinku Ğwiatłowodu. MoĪna ją przedstawiü schematycznie, gdy równania (1) i (2) wyraĪone są w postaci operatorowej [2,3]

(

D N

)

u u u u+ = ∂ ∂ ξ

(

D N

)

v v v v + = ∂ ∂ ξ gdzie Γ τ τ δ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − = 2₂ 2 1 i D_u Γ τ τ δ − ∂ ∂ − ∂ ∂ = 2₂ 2 1 i D_v

są operatorami dyspersyjnymi oraz ¸¹ · ¨© § ₊ = 2 2 3 / 2 v u i N_u ¸¹ · ¨© § ₊ =i v2 2/3u2 Nv

operatorami nieliniowymi. Wykonując odpowiednie przekształcenia pole optyczne odpowiedniego modu po przebyciu odległoĞci ∆ξmoĪna zapisaü w postaci

(

ξ ∆ξ,τ

)

F 1

{

exp(D ∆ξF

[

exp

(

N ∆ξ

) ( )

uξ,τ

]

}

u + = − _{u u} (5)

(

ξ ∆ξ,τ

)

F 1

{

exp(D ∆ξF

[

exp

(

N ∆ξ

) ( )

vξ,τ

]

}

v + = − v v (6)

gdzie

F

oznacza transformatĊ Fouriera.

4. WYNIKI OBLICZEē

Wykorzystując zaleĪnoĞci (5) oraz (6) rozwiązano numerycznie równania (1) i (2) z warunkami początkowymi (3) i (4) dla wybranych wartoĞci parametru dwójłomnoĞci δ i amplitudy impulsu wejĞciowego A . Ortogonalne składowe polaryzacyjne impulsu wejĞciowego zostały pobudzone w jednakowym stopniu (θ=45$). Na rysunkach 1÷4 przedstawiono zmiany połoĪenia maksymalnej wartoĞci składowej

v

impulsu w funkcji odległoĞci propagacji. WielkoĞüτmax to wartoĞü

τ

, dla której v(ξ,τ) osiąga wartoĞü maksymalną. ωmax to ω, dla którego ~v

( )

ξ,ω osiąga maksimum.

0

10

20

30

ξ

0

1

2

3

4

τ

ma x

A=0.5

A=0.6

A=0.7

A=0.8

A=0.9

0 10 20 30

ξ

0 0.02 0.04 0.06 0.08

ω

max A=0.5 A=0.6 A=0.7 A=0.8 A=0.9

Rys.1 Zmiany połoĪenia maksymalnej wartoĞci składowej polaryzacyjnej impulsu z odległoĞcią propagacji w dziedzinie czasu τ_max i w dziedzinie czĊstotliwoĞciω_max, dla parametru dwójłomnoĞci δ =0.15 i róĪnych wartoĞci

0

10

20

30

ξ

0

2

4

6

τ

ma x

A=0.8

A=0.9

A=1.0

A=1.1

A=1.2

0

10

20

30

ξ

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

ω

ma x

A=0.8

A=0.9

A=1.0

A=1.1

A=1.2

Rys.2 Zmiany połoĪenia maksymalnej wartoĞci składowej polaryzacyjnej impulsu z odległoĞcią propagacji w dziedzinie czasu τ_max i w dziedzinie czĊstotliwoĞci ω_max, dla parametru dwójłomnoĞciδ =0.5 i róĪnych wartoĞci

amplitudy A impulsu wejĞciowego.

0

10

20

30

ξ

0

2

4

6

τ

max

A=1.3

A=1.2

A=1.1

A=1.4

0

10

20

30

ξ

0

0.2

0.4

0.6

0.8

ω

ma x

A=1.1

A=1.3

A=1.2

A=1.4

Rys.3 Zmiany połoĪenia maksymalnej wartoĞci składowej polaryzacyjnej impulsu z odległoĞcią propagacji w dziedzinie czasuτ_max i w dziedzinie czĊstotliwoĞciω_max, dla parametru dwójłomnoĞciδ =0.75 i róĪnych wartoĞci

0

10

20

30

ξ

0

2

4

τ

ma x

A=1.60

A=1.70

0

10

20

30

ξ

0

0.4

0.8

1.2

1.6

ω

ma x

A=1.60

A=1.70

Rys.4 Zmiany połoĪenia maksymalnej wartoĞci składowej polaryzacyjnej impulsu z odległoĞcią propagacji w dziedzinie czasuτmax i w dziedzinie czĊstotliwoĞciωmax, dla parametru dwójłomnoĞciδ =1.0 i róĪnych wartoĞci

amplitudy A impulsu wejĞciowego.

-80

-40

0

40

80

τ

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Iu

I,

IvI

A=0.5

δ=0.15

ξ=0

-80

-40

0

40

80

τ

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Iu

I,

IvI

A=0.9

δ=0.15

ξ=0

-80

-40

0

40

80

τ

0

0.1

0.2

0.3

Iu

I,Iv

I

A=0.5

δ=0.15

ξ=30

-80

-40

0

40

80

τ

0

0.1

0.2

0.3

Iu

I,

Iv

I

A=0.9

δ=0.15

ξ=30

Rys.5 Ewolucja impulsu w kształcie funkcji Super-Gauss wĞwiatłowodzie dwójłomnymδ =0.15, dla dwóch wartoĞci amplitudy impulsu wejĞciowego A=0.5i A=0.9 Linią ciągłą oznaczono polaryzacjĊ u , a przerywaną polaryzacjĊ v .

-80

-40

0

40

80

τ

0

0.2

0.4

0.6

Iu

I,Iv

I

A=0.9

δ=0.5

ξ=0

-80

-40

0

40

80

τ

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Iu

I,Iv

I

A=0.9

δ=0.5

ξ=0

-80

-40

0

40

80

τ

0

0.2

0.4

0.6

Iu

I,

Iv

I

A=0.9

δ=0.5

ξ=30

-80

-40

0

40

80

τ

0

0.2

0.4

0.6

Iu

I,

Iv

I

A=1.2

δ=0.5

ξ=30

Rys.6 Ewolucja impulsu w kształcie funkcji Super-Gauss wĞwiatłowodzie dwójłomnym δ =0.5, dla dwóch wartoĞci amplitudy impulsu wejĞciowego A=0.9i A=1.2 Linią ciągłą oznaczono polaryzacjĊ u , a przerywaną polaryzacjĊ v .

5. WNIOSKI

Z przeprowadzonych obliczeĔ wynika, Īe gdy obie ortogonalnie spolaryzowane składowe modu podstawowego silnie dwójłomnego Ğwiatłowodu jednomodowego zostaną pobudzone w jednakowym stopniu przez impuls w kształcie funkcji Super-Gauss, to dla danej wartoĞci parametru dwójłomnoĞci δ , sposób propagacji składowych impulsu jest wyznaczany przez amplitudĊ impulsu wejĞciowego. Dla małych amplitud impulsu wejĞciowego mody polaryzacyjne rozdzielają siĊ i rozchodzą z róĪnymi prĊdkoĞciami. Dla pewnej okreĞlonej amplitudy impulsu wejĞciowego ortogonalnie spolaryzowane składowe impulsu, po początkowym rozdzieleniu, poruszają siĊ z powrotem ku sobie i propagują z tą samą prĊdkoĞcią. Taką ewolucjĊ moĪna wytłumaczyü kompensacją wpływu dwójłomnoĞci przez nieliniowoĞü. Wyniki obliczeĔ pokazują, Īe dla wyĪszych wartoĞci dwójłomnoĞci, uzyskanie efektu propagacji obydwu modów z tą samą prĊdkoĞcią, wymaga wyĪszej amplitudy impulsu wejĞciowego.

SPIS LITERATURY

[1] A. Majewski, Nieliniowa optykaĞwiatłowodowa.

Zagadnienia wybrane, WPW, Warszawa 1993

[2] G..P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics, 2ndedition, Academic Press 1995

[3] C.R. Menyuk, „Stability of solitons in birefringent optical fibers”, J. Optical Society of America B, vol. 5, str. 392-402, February 1988

[4] T.R. WoliĔski, Anizotropowe struktury Ğwiatłowodowe, TEMPUS Series in Applied Physics, Warszawa 1997