Obszary stabilności rozwiązania empirycznych modeli równowagi ogólnej : zastosowanie metod analizy wrażliwości

Pełen tekst

(1)Zeszyty Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Naukowe Metody analizy danych. 873 Kraków 2011. Renata Wróbel-Rotter. Katedra Ekonometrii i Badań Operacyjnych. Obszary stabilności rozwiązania empirycznych modeli równowagi ogólnej: zastosowanie metod analizy wrażliwości* 1. Wprowadzenie Empiryczne modele równowagi ogólnej stanowią obecnie wykorzystywaną w modelowaniu gospodarek alternatywę dla modeli wektorowej autoregresji. Równania strukturalne są określone przez warunki pierwszego rzędu mikroekonomicznych zagadnień optymalizacyjnych podmiotów występujących w modelu i jednocześnie uwzględniają mechanizmy inercyjne opisujące opóźnienia dostosowawcze na poziomie zagregowanym, co w konsekwencji powoduje, że mają one pełne uzasadnienie zarówno na gruncie teorii mikro-, jak i makroekonomii. Należą one do klasy modeli racjonalnych oczekiwań, w których podmioty w procesie podejmowania decyzji wykorzystują całą dostępną w danym momencie informację. Strukturalne równania dynamicznego modelu równowagi ogólnej tworzą nieliniowe systemy racjonalnych oczekiwań, w których estymacja i dalsze wnioskowanie wymagają aproksymacji postaci zredukowanej i spełnienia odpowiednich warunków stabilności przez parametry modelu. Określenie wartości * Praca wykonana w ramach badań statutowych Katedry Ekonometrii i Badań Operacyjnych Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie. Autorka pragnie złożyć podziękowania Profesorowi Jackowi Osiewalskiemu oraz uczestnikom seminarium Katedry Ekonometrii za komentarze i dyskusję podczas prezentacji opracowania..

(2) 122. Renata Wróbel-Rotter. parametrów, dla których model jest stabilny, jest kluczowym zadaniem, jeśli chodzi o estymację i zastosowanie modelu do analiz ekonomicznych. Metody analizy wrażliwości, których zastosowanie jest tematem poniższego opracowania, dostarczają narzędzi umożliwiających zbadanie zależności między parametrami strukturalnymi a parametrami postaci zredukowanej oraz określenie wartości, dla których model spełnia warunki stabilności. Na przykładzie empirycznego modelu równowagi ogólnej zaczerpniętego z literatury została przedstawiona i zilustrowana metoda filtrowania Monte Carlo, stosowana do oceny stabilności rozwiązania modelu i dopasowania do wybranych szeregów czasowych.. 2. Procedury analizy globalnej wrażliwości Metody analizy globalnej wrażliwości (global sensitivity analysis – GSA) pozwalają na określenie wybranych cech modelu dynamicznego i kluczowych czynników determinujących jego własności. Charakter globalny jest związany ze znacznymi zakresami wartości zmiennych niezależnych w systemie dynamicznym, jakie pozwalają przeanalizować prezentowane metody, w przeciwieństwie do metod mających zastosowanie lokalne, takich jak analiza przyrostów krańcowych czy elastyczności. Główne obszary zastosowań GSA koncentrują się wokół zagadnień modelowania zjawisk przyrodniczych [Osidele i Beck 2004]. Są one również stosowane w zagadnieniach ekonomicznych, w szczególności do określania obszarów stabilności modeli równowagi ogólnej [Ratto 2006, 2007, Berliant i Dakhlia 1997, Salteli 2002]. Analiza globalnej wrażliwości w przypadku empirycznych modeli równowagi ogólnej może zostać zastosowana do określania, w jaki sposób niepewność związana z wnioskowaniem o danej charakterystyce teoretycznej gospodarki, uzyskanej z postaci zredukowanej modelu, jest powiązana z niepewnością łączącą się z poszczególnymi parametrami strukturalnymi. Parametry występujące w postaci strukturalnej modelu są traktowane jako wielkości wpływające na kształtowanie się najważniejszych jego własności, dotyczących m.in. warunków stabilności, współczynników postaci zredukowanej oraz charakterystyk ekonomicznych gospodarki. Kluczowe procesy w systemie ekonomicznym, oznaczającym w tym przypadku empiryczny model równowagi ogólnej, są utożsamiane z zależnościami między parametrami strukturalnymi a parametrami postaci zredukowanej bądź ich funkcjami. Własności tych zależności są identyfikowane przez analizę wrażliwości odpowiednich parametrów strukturalnych w modelu. Empiryczne modele równowagi ogólnej wymagają spełnienia przez parametry strukturalne licznych warunków zapewniających stabilność ich rozwiązania. Analityczne wyznaczenie pełnego obszaru stabilności parametrów struktural-.

(3) Obszary stabilności rozwiązania…. 123. nych jest najczęściej niemożliwe i w praktyce zagadnienie to jest pomijane lub ograniczane do sprawdzenia warunków stabilności dla wartości oczekiwanych rozkładów a priori, natomiast warunki zapewniające jego spełnienie są nakładane dopiero na etapie estymacji bądź kalibracji parametrów strukturalnych. Metody analizy globalnej wrażliwości umożliwiają ocenę tego, które obszary przestrzeni parametrów w rozkładzie a priori nie spełniają warunków stabilności rozwiązania modelu i mogą być pomocne w określeniu wartości początkowych w procedurach numerycznych, realizujących estymację, oraz umożliwiać przeanalizowanie relacji między parametrami postaci strukturalnej i zredukowanej modelu. Współczynniki postaci zredukowanej modelu są nieliniowymi funkcjami parametrów strukturalnych, co w praktyce znacznie utrudnia ocenę ich wpływu na poszczególne elementy macierzy przejścia w reprezentacji modelu w przestrzeni stanów. Analiza wrażliwości pozwala również na wykrycie potencjalnych konfliktów między wartościami poszczególnych parametrów mających kluczowe znaczenie w dopasowaniu modelu do wybranych szeregów makroekonomicznych. Zagadnienia badania wrażliwości w modelach ekonometrycznych obejmują szeroki zakres metod, począwszy od prostych technik lokalnych, takich jak elastyczności i efekty krańcowe, poprzez dekompozycję wariancji, a skończywszy na metodach globalnych, do których należą m.in. filtrowanie Monte Carlo oraz dekompozycja funkcji [Saltelli i in. 2004, 2008]. Zastosowanie metod filtrowania Monte Carlo jest tematem niniejszego opracowania, natomiast zagadnienia wykorzystania dekompozycji funkcji w analizie empirycznych modeli równowagi ogólnej będą tematem kolejnej pracy.. 3. Metody filtrowania Monte Carlo Metody analizy wrażliwości wykorzystują symulacje Monte Carlo do określania wybranych własności modelu dynamicznego. Polegają one na ustaleniu warunków jakościowych określających zachowanie modelu i dokonanie klasyfikacji warunkowej względem danego kryterium wyboru. Na podstawie wygenerowanych wartości z każdej z symulacji Monte Carlo dokonuje się klasyfikacji danego wyniku do jednego z dwóch zbiorów wartości, oznaczających akceptowaną (behaviour – B) bądź nieakceptowaną (nonbehaviour – NB) własność modelu. Odpowiednie zachowanie empirycznego modelu równowagi ogólnej będzie korespondowało ze spełnieniem warunków stabilności, tzw. warunków Blancharda i Kahna [1980]. Prowadzą one do sklasyfikowania danej realizacji wektora parametrów strukturalnych θ jako determinującego stabilność modelu, niestabilność bądź implikującego niejednoznaczną określoność stanu stabilnego (stability, instability, indeterminacy). Akceptowany wynik oznacza stabilność,.

(4) 124. Renata Wróbel-Rotter. natomiast nieakceptowany jest związany z niestabilnością bądź nieokreślonością rozwiązania modelu racjonalnych oczekiwań. Analiza stabilności na podstawie rozkładu a priori pozwala na ocenę samego modelu bez uwzględniania danych, co umożliwia oddzielenie efektu wpływu na stabilność modelu i oceny a posteriori samej konstrukcji teoretycznej od danych empirycznych. Symulacja Monte Carlo jest dokonywana poprzez losowanie wektora parametrów strukturalnych z ich łącznego rozkładu prawdopodobieństwa, którym jest najczęściej rozkład a priori, co pozwala na wstępne określenie zakresu wartości odpowiadających obszarom stabilności oraz wskazanie parametrów kluczowych dla jej zapewnienia. Analiza wrażliwości umożliwia wskazanie parametrów potencjalnie odpowiedzialnych za trudności w określeniu wartości przestrzeni parametrów zapewniających stabilne rozwiązanie i ma zastosowanie zarówno w przypadku modeli kalibrowanych, jak i estymowanych. W ostatnim przypadku pozwala ona na oddzielne zbadanie przyczyn potencjalnej niestabilności numerycznej, która może być konsekwencją konstrukcji modelu ekonomicznego, a nie tylko mechanizmu losowania czy postaci funkcji wiarygodności. Symulacja Monte Carlo dostarcza realizacji wektorów parametrów strukturalnych θ = (θ1, …, θK ) z przyjętego rozkładu prawdopodobieństwa a priori, z których każda zostaje następnie zakwalifikowana do jednej z dwóch grup B albo NB na podstawie przyjętego kryterium spełnienia warunków stabilności modelu równowagi ogólnej. Otrzymujemy w wyniku symulacji dwa zbiory wartości dla każdego z parametrów θi w modelu: $θi B. zawierający n symulacji spełniających zadane kryterium oraz $θi NB. grupujący pozostałe m realizacji. Otrzymane wektory losowe są traktowane jako próby z dwóch nieznanych gęstości prawdopodobieństwa, odpowiednio fn `θi Bj oraz fm `θi NBj, o brzegowych dystrybuantach Fn `θi Bj oraz Fm `θi NBj . Określenie, który z parametrów strukturalnych jest głównie odpowiedzialny za stabilne zachowanie modelu równowagi ogólnej, jest możliwe po indywidualnym porównaniu rozkładów prawdopodobieństwa f n oraz f m dla każdego z parametrów, w zakresie wartości odpowiadających założonym brzegowym rozkładom a priori dla θi. Jeśli istnieją przesłanki do stwierdzenia, że dwie dystrybuanty są istotnie różne od siebie, to oznacza, że dany parametr θi ma kluczowe znaczenie w zapewnieniu warunków stabilności modelu i jest możliwe określenie zakresu wartości, w przyjętym przedziale zmienności, których prawdopodobieństwo znalezienia się w obszarze B jest większe niż w NB. Podobieństwo obydwu dystrybuant oznacza, że dany parametr θi nie jest istotny dla zapewnienia stabilności i prawdopodobieństwo tego, że wartości z ustalonego a priori zakresu znajdą się w obszarze B albo NB, jest podobne. Formalnego rozstrzygnięcia dostarcza dwustronny test Kołmogorowa i Smirnowa dla dwóch prób, w którym hipotezy mają następującą postać [Conover 1999]:. H0: fm `θi Bj = fn `θi NBj oraz H1: fm `θi Bj ≠ fn `θi NBj;.

(5) Obszary stabilności rozwiązania…. 125. statystykę testową określa: dm, n _θii = supθi Fm `θi Bj – Fn `θi NBj , gdzie dm, n (θi ) oznacza maksymalną odległość między dystrybuantami. Test pozwala na określenie, na jakim poziomie istotności α obliczona wartość dm, n (θi ) prowadzi do odrzucenia hipotezy zerowej. Wysokie wartości dm, n (θi ) w rozkładzie Kołmogorowa i Smirnowa implikują niskie wartości poziomów istotności α dla danych liczebności n oraz m. Niepewność dotycząca spełnienia warunków stabilności przez każdy z parametrów jest odwrotnie proporcjonalna do wskazanego przez test poziomu istotności. Niski poziom α i wysokie wartości dm, n (θi ) oznaczają istotne różnice pomiędzy dystrybuantami otrzymanymi dla wartości w zbiorach $θi B. oraz $θi NB. , charakterystyczne dla parametru kluczowego w spełnieniu przyjętego kryterium, i jednocześnie wskazują na jego istotny wpływ na stabilność modelu. Wysokie poziomy istotności α oraz niskie wartości dm, n (θi ) wskazują na brak podstaw do odrzucenia H 0 i oznaczają parametr nieistotny dla stabilności modelu. Etapem podsumowującym testowanie warunków stabilności modelu jest zwykle podział parametrów na trzy grupy, zawierające parametry kluczowe, ważne oraz nieistotne dla spełnienia zadanych ograniczeń. Symulacja Monte Carlo jest wykonywana przy zastosowaniu technik quasi-Monte Carlo zaproponowanych przez I.M. Sobola, które w zastosowaniach związanych z analizą wrażliwości wykazują się lepszą efektywnością [Sobol’ 1976, Judd 1998].. 4. Dynamiczny model równowagi ogólnej Metody globalnej analizy wrażliwości zostaną zilustrowane na przykładzie empirycznego modelu równowagi ogólnej zaczerpniętego z pracy [Rabanal i Rubio‑Ramírez 2005], który pierwotnie zaproponowali C.J. Erceg, D.W. Henderson i A.T. Levin [2000]. Model ten należy do klasy modeli dynamicznych, uwzględniających koncepcję racjonalnych oczekiwań, w których równania składają się z warunków pierwszego rzędu mikroekonomicznych zagadnień optymalizacyjnych podmiotów gospodarczych, reguł decyzyjnych oraz równań opisujących stacjonarne procesy stochastyczne postaci strukturalnej. Składa się on z dziesięciu równań strukturalnych zapisanych w postaci log-liniowej dla dziesięciu zmiennych teoretycznych wyrażonych w formie odchyleń od ich wartości odpowiadających stanowi stabilnemu. W szczególności rozważa się: zagregowany produkt yt, stopę procentową rt, wskaźnik inflacji πt t oraz wskaźnik zmiany płacy nominalnej πt tw, realną płacę wtr , zakłócenia stochastyczne obecne w preferencjach konsumentów gt oraz technologii producentów pośrednich at, nakład pracy nt, koszt krańcowy produkcji dodatkowej jednostki dobra pośredniego mct oraz krańcową stopę substytucji między konsumpcją a pracą mrst. Model w postaci strukturalnej ma następującą postać:.

(6) Renata Wróbel-Rotter. 126. 1) yt = Et yt + 1 – σ _rt – Et πt t + 1 + Et gt + 1 – gt i, 2) mrst = σ yt + γ nt – gt , _1 – βθwi_1 – θwi _ mrst – w tr i, 3) πt tw = βEt πt tw+ 1 + θw _1 – γεwi 4) yt = at + (1 – α) nt, 5) mct = wtr + nt – yt , 6) wtr = wtr – 1 + πt tw – πt t , _1 – αi_1 – θβi_1 – θi ` mct + εtλj , 7) πt t = βEt _ πt t + 1i + θ`1 + α _ εr – 1ij 8) rt = ρr rt – 1 + _1 – ρr i_ γπ πt t + γy yt i + εtz , 9) at = ρa at – 1 + εta, 10) gt = ρg gt – 1 + εtg. Ogół zdefiniowanych zmiennych makroekonomicznych składa się z czterech zmiennych stanu: # rt, wtr, gt , at -, trzech zmiennych statycznych: {n t, mct, mrst } oraz czterech zmiennych wyrażonych w formie oczekiwanych przyszłych wartości: # yt + 1, πt t + 1, gt + 1, πt tw+ 1- . Równania strukturalne tworzą liniowy system racjonalnych oczekiwań, kształtowany w czasie przez wektor czterech innowacji: ε*t = 8εta, εtg, εtz, εtλ Bl, o niezależnych, identycznych rozkładach normalnych z odchyleniami standardowymi odpowiednio: σa, σg, σz oraz σλ; parametry strukturalne zawiera wektor postaci: θ(B) = 7α, σ, β, γ, ε, θ, ρr, γπ, γy, ρa, ρg, θw, εw Al. Równania strukturalne powstały po rozwiązaniu zagadnień optymalizacyjnych podmiotów zdefiniowanych w modelowej gospodarce; szczegółowe wyprowadzenie równań zawierają m.in. prace: [Wróbel-Rotter 2010a, 2010b, 2010c]. Rozwiązanie zlinearyzowanego modelu równowagi ogólnej sprowadza się do wyznaczenia równania przejścia opisującego ewolucję zmiennych stanu oraz zdefiniowania równania obserwacji, niezbędnego do estymacji parametrów strukturalnych. Parametry równania przejścia są otrzymywane po zastosowaniu jednej z dostępnych metod rozwiązywania liniowych modeli racjonalnych oczekiwań:. st = Ast – 1 + Bεt,. gdzie st oznacza wektor stanu, elementy macierzy A oraz B są nieliniowymi funkcjami parametrów strukturalnych modelu. Formę połączenia zmiennych teoretycznych, zdefiniowanych w postaci strukturalnej, ze zmiennymi obserwowanymi określa równanie obserwacji:. Yt = F + Cst + vt,. w którym Yt = 7rtobs, wtobs, ytobs, ∆ ptobs Al zawiera wartości empiryczne z czterech szeregów czasowych, odpowiednio: krótkoterminowej stopy procentowej, realnej płacy, kwartalnej stopy wzrostu zagregowanej produkcji i inflacji. Model jest szacowany dla zmiennych w formie odchyleń od stanu stabilnego, z czego wynika.

(7) Obszary stabilności rozwiązania…. 127. F = 0, C(4 × 6) jest macierzą niezależną od parametrów strukturalnych, o elementach równych zero, z wyjątkiem: C(1,1) = 1, C(2,2) = 1, C(3,5) = 1, C(4,6) = 1, co oznacza, że selekcjonuje ona zmienne stanu do estymacji, tak aby rtobs = rt, wtobs = wtr, ytobs = yt oraz Δptobs = Δpt . Wektor v t = 0 zawiera zakłócenia losowe równania obserwacji, dla których przyjęto wartości równe zero ze względu na dostateczną zmienność stochastyczną w postaci strukturalnej. Analiza wrażliwości w tak określonym modelu znajduje zastosowanie m.in. do określania przestrzeni parametrów odpowiadającej stabilności rozwiązania (stability mapping), rozumianej jako spełnienie warunków określonych w pracy [Blanchard i Kahn 1980]. Zmiany wartości parametrów strukturalnych θ najczęściej rozpatruje się w zakresach odpowiadających rozkładowi a priori bądź innych mających uzasadnienie wynikające z teorii, na podstawie której został zbudowany empiryczny model równowagi ogólnej. Analiza obszarów stabilności ma na celu określenie wstępnych własności modelu ekonomicznego przed jego estymacją. Wartości parametrów strukturalnych w zakresach rozkładu a posteriori są stabilne na mocy warunków ograniczających nakładanych w czasie rozwiązania modelu, konstrukcji funkcji wiarygodności i estymacji.. 5. Metody analizy dopasowania modelu do danych Estymacja empirycznych modeli równowagi ogólnej jest dokonywana na podstawie kilku szeregów czasowych, z których wybierane są zmienne makroekonomiczne odpowiadające zmiennym zdefiniowanym w konstrukcji teoretycznej. Istnieje pewna dowolność w wyborze zestawu zmiennych obserwowalnych do estymacji parametrów strukturalnych, co powoduje, że nie każda ich grupa będzie prowadziła do jednakowych wyników wnioskowania o charakterystykach modelowej gospodarki. Metody analizy wrażliwości z wykorzystaniem technik filtrowania Monte Carlo umożliwiają dostarczenie informacji o wartościach parametrów strukturalnych, jakie zostałyby uzyskane, gdyby z wybranej do estymacji grupy przyjęto tylko pojedyncze szeregi czasowe albo ich podzbiory. Standardowo stosowane w modelach równowagi ogólnej podejście bayesowskie do estymacji parametrów strukturalnych polega na wybraniu zestawu szeregów czasowych (najczęściej PKB, inflacja, stopa procentowa itp.) i aproksymacji brzegowych rozkładów a posteriori, zawierających informację pochodzącą z funkcji wiarygodności, uwzględniającej wszystkie dostępne dane i rozkład a priori. Może to powodować występowanie ukrytych przeciwstawnych zależności między szeregami danych, przejawiające się tym, że pewne wartości parametrów strukturalnych są odpowiedzialne za lepsze dopasowanie modelu do jednego z szeregów (np. inflacji), natomiast inne – do pozostałych (np. do obserwacji na PKB). Jeżeli.

(8) 128. Renata Wróbel-Rotter. chodzi o wstępną analizę możliwych zakresów wartości parametrów strukturalnych oraz ich interpretację, interesujące jest, jak zmieniają się ich wartości w sytuacji, gdyby wnioskowanie powtarzano na pojedynczych szeregach czasowych z przyjętej grupy. Analiza taka pozwala znaleźć odpowiedź m.in. na pytanie o to, które parametry są głównie odpowiedzialne za dopasowanie modelu do szeregu PKB, a które – do inflacji, oraz czy optymalne dla dopasowania do obserwacji na PKB wartości parametrów strukturalnych są istotnie różne od wartości optymalnych dla danych o inflacji. Czy istnieje między nimi sprzeczność bądź zależność odwrotna (trade off). Pełna estymacja parametrów strukturalnych dla ograniczonych zbiorów obserwacji mogłaby być utrudniona ze względu na zbyt niską liczbę stopni swobody, dlatego przyjmuje się uproszczone kryterium oceny dopasowania modelu do danych empirycznych oparte na pierwiastku błędu średniokwadratowego predykcji (root mean square error – RMSE). Podejście takie jest wysoce uproszczone, może jednak dostarczać pewnego wglądu we własności empirycznego modelu równowagi ogólnej, zwłaszcza w sytuacji jego znacznego skomplikowania. Analiza zagadnienia może zostać przeprowadzona po wygenerowaniu próbki Monte Carlo z rozkładu prawdopodobieństwa dla parametrów strukturalnych, dla której jest obliczany RMSE prognozy o horyzoncie jednego okresu dla wszystkich z Nobs obserwowanych szeregów czasowych. Następnie dla każdego z nich wprowadza się arbitralne kryterium klasyfikacyjne, polegające na oznaczeniu jako zadowalające (obszar B) 10% realizacji wektorów parametrów prowadzących do najmniejszych wartości RMSE, natomiast pozostałe tworzą obszar nieakceptowany NB. Otrzymujemy w ten sposób Nobs różnych reguł filtrowania próbki Monte Carlo na podstawie modelu równowagi ogólnej, z których każda oznacza optymalne dopasowanie, według kryterium RMSE, do korespondującego z nim szeregu czasowego. Postępowanie takie prowadzi do uzyskania Nobs różnych empirycznych rozkładów prawdopodobieństwa dla każdego z parametrów strukturalnych f j `θi Bj, (j = 1, …, Nobs ). Test Kołmogorowa i Smirnowa przeprowadzamy podobnie jak w przypadku analizy obszarów stabilności. Efekty potencjalnej niezgodności są widoczne w sytuacji, kiedy co najmniej dwie gęstości f j `θi Bj, uzyskane na podstawie dwóch różnych szeregów czasowych dla danego parametru θi, są istotnie różne od brzegowego rozkładu a posteriori θi, uzyskanego po estymacji dla całego zbioru danych, oraz znacząco różnią się od siebie. W sytuacji kiedy próbkę Monte Carlo generowano z rozkładu a priori i otrzymane rozkłady f j `θi Bj są do siebie podobne, a różnią się od rozkładu a posteriori, może to wskazywać na występowanie konfliktu między funkcją wiarygodności i rozkładem a priori, oznaczając, że optymalne dla wartości parametrów znajdują się w obszarach o niskich prawdopodobieństwach a priori. Może to również wskazywać na konieczność weryfikacji założeń teoretycznych modelu i mechanizmów dostoso-.

(9) Obszary stabilności rozwiązania…. 129. wawczych odzwierciedlonych w równaniach strukturalnych. Metoda ta stanowi bardzo ogólną technikę empirycznej weryfikacji wpływu przyjętych do estymacji szeregów czasowych na uzyskiwane zakresy wartości ocen parametrów modelu pozwalając na wstępną analizę modelu i danych.. 6. Ilustracja empiryczna W części empirycznej pracy autorka koncentruje się na dwóch zastosowaniach filtrowania Monte Carlo oraz testu Kołmogorowa i Smirnowa do analizy empirycznego modelu równowagi ogólnej. W szczególności pierwsze zastosowania obejmuje zagadnienia związane z oceną zakresu wartości parametrów strukturalnych odpowiedzialnych za stabilność rozwiązania modelu, natomiast drugie ilustruje możliwość empirycznego sprawdzenia stopnia dopasowania modelu do poszczególnych szeregów czasowych. Implementację numeryczną wykonano w pakiecie Dynare [Juillard 1996]. Wykorzystano również dodatkowe procedury opracowane przez EU Joint Research Centre w Isprze, otrzymane przez autorkę w trakcie warsztatów organizowanych przez organizację. Analiza zakresów wartości parametrów strukturalnych odpowiadających stabilności rozwiązania modelu opiera się na próbce Monte Carlo, która może zostać uzyskana przez losowanie z rozkładu a priori. Alternatywnie losowanie można przeprowadzić z rozkładu normalnego o wartości oczekiwanej równej numerycznie wyznaczonej modalnej rozkładu a posteriori oraz macierzy kowariancji przybliżanej przez odwrotność macierzy drugich pochodnych cząstkowych funkcji wiarygodności względem parametrów strukturalnych, obliczonej w punkcie odpowiadającym modalnej. Losowania można dokonać bezpośrednio z przyjętych rozkładów prawdopodobieństwa a priori dla parametrów strukturalnych bądź też z rozkładów jednostajnych, uciętych dla zakresów wartości odpowiadających przyjętym gęstościom a priori. Analizy stabilności nie przeprowadza się dla wartości generowanych z rozkładu a posteriori, ponieważ na mocy restrykcji nakładanych w czasie rozwiązania modelu są one spełnione. Analizę dopasowania modelu do danych empirycznych można przeprowadzić, wykorzystując ponadto próbkę losową z rozkładu a posteriori, za którą w praktyce przyjmuje się losowania uzyskane w algorytmie Metropolisa i Hastingsa po uzyskaniu zbieżności. Metody filtrowania Monte Carlo zostały zastosowane do określenia dla każdego z parametrów strukturalnych modelu zakresu wartości spełniających warunki stabilności oraz do testowania równości empirycznych rozkładów prawdopodobieństwa w obszarach istnienia stabilnego rozwiązania oraz jego braku. Analogicznie można dokonać prezentacji i testowania podobieństwa empirycznych dystrybuant dla obszarów parametrów strukturalnych odpowiadających stabilności.

(10) Renata Wróbel-Rotter. 130 σ. 1. D–stat 0,033. 0,5. 0. γ. 1. D–stat 0,031. 5000. 10000. γy D–stat 0,21. 1. 0 –5. 0. 0. 1. 0. 0. 0,5. 1. ρg D–stat 0,032. 0,5. 1. 0. 0 –5 θ. 1. 0,5. 0. γπ D–stat 0,1. 1. 0,5. 1. 0,5. 0 –1. 0. 5. ρa D–stat 0,026. 1. 0,5. D–stat 0,039. 0,5. 0,5. 0. ρ. 1. 0. 5. D–stat 0,049. 0,5. 0. 0,5. 1. 0. 0. 20. 40. θw D–stat 0,03. 1. 0,5. 0. 0. 20. 40. Rys. 1. Wyniki testu Kołmogorowa i Smirnowa Źródło: opracowanie własne.. i niestabilności albo stabilności i nieokreśloności rozwiązania modelu. Empiryczne dystrybuanty brzegowych rozkładów prawdopodobieństwa wszystkich parametrów strukturalnych oraz poziomy istotności testu Kołmogorowa i Smirnowa uzyskane z symulacji Monte Carlo z gęstości a priori prezentuje rys. 1. Linia ciągła oznacza dystrybuantę empiryczną otrzymaną dla wygenerowanych wektorów losowych, dla których istnieje stabilne rozwiązanie, natomiast linia przerywana – dla pozostałych przypadków, obejmujących niestabilność i nieokreśloność. Otrzymane wykresy i poziomy istotności testu Kołmogorowa i Smirnowa wskazują, że dla parametrów γ, θw oraz γy empiryczne dystrybuanty, uzyskane dla wartości prowadzących do stabilności i braku stabilnego rozwiązania modelu, wykazują różnice. Oznacza to, że mogą one mieć kluczowy wpływ na spełnienie warunków stabilności modelu. W pozostałych przypadkach dystrybuanty są w praktyce identyczne, co oznacza, że w tym modelu wartości parametrów.

(11) Obszary stabilności rozwiązania…. 131. z rozważanego zakresu mogą prowadzić z jednakowym prawdopodobieństwem do stabilnego rozwiązania modelu bądź do niestabilności lub nieokreśloności. Dla parametru θw niższe wartości z większym prawdopodobieństwem prowadzą do stabilnego rozwiązania, natomiast wyższe określają przypadki niestabilności i nieokreśloności. Podobna zależność jest widoczna dla empirycznych dystrybuant rozkładów γ oraz γy.. 1. γ. ρ. 1. 1. 0,8. 0,8. 0,8. 0,6. 0,6. 0,6. 0,4. 0,4. 0,4. 0,2. 0,2. 0,2. 0 –5. 1. 0. 5. γy. 0. 0. 0,5. 1. 0 –5. γπ. 0. 5. ρa. 1. 0,8. 0,8. 0,6. 0,6. 0,4. 0,4. r. 0,2. 0,2. w. 0 –1. 0. 1. 0. base Δp y. 0. 0,5. 1. Rys. 2. Empiryczne dystrybuanty parametrów strukturalnych Źródło: opracowanie własne.. Estymacja parametrów strukturalnych empirycznego modelu równowagi ogólnej rozważanego w pracy opiera się na danych z czterech szeregów czasowych: PKB, inflacji, stopy procentowej oraz płacy realnej, które to zmienne bezpośrednio odpowiadają zmiennym zdefiniowanym w teoretycznej gospodarce. Kryterium dopasowania jest zadane arbitralnie, przez RMSE obliczany dla poje-.

(12) Renata Wróbel-Rotter. 132 ρg. 1. θ. 1. 0,8. 0,8. 0,8. 0,6. 0,6. 0,6. 0,4. 0,4. 0,4. 0,2. 0,2. 0,2. 0. 0. 0,5. 1. εa. 1. 0. 0. 10. 20. 30. εg. 1. 0. 0,8. 0,8. 0,6. 0,6. 0,6. 0,4. 0,4. 0,4. 0,2. 0,2. 0,2. 0. 0,5. 1. ελ. 1. 0. 0. 0,5. 0. 1. 0. 10. 20. 0. 0,5. 1. σ. 1. 0,8. 0,8. 0,6. 0,6. 0,4. 0,4. r. 0,2. 0,2. w. 0. 0. 0,5. 1. 0. base Δp y. 0. 5000. 10 000. Rys. 3. Empiryczne dystrybuanty parametrów strukturalnych c.d. Źródło: opracowanie własne.. 30. εz. 1. 0,8. 0. θw. 1.

(13) Obszary stabilności rozwiązania…. 133. dynczych szeregów czasowych. Wyniki obliczeń prezentują rys. 2 i 3. Zaprezentowane empiryczne dystrybuanty rozkładów prawdopodobieństwa f j `θi Bj zostały obliczone dla realizacji wektorów parametrów strukturalnych prowadzących do otrzymania 10% najmniejszych wartości RMSE dla każdego z obserwowanych czterech szeregów czasowych oraz dla przypadku podstawowego, obejmującego wszystkie obserwacje. Uzyskane wyniki pozwalają wskazać na istnienie pewnego konfliktu, jeżeli chodzi o wartości parametrów strukturalnych, związanego z dopasowaniem modelu do szeregów czasowych, w szczególności dotyczy to parametrów θ, θw, ra oraz rg. Zakres wartości parametru θw, pozwalający na dobre (w sensie RMSE) dopasowanie modelu do danych o inflacji, stopie procentowej i PKB nie odpowiada zakresowi wartości korespondującemu z dobrym dopasowaniem modelu do szeregu płacy realnej. Największe różnice są widoczne w przypadku parametru rg, opisującego proces AR(1) dla szoku w funkcji użyteczności gospodarstw domowych, w przypadku dopasowania do obserwacji na stopie procentowej, a następnie dla inflacji. Zauważalne różnice występują również dla parametrów rr, γπ, i γy w przypadku obserwacji na PKB oraz dla ra w przypadku obserwacji dla stopy procentowej. Rezultaty takie mogą wskazywać na potencjalne źródło obserwowanej w trakcie estymacji niestabilności numerycznej i sugerować potrzebę ewentualnej modyfikacji równań modelu strukturalnego.. 30. θ. cc = –0,44393. 30. 20. θw. 10 0 –5. 0 γ. 5. cc = –0,40669. 20 10 0 –5. 0 γ. 5. Rys. 4. Współczynniki korelacji między wybranymi parametrami strukturalnymi w obszarze niestabilności Źródło: opracowanie własne.. Analizę dopasowania modelu do danych empirycznych mogą uzupełniać: prezentacja współczynników korelacji między parametrami strukturalnymi oraz, w sytuacji istotnych zależności, dwuwymiarowe wykresy punktów, ilustrujące zakresy wartości parametrów, odpowiadające za dobre dopasowanie modelu do poszczególnych szeregów czasowych. Analiza korelacji bazuje na uzyska-.

(14) 134. Renata Wróbel-Rotter. nych wektorach losowych z symulacji Monte Carlo i może być rozpatrywana w poszczególnych obszarach stabilności i nieakceptowaności (niestabilności i nieokreśloności) rozwiązania modelu. Wysokie wartości współczynników korelacji między parami współczynników strukturalnych oraz regularne obszary w ramach wartości prowadzących do stabilnego rozwiązania są pomocne we wskazaniu parametrów i określeniu zakresu ich wartości odpowiedzialnych za nieakceptowalność rozwiązania modelu. Na tej podstawie możliwe jest również, w niektórych modelach, skonstruowanie dodatkowych restrykcji parametrycznych koniecznych do zapewnienia stabilności [Ratto 2006, 2007]. W prezentowanym modelu w obszarach stabilności współczynniki korelacji są bardzo niskie. Jedyne istotne wartości współczynników korelacji znajdują się w obszarach odpowiadających niestabilności (rys. 4) oraz nieokreśloności, co nie jest istotne dla rozwiązania modelu.. 7. Podsumowanie Głównym tematem pracy było omówienie i ilustracja zastosowania metod analizy wrażliwości w modelu równowagi ogólnej. Analiza wrażliwości zastosowana do empirycznych modeli równowagi ogólnej pozwala na określenie zakresu wartości parametrów strukturalnych, dla których model ma stabilne rozwiązanie. Formalnego rozstrzygnięcia dokonuje się na podstawie testu Kołmogorowa i Smirnowa dla próbki Monte Carlo, wygenerowanej z przyjętego dla parametrów strukturalnych rozkładu prawdopodobieństwa. W praktyce najczęściej oceny zakresu wartości odpowiadających stabilności rozwiązania modelu dokonuje się dla rozkładu a priori. Literatura Berliant M., Dakhlia S. [1997], Sensitivity Analysis for Applied General Equilibrium Models in the Presence of Multiple Equilibria, GE, Growth, Math Methods 9709003, Economics Working Paper Archive. Blanchard O.J., Kahn C.M. [1980], The Solution of Linear Difference Models under Linear Expectations, „Econometrica”, nr 48. Conover M.J. [1999], Practical Nonparametric Statistics, Wiley, New York. Erceg C.J., Henderson D.W., Levin A.T. [2000], Optimal Monetary Policy with Staggered Wage and Price Contracts, „Journal of Monetary Economics”, nr 46. Judd K.L. [1998], Numerical Methods in Economics, MIT Press, Hongkong. Juillard M. [1996], Dynare: A Program for the Resolution and Simulation of Dynamic Models with forward Variables through the Use of a Relaxation Algorithm, http:// www.cepremap.cnrs.fr/dynare, CEPREMAP, Couverture Orange, 9602..

(15) Obszary stabilności rozwiązania…. 135. Osidele O.O., Beck M.B. [2004], Food Web Modelling for Investigating Ecosystem Behaviour in Large Reservoirs of the South-eastern United States: Lessons from Lake Lanier, Georgia, „Ecological Modelling”, nr 173. Rabanal P., Rubio-Ramírez J.F. [2005], Comparing New Keynesian Models of the Business Cycle: A Bayesian Approach, „Journal of Monetary Economics”, nr 52. Ratto M. [2006], Global Sensitivity Analysis for DSGE Models, manuscript, IRC/SPRA. Ratto M. [2007], Analysing DSGE Models with Global Sensitivity Analysis, „Computational Economics”, nr 30. Salteli A. [2002], Sensitivity Analysis for Importance Assessment, „Risk Analysis”, nr 22. Saltelli A., Ratto M., Andres T., Campolongo F., Cariboni J., Gatelli D., Saisana M., Tarantola S. [2008], Global Sensitivity Analysis. The Primer, Wiley, England. Saltelli A., Tarantola S., Campolongo F., Ratto M. [2004], Sensitivity Analysis in Practice: A Guide to Assessing Scientific Models, John Wiley & Sons, England. Sobol’ I.M. [1976], Uniformly Distributed Sequences with Additional Uniformity Properties, „USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics”, nr 16. Wróbel-Rotter R. [2010a], Empiryczne modele równowagi ogólnej: gospodarstwa domowe i producent finalny, Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie, Seria: Ekonomia, w druku. Wróbel-Rotter R. [2010b], Sektor producentów pośrednich w empirycznym modelu równowagi ogólnej, Zeszyty Naukowe UEK, Seria: Ekonomia, w druku. Wróbel-Rotter R. [2010c], Struktura empirycznego modelu równowagi ogólnej dla niejednorodnych gospodarstw domowych, Zeszyty Naukowe UEK, Seria: Ekonomia, w druku.. Stability Regions for Empirical General Equilibrium Models: The Application of Sensitivity Analysis The paper presents one application of sensitivity analysis methods for empirical general equilibrium models. Sensitivity analysis allows parameter space to be investigated to ensure model stability. The main method used is called Monte Carlo filtering, in which a random sample is generated from a prior distribution. According to the acceptability of the obtained solutions of the model, the results are classified into two sets, corresponding to the behaviour or non-behaviour of the model. A formal Kolmogorov-Smirnov test is then performed. The methods are illustrated with a standard general equilibrium model taken from the literature..

(16)