8. Miara Lebesgue’a na R
1– przygotowanie do sprawdzianu
Zad. 8.1 Udowodnij, że jeśli
A1, A2, . . . , Am ⊂ [0, 1] i m X k=1 l(Ak) > m − 1, to l( m \ k=1 Ak) > 0.
Zad. 8.2 (*) Udowodnij, że jeśli E ⊂ R i l(E) > 0, to istnieją 1. takie liczby x, y ∈ E, że x − y /∈ Q;
2. takie dwie różne liczby x, y ∈ E, że x − y ∈ Q.
Zad. 8.3 (*) Dla każdej liczby a ∈ (0, 1] zbuduj zbiór otwarty G ⊂ (0, 1) taki, że
G = [0, 1] i l(G) = a.
Zad. 8.4 Udowodnij, że dla dowolnego zbioru E ⊂ R i dowolnej liczby ε > 0 istnieje taki
zbiór otwarty G ⊃ E, że
