Jacek Kredenc – szkic rozwiązania
Czy to jest możliwe
Wyznacz dokładne wartości następujących funkcji trygonometrycznych: sin6o; cos6o; tan6o;
sin18o; cos18o; tan18o; sin39o; cos39o; tan39o; sin51o; cos51o; tan51o
Rozwiązanie:
sin 6° = sin(36° − 30°) = sin 36° cos 30° − cos 36° sin 30° =
sin 36° = √1 − cos236 ° = √1 − (√5 + 1 4 ) 2 = √1 −5 + 2√5 + 1 16 = √1 − 6 + 2√5 16 = = √1 −3 + √5 8 = √ 8 − 3 − √5 8 = √ 5 − √5 8 = 1 2√5 − √52
sin 36° cos 30° − cos 36° sin 30° =1
2√5 − √52 ∙ √3 2 − √5 + 1 4 ∙ 1 2= √3 4 √5 − √52 − √5 + 1 8 cos 6° = cos(36° − 30°) = cos 36° cos 30° + sin 36° sin 30° =
=√5 + 1 4 ∙ √3 2 + 1 2√5 − √52 ∙ 1 2= √15 + √3 8 + 1 4√5 − √52 tan 6° = sin 6° cos 6°= √3 4 √5 − √52 − √5 + 18 √15 + √3 8 +14√5 − √52 = 2√3 ∙ √ 5 − √5 2 − √5 − 1 √15 + √3 + 2 ∙ √5 − √52
sin 18° = sin(90° − 72°) = sin 90° cos 72° − cos 90° sin 72° = cos 72° =√5 − 1 4 cos 18° = cos(90° − 72°) = cos 90° cos 72° + sin 90° sin 72° = sin 72°
sin 72° = √1 − cos272° = √1 − (√5 − 1 4 ) 2 = √1 −5 − 2√5 + 1 16 = √1 − 6 − 2√5 16 = = √1 −3 − √5 8 = √ 8 − 3 + √5 8 = √ 5 + √5 8 = 1 2∙ √ 5 + √5 2 tan 18° = sin 18° cos 18°= √5 − 1 4 1 2 ∙√5 + √52 = √5 − 1 2 √5 + √5 2
=1 2√5 − √52 ∙ ( √15 + √3 8 + 1 4√5 − √52 ) + √5 + 1 4 ∙ ( √3 4 √5 − √52 − √5 + 1 8 ) cos 39° = cos(36° + 6°) = cos 36° cos 6° − sin 36° sin 6° =
=√5 + 1 4 ∙ ( √15 + √3 8 + 1 4√5 − √52 ) − 1 2√5 − √52 ∙ ( √3 4 √5 − √52 − √5 + 1 8 ) tan 39° = 1 2√5 − √52 ∙ (√15 + √38 +14√5 − √52 ) + √5 + 14 ∙ (√43√5 − √52 − √5 + 18 ) √5 + 1 4 ∙ (√15 + √38 +14√5 − √52 ) −21√5 − √52 ∙ (√43√5 − √52 − √5 + 18 ) sin 51° = cos 39° = =√5 + 1 4 ∙ ( √15 + √3 8 + 1 4√5 − √52 ) − 1 2√5 − √52 ∙ ( √3 4 √5 − √52 − √5 + 1 8 ) cos 51° = sin 39° = 1 2√5 − √52 ∙ ( √15 + √3 8 + 1 4√5 − √52 ) + √5 + 1 4 ∙ ( √3 4 √5 − √52 − √5 + 1 8 ) tan 51° = √5 + 1 4 ∙ (√15 + √38 +14√5 − √52 ) −21√5 − √52 ∙ (√43√5 − √52 − √5 + 18 ) 1 2√5 − √52 ∙ (√15 + √38 +14√5 − √52 ) + √5 + 14 ∙ (√43√5 − √52 − √5 + 18 )