1.2. LICZBY WYMIERNE
Zbiór liczb wymiernych: W – zbiór liczb, które moŜna przedstawić w postaci ułamka
q
p
,
gdzie
p
∈
C
;
q
∈
C
\
{ }
0
Ułamki zwykłe dzielimy na ułamki właściwe np.:
5
3
,
2
1
oraz
niewłaściwe np.:
5
6
,
2
5
Przykład 1.2.1. Ułamek niewłaściwy
4
15
przedstaw w postaci liczby mieszanej.
Rozwiązanie
Komentarz
4
3
3
4
15
=
Wyciągamy całości.Przykład 1.2.2. Skróć ułamek
1125
600
.
Rozwiązanie
Komentarz
15
8
75
:
1125
75
:
600
1125
600
75 : /=
=
15
8
45
24
225
120
1125
600
3 : / 5 : / 5 : /=
=
=
Skracanie ułamka polega na podzieleniu licznika i mianownika przez ich wspólny dzielnik.
Skracanie moŜna przeprowadzać w kilku etapach.
Przykład 1.2.3. Rozszerz ułamek, aby otrzymać wskazany mianownik
162
9
2
=
Rozwiązanie
Komentarz
162
36
18
9
18
2
9
2
18 /=
⋅
⋅
=
⋅Rozszerzenie ułamka polega na pomnoŜeniu licznika i mianownika przez tą samą liczbę. Aby dowiedzieć się przez jaką liczbę musimy rozszerzyć
9
2
Przykład 1.2.4. Porównaj ułamki
4
3
i
6
5
Rozwiązanie
Komentarz
12
9
4
3
4
3
3 /=
=
⋅12
10
6
5
6
5
2 /=
=
⋅6
5
4
3
<
Aby wskazać , który ułamek jest większy , naleŜy sprowadzić te ułamki do wspólnego mianownika. Wspólnym mianownikiem jest wspólna
wielokrotność mianowników .
Przykład 1.2.5. Wykonaj działanie:
6
5
9
7
+
Rozwiązanie
Komentarz
18
11
1
18
29
18
15
14
18
15
18
14
6
5
9
7
6
5
9
7
3 / 2 /=
=
=
=
+
=
=
+
=
=
+
=
=
+
⋅ ⋅Dodając ułamki o róŜnych mianownikach , sprowadzany je do wspólnego mianownika.
Najkorzystniej jest , gdy wspólnym mianownikiem jest NWW
Dodają ułamki o tym samym mianowniku , dodajemy liczniki, a mianownik przepisujemy.
Przykład 1.2.6. Wykonaj działanie:
6
5
1
3
1
3
−
Rozwiązanie
Komentarz
2
1
1
2
3
6
9
6
9
6
11
6
20
6
11
3
10
6
11
3
10
6
5
1
3
1
3
3 : / 2 /=
=
=
=
=
−
=
=
−
=
=
−
=
=
−
⋅Wykonując działania na ułamkach moŜemy zamienić liczby mieszane na ułamki niewłaściwe.
Ułamki sprowadzamy do wspólnego mianownika.
Odejmując ułamki o tym samym mianowniku , odejmujemy liczniki, a mianownik przepisujemy. W ostateczny wynik powinien być liczbą mieszaną z ułamkiem nieskracalnym.
Przykład 1.2.7. Wykonaj działanie:
6
5
1
22
7
⋅
Rozwiązanie
Komentarz
12
7
6
2
1
7
6
1
2
7
6
11
22
7
6
5
1
22
7
=
⋅
⋅
=
=
⋅
=
=
⋅
=
=
⋅
Wykonując mnoŜenie lub dzielenie n ułamków musimy zamienić liczby mieszane na ułamki niewłaściwe.MnoŜąc ułamki moŜemy skracać „ na krzyŜ „ licznik z mianownikiem.
W naszym przypadku skracamy 11 i 22 przez 11.
MnoŜąc ułamki, mnoŜymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik.
Przykład 1.2.8. Wykonaj działanie:
:
10
8
5
Rozwiązanie
Komentarz
16
1
2
1
8
1
10
1
8
5
1
10
:
8
5
10
:
8
5
=
=
⋅
=
=
⋅
=
=
=
=
Dzieląc ułamki , dzielenie zastępujemy mnoŜeniem przez odwrotność dzielnika . Skracamy 5 i 10 przez 5.
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 1.2.1. (1pkt.) Skróć ułamek
740
185
.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Przedstawienie w postaci ułamka nieskracalnego.
1
Ćwiczenie 1.2.2. (1pkt.) Liczbę
4
3
6
przedstaw w postaci ułamka niewłaściwego.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Przedstawienie w postaci ułamka niewłaściwego.
1
Ćwiczenie 1.2.3. (1pkt.) Uporządkuj rosnąco ułamki:
5
2
,
3
1
,
15
8
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie ułamków w odpowiedniej kolejności.
