Fizyka, technologia oraz modelowanie wzrostu
kryształów
Stanisław Krukowski i Michał Leszczyński Instytut Wysokich Ciśnień PAN
01-142 Warszawa, ul Sokołowska 29/37 tel: 88 80 244
e-mail: stach@unipress.waw.pl, mike@unipress.waw.pl
Zbigniew Żytkiewicz Instytut Fizyki PAN
02-668 Warszawa, Al. Lotników 32/46 E-mail: zytkie@ifpan.edu.pl
Wykład – 2 godz./tydzień – wtorek 9.15 – 11.00 Interdyscyplinarne Centrum Modelowania UW
Budynek Wydziału Geologii UW – sala 3075
http://www.icm.edu.pl/web/guest/edukacja
Wykład
6. Procesy powierzchniowe
• Adsorpcja i desorpcja
• Dyfuzja powierzchniowa
• Własności stopni
• Ruch układu stopni równoległych
• 2-d nukleacja
Adsorpcja i desorpcja
• Adsorpcja – procesprzyłączania atomów/molekuł na powierzchni ciał
stałych/cieczy
• Desorpcja – proces odłączania zaadsorobowanych
atomów/molekuł
Proces desorpcji nie zależy bezpośrednio od ciśnienia –
zależy od liczby i energii wiązania zaadsorbowanych
atomów/cząsteczek
Adsorpcja – model Kossela - powierzchnia K
• Adsorpcja atomowa – na powierzchni K (kinked) – atomowoszorstkiej Gaz Kryształ Energia Współrzędna reakcji ∆E(K-G)
E
s= -3φ
E
s= 0
Powierzchnia K - strumienie
• Desorpcja – szybkość odłączenia – nie zależy od ciśnienia • Adsorpcja – szybkość przyłączania do węzła
m
2
T
k
ns
mkT
2
ps
R
ads o o Bπ
π
=
=
−
=
T
k
3
exp
*
R
B desφ
ν
• Równowaga - ciśnienie
−
=
T
k
3
exp
*
T
mk
2
s
p
B B o eqφ
ν
π
Powierzchnia K – tempo wzrostu
• Tempo wzrostu R[
]
ϕ
−
ν
−
π
=
−
=
T
k
3
exp
T
mk
2
ps
d
R
R
R
B B o des ads• Uwzględniając definicję przesycenia σ otrzymujemy prawo wzrostu Wilsona- Frenkla
d – grubość warstwy atomowej (= a dla kryształu Kossela)
[
]
[
]
m
2
T
k
v
n
n
mkT
2
v
p
p
R
eq o eq o Bπ
π
=
−
−
=
ϕ
−
τ
σ
=
π
σ
=
T
k
3
exp
a
T
mk
2
v
p
R
B o B o eq vo = so d = a3 – objętość atomowaPrawo wzrostu Wilsona - Frenkla
• Tempo wzrostu RmkT
2
v
p
R
eq oπ
σ
=
R
σ
1 1 o17
.
6
cm
*
s
*
0
.
1
1
.
76
cm
*
s
R
R
=
∗
σ
=
−=
−Jest to najszybsze tempo wzrostu dla dowolnego kryształu (dane liczbowe są dla warunków normalnych i przesycenia σ = 0.1)
Adsorpcja – model Kossela - powierzchnia F
• Adsorpcja atomowa – na powierzchni F (flst) – atomowo gładkiejGaz Kryształ Energia Współrzędna reakcji ∆E(K-G)
Powierzchnia F – adsorpcja – kryształ Kossela
• Desorpcja – szybkość odłączenia – nie zależy od ciśnienia • Adsorpcja – szybkość przyłączania do węzła
m
2
T
k
ns
mkT
2
ps
R
ads o o Bπ
π
=
=
φ
−
ν
=
−
ν
=
T
k
exp
*
n
*
T
k
E
exp
*
n
*
R
B s B sur s des• Równowagowa gęstość zaadsorbowanych molekuł
φ
−
η
=
−
−
η
=
T
k
2
exp
T
k
E
E
exp
n
B B s sur eq s 2 15cm
10
−≅
η
E Z
U
∆
E =-E des surPowierzchnia F – dyfuzja powierzchniowa i
desorpcja
• Dyfuzja
powierzchniowa
• Współczynnik dyfuzji powierzchniowej jest funkcją wysokości bariery skoku na powierzchni - ∆U:
∆ − τ = T k U exp 8 a D B o 2 • Desorpcja
Powierzchnia F – desorpcja
• Desorpcja – szybkość odłączenia cząsteczki
ϕ
−
ν
=
ν
=
−
ν
=
T
k
exp
*
T
k
E
exp
*
T
k
E
exp
*
R
B B sur B des des• Średni czas przebywania na powierzchni wynosi więc:
ϕ
τ
=
−
τ
=
ν
=
τ
T
k
exp
T
k
E
exp
T
k
E
exp
1
B o B sur o B des sOstatnie zależności są spełnione dla kryształu Kossela,
tzn. gdy zachodzi E
des= φ
Powierzchnia F – droga dyfuzji powierzchniowej
• Średni kwadrat drogi dyfuzji powierzchniowejwynosi więc: s s 2 s
D
x
=
τ
−
∆
−
=
T
k
2
U
E
exp
*
2
a
x
B des s• Dla kryształu Kossela – średnia droga jest równa
s B
a
U
x
* exp
2
2k T
φ − ∆
=
Dyfuzja powierzchniowa – lokalna równowaga
• Załóżmy że średnia gęstośćzaadsorbowanych molekuł zmienia się w przestrzeni (np. wzdłuż osi 0z) w sposób bardzo wolny na odległości stałej sieci: s s s
(
z
a
)
n
(
z
)
n
n
+
=
+
δ
s s s(
z
a
)
n
(
z
)
n
n
−
=
−
δ
• Obliczymy szybkość przesuwania cząstek przez 1 węzeł w prawo i w lewo w czasie τ =1/ν na odległość a
(
)
s( )
(
)
R z → +z a = n z νP z → +z a R(
z+ a → z)
= ns(
z +a) (
νP z +a → z)
z z + a z - a n(z) n(z+a) n(z-a)Dyfuzja powierzchniowa – prawo Ficka
• Efektywny strumień jest różnicą tych dwu przeskoków:(
z z a)
R(
z a z)
R js = → + − + →(
)
− = + → τ − = dz dn D a z z P a a dz dn j s s o s s• W przypadku ogólnym otrzymujemy zależność Ficka:
s s s s s s
D
n
n
D
c
j
=
−
∇
=
−
∇
r
• Rozwijamy w szereg i korzystamy z definicji współczynnika dyfuzji
Dynamika gazu zaadsorbowanego
• Źródła - efektywny bilans procesów desorpcji i adsorpcji: • Prawo zachowania (wyprowadzenie następny wykład) dla
strumienia zaadsorbowanych cząstek na powierzchni (przypadek 2d)
R
j
s=
⋅
∇
r
des adsR
R
R
=
−
• Otrzymujemy więc równanie (stacjonarne)
ads des s 2
R
R
R
n
D
∇
=
−
=
−
Dynamika gazu zaadsorbowanego – źródła:
desorpcja i adsorpcja
• Źródła – można zapisać jako:
(
)
s v eq s s s Bn
n
T
mk
2
p
R
τ
σ
−
σ
=
τ
−
π
=
• Otrzymujemy więc równanie dynamiczne powierzchni (stacjonarne)
v 2 2 s
x
∇
σ
=
σ
−
σ
σ
=
eqs sn
n
gdzie użyliśmy zależności
gdzie xs – długość dyfuzji powierzchniowej
Powierzchnie wicynalne - powierzchnie V –
stopnie i terasy
Powierzchnie składające się ze stopni i płaskich obszarów (terasów) pomiędzy nimi nazywamy powierzchniami wicynalnymi –
powierzchniami V.
• Na terasach spełnione jest równanie dynamiczne powierzchni
• Stopnie – warunki brzegowe
v 2
2 s
Stopnie – energia
• Wyrwanie atomu złamanie wiązania
• Wyrwanie atomu utworzenie dwu złamanych wiązań
• Energia stopnia na długości stałej sieci a wynosi:
2
ϕ
=
γ
Stopnie – tworzenie kinków
• Wyrwanie atomu złamanie wiązania
Stopnie – mikroskopowa struktura
• Wyrwanie atomu złamanie wiazania
• Wyrwanie atomu utworzenie dwu kinków
• W większości typowych sytuacji stopnie zachowują mikroskopową strukturę równowagową charakteryzującą się wysoka gęstością kinków. Średnia odległość na stopniu pomiędzy kinkami wynosi:
( )
ϕ
=
P
a
1
n
2k 2• Otrzymujemy więc równowagową gęstość kinków
ϕ − = T k 2 exp a 1 n B k k B a l exp 2 2k T ϕ =
Stopnie – efektywne liniowe źródła wzrostu
• Poprzez bezpośrednie włączanie z fazy gazowej
• Poprzez dyfuzję na powierzchni płaskiej
Cząsteczki mogą wbudowywać się na stopniach:
• Bezpośrednie włączanie z fazy gazowej – procesy niskotemperaturowe, nierównowagowe
• Poprzez dyfuzję na powierzchni płaskiej – procesy wysokotemperaturowe, równowagowe
Stopnie – efektywne liniowe źródła wzrostu
(model Burton, Cabrera Frank (BCF))
• Poprzez dyfuzję na powierzchni płaskiej
• Zakłada się że wypełnienie
węzłów jest znacznie mniejsze od jedności
Cząsteczki mogą wbudowywać się na stopniach:
• Kontrolowane wzrostu poprzez dyfuzję na powierzchni płaskiej – procesy wysokotemperaturowe, równowagowe
Stopnie – kształt i pochodzenie stopni
• przygotowanie powierzchni podłoża (procesy epitaksjalne)
• defekty strukturalne liniowe, np. dyslokacje śrubowe
• defekty strukturalne dwuwymiarowe, np. błędy ułożenia
• dwuwymiarowa nukleacja
• Fakt że nie istnieje uniwersalny opis mechanizmu tworzenia stopni jest główna przyczyna trudności w teorii wzrostu
kryształów.
Stopnie nie są strukturami równowagowymi w tym sensie że ich kształt, układ i ewolucja nie są związane z warunkami równowagi, globalnej lub tez lokalnej
Stopień – własności symetrii
• Stopnie asymetryczne – skoki z górnej i dolnej terasy do węzła kink’u na stopni są różne
• Stopnie symetryczne – skoki z górnej i dolnej terasy do węzła kink’u na stopni są identyczne
• Na ogół oczekuje się że skoki z górnej terasy są scharakteryzowane przez wyższą barierę energetyczną, jednak w teoriach wzrostu
Stopnie symetryczne
• Prawdopodobieństwo przeskoku z górnej o dolnej terasy jest identyczne
0
=
σ
• Model uproszczony zakłada że nie występuje bariera
energetyczna na przeskok z terasy do węzła kink w stopniu
• Model uproszczony zakłada że przesycenie gazu 2-d zaadsorbowanych molekuł przy stopniu znika
• Bardziej zaawansowane modele zakładają istnienie barier
energetycznych dla przeskoku do węzła kink, a także niekiedy istnienia różnych stopni – różnych barier energetycznych i gęstości kinków (nie będziemy się tutaj tym zajmować)
Stopnie asymetryczne
• Prawdopodobieństwo przeskoku z górnej o dolnej terasy jest różne - efekt Schwoebla (Erlicha – Schwoebla)
0
=
σ
• Model graniczny zakłada że nie występuje przeskok z terasy górnej do węzła kink w stopniu
• Model uproszczony zakłada że przesycenie gazu 2-d
zaadsorbowanych molekuł przy stopniu na dolnej terasie znika
• Bardziej zróżnicowane modele (przejściowe pomiędzy
krańcowo asymetrycznym i symetrycznym) zakładają istnienie różnych barier energetycznych oraz różnych stopni, w tym
różnic gęstości kinków i wysokości barier (nie będziemy się tutaj tym zajmować)
0
j
=
Pojedynczy prosty stopień symetryczny –
dynamika
• Warunek brzegowy • Równanie dynamiczne0
=
σ
• Otrzymujemy równania w 1-d v 2 2 sx
∇
σ
=
σ
−
σ
0
z
0
=
=
σ
v 2 2 2 sdz
d
x
σ
=
σ
−
σ
• Rozwiązanie(
)
[
]
(
)
[
1
exp
z
x
]
z
0
0
z
x
z
exp
1
s v s v<
−
σ
=
σ
>
−
−
σ
=
σ
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 σ /σv z/x sPojedynczy prosty stopień symetryczny – ruch
stopnia
• Strumień cząstek
• Częstość dochodzenia atomów do węzła na stopniu
s v s eq s s v s eq s s eq s
x
n
2
x
D
n
2
D
n
2
j
τ
σ
=
σ
=
σ
∇
=
eq s s v v stop s o B 2n x a 5 u R j* a exp 2k T σ σ ϕ + ∆ = = = − τ τ • Prędkość stopnia eq 2 s s v s v s stop s s B s v v o B o B2n x
a
2x
E
v
R
* a
exp
k T
2x
3
a
5
u
exp
exp
k T
2k T
∞
σ
σ
=
=
=
τ
τ
σ
ϕ
σ
ϕ + ∆
=
−
=
−
τ
τ
Pojedynczy prosty stopień asymetryczny –
dynamika
• Warunki brzegowe • Równanie dynamiczne • Otrzymujemy równania w 1-d v 2 2 sx
∇
σ
=
σ
−
σ
+→
=
0
z
0
σ
v 2 2 2 sdz
d
x
σ
=
σ
−
σ
• Rozwiązanie −→
=
0
z
0
j
r
+→
=
0
z
0
σ
j
=
0
z
→
0
−r
(
)
[
]
< σ = σ > − − σ = σ 0 z 0 z x z exp 1 v s v -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 σ /σv z/x sRównoległy układ stopni symetrycznych –
dynamika
• Odległość pomiędzy stopniami wynosi y:
y y y • Warunek brzegowy • Równanie dynamiczne v 2 2 s
x
∇
σ
=
σ
−
σ
σ
=
0
z
=
±
y
2
,
±
2
2
y
,
±
5
2
y
,..
Z -y/2 y/2 -3y/2 3y/2Równoległy układ stopni symetrycznych –
rozwiązanie
• Rozwiązanie równania
• Rozwiązanie jest periodyczne z okresem y, tzn.
(
)
(
)
2
y
z
2
y
x
2
y
cosh
x
z
cosh
1
s s v
−
≤
≤
−
σ
=
σ
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
2 y 1 n 2 z 2 y 1 n 2 x 2 y cosh x ny 2 z cosh 1 s s v + ≤ ≤ − − − σ = σ,...
3
,
2
,
1
,
0
n
=
±
±
±
Równoległy układ stopni symetrycznych –
rozkład molekuł na powierzchni
-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 y=xs/10 y=x s/5 y=xs/2 y=xs σ /σ v z/y
(
)
(
)
2
y
z
2
y
x
2
y
cosh
x
z
cosh
1
s s v
−
≤
≤
−
σ
=
σ
-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 y=2xs y=5xs y=10xs y=xs σ /σ v z/y sx
y
≤
sx
y
≥
Równoległy układ stopni symetrycznych – ruch
stopni
• Strumień cząstek do stopnia
• Częstość dochodzenia cząsteczek do węzła na stopniu
τ σ = σ = σ ∇ = s s v s eq s s s v s eq s s eq s x 2 y tanh x n 2 x 2 y tanh x D n 2 D n 2 j eq s s v v stop s s o B s 2n x a y 5 u y
R j* a tanh exp tanh
2x 2k T 2x σ σ ϕ + ∆ = = = − τ τ • Prędkość stopni eq 2 s s v s v s y stop s s o B s s v v o B s o B s 2n x a y 2x E y
v R * a tanh exp tanh
2x k T 2x
2x 3 y a 5 u y
exp tanh exp tanh
k T 2x 2k T 2x σ σ = = = τ τ σ ϕ σ ϕ + ∆ = − = − τ τ
Równoległy układ stopni symetrycznych –
ruch stopni – zależność od odległości
• Prędkość układu stopni v y stop o B s
a
5
u
y
v
R
* a
exp
tanh
2k T
2x
σ
ϕ + ∆
=
=
−
τ
0 2 4 6 8 10 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 v /v o o y/xs v∞ – prędkość pojedynczego stopnia symetrycznego v o Ba
5
u
v
exp
2k T
∞
σ
ϕ + ∆
=
−
τ
Mała odległość pomiędzy stopniami – spowolnienie ruchu – dyfuzyjne odpychanie stopni
Równoległy układ stopni asymetrycznych –
wiązki stopni – makrostopnie
• Makrostopień – układ wielu stopni ściśle zespolony ze sobą
• Makrostopnie – wynik złączenie wielu pojedynczych stopni
• Złączenie stopni w normalnym polu dyfuzyjnym jest niemożliwe ze względu na dyfuzyjne odpychanie stopni
• Wynik ten nie zależy od anizotropii stopni
• Dodatkowe czynniki pełnia decydującą role w tworzeniu makrostopni (domieszki, wytracenia, itp.)
Źródła stopni
• Stopnie związane z przygotowaniem powierzchni do wzrostu -procesy epitaksjalne
• Dyslokacje śrubowe – ciągłe źródło stopni • Dwuwymiarowa nukleacja
Stopnie związane z przygotowaniem
powierzchni do wzrostu
• Przygotowujemy powierzchnie pod małym katem do powierzchni o niskich wskaźnikach Millera np. 2º na powierzchni GaN
y y
y
Rozmiar liniowy próbki - l = 5 mm Możliwa grubość warstwy – d
µ
=
α
=
l
*
tg
172
d
Jest to wystarczająca grubość dla typowych przyrządów
optoelektronicznych, np. LD’s dla których grubość warstwy konstrukcyjnej jest rzędu 1 mikrona
Źródła stopni - dwuwymiarowa nukleacja
• W sposób przypadkowy pojawia się obszar nowej warstwy atomowej:
• Energia brzegu
przypadająca na odcinek o długości a - γ
• Na jeden węzeł przypada pole so = a2
• Układ znajduje się w przesyceniu równym:
T
k
Bµ
σ
=
∆
Stany metastabilne - bariery nukleacyjne - rozmiar
Całkowita zmiana energii jest równa:
Dodatni wyraz związany z brzegiem dominuje dla promieni małych, a ujemny wkład powierzchniowy przeważa dla dużych r.
Bariera nukleacyjna dla zarodka (energia dla rozmiaru) krytycznego wynosi: a r 2 a r 4 E 2 2 γ π + µ ∆ π = ∆
Poziom energii dla maksimum nazywamy barierą nukleacyjną. Zarodek o takim rozmiarze nazywamy zarodkiem (rozmiarem) krytycznym. Otrzymujemy:
σ γ ≅ µ ∆ γ = µ ∆ γ − = T k a a a r B crit µ ∆ πγ = ∆ 2 bar E 0 200 400 600 800 1000 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 E bar E r Ev=4πr2∆µ/a2 Es=2πrγ/a E=Es+Ev
Szybkość nukleacji dwuwymiarowej
Szybkość tworzenia krytycznych zarodków fazy stałej jest równa
Szybkość nukleacji jest równa częstości zachodzenia przejść pojedynczych cząstek ννν, liczby miejsc na których zachodzi przejście Nν s i
prawdopodobieństwa osiągnięcia stanu o energii bariery nukleacyjnej:
∆ − νη = − RT E exp AN R2d nucl s crit
(
)
σ πϕ − σ πϕ νη = µ ∆ πγ − µ ∆ πγ νη = − 2 B 2 B B 2 nucl d 2 T k 4 exp T k 2 A T k exp A R gdzie: A – powierzchnia kryształu2
ϕ
=
γ
Nukleacja dwuwymiarowa – zależność od przesycenia
Szybkość tworzenia krytycznych zarodków fazy stałej na powierzchni A, jest równa:
(
)
σ πϕ − σ πϕ νη = µ ∆ πγ − µ ∆ πγ νη = − 2 B 2 B B 2 nucl d 2 T k 4 exp T k 2 A T k exp A R 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 R / ν σTempo wzrostu kontrolowane przez nukleację 2-d
Możliwe są dwa scenariusze:
W przypadku pierwszym szybkość wzrostu jest wiec równa: • Nukleacja 2-d jest procesem wolnym – kontrolującym tempo
wzrostu
• Nukleacja 2-d jest procesem szybkim – tempo wzrostu jest kontrolowane przez wypełnianie warstwy
(
)
σ
πϕ
−
σ
πϕ
η
ν
=
=
− 2 B 2 B nucl d 2T
k
4
exp
T
k
2
A
a
a
R
v
Ponieważ szybkość nukleacji jest proporcjonalna do rozmiaru powierzchni natomiast tempo wypełniania jest odwrotnie proporcjonalne do liniowego rozmiaru powierzchni, więc oczekujemy że zawsze w miarę wzrostu
Nukleacja 2-d - tworzenie makrostopni
• Nukleacja 2-d jest procesem szybkim – tempo wzrostu jest
kontrolowane przez wypełnianie warstwy – co może doprowadzić w pewnych geometrycznych przypadkach do powstania
makrostopni:
Wzrost stopni zakrzywionych – kół koncentrycznych
• Dla zakrzywionego stopnia ( o promieniu krzywizny r) względne przesycenie zmniejsza się o czynnik związany z efektem Gibbsa-Thomsona:
• Otrzymujemy prędkość przesuwania się stopni symetrycznych oddalonych o y, o promieniu r:
( )
−
σ
=
σ
r
r
1
r
crc – krytyczny promień nukleacji (2d)
σ γ ≅ µ ∆ γ = µ ∆ γ − = T k a a a r B crit
( )
s v s crit v crit y s B s o B s 2x E y r a 5 u y rv r exp tanh 1 exp tanh 1
k T 2x r 2k T 2x r σ σ ϕ + ∆ = − = − − τ τ
Źródła stopni – dyslokacje śrubowe
• Struktura dyslokacji
• W stanie równowagi stopień przyjmuje kształt linii prostej – minimalizacja energii.
Przesycenie – stopień ulega zakrzywieniu
• Wysokie temperatury – kształt stopnia jest spiralą (Archimedesa)
4 . 0 T kB = µ ∆ = σ 1 . 0 T kB = µ ∆ = σ
Ruch – obroty spirali: równania ruchu
• Prędkość przesuwania stopnia jest zależna od ich zakrzywienia:
( )
( )
ρ − ∞ = v 1 rcrit r v• Prędkość przesuwania stopnia można wyrazić przez prędkość kątową:
( )
2 2 dr d r 1 r v θ + ω =• Krzywiznę stopnia można wyrazić jako:
( )
θ + θ + θ θ + = ρ 2 2 3 2 2 3 2 2 dr d r dr d r dr d 2 dr d r 1 rSpirala Archimedesa
• Rozwiązanie przybliżone – spirala Archimedesa:
• Prędkość kątowa obrotów spirali jest równa:
• Kształt spirali zależy od przesycenia, nie zależy od dyfuzji powierzchniowej
• Prędkość kątowa obrotów spirali jest funkcją szybkości dyfuzji powierzchniowej
θ
=
2
r
cr
( )
cr
2
v
∞
=
ω
• Odległość pomiędzy ramionami spirali jest równa:
crit o
4
r
d
dr
2
y
=
π
θ
π
=
Prędkość wzrostu kontrolowana przez dyslokacje
• Prędkość wzrostu jest równa prędkości kątowej pomnożonej przez grubość warstw atomowych (stała sieci):
( )
critr
2
a
v
2
a
v
=
∞
π
ω
=
• Otrzymujemy prędkość wzrostu v:
σ σ τ σ σ = σ πγ τ πγσ = v 1 B s o 1 2 v v s B B s o s B 2 v tanh T k E exp a Tx k 2 a tanh T k E exp Tx k 2 v
gdzie wprowadzono oznaczenie
πϕ = πγ = γ π ≡ σ T k 4 x a T k 2 x a Tx k 2 a B s B s s B 1
Prędkość wzrostu kontrolowana przez dyslokacje –
zależność od przesycenia
σ >> σ τ σ σ << σ τ σ σ = σ σ τ σ σ = 1 v B s o v 1 v B s o 1 2 v v 1 B s o 1 2 v T k E exp a T k E exp a tanh T k E exp a v 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 v /v o σ v/σ1Dyslokacja – tworzenie piramid.
• Odległość pomiędzy ramionami spirali jest równa:
v B v B crit o
T
k
a
T
k
a
r
4
y
σ
πϕ
=
σ
πγ
=
π
=
ϕ σ = = α B v o T k 4 y a tgDwie dyslokacje – znak przeciwny
L > r
critL < r
crit
L – odległość pomiędzy dyslokacjami
