Układy równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego

(1)

Układy równań

różniczkowych liniowych

rzędu pierwszego

Autorzy:

Julian Janus

2019

(2)

(1)

(2)

Układy równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego

Autor: Julian Janus

DEFINICJA

Definicja 1:

Układem normalnym równań różniczkowych liniowych

Układem normalnym równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszegorzędu pierwszego nazywamy układ równań postaci

gdzie są nieznanymi funkcjami zmiennej niezależnej a współczynniki i funkcje są danymi funkcjami określonymi w przedziale , gdzie i mogą być nieskończonościami.

DEFINICJA

Definicja 2:

Jeżeli to układ ( 1 ) nazywamy jednorodnymjednorodnym.

DEFINICJA

Definicja 3:

Rozwiązaniem układu

Rozwiązaniem układu ( 1 )( 1 ) nazywamy funkcje ciągłe i różniczkowalne w przedziale spełniające układ ( 1 ) dla każdego

DEFINICJA

Definicja 4:

Warunkiem początkowym dla układu ( 1 ) nazywamy układ równości :

gdzie są danymi stałymi, a jest ustalonym punktem przedziału .

Zapis macierzowy układu

Zapis macierzowy układu ( 1 )( 1 ).. Wprowadzając następujące oznaczenia:

⎧

⎩

⎨

⎪

(t) =

(t) (t) + ⋯ +

(t) (t) + (t)

x

′ 1

a

11

x

1

a

1n

x

n

f

1

⋮

(t) =

(t) (t) + ⋯ +

(t) (t) + (t)

x

′_n

_a

_n1

_x

₁

_a

_nn

_x

_n

_f

_n

, …,

x

1

x

n

t ∈ I,

a

ij

(t)

f

i

(t)

I = (a, b)

a b

(t) = 0, i = 1, …, n, t ∈ I,

f

i

, …,

x

1

x

n

I,

t ∈ I.

( ) =

,

( ) =

, …,

( ) =

x

1

t

0

x

01

x

2

t

0

x

02

x

n

t

0

x

0n

, …,

x

01

x

0n

t

0

I

x(t) =

⎡

, A(t) =

, f(t) =

,

=

,

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎢⎢

(t)

11 1n

(t)

⎤

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

0

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

(3)

(4)

(5) układ ( 1 ) można zapisać w postaci

a warunek początkowy ( 2 )

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: o istnieniu i jednoznaczności

o istnieniu i jednoznaczności

Jeżeli są ciągłe w to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie układu ( 1 ) określone w całym przedziale i spełniające warunek początkowy ( 2 ).

Dowód tego twierdzenia jest przedstawiony w module "Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności dla równań różniczkowych zwyczajnych".

UWAGA

Uwaga 1:

Twierdzenie to jest szczególnym przypadkiem twierdzenia 1 o istnieniu i jednoznaczności dla układów równań. Istotna różnica między twierdzeniami jest taka, że w twierdzeniu ogólniejszym rozwiązanie istnieje w pewnym otoczeniu punktu

a w przypadku układu równań liniowych istnieje i jest określone na całym przedziale .

Struktura zbioru rozwiązań układu jednorodnego: Struktura zbioru rozwiązań układu jednorodnego:

Niech

będzie zbiorem wszystkich rozwiązań układu .

x(t) =

⎡

, A(t) =

, f(t) =

,

=

,

⎣

⎢⎢

(t)

x

1

⋮

(t)

x

n

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

(t)

a

11

⋮

(t)

a

n1

…

⋱

…

(t)

a

1n

⋮

(t)

a

nn

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

(t)

f

1

⋮

(t)

f

n

⎤

⎦

⎥⎥ x

0

⎡

⎣

⎢⎢

x

01

⋮

x

0n

⎤

⎦

⎥⎥

(t) = A(t)x(t) + f(t),

x

′

x( ) = .

t

0

x

0

A(t), f(t)

I ×

R

n

,

_x(t)

I

t

0

I

(t) = A(t)x(t), t ∈ I.

x

′

V = {x(t) :

x

′

(t) = A(t)x(t), t ∈ I}

(5)

(4)

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

TEZA: TEZA:

Zbiór wszystkich rozwiązań układu ( 5 ) jest przestrzeń wektorową -wymiarową nad zbiorem liczb rzeczywistych.

DOWÓD: DOWÓD:

Niech

będą dowolnymi rozwiązaniami układu ( 5 ) i będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Korzystając z własności pochodnej dostajemy następującą tożsamość:

więc jest rozwiązaniem układu ( 5 ). Zatem zbiór jest przestrzenią wektorową nad ciałem .

Pokażemy teraz, że wymiar przestrzeni jest . Niech będzie dowolnym ustalonym punktem przedziału . Definiujemy odwzorowanie liniowe

Pokażemy, że odwzorowanie jest izomorfizmem. Istotnie

wynika to z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań układów równań, ponieważ funkcja tożsamościowo równa zero jest rozwiązaniem układu ( 5 ) i spełnia warunek początkowy .

Zatem odwzorowanie jest różnowartościowe.

Z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności wynika, że dla dowolnego istnieje takie, że . Stąd wynika, że jest odwzorowaniem na zbiór i kończy to dowód, że jest izomorfizmem.

Ponieważ przestrzenie izomorficzne maja ten sam wymiar, więc

DEFINICJA

Definicja 5:

Dowolną bazę przestrzeni będziemy nazywać układem fundamentalnym układem fundamentalnym dla równania ( 5 ).

n

(t) =

,

(t) =

x

1

⎡

⎣

⎢⎢

(t)

x

11

⋮

(t)

x

1n

⎤

⎦

⎥⎥ x

2

⎡

⎣

⎢⎢

(t)

x

21

⋮

(t)

x

2n

⎤

⎦

⎥⎥

,

λ

1

λ

2

=

(t) +

(t) = A(t) (

(t) +

(t))

(

λ

1

x

1

(t) +

λ

2

x

2

(t))

′

λ

1

x

′₁

λ

2

x

′₂

λ

1

x

1

λ

2

x

2

(t) +

(t)

λ

1

x

1

λ

2

x

2

V

R

V

n

t

0

I

L

L : V ∋ x → x( ) ∈

t

0

R

n

.

L

kerL = {x(t) ∈ V : x( ) = 0} = {0}

t

0

x( ) = 0

t

0

L

∈

x

0

R

n

x ∈ V

x( ) =

t

0

x

0

L

dimV = dim

R

n

= n.

(t), …, (t)

x

1

x

n

V

(5)

(6)

UWAGA

Uwaga 2:

Jeżeli jest rozwiązaniem układu ( 5 ) i jest układem fundamentalnym dla układu ( 5 ) to istnieją liczby rzeczywiste takie, że

UWAGA

Uwaga 3:

Jeżeli funkcje

stanowią układ fundamentalny dla równania to

DEFINICJA

Definicja 6:

Jeżeli jest układem fundamentalnym dla układu to macierz

nazywamy macierzą fundamentalną

nazywamy macierzą fundamentalną i spełnia ona równanie macierzowe

Podamy teraz jak wyznacza się rozwiązanie układu niejednorodnego ( 3 ) gdy znamy już układ fundamentalny rozwiązań układu jednorodnego ( 5 ).

TWIERDZENIE

Twierdzenie 3:

TEZA: TEZA:

Niech będzie macierzą fundamentalną układu jednorodnego ( 5 ) to rozwiązanie ogólne układu niejednorodnego ( 3 ) jest postaci

x(t)

x

1

(t), …, (t)

x

n

, …,

c

1

c

n

x(t) =

c

1

x

1

(t) + ⋯ +

c

n

x

n

(t).

(t) =

,

(t) =

, …,

(t) =

x

1

⎡

⎣

⎢⎢

(t)

x

11

⋮

(t)

x

1n

⎤

⎦

⎥⎥ x

2

⎡

⎣

⎢⎢

(t)

x

21

⋮

(t)

x

2n

⎤

⎦

⎥⎥

x

n

⎡

⎣

⎢⎢

(t)

x

n1

⋮

(t)

x

nn

⎤

⎦

⎥⎥

(5),

≠ 0 dla ka

ż

dego t ∈ I.

∣

(t)

x

11

⋮

(t)

x

n1

(t)

x

12

⋮

(t)

x

n2

…

⋱

…

(t)

x

1n

⋮

(t)

x

nn

∣

(t), …, (t)

x

1

x

n

(5),

X(t) =

⎡

⎣

⎢⎢

(t)

x

11

⋮

(t)

x

n1

(t)

x

12

⋮

(t)

x

n2

…

⋱

…

(t)

x

1n

⋮

(t)

x

nn

⎤

⎦

⎥⎥

(t) = A(t) ⋅ X(t).

X

′

X(t)

x(t) = X(t) ⋅ C + X(t) ⋅ ∫

X

−1

(t) ⋅ f(t)dt

C = [ , …,

1 n

]

T −1

(t)

X(t)

(6)

(7) (8) (9) (10) (11) (12) gdzie , - są dowolnymi stałymi i oznacza macierz odwrotną do macierzy . Natomiast rozwiązanie układu ( 3 ) spełniające warunek początkowy ( 4 ) jest postaci

DOWÓD: DOWÓD:

Niech będzie macierzą fundamentalną układu ( 5 ). Z uwagi 2 mamy, że dla dowolnego rozwiązania układu ( 5 ) istnieje macierz taka, że

Rozwiązania równania ( 3 ) szukamy metodą uzmienniania stałej to znaczy że traktujemy jako funkcię zmiennej

Różniczkując powyższą równość otrzymujemy

Podstawiając teraz ( 8 ) i ( 9 ) do równania ( 3 ) otrzymujemy

Ponieważ więc z ( 10 ) mamy, że

Z uwagi 3 wynika, że macierz jest odwracalna dla każdego więc z powyższej równości otrzymujemy

Całkując obustronnie powyższą równość ze względu na dostajemy, że

Podstawiając prawą stronę powyższej równości do równania ( 8 ) otrzymamy równość ( 6 ).

Jeżeli uwzględniamy warunek początkowy, to całkujemy obustronnie równanie ( 11 ) od do i dostajemy

Podstawiając wyliczone do równania ( 8 ) otrzymamy

Ponieważ

więc

Stąd i ( 12 ) dostajemy równość ( 7 ) i kończy to dowód twierdzenia.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

C = [ , …,

c

1

c

n

]

T

c

1

, …,

c

n

X

−1

(t)

X(t)

x(t) = X(t) ⋅ (

X

−1

( ) ⋅ +

_t

₀

_x

₀

_∫

t

(s) ⋅ f(s)ds) .

t0

X

−1

X(t)

x(t)

C

x(t) = X(t) ⋅ C.

C,

C

t

x(t) = X(t) ⋅ C(t).

(t) =

(t) ⋅ C(t) + X(t) ⋅ (t).

x

′

_X

′

_C

′

(t) ⋅ C(t) + X(t) ⋅ (t) = A(t) ⋅ X(t) ⋅ C(t) + f(t).

X

′

_C

′

(t) = A(t) ⋅ X(t)

X

′

X(t) ⋅ (t) = f(t).

C

′

X(t)

t ∈ I,

(t) =

(t) ⋅ f(t).

C

′

_X

−1

t

C(t) = ∫

X

−1

(t) ⋅ f(t)dt + C, gdzie C =

⎡

.

⎣

⎢⎢

c

1

⋮

c

n

⎤

⎦

⎥⎥

t

0

t

C(t) − C( ) =

t

0

∫

tt0

X

−1

(s) ⋅ f(s)ds.

C(t)

x(t) = X(t) ⋅ C( ) + X(t) ⋅

t

0

∫

tt0

X

(s) ⋅ f(s)ds.

−1

= x( ) = X( ) ⋅ C( ),

x

0

t

0

t

0

t

0

C( ) =

t

0

X

−1

( ) ⋅ .

t

0

x

0

(7)

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 07:19:35

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=84a1e7ab87b2f7d34d277f339c4e5f38