Twierdzenia o istnieniu i
jednoznaczności dla równań
różniczkowych zwyczajnych
Autorzy:
Julian Janus
Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności dla równań różniczkowych zwyczajnych
Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności dla równań różniczkowych zwyczajnych
Autor: Julian Janus
Niech przez będziemy oznaczać normę w określoną następująco:
Niech gdzie przedział w a podzbiór w
DEFINICJA
Definicja 1:
Definicja 1:
Mówimy, że funkcja
spełnia warunek Lipschitza ze względu na jeżeli
UWAGA
Uwaga 1:
Uwaga 1:
Jeżeli funkcja jest ciągła i pochodne cząstkowe są ciągłe i ograniczone w gdzie jest zbiorem wypukłym, to funkcja spełnia warunek Lipschitza ze względu na
Istotnie dla dowolnego i dowolnych ustalonych punktów definiujemy funkcję następująco:
Funkcja spełnia założenia Twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej. Istnieje taka, że
Stąd i definicji funkcji wynika, że
Przyjmując
otrzymujemy, że
Dla zachodzi nierówność:
co należało dowieść.
x = ( , …, ) ∈ R,
x
1x
n∥x∥
R
n∥x∥ = max{ | |, …, | | }.
x
1x
nI × Ω ⊂ R
n+1I
R Ω
R
n.
f :
I × Ω ∋ (t, x) → f(t, x) = ( (t, x), …, (t, x)) ∈
f
1f
nR
nx
∃L > 0 ∀(t, x), (t, ) ∈ I × Ω : ∥f(t, x) − f(t, )∥ ≤ L∥x − ∥.
x~
x~
x~
f
∂fi, i, j = 1, …, n
∂xjI × Ω
Ω
f
x.
i ∈ {1, …, n}
(t, x), (t, ) ∈ I × Ω
x~
: [0, 1] → R
F
i(s) := (t, s ⋅ x + (1 − s) ⋅ ).
F
if
ix~
F
iΘ
i∈ (0, 1),
(1) − (0) = ( ).
F
iF
iF
i′Θ
iF
i(t, x) − (t, ) =
(t,
⋅ x + (1 − ) ⋅ ) ⋅ ( − ) + ⋯ +
(t,
⋅ x + (1 − ) ⋅ ) ⋅ ( − )
f
if
ix~
∂x∂f1iΘ
iΘ
ix~
x
1x
~
1 ∂x∂fniΘ
iΘ
ix~
x
nx
~
nM = sup{ |
∂fi(t, x)|, (t, x) ∈ I × Ω, i, j = 1, …, n}
∂xj| (t, x) − (t, )| ≤ n ⋅ M∥x − ∥.
f
if
ix~
x~
L = n ⋅ M
∥f(t, x) − f(t, )∥ = max{ | (t, x) − (t, )|, …, , | (t, x) − (t, )| } ≤ L∥x − ∥
x~
f
1f
1x~
f
nf
nx~
x~
(1) (2) (3) (4) (5)
UWAGA
Uwaga 2:
Uwaga 2:
Problem początkowyjest równoważny następującemu równaniu całkowemu
TWIERDZENIE
Twierdzenie 1:
Twierdzenie 1: O istnieniu i jednoznaczności
O istnieniu i jednoznaczności
ZAŁOŻENIA: ZAŁOŻENIA:
Niech będzie funkcją ciągłą określoną na zbiorze o wartościach w i Ponadto zakładamy, że funkcja
spełnia warunek Lipschitza ze względu na
TEZA: TEZA:
Problem poczatkowy ( 1 ) ma dokładnie jedno rozwiązanie określone na przedziale Rozwiązanie jest granicą jednostajną następującego ciągu przybliżeń Picarda:
DOWÓD: DOWÓD:
Ponieważ jest funkcją ciągłą więc funkcje określone zależnością ( 3 ) są ciągłe. Pokażemy, że dla każdego zachodzi nierówność:
Istotnie
Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykażemy, że dla każdego
Dla mamy, że
zatem dla nierówność ( 5 ) jest prawdziwa.
(t) = f(t, x(t)), x( ) =
x
′t
0x
0x(t) =
x
0+
∫
f(s, x(s))ds.
t t0f(t, x)
Ω = { (t, x) ∈ R ×
R
n: |t − | ≤ a, ∥x − ∥ ≤ b }
t
0x
0R
nM = max{ ∥f(t, x)∥, (t, x) ∈ Ω}, α = min{ a,
b}.
Mf
x
x(t)
I = [ − α, + α].
t
0t
0x(t)
(t) = ,
(t) =
+
f(s, (s))ds.
x
0x
0x
n+1x
0∫
t t0x
nf
n = 0, 1, …
∥ (t) − ∥ ≤ b, t ∈ I.
x
nx
0∥
x
n+1(t) − ∥ = ∥
x
0∫
f(s, (s))ds∥ ≤ |
∥f(s, (s))∥ds| ≤ |
Mds| = M|t − | ≤ b.
t t0x
n∫
t t0x
n∫
t t0t
0n ∈ {0, 1, 2, …}
∥
x
n+1(t) − (t)∥ ≤
x
nM |t −
L
, t ∈ I.
nt
0|
n+1(n + 1)!
n = 0
∥ (t) − (t)∥ = ∥
x
1x
0∫
f(s, )ds∥ ≤ |
∥f(s, )∥ds| ≤ |
Mds| = M|t − |, t ∈ I,
t t0x
0∫
y t0x
0∫
t t0t
0n = 0
k = 1, …, n − 1.
(6) Zakładamy teraz prawdziwość nierówności ( 5 ) dla Z powyższego założenia i własności funkcji
wynika prawdziwość ( 5 ) dla
zatem z zasady indukcji matematycznej wynika prawdziwość ( 5 ) dla wszystkich licz naturalnych. Z nierówności ( 5 ) wynika, że
Z kryterium d'Alamberta wynika, że szereg liczbowy
jest zbieżny, więc szereg funkcyjny
jest jednostajnie zbieżny w Ponieważ
zatem ciąg funkcji jest zbieżny jednostajnie w Granicę tego ciągu oznaczmy przez Jeżeli w zależności ( 3 ) przejdziemy z do nieskończoności to otrzymamy:
Stąd i uwagi 2 wynika, że jest rozwiązaniem problemu poczatkowego ( 1 ) i kończy to dowód istnienia rozwiązania problemu ( 1 )
Pokażemy teraz, że problem poczatkowy ( 1 ) posiada dokładnie jedno rozwiązanie. Niech będzie dowolnym rozwiązaniem problemu ( 1 ) zatem na mocy uwagi 2:
Stosując zasadę indukcji matematycznej pokażemy, że
Dla mamy, że
więc nierówność ( 6 ) jest prawdziwa.
Zakładamy teraz prawdziwość nierówności ( 6 ) dla Stąd i własności funkcji wynika prawdziwość ( 6 ) dla
k = 1, …, n − 1.
f
n :
∥
x
n+1(t) − (t)∥ =
x
n∥
∫
(f(s, (s)) − f(s,
(s))) ds∥ ≤ |
∥f(s, (s)) − f(s,
(s))∥ds| ≤
t t0x
nx
n−1∫
t t0x
nx
n−1|
∫
tL∥ (s) −
(s)∥ds| ≤ L|
ds| =
|t −
,
t0x
nx
n−1∫
t t0M
L
n−1|s −
t
0|
nn!
ML
n(n + 1)!
t
0|
n+1∥
∑
(
(t) − (t))∥ ≤
∥
(t) − (t)∥ ≤
≤
, t ∈ I.
n=0 ∞x
n+1x
n∑
n=0 ∞x
n+1x
n∑
n=0 ∞M |t −
L
nt
0|
n+1(n + 1)!
∑
n=0 ∞ML
nα
n+1(n + 1)!
∑
n=0 ∞ML
nα
n+1(n + 1)!
(
(t) − (t))
∑
n=0 ∞x
n+1x
nI.
(t) =
+
(
(t) − (t)),
x
nx
0∑
k=0 n−1x
n+1x
n{ (t), n = 0, 1, …}
x
nI.
x(t).
n
x(t) =
n→∞lim
x
n+1(t) =
x
0+
n→∞lim
∫
f(s, (s))ds =
+
f(s, (s))ds =
+
f(s, x(s))ds.
t t0x
nx
0∫
t t0lim
n→∞x
nx
0∫
t t0x(t)
y(t)
y(t) =
x
0+
∫
f(s, y(s))ds.
t t0∥ (t) − y(t)∥ ≤
x
nM |t −
L
, t ∈ I, n = 0, 1, …, .
nt
0|
n+1(n + 1)!
n = 0
∥y(t) − (t)∥ = ∥
x
0∫
f(s, y(s))ds∥ ≤ |
∥f(s, y(s))∥ds| ≤ |
Mds| ≤ M|t − |, t ∈ I,
t t0
∫
t t0∫
t t0t
0k = 1, …, n − 1.
f
n :
∥ (t) − y(t)∥ =
x
n∥
∫
(f(s,
(s)) − f(s, y(s))) ds∥ ≤ |
∥f(s,
(s)) − f(s, y(s))∥ds| ≤
t t0x
n−1∫
t t0x
n−1|
∫
tL∥
(s) − y(s)∥ds| ≤ L|
ds| =
|t −
,
t0x
n−1∫
t t0M
L
n−1|s −
t
0|
nn!
ML
n(n + 1)!
t
0|
n+1zatem z zasady indukcji matematycznej wynika prawdziwość ( 6 ) dla wszystkich licz naturalnych .
Ponieważ ciąg funkcji jest zbieżny jednostajnie w do więc z ( 6 ) wynika, że
zatem co kończy dowód jednoznaczności.
UWAGA
Uwaga 3:
Uwaga 3:
Z zależności ( 6 ) wynika następująca ocena dokładności tego przybliżenia ciągu Picarda od rozwiązania rzeczywistego:
n
{ (t), n = 0, 1, …}
x
nI.
x(t),
∥x(t) − y(t)∥ =
lim
∥ (t) − y(t)∥ ≤
≤
= 0,
n→∞
x
n n→∞lim
M |t −
L
nt
0|
n+1(n + 1)!
n→∞lim
ML
nα
n+1(n + 1)!
x(t) = y(t)
n−
∥ (t) − x(t)∥ ≤
x
nM |t −
L
, t ∈ I.
nt
0|
n+1(n + 1)!
(7)
(8)
(9)
TWIERDZENIE
Twierdzenie 2:
Twierdzenie 2: O istnieniu i jednoznaczności rozwiązań dla równań liniowych
O istnieniu i jednoznaczności rozwiązań dla równań liniowych
rzędu wyższego
rzędu wyższego
ZAŁOŻENIA: ZAŁOŻENIA:
Niech funkcje i będą ciągłe i określone w przedziale ponadto dla każdego
TEZA: TEZA:
Wtedy problem początkowy
gdzie , zaś - są to dowolne stałe, posiada dokładnie jedno rozwiązanie określone w przedziale .
DOWÓD: DOWÓD:
Wprowadzając następujące zmienne:
problem początkowy ( 7 ) można zapisać w postaci układu równań
z warunkiem początkowym
Z twierdzenia 1 wynika, że problem początkowy ( 8 ), ( 9 ) posiada dokładnie jedno rozwiązanie, co kończy dowód twierdzenia.
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Data generacji dokumentu: 2019-04-15 10:03:59
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=6db2fc1b4bc7deb1154dbe700e8817af
Autor: Julian Janus