• Nie Znaleziono Wyników

Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności dla równań różniczkowych zwyczajnych

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności dla równań różniczkowych zwyczajnych"

Copied!
7
0
0

Pełen tekst

(1)

Twierdzenia o istnieniu i

jednoznaczności dla równań

różniczkowych zwyczajnych

Autorzy:

Julian Janus

(2)

Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności dla równań różniczkowych zwyczajnych

Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności dla równań różniczkowych zwyczajnych

Autor: Julian Janus

Niech przez będziemy oznaczać normę w określoną następująco:

Niech gdzie przedział w a podzbiór w

DEFINICJA

Definicja 1:

Definicja 1:

Mówimy, że funkcja

spełnia warunek Lipschitza ze względu na jeżeli

UWAGA

Uwaga 1:

Uwaga 1:

Jeżeli funkcja jest ciągła i pochodne cząstkowe są ciągłe i ograniczone w gdzie jest zbiorem wypukłym, to funkcja spełnia warunek Lipschitza ze względu na

Istotnie dla dowolnego i dowolnych ustalonych punktów definiujemy funkcję następująco:

Funkcja spełnia założenia Twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej. Istnieje taka, że

Stąd i definicji funkcji wynika, że

Przyjmując

otrzymujemy, że

Dla zachodzi nierówność:

co należało dowieść.

x = ( , …, ) ∈ R,

x

1

x

n

∥x∥

R

n

∥x∥ = max{ | |, …, | | }.

x

1

x

n

I × Ω ⊂ R

n+1

I

R Ω

R

n

.

f :

I × Ω ∋ (t, x) → f(t, x) = ( (t, x), …, (t, x)) ∈

f

1

f

n

R

n

x

∃L > 0 ∀(t, x), (t, ) ∈ I × Ω : ∥f(t, x) − f(t, )∥ ≤ L∥x − ∥.

x~

x~

x~

f

∂fi

, i, j = 1, …, n

∂xj

I × Ω

Ω

f

x.

i ∈ {1, …, n}

(t, x), (t, ) ∈ I × Ω

x~

: [0, 1] → R

F

i

(s) := (t, s ⋅ x + (1 − s) ⋅ ).

F

i

f

i

x~

F

i

Θ

i

∈ (0, 1),

(1) − (0) = ( ).

F

i

F

i

F

i

Θ

i

F

i

(t, x) − (t, ) =

(t,

⋅ x + (1 − ) ⋅ ) ⋅ ( − ) + ⋯ +

(t,

⋅ x + (1 − ) ⋅ ) ⋅ ( − )

f

i

f

i

x~

∂x∂f1i

Θ

i

Θ

i

x~

x

1

x

~

1 ∂x∂fni

Θ

i

Θ

i

x~

x

n

x

~

n

M = sup{ |

∂fi

(t, x)|, (t, x) ∈ I × Ω, i, j = 1, …, n}

∂xj

| (t, x) − (t, )| ≤ n ⋅ M∥x − ∥.

f

i

f

i

x~

x~

L = n ⋅ M

∥f(t, x) − f(t, )∥ = max{ | (t, x) − (t, )|, …, , | (t, x) − (t, )| } ≤ L∥x − ∥

x~

f

1

f

1

x~

f

n

f

n

x~

x~

(3)

(1) (2) (3) (4) (5)

UWAGA

Uwaga 2:

Uwaga 2:

Problem początkowy

jest równoważny następującemu równaniu całkowemu

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: O istnieniu i jednoznaczności

O istnieniu i jednoznaczności

ZAŁOŻENIA: ZAŁOŻENIA:

Niech będzie funkcją ciągłą określoną na zbiorze o wartościach w i Ponadto zakładamy, że funkcja

spełnia warunek Lipschitza ze względu na

TEZA: TEZA:

Problem poczatkowy ( 1 ) ma dokładnie jedno rozwiązanie określone na przedziale Rozwiązanie jest granicą jednostajną następującego ciągu przybliżeń Picarda:

DOWÓD: DOWÓD:

Ponieważ jest funkcją ciągłą więc funkcje określone zależnością ( 3 ) są ciągłe. Pokażemy, że dla każdego zachodzi nierówność:

Istotnie

Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykażemy, że dla każdego

Dla mamy, że

zatem dla nierówność ( 5 ) jest prawdziwa.

(t) = f(t, x(t)), x( ) =

x

t

0

x

0

x(t) =

x

0

+

f(s, x(s))ds.

t t0

f(t, x)

Ω = { (t, x) ∈ R ×

R

n

: |t − | ≤ a, ∥x − ∥ ≤ b }

t

0

x

0

R

n

M = max{ ∥f(t, x)∥, (t, x) ∈ Ω}, α = min{ a,

b

}.

M

f

x

x(t)

I = [ − α, + α].

t

0

t

0

x(t)

(t) = ,

(t) =

+

f(s, (s))ds.

x

0

x

0

x

n+1

x

0

t t0

x

n

f

n = 0, 1, …

∥ (t) − ∥ ≤ b, t ∈ I.

x

n

x

0

x

n+1

(t) − ∥ = ∥

x

0

f(s, (s))ds∥ ≤ |

∥f(s, (s))∥ds| ≤ |

Mds| = M|t − | ≤ b.

t t0

x

n

t t0

x

n

t t0

t

0

n ∈ {0, 1, 2, …}

x

n+1

(t) − (t)∥ ≤

x

n

M |t −

L

, t ∈ I.

n

t

0

|

n+1

(n + 1)!

n = 0

∥ (t) − (t)∥ = ∥

x

1

x

0

f(s, )ds∥ ≤ |

∥f(s, )∥ds| ≤ |

Mds| = M|t − |, t ∈ I,

t t0

x

0

y t0

x

0

t t0

t

0

n = 0

k = 1, …, n − 1.

(4)

(6) Zakładamy teraz prawdziwość nierówności ( 5 ) dla Z powyższego założenia i własności funkcji

wynika prawdziwość ( 5 ) dla

zatem z zasady indukcji matematycznej wynika prawdziwość ( 5 ) dla wszystkich licz naturalnych. Z nierówności ( 5 ) wynika, że

Z kryterium d'Alamberta wynika, że szereg liczbowy

jest zbieżny, więc szereg funkcyjny

jest jednostajnie zbieżny w Ponieważ

zatem ciąg funkcji jest zbieżny jednostajnie w Granicę tego ciągu oznaczmy przez Jeżeli w zależności ( 3 ) przejdziemy z do nieskończoności to otrzymamy:

Stąd i uwagi 2 wynika, że jest rozwiązaniem problemu poczatkowego ( 1 ) i kończy to dowód istnienia rozwiązania problemu ( 1 )

Pokażemy teraz, że problem poczatkowy ( 1 ) posiada dokładnie jedno rozwiązanie. Niech będzie dowolnym rozwiązaniem problemu ( 1 ) zatem na mocy uwagi 2:

Stosując zasadę indukcji matematycznej pokażemy, że

Dla mamy, że

więc nierówność ( 6 ) jest prawdziwa.

Zakładamy teraz prawdziwość nierówności ( 6 ) dla Stąd i własności funkcji wynika prawdziwość ( 6 ) dla

k = 1, …, n − 1.

f

n :

x

n+1

(t) − (t)∥ =

x

n

(f(s, (s)) − f(s,

(s))) ds∥ ≤ |

∥f(s, (s)) − f(s,

(s))∥ds| ≤

t t0

x

n

x

n−1

t t0

x

n

x

n−1

|

t

L∥ (s) −

(s)∥ds| ≤ L|

ds| =

|t −

,

t0

x

n

x

n−1

t t0

M

L

n−1

|s −

t

0

|

n

n!

ML

n

(n + 1)!

t

0

|

n+1

(

(t) − (t))∥ ≤

(t) − (t)∥ ≤

, t ∈ I.

n=0

x

n+1

x

n

n=0

x

n+1

x

n

n=0

M |t −

L

n

t

0

|

n+1

(n + 1)!

n=0

ML

n

α

n+1

(n + 1)!

n=0

ML

n

α

n+1

(n + 1)!

(

(t) − (t))

n=0

x

n+1

x

n

I.

(t) =

+

(

(t) − (t)),

x

n

x

0

k=0 n−1

x

n+1

x

n

{ (t), n = 0, 1, …}

x

n

I.

x(t).

n

x(t) =

n→∞

lim

x

n+1

(t) =

x

0

+

n→∞

lim

f(s, (s))ds =

+

f(s, (s))ds =

+

f(s, x(s))ds.

t t0

x

n

x

0

t t0

lim

n→∞

x

n

x

0

t t0

x(t)

y(t)

y(t) =

x

0

+

f(s, y(s))ds.

t t0

∥ (t) − y(t)∥ ≤

x

n

M |t −

L

, t ∈ I, n = 0, 1, …, .

n

t

0

|

n+1

(n + 1)!

n = 0

∥y(t) − (t)∥ = ∥

x

0

f(s, y(s))ds∥ ≤ |

∥f(s, y(s))∥ds| ≤ |

Mds| ≤ M|t − |, t ∈ I,

t t0

t t0

t t0

t

0

k = 1, …, n − 1.

f

n :

∥ (t) − y(t)∥ =

x

n

(f(s,

(s)) − f(s, y(s))) ds∥ ≤ |

∥f(s,

(s)) − f(s, y(s))∥ds| ≤

t t0

x

n−1

t t0

x

n−1

|

t

L∥

(s) − y(s)∥ds| ≤ L|

ds| =

|t −

,

t0

x

n−1

t t0

M

L

n−1

|s −

t

0

|

n

n!

ML

n

(n + 1)!

t

0

|

n+1

(5)

zatem z zasady indukcji matematycznej wynika prawdziwość ( 6 ) dla wszystkich licz naturalnych .

Ponieważ ciąg funkcji jest zbieżny jednostajnie w do więc z ( 6 ) wynika, że

zatem co kończy dowód jednoznaczności.

UWAGA

Uwaga 3:

Uwaga 3:

Z zależności ( 6 ) wynika następująca ocena dokładności tego przybliżenia ciągu Picarda od rozwiązania rzeczywistego:

n

{ (t), n = 0, 1, …}

x

n

I.

x(t),

∥x(t) − y(t)∥ =

lim

∥ (t) − y(t)∥ ≤

= 0,

n→∞

x

n n→∞

lim

M |t −

L

n

t

0

|

n+1

(n + 1)!

n→∞

lim

ML

n

α

n+1

(n + 1)!

x(t) = y(t)

n−

∥ (t) − x(t)∥ ≤

x

n

M |t −

L

, t ∈ I.

n

t

0

|

n+1

(n + 1)!

(6)

(7)

(8)

(9)

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

Twierdzenie 2: O istnieniu i jednoznaczności rozwiązań dla równań liniowych

O istnieniu i jednoznaczności rozwiązań dla równań liniowych

rzędu wyższego

rzędu wyższego

ZAŁOŻENIA: ZAŁOŻENIA:

Niech funkcje i będą ciągłe i określone w przedziale ponadto dla każdego

TEZA: TEZA:

Wtedy problem początkowy

gdzie , zaś - są to dowolne stałe, posiada dokładnie jedno rozwiązanie określone w przedziale .

DOWÓD: DOWÓD:

Wprowadzając następujące zmienne:

problem początkowy ( 7 ) można zapisać w postaci układu równań

z warunkiem początkowym

Z twierdzenia 1 wynika, że problem początkowy ( 8 ), ( 9 ) posiada dokładnie jedno rozwiązanie, co kończy dowód twierdzenia.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 10:03:59

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=6db2fc1b4bc7deb1154dbe700e8817af

Autor: Julian Janus

f(t)

a

k

(t), gdzie k = 0, …, n,

I ⊂ R ,

a

n

(t) ≠ 0,

t ∈ I.

{ (t)

a

n

y

(n)

(t) +

a

n−1

(t)

y

(n−1)

(t) + ⋯ + (t) (t) + (t)y(t) = f(t),

a

1

y

a

0

y( ) = , ( ) = , …,

t

0

b

0

y

t

0

b

1

y

(n−1)

( ) =

t

0

b

n−1

t ∈ I,

∈ I

t

0

b

0

, . . . ,

b

n−1

I

= y,

= , …,

=

,

x

1

x

2

y

x

n

y

(n−1)

(t) = (t)

x

′ 1

x

2

(t) = (t)

x

′ 2

x

3

(t) = (t)

x

n−1

x

n

(t) = −

⋅ (t) − ⋯ −

⋅ (t) +

x

n a0(t) (t) an

x

1 (t) an−1 (t) an

x

n f(t) (t) an

( ) = , …, ( ) =

.

x

1

t

0

b

0

x

n

t

0

b

n−1

(7)

Cytaty

Powiązane dokumenty

Zmniejszenie kroku h istotnie polepsza dokładność metody łamanych, przy czym należy pamiętać, że nadmierne zmniejszenie kroku daje efekt odwrotny do spodziewanego.

Można też konstruować ciągi, których różnica zbiega do 0, ale dla których różnica wartości funkcji nie zbiega do zera, ale to jednak strasznie dużo

Czy istnieje funkcja f, że jest tylko jeden punkt a o tej włąsności?.

Rozwiązania proszę starannie zredagować w zeszycie zadań domowych.. Punktacja według reguł Klubu

Zmodyfikuj ten przykład i podaj funkcję, której zbiorem punktów nieciągłości jest Q..

Dowód nierówności Jensena.

Ponieważ metoda jest niejawna (patrz zadanie 1) więc znalezienie rozwiązania w kolejnej chwili czasowej wyma- ga zastosowania

Czy każdą funkcję ciągłą na odcinku domkniętym można przedłużyć do funkcji ciągłej na całej