Obliczanie pól powierzchni
obrotowych
Autorzy:
Witold Majdak
Obliczanie pól powierzchni obrotowych
Obliczanie pól powierzchni obrotowych
Autor: Witold Majdak
TWIERDZENIE
Twierdzenie 1:
Twierdzenie 1: o polu powierzchni obrotowej powstałej przez obrót wykresu
o polu powierzchni obrotowej powstałej przez obrót wykresu
funkcji jednej zmiennej wokół osi
funkcji jednej zmiennej wokół osi
Niech krzywa będzie wykresem nieujemnej funkcji ciągłej . Pole powierzchni obrotowej bryły powstałej z obrotu krzywej wokół osi wyraża się wzorem
Rysunek 1: Powierzchnia obrotowa, której pole obliczamy
OX
Γ
f : [a, b] → R
S
Γ
OX
S = 2π f(x)
∫
dx.
a b1 + ( (x)
f
′)
2−
−−−−−−−−
−
√
PRZYKŁAD
Przykład 1:
Przykład 1:
Obliczyć pole powierzchni obrotowej powstałej przez obrót łuku sinusoidy , gdzie , wokół osi .
Rysunek 2: Powierzchnia obrotowa powstała przez obrót łuku sinusoidy wokół osi
Ponieważ dana funkcja spełnia wszystkie założenia , to wyraża się nastepująco:
W celu obliczenia tej całki wprowadzimy nową zmienną . Wtedy , a ponieważ funkcja cosinus jest malejąca na przedziale , więc parametr zmienia się od do . W rezultacie
Obliczymy teraz całkę nieoznaczoną , stosując wzór na całkowanie funkcji niewymiernych:
Różniczkując obie strony równania, otrzymujemy
a po pomnożeniu obu stron równania przez dostajemy równanie wielomianowe
którego rozwiązaniem są liczby , i . W konsekwencji
oraz
więc szukane pole jest równe
Zadajmy krzywą w postaci parametrycznej , , , przy czym załóżmy, że funkcje i mają ciągłe pochodne. Przyjmijmy dodatkowo, że funkcja jest stałego znaku, a funkcja jest nieujemna. Wówczas zachodzi następujące twierdzenie.
S
y = sin x
x ∈ [0, π]
OX
OXS
S = 2π sin x
∫
dx.
0 π1 + (cos x)
2−
−−−−−−−
−
√
t = cos x
dt = − sin xdx
[0, π]
t
1 −1
S = −2π
∫
dt = 2π
dt.
1 −11 + t
2− −
−−−
√
∫
−1 11 + t
2− −
−−−
√
∫
√
1 + t
− −
−−−
2dt = ∫
1+t2dt
1+t2 √∫
√1+t1+t22dt = (at + b)
1 + t
2+ k∫
dt.
− −
−−−
√
1 1+t2 √= a
+ (at + b)
+ k
,
1+t2 1+t2 √1 + t
2− −
−−−
√
t 1+t2 √ √1+t1 21 + t
2− −
−−−
√
1 + = a(1 + ) + (at + b)t + k,
t
2t
2a =
1 2b = 0 k =
12∫
√
1 + t
− −
−−−
2dt = t
1+ ∫
dt = t
+ ln t +
+ C, C ∈ R,
2√
− −
1 + t
−−−
2 12 √1+t1 2 121 + t
2− −
−−−
√
1 2∣∣
√
− −
1 + t
−−−
2∣∣
S = ( t
1+ ln t +
)
=
+ ln 1 +
−
− ln − 1 +
,
2√
1 + t
− −
−−−
2 12∣∣
√
− −
1 + t
−−−
2∣∣ ∣∣
1 −1 12√
2
12∣∣
√ ∣∣
2
12√
2
12∣∣
√ ∣∣
2
S = ln
1.
2 √√22+1−1Γ
x = φ(t) y = ψ(t) t ∈ [α, β]
φ ψ
φ
′ψ
TWIERDZENIE
Twierdzenie 2:
Twierdzenie 2: o polu powierzchni obrotowej powstałej przez obrót krzywej
o polu powierzchni obrotowej powstałej przez obrót krzywej
zadanej parametrycznie
zadanej parametrycznie
Pole powierzchni obrotowej bryły powstałej z obrotu łuku krzywej wokół osi , gdzie wyraża się wzorem
PRZYKŁAD
Przykład 2:
Przykład 2:
Obliczyć pole powierzchni bryły powstałej przez obrót części asteroidy o równaniach
wokół osi . Funkcje i spełniają założenia twierdzenia 2 oraz
Ponieważ łuk asteroidy jest symetryczny względem osi , więc szukane pole wyraża się wzorem
Do obliczenia ostatniej całki zastosujemy :
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:55:26
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=3a1fa0b9da4ef4f99dcc3fa063359ca7
S
Γ
OX
t ∈ [α, β]
S = 2π ψ(t)
∫
dt.
α β( (t) + ( (t)
φ
′)
2ψ
′)
2−
−−−−−−−−−−−−
−
√
x = φ(t) =
cos
3t, y = ψ(t) =
sin
3t, t ∈ [0, π],
OX
φ ψ
(t) = −3
t sin t,
(t) = 3
t cos t, t ∈ [0, π].
φ
′cos
2ψ
′sin
2OY
S = 4π
∫
t
dt = 4π
t
dt
0 π 2sin
3√
−
(−3
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
cos
2t sin t + (3
)
2sin
2t cos t
)
2−
∫
0π 2
sin
3√
−
9
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
cos
4t
sin
2t + 9
sin
4t
cos
2t
−
= 4π
∫
t
dt = 12π
t cos t dt.
0 π 2