• Nie Znaleziono Wyników

Obliczanie pól powierzchni obrotowych

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Obliczanie pól powierzchni obrotowych"

Copied!
5
0
0

Pełen tekst

(1)

Obliczanie pól powierzchni

obrotowych

Autorzy:

Witold Majdak

(2)

Obliczanie pól powierzchni obrotowych

Obliczanie pól powierzchni obrotowych

Autor: Witold Majdak

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: o polu powierzchni obrotowej powstałej przez obrót wykresu

o polu powierzchni obrotowej powstałej przez obrót wykresu

funkcji jednej zmiennej wokół osi

funkcji jednej zmiennej wokół osi

Niech krzywa będzie wykresem nieujemnej funkcji ciągłej . Pole powierzchni obrotowej bryły powstałej z obrotu krzywej wokół osi wyraża się wzorem

Rysunek 1: Powierzchnia obrotowa, której pole obliczamy

OX

Γ

f : [a, b] → R

S

Γ

OX

S = 2π f(x)

dx.

a b

1 + ( (x)

f

)

2

−−−−−−−−

(3)

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Obliczyć pole powierzchni obrotowej powstałej przez obrót łuku sinusoidy , gdzie , wokół osi .

Rysunek 2: Powierzchnia obrotowa powstała przez obrót łuku sinusoidy wokół osi

Ponieważ dana funkcja spełnia wszystkie założenia , to wyraża się nastepująco:

W celu obliczenia tej całki wprowadzimy nową zmienną . Wtedy , a ponieważ funkcja cosinus jest malejąca na przedziale , więc parametr zmienia się od do . W rezultacie

Obliczymy teraz całkę nieoznaczoną , stosując wzór na całkowanie funkcji niewymiernych:

Różniczkując obie strony równania, otrzymujemy

a po pomnożeniu obu stron równania przez dostajemy równanie wielomianowe

którego rozwiązaniem są liczby , i . W konsekwencji

oraz

więc szukane pole jest równe

Zadajmy krzywą w postaci parametrycznej , , , przy czym załóżmy, że funkcje i mają ciągłe pochodne. Przyjmijmy dodatkowo, że funkcja jest stałego znaku, a funkcja jest nieujemna. Wówczas zachodzi następujące twierdzenie.

S

y = sin x

x ∈ [0, π]

OX

OX

S

S = 2π sin x

dx.

0 π

1 + (cos x)

2

−−−−−−−

t = cos x

dt = − sin xdx

[0, π]

t

1 −1

S = −2π

dt = 2π

dt.

1 −1

1 + t

2

− −

−−−

−1 1

1 + t

2

− −

−−−

1 + t

− −

−−−

2

dt = ∫

1+t2

dt

1+t2 √

1+t1+t22

dt = (at + b)

1 + t

2

+ k∫

dt.

− −

−−−

1 1+t2 √

= a

+ (at + b)

+ k

,

1+t2 1+t2 √

1 + t

2

− −

−−−

t 1+t2 √ 1+t1 2

1 + t

2

− −

−−−

1 + = a(1 + ) + (at + b)t + k,

t

2

t

2

a =

1 2

b = 0 k =

12

1 + t

− −

−−−

2

dt = t

1

+ ∫

dt = t

+ ln t +

+ C, C ∈ R,

2

− −

1 + t

−−−

2 12 1+t1 2 12

1 + t

2

− −

−−−

1 2

∣∣

− −

1 + t

−−−

2

∣∣

S = ( t

1

+ ln t +

)

=

+ ln 1 +

− ln − 1 +

,

2

1 + t

− −

−−−

2 12

∣∣

− −

1 + t

−−−

2

∣∣ ∣∣

1 −1 12

2

12

∣∣

√ ∣∣

2

12

2

12

∣∣

√ ∣∣

2

S = ln

1

.

2 √√22+1−1

Γ

x = φ(t) y = ψ(t) t ∈ [α, β]

φ ψ

φ

ψ

(4)

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

Twierdzenie 2: o polu powierzchni obrotowej powstałej przez obrót krzywej

o polu powierzchni obrotowej powstałej przez obrót krzywej

zadanej parametrycznie

zadanej parametrycznie

Pole powierzchni obrotowej bryły powstałej z obrotu łuku krzywej wokół osi , gdzie wyraża się wzorem

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Obliczyć pole powierzchni bryły powstałej przez obrót części asteroidy o równaniach

wokół osi . Funkcje i spełniają założenia twierdzenia 2 oraz

Ponieważ łuk asteroidy jest symetryczny względem osi , więc szukane pole wyraża się wzorem

Do obliczenia ostatniej całki zastosujemy :

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:55:26

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=3a1fa0b9da4ef4f99dcc3fa063359ca7

S

Γ

OX

t ∈ [α, β]

S = 2π ψ(t)

dt.

α β

( (t) + ( (t)

φ

)

2

ψ

)

2

−−−−−−−−−−−−

x = φ(t) =

cos

3

t, y = ψ(t) =

sin

3

t, t ∈ [0, π],

OX

φ ψ

(t) = −3

t sin t,

(t) = 3

t cos t, t ∈ [0, π].

φ

cos

2

ψ

sin

2

OY

S = 4π

t

dt = 4π

t

dt

0 π 2

sin

3

(−3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

cos

2

t sin t + (3

)

2

sin

2

t cos t

)

2

0

π 2

sin

3

9

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

cos

4

t

sin

2

t + 9

sin

4

t

cos

2

t

= 4π

t

dt = 12π

t cos t dt.

0 π 2

sin

3

9

−−−−−−−−

cos

2

t

sin

2

t

0 π 2

sin

4

S = 12π

t cos t dt =

= 12π

du =

=

.

0 π 2

sin

4

∣∣

du = cos tdt

u = sin t

∣∣

0 1

u

4 12π 5

u

5

∣∣

1 0 12π5

(5)

Obraz

Rysunek 1: Powierzchnia obrotowa, której pole obliczamy
Rysunek 2: Powierzchnia obrotowa powstała przez obrót łuku sinusoidy wokół osi

Cytaty

Powiązane dokumenty

Trójk¸ at prostok¸ atny o bokach długości 3, 4, 5 obracamy wokół

Zasada równowa no ci, w najprostszym uj ciu znaczy cos takiego: Skoro siła gra- witacji jest proporcjonalna do tej samej wielko ci, co siła bezwładna, (a współczynnik proporcjonalno

Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian. Zatem ,aby obliczyć pole powierzchni prostopadłościanu należy obliczyć pole każdej jego ściany a

Wskazani uczniowie, gdy wykonają zadania, muszą niezwłocznie przesłać wyniki przez komunikator na e-dzienniku, lub mailem na adres:.. matematyka2LOpm@gmail.com skan

Sposób obliczania https://www.youtube.com/watch?v=NYggdH2QuCI Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa to pole jego siatki, czyli podstaw (dolnej i górnej) oraz wszystkich

Oblicz pole powierzchni bocznej

Pole powierzchni całkowitej sześcianu obliczamy poprzez obliczenie pola jednej jego ściany (kwadratu), a następnie pomnożenie otrzymanego wyniku przez 6 , czyli przez ilość

Dorysuj wektor pędu zgodnie z wartościami podanymi na rysunku. Wyjaśnij różnicę pomiędzy potocznym i naukowym znaczeniem słowa