Obliczanie pól powierzchni obrotowych

(1)

Obliczanie pól powierzchni

obrotowych

Autorzy:

Witold Majdak

(2)

Obliczanie pól powierzchni obrotowych

Autor: Witold Majdak

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: o polu powierzchni obrotowej powstałej przez obrót wykresu

o polu powierzchni obrotowej powstałej przez obrót wykresu

funkcji jednej zmiennej wokół osi

Niech krzywa będzie wykresem nieujemnej funkcji ciągłej . Pole powierzchni obrotowej bryły powstałej z obrotu krzywej wokół osi wyraża się wzorem

Rysunek 1: Powierzchnia obrotowa, której pole obliczamy

OX

Γ

f : [a, b] → R

S

Γ

OX

S = 2π f(x)

∫

dx.

a b

1 + ( (x)

f

′

₎

2

−

−−−−−−−−

−

√

(3)

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Obliczyć pole powierzchni obrotowej powstałej przez obrót łuku sinusoidy , gdzie , wokół osi .

Rysunek 2: Powierzchnia obrotowa powstała przez obrót łuku sinusoidy wokół osi

Ponieważ dana funkcja spełnia wszystkie założenia , to wyraża się nastepująco:

W celu obliczenia tej całki wprowadzimy nową zmienną . Wtedy , a ponieważ funkcja cosinus jest malejąca na przedziale , więc parametr zmienia się od do . W rezultacie

Obliczymy teraz całkę nieoznaczoną , stosując wzór na całkowanie funkcji niewymiernych:

Różniczkując obie strony równania, otrzymujemy

a po pomnożeniu obu stron równania przez dostajemy równanie wielomianowe

którego rozwiązaniem są liczby , i . W konsekwencji

oraz

więc szukane pole jest równe

Zadajmy krzywą w postaci parametrycznej , , , przy czym załóżmy, że funkcje i mają ciągłe pochodne. Przyjmijmy dodatkowo, że funkcja jest stałego znaku, a funkcja jest nieujemna. Wówczas zachodzi następujące twierdzenie.

S

y = sin x

x ∈ [0, π]

OX

S

S = 2π sin x

∫

dx.

0 π

1 + (cos x)

2

−

−−−−−−−

−

√

t = cos x

dt = − sin xdx

[0, π]

t

1 −1

S = −2π

∫

dt = 2π

dt.

1 −1

1 + t

2

− −

−−−

√

∫

−1 1

1 + t

2

− −

−−−

√

∫

_√

1 + t

− −

−−−

2

dt = ∫

1+t2

dt

1+t2 √

∫

_√1+t_1+t22

dt = (at + b)

1 + t

2

+ k∫

dt.

− −

−−−

√

1 1+t2 √

= a

+ (at + b)

+ k

,

1+t2 1+t2 √

1 + t

2

− −

−−−

√

t 1+t2 √ _√1+t1 2

1 + t

2

− −

−−−

√

1 + = a(1 + ) + (at + b)t + k,

t

2

_t

2

a =

1 2

b = 0 k =

12

∫

_√

1 + t

− −

−−−

2

dt = t

1

+ ∫

dt = t

+ ln t +

+ C, C ∈ R,

2

√

− −

1 + t

−−−

2 12 _√_1+t1 2 12

1 + t

2

− −

−−−

√

1 2

∣∣

√

− −

1 + t

−−−

2

∣∣

S = ( t

1

+ ln t +

)

=

+ ln 1 +

−

− ln − 1 +

,

2

√

1 + t

− −

−−−

2 12

∣∣

√

− −

1 + t

−−−

2

∣∣ ∣∣

1 −1 12

√

2

12

∣∣

√ ∣∣

2

12

√

2

12

∣∣

√ ∣∣

2 S = ln

1

.

2 √√22+1−1

Γ

x = φ(t) y = ψ(t) t ∈ [α, β]

φ ψ

φ

′

_ψ

(4)

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

Twierdzenie 2: o polu powierzchni obrotowej powstałej przez obrót krzywej

o polu powierzchni obrotowej powstałej przez obrót krzywej

zadanej parametrycznie

Pole powierzchni obrotowej bryły powstałej z obrotu łuku krzywej wokół osi , gdzie wyraża się wzorem

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Obliczyć pole powierzchni bryły powstałej przez obrót części asteroidy o równaniach

wokół osi . Funkcje i spełniają założenia twierdzenia 2 oraz

Ponieważ łuk asteroidy jest symetryczny względem osi , więc szukane pole wyraża się wzorem

Do obliczenia ostatniej całki zastosujemy :

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:55:26

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=3a1fa0b9da4ef4f99dcc3fa063359ca7

S

Γ

OX

t ∈ [α, β]

S = 2π ψ(t)

∫

dt.

α β

( (t) + ( (t)

φ

′

₎

2

_ψ

′

₎

2

−

−−−−−−−−−−−−

−

√

x = φ(t) =

cos

3

t, y = ψ(t) =

_sin

3

t, t ∈ [0, π],

OX

φ ψ

(t) = −3

t sin t,

(t) = 3

t cos t, t ∈ [0, π].

φ

′

_cos

2

_ψ

′

_sin

2

OY

S = 4π

∫

t

dt = 4π

t

dt

0 π 2

sin

3

_√

−

₍₋₃

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

_cos

2

_{t sin t + (3}

₎

2

_sin

2

_{t cos t}

₎

2

−

_∫

0

π 2

sin

3

√

−

₉

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

_cos

4

_t

_sin

2

_{t + 9}

_sin

4

_t

_cos

2

_t

−

= 4π

∫

t

dt = 12π

t cos t dt.

0 π 2

sin

3

_√

−

₉

−−−−−−−−

_cos

2

_t

_sin

2

−

_t

_∫

0 π 2

sin

4

S = 12π

∫

t cos t dt =

= 12π

du =

=

.

0 π 2

sin

4

∣

∣∣

du = cos tdt

u = sin t

∣

∣∣

∫

0 1

u

4 12π 5

u

5

∣∣

1 0 12π5

(5)